第13章 统计（复习讲义）高二数学沪教版必修第三册

第13章 统计 复习要点 1.能分清总体、个体、样本和样本量，能区分观测数据和实验数据、普查和抽样调查． 2.会判断简单随机抽样，会用抽签或随机数表抽号，会按同一比例做分层抽样． 3.会读频率分布直方图和茎叶图，会用样本的频率、平均数和方差估计总体． 4.会按教材的位置算法求百分位数，会把两层样本的平均数和方差合并． 复习重难点 重点：简单随机抽样的三个条件；分层抽样各层比例相同；直方图用面积表示频率． 难点：样本方差除以样本量；两层数据合并；百分位数的位置是整数时取相邻两项的平均． 知识点 总体与数据的获取 研究对象的全体叫做____________，其中每一个对象叫做____________．总体中个体的个数叫做总体的容量．从总体中抽出的一部分个体叫做____________，样本中个体的个数叫做____________． 没有人为控制、通过调查或观测得到的数据是____________；控制实验对象后收集到的数据是____________．对每个个体都调查叫做____________，抽取样本再估计总体叫做____________． 注意：总体容量是 ，样本量是 ，不是同一个数．测试灯管寿命会破坏个体，只能抽样．样本要有代表性，才能用来推断总体． 要点速测 1．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）为了解某地参加国防素养大赛测试的1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽到的100名学生的成绩是（    ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2．（23-24高一下·天津河西·期末）下列情况适合用抽样调查的是（    ） A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某班学生的身高情况 D．学校招聘，对应聘人员进行面试 知识点 抽样方法 简单随机抽样有三个条件：总体个数____________，抽样是____________的，每个个体被选入样本的可能性____________．抽签和随机数表都符合．每个个体被抽到的概率是____________． 总体由差异明显的几部分组成时，先分层再在各层中抽取，叫做____________．各层比例相同：____________． 注意：学号尾号、抽完放回再抽，都不是简单随机抽样．某一层应抽的人数不是整数时，两种就近取整都可以．例如 与 ，可以是 和 ，也可以是 和 ． 要点速测 3．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 4．（26-27高二上·重庆渝中·开学考试）某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用的抽样方法是（   ） A．分层抽样 B．随机数表法 C．抽签法 D．以上都不是 5．（25-26高二下·上海·期中）某学校高一、高二、高三学生人数比为3:3:2，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为48的样本，则应从高二年级抽取________个学生. 知识点 频率分布直方图 把数据分组后，小矩形的底是组距，高等于该组频率除以组距．小矩形的面积等于该组的____________，所有小矩形的面积之和为____________． 用样本的频率分布估计总体的分布．分组数据没有原始数值时，用这一组两端的平均数作为____________，再估计平均数． 注意：频率分布折线图是把各矩形上底的中点依次连起来．数据量大、要看分布，用频率分布直方图；要看每部分占的比例，用扇形图；要看随时间的变化，用折线图． 要点速测 6．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 7．（24-25高一下·北京东城·期末）某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 知识点 茎叶图 茎叶图中，____________是一位数，它左边的数是茎．所有数据都能从茎叶图里读出来． 数据不多时用茎叶图；数据很多时，茎叶图不方便，改用频率分布直方图．两组数据可以画成背靠背的茎叶图来比较． 注意：散点图用来看成对的两组数据有没有一起变化的趋势．从图里看不出因果关系． 要点速测 8．（24-25高二下·上海·期中）已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 知识点 数字特征与百分位数 平均数、中位数、众数描述____________．平均数是 ．个数为偶数时，中位数取中间两个的平均． 极差、方差、标准差描述____________．样本方差是____________，样本标准差是____________． 把数据从小到大排好．第 百分位数的位置是____________． 是整数时取第 项和第 项的____________，否则把 ____________． 注意：估计总体标准差时，旁注用 代替 ；问样本方差时仍除以 ．中位数是第 百分位数．第 、第 百分位数和中位数也叫四分位数． 要点速测 9．（26-27高二上·河南·阶段检测）样本数据2，4，5，11，13的平均数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知一组数据3，3，4，6，6，8，9，9，则（     ） A．这组数据的百分位数为 B．这组数据的中位数为 C．这组数据的极差为 D．这组数据的平均数为 题型1 判断是不是简单随机抽样 ▌例1 （24-25高二下·上海·开学考试）下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 解题要点 判断是不是简单随机抽样 先核对三个条件：总体个数有限、不放回、每个个体入样的可能性相同． 抽签和随机数表符合．学号尾号、抽完放回再抽，都不是简单随机抽样． ▌迁移练1-1 （25-26高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（    ） A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 ▌迁移练1-2 （25-26高二上·上海·单元测试）下面的抽样方法中是简单随机抽样的有________． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 题型2 分层抽样求各层人数 ▌例2 （25-26高二下·浙江丽水·期末）某地区有小学所，初中所，高中所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量； (2)若从被抽到的所学校中随机抽取所学校做进一步数据分析，求抽取的所学校均为小学的概率． 解题要点 分层抽样求各层人数 各层抽取比例相同：．先求这个公共比例，再乘各层的人数． 某一层的人数不是整数时，两种就近取整都可以，各层人数之和要等于样本量． ▌迁移练2-1 （25-26高一下·陕西榆林·期末）中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 ▌迁移练2-2 （25-26高一下·四川广安·期末）某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________． 题型3 读频率分布直方图 ▌例3 （25-26高一下·湖南衡阳·期末）为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． (1)求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； (2)求该样本数据的中位数； (3)求该样本数据的平均数； (4)若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 解题要点 读频率分布直方图 小矩形的高是频率除以组距，面积等于频率，各面积之和为 ． 某一组的频数等于样本量乘这一组的频率．组中值是这一组左右端点的平均数． ▌迁移练3-1 （25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 ▌迁移练3-2 （24-25高二下·江苏镇江·期中）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为______________．    题型4 茎叶图 ▌例4 （23-24高二下·上海静安·期末）甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右： (1)求甲、乙两名选手射击的平均环数； (2)请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛． 解题要点 茎叶图 叶是一位数，茎是它左边的数．把叶按大小排好，就能读出中位数和众数． 背靠背茎叶图共用中间的茎，左右各是一组数据，用来比较两组的分布． ▌迁移练4-1 （25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．甲班10名学生物理成绩的中位数是86 B．乙班10名学生物理成绩的众数是77 C．甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 D．乙班10名学生物理成绩的极差是24 ▌迁移练4-2 （2025·上海青浦·模拟预测）如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为______. 题型5 方差与两层数据合并 ▌例5 （26-27高二上·广东茂名·阶段检测）每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200名学生每天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知落在的样本数据的平均值是53，方差是4；落在的样本数据的平均值是68，方差是9.求落在的样本数据的平均值和方差. 解题要点 方差与两层数据合并 每个数据都加上同一个数，平均数加上这个数，方差不变．每个数据都乘同一个数 ，平均数乘 ，方差乘 ． 样本方差、样本标准差除以样本量 ．题目问估计总体标准差时，才按旁注改用 ． ▌迁移练5-1 （26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（     ） A．6 B．9 C．16 D．18 ▌迁移练5-2 （25-26高一下·广东广州·期末）已知一组数据，，，，满足，则这组数据的方差为__________；记，则数据，，，，的标准差为__________． 题型6 百分位数 ▌例6 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 解题要点 百分位数 先把数据从小到大排好，再算 ． 是整数时，取第 项和第 项的平均； 不是整数时，向上取整后取那个位置的数． ▌迁移练6-1 （26-27高二上·海南海口·阶段检测）个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2 （25-26高一下·福建福州·期末）数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 难点一 样本方差除以样本量 难点1：样本方差的分母是样本量 样本方差是 ，样本标准差是它的算术平方根． 每个数据加上同一个数 后，新平均数是 ，每个偏差不变，方差不变．每个数据乘 后，新平均数是 ，方差变为 ． 估计总体标准差时，教材旁注把分母改成 ．题目问的是这一组样本的方差或标准差时，分母仍是 ． 难点精练 1．某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为76分，方差为96；乙班的平均成绩为85分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是________分，方差是________. 难点二 百分位数的位置 难点1：先算位置，再决定取哪一项 ． 是整数时，第 百分位数是第 项和第 项的平均；否则把 向上取整． 例如 个数的第 百分位数：，是整数，取第 个数和第 个数的平均．第 百分位数：，向上取整到 ，取第 个数． 难点精练 3．（25-26高一下·河南·期末）甲、乙、丙、丁篮球运动员连续7场比赛得分数据（分值均为整数）的数字特征如下： 甲球员：平均数为26，方差为20 乙球员：中位数为29，众数为26 丙球员：中位数为25，极差为10 丁球员：众数为25，第40百分位数为30 根据以上信息，下列结论一定错误的是（   ） A．乙球员场均得分在24分以上 B．甲球员有一场比赛的得分可能为40分 C．丙球员场均得分一定在20分以上 D．丁球员场均得分至少为30分 4．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 难点三 两层数据合并 难点1：先合并平均数，再合并方差 两层样本量是 、，平均数是 、，方差是 、．合并后的平均数是 ． 合并后的方差是 ，分母是两层样本量之和． 教材例题：男生 人，平均 ，方差 ；女生 人，平均 ，方差 ．合并平均数是 ，约 ；合并方差约 ，分母是 ． 难点精练 5．在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为___________． 6．某校有高一学生1000人，其中男女生比例为，为获得该校高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4． (1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高； (2)计算总样本方差． 基础达标 1．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 2．（24-25高二上·上海·期末）在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 3．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 5．（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（    ） A．中位数是5 B．上四分位数为6 C．极差为6 D．60%分位数为3 7．（2026·广东深圳·模拟预测）样本数据2、3、4、4、7的平均数为（     ） A．1.2 B．2.8 C．4 D．7 8．（25-26高一下·吉林长春·期末）设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 9．（25-26高一下·湖南长沙·期末）某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为___________． 10．（25-26高一上·上海普陀·期末）总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66  67  70  67  14     64  05  71  95  86     11  05  65  09  68     76  83  20  37  90 57  16  00  11  66     14  90  84  45  11     75  73  88  05  90     52  27  41  14  86 11．（24-25高二上·上海·期末）某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为__________. 能力进阶 一、选择题 1．（25-26高二下·云南昭通·期末）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（   ） A．平均数=中位数 B．平均数<中位数 C．平均数>中位数 D．无法确定 二、填空题 2．（25-26高一下·湖南怀化·期末）有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________. 3．（25-26高一下·广东广州·期末）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是_____． 4．（25-26高二下·上海·期末）现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776    39918535    32591131    40469235    04982212    20671263 三、解答题 5．（25-26高一下·山东聊城·期末）在人工智能背景下，某校积极推动与传统教学深度融合以变革授课模式．为了解落地效果和学生满意度，现从全体学生中随机抽取名学生对融合式教学模式进行满意度评分，整理数据并按评分分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中评分在内的学生共21人． (1)求与的值； (2)估计这名学生评分的平均数； (3)从所抽取的评分在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取名学生做进一步的调查，求评分在内的学生应抽取的人数． 6．（26-27高二上·湖北·阶段检测）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 7．（25-26高一下·湖南娄底·期末）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）某志愿者团队有40名男性志愿者和20名女性志愿者，现按性别用分层随机抽样的方法选取6名志愿者． (1)求被选中的男性志愿者和女性志愿者的人数； (2)若从被选中的志愿者中任选2人，求恰有1名男性志愿者被选中的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计 复习要点 1.能分清总体、个体、样本和样本量，能区分观测数据和实验数据、普查和抽样调查． 2.会判断简单随机抽样，会用抽签或随机数表抽号，会按同一比例做分层抽样． 3.会读频率分布直方图和茎叶图，会用样本的频率、平均数和方差估计总体． 4.会按教材的位置算法求百分位数，会把两层样本的平均数和方差合并． 复习重难点 重点：简单随机抽样的三个条件；分层抽样各层比例相同；直方图用面积表示频率． 难点：样本方差除以样本量；两层数据合并；百分位数的位置是整数时取相邻两项的平均． 知识点 总体与数据的获取 研究对象的全体叫做总体，其中每一个对象叫做个体．总体中个体的个数叫做总体的容量．从总体中抽出的一部分个体叫做样本，样本中个体的个数叫做样本量． 没有人为控制、通过调查或观测得到的数据是观测数据；控制实验对象后收集到的数据是实验数据．对每个个体都调查叫做普查，抽取样本再估计总体叫做抽样调查． 注意：总体容量是 ，样本量是 ，不是同一个数．测试灯管寿命会破坏个体，只能抽样．样本要有代表性，才能用来推断总体． 要点速测 1．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）为了解某地参加国防素养大赛测试的1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽到的100名学生的成绩是（    ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 【答案】B 【详解】1000名学生的成绩为总体， 被抽到的100名学生的成绩是样本， 1000名学生中每个学生的成绩为个体， 100为样本量. 2．（23-24高一下·天津河西·期末）下列情况适合用抽样调查的是（    ） A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某班学生的身高情况 D．学校招聘，对应聘人员进行面试 【答案】B 【详解】A，调查化工厂周围5个村庄是否受污染，可全面调查； B，调查某批汽车抗撞击能力，具有破坏性，适合抽样调查. C，调查某班学生身高，适合全面调查； D，学校招聘对应聘人员面试，是全面调查； 故选：B 知识点 抽样方法 简单随机抽样有三个条件：总体个数有限，抽样是不放回的，每个个体被选入样本的可能性相同．抽签和随机数表都符合．每个个体被抽到的概率是． 总体由差异明显的几部分组成时，先分层再在各层中抽取，叫做分层抽样．各层比例相同：． 注意：学号尾号、抽完放回再抽，都不是简单随机抽样．某一层应抽的人数不是整数时，两种就近取整都可以．例如 与 ，可以是 和 ，也可以是 和 ． 要点速测 3．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 【答案】B 【详解】对于A，一次抽取3个，不是逐个抽取，不符合简单随机抽样“逐个抽取”的要求； 对于B，从100个（有限总体）产品中“随机逐个抽取”10个，每个产品被抽到的概率相等，满足简单随机抽样的全部条件； 对于C，自然数是无限总体，简单随机抽样要求总体个体数有限，因此不符合； 对于D，老师主观点名，不是随机抽取，带有主观倾向性，不满足随机性要求． 4．（26-27高二上·重庆渝中·开学考试）某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用的抽样方法是（   ） A．分层抽样 B．随机数表法 C．抽签法 D．以上都不是 【答案】A 【详解】因为各年级阅读习惯差别明显，所以应采用的抽样方法是分层抽样. 5．（25-26高二下·上海·期中）某学校高一、高二、高三学生人数比为3:3:2，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为48的样本，则应从高二年级抽取________个学生. 【答案】18 【详解】因该校高一、高二、高三学生人数比为3：3：2，现从高中三个年级的学生中抽取容量为48的样本， 则应从高二年级抽取的学生数为. 知识点 频率分布直方图 把数据分组后，小矩形的底是组距，高等于该组频率除以组距．小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1． 用样本的频率分布估计总体的分布．分组数据没有原始数值时，用这一组两端的平均数作为组中值，再估计平均数． 注意：频率分布折线图是把各矩形上底的中点依次连起来．数据量大、要看分布，用频率分布直方图；要看每部分占的比例，用扇形图；要看随时间的变化，用折线图． 要点速测 6．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 7．（24-25高一下·北京东城·期末）某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 【答案】 【详解】样本中分数低于60分的有15人，属于区间，，由于学生中随机抽取了100名， 因此分数在，的频数为，因此这两个区间内的频率和为， 设区间的频率为，则，解得. 故答案为：. 知识点 茎叶图 茎叶图中，叶是一位数，它左边的数是茎．所有数据都能从茎叶图里读出来． 数据不多时用茎叶图；数据很多时，茎叶图不方便，改用频率分布直方图．两组数据可以画成背靠背的茎叶图来比较． 注意：散点图用来看成对的两组数据有没有一起变化的趋势．从图里看不出因果关系． 要点速测 8．（24-25高二下·上海·期中）已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 【答案】 【详解】由乙组数据的中位数为，则甲组数据的中位数为33，即， 由两组数据的平均数相等，得，解得， 所以. 故答案为：24 知识点 数字特征与百分位数 平均数、中位数、众数描述集中趋势．平均数是 ．个数为偶数时，中位数取中间两个的平均． 极差、方差、标准差描述离散程度．样本方差是，样本标准差是． 把数据从小到大排好．第 百分位数的位置是． 是整数时取第 项和第 项的平均，否则把 向上取整． 注意：估计总体标准差时，旁注用 代替 ；问样本方差时仍除以 ．中位数是第 百分位数．第 、第 百分位数和中位数也叫四分位数． 要点速测 9．（26-27高二上·河南·阶段检测）样本数据2，4，5，11，13的平均数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以样本数据的平均数为7. 10．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知一组数据3，3，4，6，6，8，9，9，则（     ） A．这组数据的百分位数为 B．这组数据的中位数为 C．这组数据的极差为 D．这组数据的平均数为 【答案】B 【详解】将所给数据从小到大排列得：，共个数据， 对于A，计算，根据百分位数的定义，选取排序后第个数据作为分位数，即，故A错误； 对于B，数据总个数为偶数，中位数为排序后第个、第个数据的算术平均值，即，故B正确； 对于C，极差为数据最大值减去最小值，即，故C错误； 对于D，平均数为所有数据之和除以数据个数，即，故D错误. 题型1 判断是不是简单随机抽样 ▌例1 （24-25高二下·上海·开学考试）下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 解题要点 判断是不是简单随机抽样 先核对三个条件：总体个数有限、不放回、每个个体入样的可能性相同． 抽签和随机数表符合．学号尾号、抽完放回再抽，都不是简单随机抽样． 【答案】D 【详解】对于A项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A项错误； 对于B项，只有座位尾号为的听众有机会被抽中，其他听众被抽中的可能性为，不是简单随机抽样，故B项错误； 对于C项，抽取的产品不具有代表性，故C项错误； 对于D项，符合简单随机抽样的定义，故D项正确． ▌迁移练1-1 （25-26高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（    ） A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【详解】一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体， 则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率为. 故选：C. ▌迁移练1-2 （25-26高二上·上海·单元测试）下面的抽样方法中是简单随机抽样的有________． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 【答案】④ 【详解】对于①，因为总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样， 对于②，因为不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于③，因为50名党员士兵是挑选的，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于④，符合简单随机抽样的定义，所以是简单随机抽样. 故答案为：④ 题型2 分层抽样求各层人数 ▌例2 （25-26高二下·浙江丽水·期末）某地区有小学所，初中所，高中所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量； (2)若从被抽到的所学校中随机抽取所学校做进一步数据分析，求抽取的所学校均为小学的概率． 解题要点 分层抽样求各层人数 各层抽取比例相同：．先求这个公共比例，再乘各层的人数． 某一层的人数不是整数时，两种就近取整都可以，各层人数之和要等于样本量． 【详解】（1）因为总样本空间为，抽取个样本，抽样比为. 所以从小学抽取所；从初中抽取所；从高中抽取所； 因此应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量为，，. （2）小学的所学校编号为，初中的所学校编号为，高中的所学校编号为， 从中随机抽取所学校，基本事件有：，共种， 其中抽取的所学校均为小学的是：，共种， 所以抽取的所学校均为小学的概率为. ▌迁移练2-1 （25-26高一下·陕西榆林·期末）中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 【答案】B 【详解】因为南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，且南卷地区录取人数为165人， 所以北卷地区录取人数为（人）. ▌迁移练2-2 （25-26高一下·四川广安·期末）某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________． 【答案】12 【详解】应抽取的女生人数为：. 题型3 读频率分布直方图 ▌例3 （25-26高一下·湖南衡阳·期末）为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． (1)求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； (2)求该样本数据的中位数； (3)求该样本数据的平均数； (4)若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 解题要点 读频率分布直方图 小矩形的高是频率除以组距，面积等于频率，各面积之和为 ． 某一组的频数等于样本量乘这一组的频率．组中值是这一组左右端点的平均数． 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 所以该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率为. （2）由（1）知该样本数据的中位数，则， 解得，所以该样本数据的中位数为. （3）平均数. （4）由频率分布直方图知，该企业管理层中35岁以下的频率约为， 所以该企业管理层中35岁以下的人数约为. ▌迁移练3-1 （25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. ▌迁移练3-2 （24-25高二下·江苏镇江·期中）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为______________．    【答案】 【详解】    由频率直方图可得，支出在内的频率为， 所以有 故答案为：. 题型4 茎叶图 ▌例4 （23-24高二下·上海静安·期末）甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右： (1)求甲、乙两名选手射击的平均环数； (2)请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛． 解题要点 茎叶图 叶是一位数，茎是它左边的数．把叶按大小排好，就能读出中位数和众数． 背靠背茎叶图共用中间的茎，左右各是一组数据，用来比较两组的分布． 【详解】（1） （2） 由可知甲、乙两位运动员的平均成绩一致； 而即甲的射击成绩的离散程度较小，乙的射击成绩的离散程度较大， 因此甲的成绩较稳定，所以选甲代表射击队出去参加比赛. ▌迁移练4-1 （25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．甲班10名学生物理成绩的中位数是86 B．乙班10名学生物理成绩的众数是77 C．甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 D．乙班10名学生物理成绩的极差是24 【答案】C 【详解】选项A：由茎叶图知甲班10名学生物理成绩的中位数为，故A正确． 选项B：由茎叶图知乙班10名学生物理成绩的众数为77，故B正确． 选项C：根据茎叶图可知甲班10名学生物理成绩的离散程度比乙班10名学生物理成绩的离散程度大， 所以甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差大，故C错误． 选项D：乙班10名学生物理成绩的极差是，故D正确． 故选：C. ▌迁移练4-2 （2025·上海青浦·模拟预测）如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为______. 【答案】21.5 【详解】将这6个数从小到大排列为16，18，21，22，22，31， 因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为. 故答案为：21.5. 题型5 方差与两层数据合并 ▌例5 （26-27高二上·广东茂名·阶段检测）每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200名学生每天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知落在的样本数据的平均值是53，方差是4；落在的样本数据的平均值是68，方差是9.求落在的样本数据的平均值和方差. 解题要点 方差与两层数据合并 每个数据都加上同一个数，平均数加上这个数，方差不变．每个数据都乘同一个数 ，平均数乘 ，方差乘 ． 样本方差、样本标准差除以样本量 ．题目问估计总体标准差时，才按旁注改用 ． 【详解】（1）由题意知，， 解得； 根据频率分布直方图， 所以； （2）由频率分布直方图知，落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. ▌迁移练5-1 （26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（     ） A．6 B．9 C．16 D．18 【答案】D 【详解】每个数据都乘再减去，方差变为原来的倍，所以新数据的方差为． ▌迁移练5-2 （25-26高一下·广东广州·期末）已知一组数据，，，，满足，则这组数据的方差为__________；记，则数据，，，，的标准差为__________． 【答案】 【详解】数据，，，，的方差为； 已知，则数据，，，，的标准差为. 题型6 百分位数 ▌例6 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 解题要点 百分位数 先把数据从小到大排好，再算 ． 是整数时，取第 项和第 项的平均； 不是整数时，向上取整后取那个位置的数． 【详解】（1）频率和为，得； （2）成绩在的频率为，成绩在的频率为，， 所以获奖分数线在区间内，设为， 则，得， 所以估计获奖分数线为. ▌迁移练6-1 （26-27高二上·海南海口·阶段检测）个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】个数据， 这个数据已经从小到大排序，且， 则， 不是整数，则向上取整数， 则第百分位数是这个数据的第个数值. ▌迁移练6-2 （25-26高一下·福建福州·期末）数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 【答案】 【详解】数据共有10个数，， 故从小到大排列为， 选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即为第70百分位数. 难点一 样本方差除以样本量 难点1：样本方差的分母是样本量 样本方差是 ，样本标准差是它的算术平方根． 每个数据加上同一个数 后，新平均数是 ，每个偏差不变，方差不变．每个数据乘 后，新平均数是 ，方差变为 ． 估计总体标准差时，教材旁注把分母改成 ．题目问的是这一组样本的方差或标准差时，分母仍是 ． 难点精练 1．某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】不妨设该五个班级的样本数据分别为，且 ， 则依题意有， 化简得 易知， 又易知五个数据减7的平方数为整数，五个数的绝对值不超过4， 当时，，由数据为整数且均不相同得不成立， 当时，，由数据为整数且均不相同得该四个平方数只能为，则，符合题意，此时极差为6； 当时，，由数据为整数且均不相同得不成立； 综上，五组数据的极差为6. 故选：D 【点睛】本题关键在于对五组数据减7的平方数进行讨论，排除. 2．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为76分，方差为96；乙班的平均成绩为85分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是________分，方差是________. 【答案】 80 100 【详解】设甲班50人的成绩为，则其平均成绩， 设乙班40人的成绩为，则其平均成绩， 则甲乙两班全部90名学生的平均成绩为； 设甲班50人成绩的方差为，所以 则， 设乙班40人成绩的方差为，则， 设甲乙两班全部90人成绩的方差为，则 故答案为：①80；②100. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由和得到. 难点二 百分位数的位置 难点1：先算位置，再决定取哪一项 ． 是整数时，第 百分位数是第 项和第 项的平均；否则把 向上取整． 例如 个数的第 百分位数：，是整数，取第 个数和第 个数的平均．第 百分位数：，向上取整到 ，取第 个数． 难点精练 3．（25-26高一下·河南·期末）甲、乙、丙、丁篮球运动员连续7场比赛得分数据（分值均为整数）的数字特征如下： 甲球员：平均数为26，方差为20 乙球员：中位数为29，众数为26 丙球员：中位数为25，极差为10 丁球员：众数为25，第40百分位数为30 根据以上信息，下列结论一定错误的是（   ） A．乙球员场均得分在24分以上 B．甲球员有一场比赛的得分可能为40分 C．丙球员场均得分一定在20分以上 D．丁球员场均得分至少为30分 【答案】B 【详解】对于A，乙球员中位数为29，说明7场得分中，第4高的得分为29， 又众数为26，则26至少出现两次， 计算最小总得分：， 场均最小值，A正确. 对于B，甲球员平均数为26，当有一场比赛的得分为40分时，方差， 故甲球员某一场比赛的得分不可能为40，B一定错误. 对于C，丙中位数为，排序后第位是，极差为， 因此最大得分，最小得分， 计算最小总得分，场均最小值，C正确. 对于D，丁球员第40百分位数位置为，向上取整为第3项，排序后第3项得分为， 又众数为25，则25至少出现两次，只能是排序后前两项为25， 所以最小总得分：，场均最小值为30， 因此丁场均至少30分，D正确. 4．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【详解】（1）设这20人的平均年龄为，则 . 设第80百分位数为，由，解得. （2）由频率分布直方图得各组人数之比为， 故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为. 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 难点三 两层数据合并 难点1：先合并平均数，再合并方差 两层样本量是 、，平均数是 、，方差是 、．合并后的平均数是 ． 合并后的方差是 ，分母是两层样本量之和． 教材例题：男生 人，平均 ，方差 ；女生 人，平均 ，方差 ．合并平均数是 ，约 ；合并方差约 ，分母是 ． 难点精练 5．在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为___________． 【答案】2(答案不唯一，中任取一个都正确) 【详解】解：由题意得，原数据的平均数 原数据的方差为 新数据的平均数，解得, 新数据的方差为 ， 将代入得，， 解得：， ，，所以， 故答案为：2(答案不唯一，中任取一个都正确) 6．某校有高一学生1000人，其中男女生比例为，为获得该校高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4． (1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高； (2)计算总样本方差． 【详解】（1）把男生样本记为，平均数记为，方差记为； 把女生样本记为，平均数记为，方差记为； 把样本数据的平均数记为，方差记为；高一全体学生的身高均值记为. 根据平均数的定义，总样本均值为： ； 高一全体学生的身高均值为： ； （2）根据方差的定义，总样本方差为： ， 由，可得：， 同理，. 因此， 所以，总的样本方差为. 基础达标 1．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 【答案】C 【详解】总体是指360名学生的数学成绩，个体是每一名学生的数学成绩，样本是36名学生的数学成绩，只有C正确. 2．（24-25高二上·上海·期末）在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 3．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【详解】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误. 对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误. 故选：A. 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 【答案】C 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去）， 65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 5．（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为， 所以，解得. 故选：B. 6．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（    ） A．中位数是5 B．上四分位数为6 C．极差为6 D．60%分位数为3 【答案】B 【详解】将样本数据重新排列得到，，，，，，，， 样本共有七个数据，中位数为第位数，故中位数为， ，因此上四分位数为第六个数，为， 极差， 因为，因此第分位数应为第五个数，为5. 7．（2026·广东深圳·模拟预测）样本数据2、3、4、4、7的平均数为（     ） A．1.2 B．2.8 C．4 D．7 【答案】C 【详解】平均数为． 8．（25-26高一下·吉林长春·期末）设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 【答案】D 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为，则， 所以数据的极差为， 所以， 根据方差的线性变换性质可知，数据的方差为. 9．（25-26高一下·湖南长沙·期末）某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为___________． 【答案】 400 【详解】该校高一年级的女生人数为. 10．（25-26高一上·上海普陀·期末）总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66  67  70  67  14     64  05  71  95  86     11  05  65  09  68     76  83  20  37  90 57  16  00  11  66     14  90  84  45  11     75  73  88  05  90     52  27  41  14  86 【答案】20 【详解】依题意从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取， 依次读取两个数字舍去大于50的数且重复的数字只取一次，可得数字为14,05,11,09,20; 所以选出来的第5个个体的编号为20. 故答案为：20 11．（24-25高二上·上海·期末）某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为__________. 【答案】7 【详解】，则组数为7. 故答案为：7. 能力进阶 一、选择题 1．（25-26高二下·云南昭通·期末）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（   ） A．平均数=中位数 B．平均数<中位数 C．平均数>中位数 D．无法确定 【答案】B 【详解】组距为，先计算累计频率： 频率：， 频率：，累计， 频率：，累计， 频率：，累计， 频率：，累计， 此中位数在内，计算得：中位数， 根据平均数公式可得： ， ，即平均数中位数， 二、填空题 2．（25-26高一下·湖南怀化·期末）有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________. 【答案】14 【详解】有一组样本数据：6，，，，，，6， 已知它的平均数为6，方差为， 所以 则新数据，，，，的平均为也为6， 方差为 3．（25-26高一下·广东广州·期末）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是_____． 【答案】6 【详解】据题意，数据按从小到大的顺序排列为3，4，m，12，16，18， 则极差为，故该组数据的中位数是， 数据共6个，故中位数为，解得， 因为，所以该组数据的第40百分位数是第3个数为6， 4．（25-26高二下·上海·期末）现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776    39918535    32591131    40469235    04982212    20671263 【答案】31 【详解】从随机数表第9个数字开始，两个数字一组，超过50的和与前面重复的舍弃， 即39，35，32，11，31，故抽取的第5支水笔的编号为31. 三、解答题 5．（25-26高一下·山东聊城·期末）在人工智能背景下，某校积极推动与传统教学深度融合以变革授课模式．为了解落地效果和学生满意度，现从全体学生中随机抽取名学生对融合式教学模式进行满意度评分，整理数据并按评分分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中评分在内的学生共21人． (1)求与的值； (2)估计这名学生评分的平均数； (3)从所抽取的评分在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取名学生做进一步的调查，求评分在内的学生应抽取的人数． 【详解】（1）由，解得. . （2）根据频率分布直方图，估计这60人的平均数为： . （3）从所抽取的评分在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取名学生做进一步的调查，评分在内的学生应抽取的人数为： . 6．（26-27高二上·湖北·阶段检测）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【详解】（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数， 由图可知，众数为75． 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分． （2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为， 则第分位数落在第5组，设为， 则，解得． “防溺水达人”的成绩至少为84分． （3）的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为． 的频率与的频率之比为． 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有． ， 所以内的平均成绩为71，方差为． 7．（25-26高一下·湖南娄底·期末）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知：众数为. （2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人） （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）某志愿者团队有40名男性志愿者和20名女性志愿者，现按性别用分层随机抽样的方法选取6名志愿者． (1)求被选中的男性志愿者和女性志愿者的人数； (2)若从被选中的志愿者中任选2人，求恰有1名男性志愿者被选中的概率． 【详解】（1）被选中的男性志愿者人数为：；被选中的女性志愿者人数为：； 所以被选中的男性志愿者和女性志愿者的人数分别为4和2； （2）从被选中的志愿者中任选2人，设恰有1名男性志愿者被选中为事件A， 根据题意：设男性志愿者为，女性志愿者为， 则被选中的志愿者中任选2人的所有情况为： 共15个， 恰有1名男性志愿者被选中有 8个． 所以恰有1名男性志愿者被选中的概率为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $