第十章空间直线与平面（期中知识清单）高二数学上学期沪教版必修第三册

第10章 空间直线与平面　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平面及其基本性质 1.1 平面的概念 平面也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念。我们说，平面是没有厚薄并且可以无限延展的。 示例：平静的水面、平整的墙面、太阳能反射板等都给了我们平面的形象。 1.2 平面的表示 平面通常用一个小写希腊字母表示，如平面 、、、 等，有时也可以用一个或多个大写英文字母表示，如平面 、平面 等。 习惯上，我们用一个平行四边形来表示平面。当平面是水平放置时，通常把这个平行四边形的锐角画成 左右，且横边长约为邻边长的 倍。 示例：平面 用平行四边形表示；长方体的每个面都是某个平面的一部分。 1.3 点、直线与平面的位置关系 我们一般用大写的英文字母 、、 等表示点，用小写的英文字母 、、 等表示直线，用小写的希腊字母 、、 等表示平面。借用集合的语言和符号，有： 位置关系 符号表示 点 在直线 上（直线 经过点 ） 点 不在直线 上（直线 不经过点 ） 点 在平面 上（平面 经过点 ） 点 不在平面 上（平面 不经过点 ） 示例：在长方体 - 中， 直线 ， 平面 ， 平面 。 1.4 公理 1 公理 1　如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。 公理 1 可用符号语言表述为：若点 ，点 ，则直线 。 示例：若点 、 都在平面 上，则线段 上任意一点都在平面 上。 注意：由公理 1 知，不在平面上的直线与这个平面最多只有一个公共点。 1.5 公理 2 及其推论 公理 2　不在同一直线上的三点确定一个平面。 这里，“确定一个平面”意指”（经过这三个点）有且只有一个平面”或”存在唯一的平面”。 示例：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机，正是”不在同一直线上的三点确定一个平面”的应用。 根据公理 2 可以得到三个推论： 推论 内容 推论 1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 示例：两条相交直线 、 确定唯一一个平面 。 1.6 公理 3 公理 3　如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 示例：相邻的两个墙面都有一条交线，这条交线就是两墙面的公共直线。 1.7 两个平面的位置关系 根据公理 3，两个平面 和 间的位置关系只有两种： 位置关系 符号表示 相交于直线 （有公共点） 平行（没有公共点） 或 示例：长方体的上、下两个底面互相平行；相邻两个侧面相交于一条棱所在的直线。 1.8 斜二测画法 为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图。 斜二测画法的要点是：画对应的 轴和 轴，使 ；平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度取原来的一半。 示例：画正六边形的直观图时，，而 。 2. 直线与直线的位置关系 2.1 公理 4 公理 4　平行于同一条直线的两条直线互相平行。 公理 4 用符号语言可以表述为：若 ，且 ，则 。 示例：若 且 ，则 ，即平行关系在空间同样具有传递性。 2.2 等角定理及其推论 等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 示例：若 与 的边 ， 且方向相同，则 。 由等角定理容易得出两个推论： 推论 内容 推论 1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 推论 2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 2.3 空间四边形 由空间四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形。 示例：把一张三角形纸片沿一条边折起，就得到一个空间四边形。 2.4 异面直线与空间两直线的位置关系 定义　不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。 空间的两条直线有三种不同的位置关系： 位置关系 是否共面 是否有公共点 相交 是 是 平行 是 否 异面 否 否 示例：长方体 - 中，直线 与 是异面直线；直线 与 不是异面直线（它们都在平面 上）。 2.5 异面直线判定定理 异面直线判定定理　过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线。 示例：直线 在平面 上，点 不在平面 上，直线 与平面 交于点 （ 不在 上），则直线 和 是异面直线。 2.6 异面直线所成的角 定义　两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角。 两条异面直线所成角的范围是 ，在弧度制下是 。 示例：正方体 - 中，异面直线 与 所成的角为 （由 ，）。 注意：如果两条异面直线 、 所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直，记作 。由定义易推出：如果 ，，那么 。 3. 直线与平面的位置关系 3.1 直线与平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 公共点个数 直线在平面上 有无数个公共点 直线和平面相交 只有一个公共点 直线和平面平行 没有公共点 示例：长方体中，棱 在平面 上；棱 与平面 相交于点 ；棱 与平面 平行。 3.2 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理　如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。 示例：直线 不在平面 上，直线 在平面 上且 ，则 。 3.3 直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理　如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行。 示例：直线 平面 ，过 的平面 与 交于直线 ，则 。 3.4 直线与平面垂直的定义 定义　如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直。 如果直线 与平面 垂直，记作 。这时，直线 叫做平面 的垂线（或者法线）， 与 的交点叫做垂足。 示例：旗杆与地面、桥柱与水面，都给我们以一条直线和一个平面垂直的形象。 3.5 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理　如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直。 示例：若 ，，且 、 是平面 上两条相交直线，则 。 3.6 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理　垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 示例：若 ，，则 。 由线面垂直的定义和性质定理可得两个推论： 推论 内容 推论 1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直 推论 2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直 3.7 点到平面的距离 过平面 外任意给定的一点 ，有且只有一条直线与平面 垂直，把点 与垂足 之间的距离叫做点 到平面 的距离。 示例：点 到平面 的距离就是垂线段 的长度。 3.8 直线与平面所成的角 定义　平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 另外，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是 的角。 示例：直线 是平面 的斜线，斜足为 ，过 上一点 作 于 ，则 就是 与平面 所成的角。 3.9 三垂线定理 三垂线定理　平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直。 示例： 是平面 的斜线， 是 在 上的投影，则对 上的任一直线 ， 的条件是 。 4. 平面与平面的位置关系 4.1 两个平面平行的判定定理 两个平面平行的判定定理　如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 示例：平面 上两条相交直线 、 都平行于平面 ，则 。 4.2 两个平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理　如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 示例：平面 ，平面 与 、 分别交于直线 、，则 。 4.3 两个平行平面间的距离 如果平面 平面 ，平面 上的任意点到平面 的距离都相等。我们把两个平行平面之间的距离定义为其中一个平面上的任意一点到另外一个平面的距离。 示例：长方体上、下两个底面间的距离，等于任意一条侧棱的长。 4.4 二面角 定义　从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 棱为 、两个面为 、 的二面角，记作二面角 --；若棱记作 ，也可以记作二面角 --。 示例：开门时门所在平面与门框所在平面之间形成二面角。 4.5 二面角的平面角 在二面角 -- 的棱 上任取一点 ，过 分别在面 、 上作棱 的垂线 和 ，射线 和 构成的角 的大小与点 的取法无关。用 来表示二面角 -- 的大小，并称其为二面角的平面角。 二面角的取值范围是 。当二面角的大小等于直角时，称这个二面角为直二面角。 示例：在正方体 - 中， 为 与 的交点，则 是二面角 -- 的一个平面角。 4.6 平面与平面垂直 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直。平面 与平面 垂直，记作 。 示例：相邻的两个墙面互相垂直。 4.7 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。 示例：若平面 经过平面 的垂线 ，则 。 4.8 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理　如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直。 示例：平面 平面 ，交线为 ，直线 且 ，则 。 5. 异面直线间的距离 5.1 异面直线的公垂线 定理　对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 示例：正方体 - 中，异面直线 与 的公垂线是 。 5.2 异面直线间的距离 定义　两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段。 示例：正方体 - 的棱长为 ，则异面直线 与 之间的距离为 （即公垂线段 的长）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 空间四边形中位线 连接空间四边形相邻两边中点的线段，平行于相应的对角线且等于其一半。如空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，则 ，且 。 1.2 线面垂直的平行传递 如果两条平行直线 、 中的一条 垂直于平面 ，那么另一条 也垂直于平面 。 1.3 线面平行的平行传递 不在给定平面上的两条平行直线中的一条平行于该平面，则另一条也平行于该平面。 1.4 面面平行的传递性 平行于同一个平面的两个平面互相平行。 1.5 距离的转化链 求两条异面直线的距离时，可先过其中一条直线作一个平面平行于另一条直线，把线线距离转化为线面距离，进而转化为点面距离（即公垂线段的长）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明线面平行：在面内找平行线 在平面内找一条与已知直线平行的直线（常借助三角形中位线、平行四边形的对边），再用线面平行的判定定理。如空间四边形 中 、 是 、 的中点，连 得 ，而 平面 ，故 平面 。 2.2 证明线面垂直：在面内找两条相交垂线 在平面内找两条相交直线都与已知直线垂直，再用线面垂直的判定定理。如正方体 - 中证 平面 ：由 且 ，而 与 是平面 内两条相交直线。 2.3 证明面面平行：找一个面内两条相交平行线 在一个平面内找两条相交直线都平行于另一个平面，再用面面平行的判定定理。如证 与 所在平面 平面 ：由 、。 2.4 证明面面垂直：找一个面过另一个面的垂线 证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，再用面面垂直的判定定理。如由 平面 ，得平面 平面 。 2.5 求异面直线所成的角：平移构造三角形 把两条异面直线中的一条（或两条）平移到相交位置，把所求角置于某个三角形中，用三角形的边角关系求这个角。平移时选端点、中点等便于计算的位置。 【使用提醒】异面直线所成的角取锐角或直角（），若解三角形得到钝角，应取其补角。 2.6 求二面角：先作出平面角 在棱上取点，过该点分别在两个面内作棱的垂线（可借助三垂线定理或作棱的垂面），得到二面角的平面角，再解三角形求其大小。 2.7 求距离：作垂线段或找公垂线段 点到平面的距离作垂线段；线面距离、面面距离转化为点到平面的距离；异面直线距离找公垂线段，或先转化为线面距离、面面距离再求。 3. 作图与求解小技巧 技巧 要点 示例 平移法找异面直线所成角 平移一条直线使之与另一条相交，常沿棱、对角线平移 正方体中求 与 所成角，连 （） 中位线找平行线 涉及中点先连中位线，可造出平行关系 、 是 、 中点，则 对角线关系判垂直 正方形、矩形对角线互相垂直或相等，常作证垂直的依据 底面 为正方形，则 三垂线定理找投影 判定斜线与平面内直线的垂直关系，先看其投影 在面 上的投影是 ，由 得 4. 常见考试模型 4.1 长方体与正方体中的线面关系 以长方体、正方体为载体的判定与求解：利用棱、面对角线、体对角线之间的平行、垂直关系，判断线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角及各种距离。正方体棱长为 时，面对角线长 ，体对角线长 。 示例：正方体 - 中， 与 所成角为 （由 为等边三角形）。 4.2 四面体模型 给定不共面的四点所围成的几何体，利用对棱异面、中位线、异面直线所成角等求解。四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线是异面直线。 示例：四面体 中 ，，、 分别是 、 的中点，可借助中位线平移求 与 所成的角。 4.3 折叠问题 平面图形沿某条直线折成空间图形。折叠前后，折痕两侧的线段长度不变，折痕与两侧所成的垂直关系在空间中保持不变。 【使用提醒】折叠后与折痕垂直的线段仍与折痕垂直，但平面图形的共面关系被打破，要重新判断空间位置关系。 示例：三角形 沿 折成空间四边形 ，折痕 上各段长度与垂直关系保持不变。 4.4 截面问题 用一个平面去截几何体，确定截面多边形的各个顶点是作图关键：既要保证各顶点都在截平面上，又要保证相邻两个顶点都在几何体的同一表面上，常利用棱上的点从一表面转化到另一表面。 示例：过正方体三条棱的中点 、、 作截面，可逐步作出六边形截面。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”没有公共点”误判为平行，忽略异面直线 典例：判断命题”空间中两条不相交的直线一定平行”的真假。 错解：真命题。两条直线不相交（没有公共点）就一定平行，和平面中一样。 正解：假命题。空间中两条直线没有公共点有两种情况：若它们在同一平面上，则互相平行；若不同在任何一个平面上，则是异面直线。所以”不相交”不能推出”平行”，还必须同时说明它们共面。 原因：平面几何经验向空间的负迁移。在平面内两条直线只有”相交”“平行”两种位置关系，学生把这一结论原封不动搬到空间，忽略了空间特有的”异面”这第三类位置关系。判断空间两条直线的位置关系，应第一步先看它们是否共面。 易错点 2：证明线面平行时漏掉”直线不在平面内” 典例：判断命题”若直线 与平面 上的一条直线 平行，则 “的真假。 错解：真命题。由线面平行的判定定理直接得 。 正解：假命题。当 时， 与 上的一条直线平行，但 在 上，并不与 平行。判定定理的前提是” 不在 上”，只有同时满足 、、 三个条件，才推出 。 原因：遗漏判定定理的隐含条件”直线不在平面内”。学生只记结论”面内有一条平行线就线面平行”，忽略了定理对直线位置的前提限制，把必要条件当成了充分条件。 易错点 3：证明线面垂直时漏掉”两条相交直线” 典例：判断命题”若一条直线垂直于平面 上的两条直线，则这条直线垂直于平面 “的真假。 错解：真命题。由线面垂直的判定定理即可得证。 正解：假命题。线面垂直的判定定理要求直线垂直于平面上的”两条相交直线”。若那两条直线互相平行，则它们只代表一个方向，不能保证该直线与平面内其他方向的直线都垂直，也就不能推出线面垂直。 原因：把”两条直线”记成任意的两条，漏掉了关键的”相交”二字。两条平行线不能确定平面，只垂直于同方向的两条平行线，无法说明直线垂直于整个平面。 易错点 4：求异面直线所成的角时取到钝角 典例：在正方体 - 中，求异面直线 与 所成的角。 错解：把 平移到 位置（）， 与 所成的角为 ，故所求角为 。 正解：异面直线所成的角是平移到相交位置后所成的锐角或直角，范围是 。平移后 与 所成的锐角是 ，所以异面直线 与 所成的角为 。 原因：忘记异面直线所成角的范围限制。平移后两条相交直线形成两对对顶角（一锐一钝），必须取其中的锐角（或直角）。学生算出钝角后没有取它的补角，直接当作答案。 易错点 5：二面角的平面角作法错误 典例：求二面角 -- 的平面角。有学生作法是：在面 上取点 、面 上取点 ，连接 、（ 为棱 上任意一点），把 当作平面角。 错解：认为”在两个面内各取一点，分别与棱上一点连接所得的角就是二面角的平面角”。 正解：二面角的平面角必须满足：在棱 上取一点 ，过 分别在面 、 内作棱 的垂线 、， 才是二面角的平面角。它的两边必须都垂直于棱，且交于棱上同一点。随意连接两个面内的点，得到的两边不一定垂直于棱。 原因：对二面角平面角的定义理解不到位，忽略了”、 都垂直于棱”这一核心条件，只记住了”两个面内各取一点连起来”的粗略印象，导致作角错误、随之求值错误。 学科网（北京）股份有限公司 $