第五章 一次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材浙教版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 3．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．下列关于一次函数的判断，正确的是（     ） A．当时，该函数图象经过第一、三、四象限 B．设点，点均在该函数的图象上，若，则 C．该一次函数的图象必经过点 D．若关于的方程的解是，则一次函数的图象恒过点 7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 10．（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 12．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则的值为________． 13．直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上．若的面积为12，则点P的坐标为________． 14．（25-26八年级下·北京·期末）如图，直线 与直线 相交于点，则关于的不等式的解为________． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 16．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）已知平面直角坐标系中，点P的坐标为（m为常数）． (1)若点P在函数的图象上，求m的值； (2)若点P在第四象限，求m的取值范围． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B． (1)求点B的坐标； (2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时， （i）求的长； （ii）是否存在一点，使得最小？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 19．（8分）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 20．（8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，，的值． (2)如图2，是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线，于点，，连接．设点的坐标为． ①求点和点的坐标（用含的代数式表示）； ②当时，求点的坐标． 21．（10分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 22．（10分）（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） (1)观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是__________； (2)图象中_________，_________； (3)直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 23．（8分）一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数、 (1)当时，这两个一次函数的图像交于点 ①__________，__________； ②过点作轴的垂线，分别与一次函数、的图像交于点M，N．当时，求的值； (2)若一次函数图像与轴交于点，并过点．当时，连接，的形状确定吗?请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.B 2.D 3.A 4.B 5.c 6.D 7.A 8.B 9.A 10.B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） t.2 12.-2 13.2,0域10,0 14.x≤-2 15.-9≤m≤3 160, 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【详解】(1)解：，点P在函数y=-X的图象上， .2m-5=1-m, 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.m=2: 4分 (2)解：，点P在第四象限， .m-1>0 -2m-5<0 解得1<m<5 21 8分 18.（10分) 2 +2, 2 【详解】（1)解：联立y=-2x+10和y2-专x+2得：-2x+10= -6x+30=2x+6, -6x-2x=6-30, -8x=-24, X=3, 将x=3代入y1=-2x+10得：y1=-2×3+10=4, ∴.点B的坐标为3,4； 3分 (2)(i①)设点C坐标为n,0:则点D的坐标n,-2n+10:点E的坐标为列 n+2 n, 3 在y1=-2x+10中，令y=0,则0=-2x+10, 解得：x=5, ∴.点A的坐标为5,0： :点C在点A右侧， .n>5, CE=n+2,CD=|-2n+10=2n-10, 3 .·CE=3CD, 3n+2=32n-10 解得：n=6, CE=2×6+2=6,CD=2×6-10=2, 3 ∴.DE=CE+CD=6+2=8: 6分 2/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (ii)存在，m的值为4，理由如下， 作一条y=2的直线，过该直线作B的对称点B,因为点B的纵坐标为4，所以点B在x轴上，则点B 的坐标为3，O,连接BE,BE和y=2的交点为P,此时PB+PE最小，如下图所示， B y=2 B .·PB+PE=PB+PE≥EB, ∴.当B、P和E三点共线时，PB+PE取得最小值， 由(i)可知，点E的坐标为6,6， 设经过点B、P和E的函数表达式为：y3=k3X+b1, 将3,0利6,6代入得：3k,+b=0 6k3+b1=6 解得： k3=2 b1=-6 ∴.经过B和E的函数表达式为：y3=2x-6, 将点Pm,2代入得：2=2m-6, 解得：m=4. 10分 19.(8分) 【详解】1)解：当x=1时，y=21-3-1=3:当x=6时，y=26-3-1=5, ∴.m=3,n=5; 3分 (2)如图函数图像即为所求作： 012V45678 6分 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)观察函数的图像，该图像的性质有： 关于x=3对称，即对称轴为x=3；当x<3时，函数值随自变量的增大而减小；当x>3时，函数值随 自变量的增大而增大（答案不唯一）· 8分 20.(8分) 【鲜解扪]解，无B40代入yx+b,符号×4+h=0。 解得：b=-2, 即直线AB的解析式为：y=X-2, 2 把Am,-12代入y= 5 22:得 m-2=-12, 解得：m= 5 即A 412 5’-5 把A 4,-12代入y=a-4得-4k-4=-, 5,-5 5 解得：k=-2 4分 (2)解：①，点P的坐标为0，n,过点P作y轴的垂线，分别交直线AB,AC于点D,E, 1 1 对于y=2x-2,当y=n时，2X-2=n, 可得x=2n+4,即：D2n+4,nl: 对于y=-2x-4,当y=n时，-2x-4=n, 六x=-n+4,即：E-n+4,n 2 2,n 00pla4学n则nE-a4-学5+6 B4,0, .OB=4, 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 肖DE=0B时，即：n+6E4 解得：n=-4或n=-4, 此时、点P的经标为0，-4叹0，号引 8分 21.(10分) 【详解】(1)解：.点D(-2,m)在直线y=x-2上， ∴.m=-2-2=-4, ∴点D的坐标为-2，-4)： 由函数图象可得，不等式+b>x-2的解集为x>-2; 3分 -k+b=0 (2)解：将C(-1,0,D(-2,-4)代入y=kx+b得-2k+b=-4 ,k=4 解得b=4” ∴.一次函数y=kx+b的函数解析式为y=4x+4; 6分 (3)解：对于y=x-2, 当x=0时，y=-2, 即点A的坐标为A(0,-2), 对于y=4x+4, 当x=0时，y=4, 即点B的坐标为B(0,4), 则AB=4-（-2)=6, 点D的坐标为D-2,-4, ∴.△ADB的AB边上的高为-2=2， 则△ADB的面积为×6×2=6， 10分 22.(10分) 【详解】(1)解：：服务区A离老家200km, 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.由图可得，期间行驶了2小时，路程为400-200=200km,即B到C, ∴.前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是200÷2=100km/h: 2分 (2)解：，到服务区A后，休息了半个小时， ∴.a=2+0.5=2.5h, .'服务区A到南京的距离为200km,且之后以120km/h的速度回到南京， ∴.b=a+ 200 120 =25+3 =25h: 5分 6 (3)解：当x≤2时，此时轿车行驶速度为100km/h, ∴.路程为100x, .以100km/h的速度行驶时每100km平均耗油8L, :Q=30-8×100x=30-8x10≤x≤2： 100 当2<x≤2.5时，前面两小时耗油量为16L, ∴.还剩14L, .在A服务区加油26L, ∴此时共有14+26=40L: ∴.Q=402<x≤2.5； 当2.5<X≤2三时，此时轿车行驶速度为120km/h, 6 .路程为120x-2.5: .Q=40-10×120x-2.5 100 =40-12x-2.5 =40-12x+30 =70-12x2.5<x 25 6 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30-8x0≤x≤2 .综上所述，Q= 402<x≤2.5 70-12x2.5<x≤ 25 6 函数图象如下： ◆QL 40 30 20 0122.53 4255x/h 6 10分 23.(8分) 【详解】(1)解：当2m+4>0时，即m>-2, y随x的增大而增大： 2分 (2)解：当2m+4≠0,3-n<0时， 即m≠-2，n>3,函数图象与y轴的交点在x轴下方； 4分 (3)解：.m=-1,n=2, .一次函数为y=2x+1,· 当x=0时，y=1,则一次函数与y轴的交点为0,1： 当y=0时，2x+1=0解得x=-号，则一次函数与x轴的交点坐标为 .一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积： x1×3 24 8分 24.(12分) 【详解】(1)①解：将b=4,H(-4,2)代入y1=kx+b得2=-4k+4, 解得K 2 将H(-4,2)代入y2=mx得2=-4m, 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 解得m=- 故谷案为：k空m=一吉 3分 ②解：由①知y1 2+4,y,=- 1 过点P(n,0)作x轴的垂线l, in. 1 .MN=1,n+4=1, .n+4=1或n+4=-1. ∴.n=-3或n=-5. 7分 (2)解：△OBC的形状确定，为等腰三角形. 理由：：y1=kx+b与x轴交于点B(t,0), .0=kt+b, .kt=-b, k=-b t (t≠0). :y=+b过点cs, .b=ks+b, iks=-1b 2 将k=代入s=0,得5= 2 t b>0, t 2' 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 又：2s=b-t,将s=优入，得2×=b-,t=b-t,b=2, 2t,Bt,0'o(0,0 自你定用o心=0c--t- 4 Bc2-t+0-f=2+-=+i- OC2=BC,即OC=BC ∴.△OBC为等腰三角形，形状确定. 12分 9/9 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察函数图象，确定两直线交点横坐标及上下位置关系． 【详解】解：由图象可知，两直线交点的横坐标为， 当时，直线位于直线的下方， 不等式的解集为． 2．暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 【答案】D 【详解】解：A、由图象可知，甲出发时间为，乙出发时间为，所以甲、乙两人不是同时出发，A选项错误； B、甲的速度为，B选项错误； C、乙的速度为，C选项错误； D、甲到达时间为，乙到达时间为，甲比乙晚到，D选项正确． 3．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 4．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】结合正比例函数的成立条件列方程与不等式，求解后代入计算． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴，，． 由得或． ∵， ∴，即． 由得． ∴． 5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“一次函数中排除B和D，然后对分两种情况讨论即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴随的增大而增大，故B和D错误； 当时，直线与轴的正半轴相交，直线经过一三象限，故A错误； 当时，直线与轴的负半轴相交，直线经过二四象限，故C正确． 6．下列关于一次函数的判断，正确的是（     ） A．当时，该函数图象经过第一、三、四象限 B．设点，点均在该函数的图象上，若，则 C．该一次函数的图象必经过点 D．若关于的方程的解是，则一次函数的图象恒过点 【答案】D 【分析】根据一次函数中、对图象的影响，增减性，与坐标轴交点，一次函数与一元一次方程的关系，判断每个选项的正误． 【详解】解：对于A选项，一次函数中，，当时，图象经过第二、三、四象限，故A错误． 对于B选项，， 随的增大而减小， ， ， 又的值未知，无法确定与的大小关系，故B错误． 对于C选项，当时，，则函数图象必经过点，故C错误． 对于D选项，方程的解是， ，即， 将代入，得， 一次函数的图象恒过点，故D正确． 7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出经过，再根据每个选项的函数图像进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴令可得，，令可得，， ∴在中，其函数必定经过， A、由图可得，， ∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项符合题意； B、由图可得，， ∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意； C、由图可得，， ∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意； D、由图可得，， ∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意． 8．（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由得一次函数的增减性，结合图象过点的条件，根据判断各选项． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵ 函数图象过点， ∴ 当时，； 当时，； ∵， ∴若，则，，B成立； 若，可大于，，A不成立； 若，则，，C不成立； 若，可大于，，D不成立． 9．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 10．（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一次函数解析式的求解，绝对值方程的应用，理解行程问题的基本量关系是解题关键． ①从图中可读出、两城距离为千米；②从图象可知，甲用时小时，乙在第小时出发、第小时到达，用时小时，乙车比甲车晚出发小时，早到小时；③先求出两车的函数解析式，联立方程解得相遇时间，再减去乙车晚出发的小时，得到乙车出发后小时追上甲车；④先列出两车距离的绝对值方程，求解后结合③进行取舍，得到符合条件的值． 【详解】解：由图可知，、两城相距千米，甲行驶的时间为小时，乙比甲晚小时出发，用时小时到达，比甲提前小时， 故①②正确； 设甲车离开城的距离与时间的函数关系式为， 将代入可得， 则， 设乙车离开城的距离与时间的函数关系式为， 将，代入 可得， 解得， 则， 令，即， 解得，即当乙车出发小时后乙车追上甲车，③错误； 令，可得，则， 当，解得，此时乙车还没有追上甲车，舍去， 当，解得， 令，可得，解得，此时乙车已到达城， 故当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或，④错误． 综上，正确的选项为①②． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】先求出，再结合直线与直线相交于点，即可得出结果． 【详解】解：将代入直线得，即， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于，的方程组的解是． 12．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则的值为________． 【答案】 【分析】将点代入一次函数解析式，可得，再结合随增大而减小的性质得到，即可求解的值. 【详解】解：一次函数的图象过点， 把，代入解析式得， 解得， 随的增大而减小， ， . 13．直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上．若的面积为12，则点P的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，设出点P坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：求A点坐标，令，代入得：，解得， ， 求B点坐标，令，代入得：， ， 设点P坐标为，P在x轴上，中，底边长为，高为点B到x轴的距离， 根据面积为，列方程得：， 化简得，解得或， 点P的坐标为或． 14．（25-26八年级下·北京·期末）如图，直线 与直线 相交于点，则关于的不等式的解为________． 【答案】 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定交点横坐标，再根据图象找出直线在直线上方（包括交点）时对应的的取值范围即可． 【详解】解：直线过点， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方或重合， 关于的不等式的解为． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据“和谐点”定义得到和谐点满足，联立直线方程得到与的关系，结合的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：∵“和谐点”满足坐标关系，直线上存在“和谐点”， ∴联立方程得 整理得 ， ∵， ∴ ，即． 16．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 【答案】 【分析】令直线解析式中求A点横坐标，令求B点纵坐标，得到的长度．用勾股定理计算的长度，因为折叠后，所以可确定C点在x轴上的坐标．设M点坐标为，则，由折叠性质可知，所以．在中，根据勾股定理列关于的方程，求解得到m的值，即可得到M点坐标． 【详解】 解：对于直线： 令，得， 解得，得； 令，得，得． ∴，， ∴． 由折叠知，． ∵， ∴， ∴C点坐标为． 设，则，． 得． ∵是直角三角形，， ∴ ， ∴ ， 解得， ∴M点坐标为． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知平面直角坐标系中，点P的坐标为（m为常数）． (1)若点P在函数的图象上，求m的值； (2)若点P在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数表达式进行求解即可； （2）根据第四象限的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P在函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵点P在第四象限， ∴， 解得． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B． (1)求点B的坐标； (2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时， （i）求的长； （ii）是否存在一点，使得最小？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)（i）；（ii）存在，m的值为4 【分析】（1）联立两个函数，解出x的值，将x的值代入其中一个函数求出y，即可得到点B的坐标； （2）（i）先求出点A的坐标，设点C坐标为，则点D的坐标，点E的坐标为，根据图象得出，，结合，求出n的值，代入进行求解； （ii）将军饮马模型求最短路径，过作B的对称点，得到点的坐标为，根据（i）可知点E的坐标为，设经过点和E的函数表达式为：，代入点和点E的坐标，可求出函数表达式，三点共线值最小，此时P在上，将点P坐标代入表达式可求出m． 【详解】（1）解：联立和得：， ， ， ， ， 将代入得：， 点B的坐标为； （2）（i）设点C坐标为，则点D的坐标，点E的坐标为， 在中，令，则， 解得：， 点A的坐标为； 点C在点A右侧， ， ，， ， ， 解得：， ，， ； （ii）存在，m的值为4，理由如下， 作一条的直线，过该直线作B的对称点，因为点B的纵坐标为4，所以点在x轴上，则点的坐标为，连接，和的交点为P，此时最小，如下图所示， ， 当、P和E三点共线时，取得最小值， 由（i）可知，点E的坐标为， 设经过点、P和E的函数表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 经过和E的函数表达式为：， 将点代入得：， 解得：． 19．（8分）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴，； (2)如图函数图像即为所求作： (3)观察函数的图像，该图像的性质有： 关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． （2）略 （3）略 20．（8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，，的值． (2)如图2，是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线，于点，，连接．设点的坐标为． ①求点和点的坐标（用含的代数式表示）； ②当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，。 (2)①，； 【分析】（1）把代入可求得b，得直线的解析式为，把代入可求得m，即点，将其代入，即可求得k的值； （2）①将代入，分别求出x即可求解；②由两点坐标可得，当时，即，再解绝对值发出即可解答； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， 即直线的解析式为：， 把代入，得， 解得：， 即， 把代入，得， 解得：. （2）解：①∵点的坐标为，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点，， ∴对于，当时，， 可得，即：； 对于，当时，， ∴，即：； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：， 解得：或， 此时，点P的坐标为或. 21．（10分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）将代入可以求得点的坐标，再由图象即可求解不等式的解集； （2）根据待定系数法即可求得一次函数的函数解析式； （3）先求出、的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为； 由函数图象可得，不等式的解集为； （2）解：将，代入得， 解得， 一次函数的函数解析式为； （3）解：对于， 当时，， 即点A的坐标为， 对于， 当时，， 即点B的坐标为， 则， 点D的坐标为， 的边上的高为， 则的面积为． 22．（10分）（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） (1)观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是__________； (2)图象中_________，_________； (3)直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 【答案】(1)100 (2)； (3) 函数图象如下： 【分析】（1）由图象可知，前2小时轿车从距离南京行驶到，行驶路程为，进而即可计算平均速度； （2）由图象可得，a对应休息结束的时间，行驶2小时后休息半小时，故；b为到达南京的总时间，服务区到南京路程，速度，行驶时间为，则可求解出； （3）按行程分为三个阶段：：以行驶，每小时耗油，余油量为；：服务区休息加油，余油量恒定为；：以行驶，每小时耗油，整理得；最终写成分段函数，画出函数图象即可． 【详解】（1）解：服务区A离老家， ∴由图可得，期间行驶了2小时，路程为，即到C， 前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是； （2）解：到服务区A后，休息了半个小时， ， 服务区A到南京的距离为，且之后以的速度回到南京， ； （3）解：当时，此时轿车行驶速度为， ∴路程为， ∵以的速度行驶时每平均耗油， ； 当时，前面两小时耗油量为， ∴还剩， ∵在A服务区加油， ∴此时共有； ； 当时，此时轿车行驶速度为， ∴路程为； ； 综上所述，， 函数图象如下： 23．（8分）一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据一次函数性质得，然后解不等式； （2）根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后解两个不等式； （3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，从而利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：当时，即， y随x的增大而增大； （2）解：当，时， 即，，函数图象与y轴的交点在x轴下方； （3）解：，， 一次函数为， 当时，，则一次函数与y轴的交点为； 当时，，解得，则一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积：． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数、 (1)当时，这两个一次函数的图像交于点 ①__________，__________； ②过点作轴的垂线，分别与一次函数、的图像交于点M，N．当时，求的值； (2)若一次函数图像与轴交于点，并过点．当时，连接，的形状确定吗?请说明理由． 【答案】(1)①，；②或者 (2) 解：的形状确定，为等腰三角形． 理由：∵ 与轴交于点， ∴ ， ∴ ， ∴ （）． ∵ ，过点， ∴ ， ∴ 将代入，得， ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ，将代入，得，，， ∴ ，，． 由勾股定理：，， ． ∴ ，即． ∴ 为等腰三角形，形状确定． 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、函数图像上点的坐标特征、两点间距离以及三角形形状的判定，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合坐标与图形性质进行分析计算． （1）①将点和代入，求出；再将点代入，求出；②根据、的坐标表示出的长度，列方程求解； （2）先根据函数过点、得到与的关系，再结合得到与的关系，进而表示出、、的坐标，通过计算线段长度判断三角形形状． 【详解】（1）①解：将，代入得， 解得． 将代入得， 解得． 故答案为：， ②解：由①知，， 过点作轴的垂线， 则， ， ，， ∴或． ∴或． （2）解：的形状确定，为等腰三角形． 理由：∵ 与轴交于点， ∴ ， ∴ ， ∴ （）． ∵ ，过点， ∴ ， ∴ 将代入，得， ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ，将代入，得，，， ∴ ，，． 由勾股定理：，， ． ∴ ，即． ∴ 为等腰三角形，形状确定． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 3．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．下列关于一次函数的判断，正确的是（     ） A．当时，该函数图象经过第一、三、四象限 B．设点，点均在该函数的图象上，若，则 C．该一次函数的图象必经过点 D．若关于的方程的解是，则一次函数的图象恒过点 7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 10．（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 12．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则的值为________． 13．直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上．若的面积为12，则点P的坐标为________． 14．（25-26八年级下·北京·期末）如图，直线 与直线 相交于点，则关于的不等式的解为________． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 16．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知平面直角坐标系中，点P的坐标为（m为常数）． (1)若点P在函数的图象上，求m的值； (2)若点P在第四象限，求m的取值范围． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B． (1)求点B的坐标； (2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时， （i）求的长； （ii）是否存在一点，使得最小？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 19．（8分）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 20．（8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，，的值． (2)如图2，是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线，于点，，连接．设点的坐标为． ①求点和点的坐标（用含的代数式表示）； ②当时，求点的坐标． 21．（10分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 22．（10分）（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） (1)观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是__________； (2)图象中_________，_________； (3)直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 23．（8分）一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数、 (1)当时，这两个一次函数的图像交于点 ①__________，__________； ②过点作轴的垂线，分别与一次函数、的图像交于点M，N．当时，求的值； (2)若一次函数图像与轴交于点，并过点．当时，连接，的形状确定吗?请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $