第5章 一次函数（单元自测）数学新教材浙教版八年级上册

第5章 一次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（ ） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【解析】∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选A． 2．下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义和函数图象，根据“自变量的每一个值，因变量有唯一的值与之对应”判定即可． 【解析】从A、C、D选项中的图象可知，每一个，都有唯一的值与之对应，因此能表示y是x的函数，不符合题意； B选项中，当时，每一个，都有两个值与之对应，因此不能表示y是x的函数，符合题意； 故选B． 3．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出正比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解析】A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； C、一次函数图象过第一、二、三象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过二、四象限，故本选项符合题意； D、一次函数图象过第一、三、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项不符合题意； 故选D． 4．如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据点的运动路径，当点分别在上、上、上表示出的面积随的变化情况即可判断． 【解析】由题知，因为四边形是矩形，且，，． 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，， 当时，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而减少， 当时，点与点重合，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，． 对照四个选项，不难发现C选项符合题意． 故选C． 5．如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【解析】∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选B． 6．对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案． 【解析】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意； C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意； D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意； 故选D． 7．关于函数，下列说法错误的是（ ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数的、符号，再结合一次函数的性质判断各选项正误即可． 【解析】函数为一次函数，其中，， 将代入表达式，得，故选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴随的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 由随的增大而减小可知，当时，，故选项C说法错误，符合题意； ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，故选项D说法正确，不符合题意． 8．已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（ ） A．图象经过第二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，结合已知条件和一次函数的性质逐项分析即可． 【解析】A、∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故本选项错误． B、∵一次函数中，， ∴随的增大而增大，故本选项错误． C、∵一次函数的图象过点， ∴当时，， ∴方程的解是，故本选项正确． D、∵随的增大而增大，且当时，， ∴当时，， 即不等式的解集是，故本选项错误． 故选C． 9．定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“互逆点”．例如求直线的“互逆点：联立方程，解得，则直线的“互逆点为．给出下列说法：①直线的“互逆点”为；②如果直线没有“互逆点”，那么；③如果直线的互逆点是，则不等式的解集是；④已知直线的“互逆点”为，且点，在直线上，则；其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题需根据“互逆点”的定义，逐一验证每个说法，通过联立方程求解交点、利用直线平行的条件、代入点求参数再解不等式、根据一次函数的增减性比较函数值大小来判断对错． 【解析】①联立， ∵， ∴，解得，代入得， ∴交点为，即直线的“互逆点”为，①正确； ②联立，整理得， 若直线无“互逆点”，则方程无解，即， 解得，并非，②错误； ③∵直线的互逆点是，将其代入得，解得， 不等式即， 移项得，解得，并非，③错误； ④∵互逆点在上， ∴，解得， 将、代入得， 解得， 直线为，，随增大而减小， ∵， ∴，并非，④错误； 综上，正确的只有1个， 故选A． 10．如图，我国古代发明了利用水流作动力取水灌田的筒车，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．筒车中的转轮可以抽象成一个圆，圆上一点离水面的高度与旋转时间之间的关系如图所示，①是关于的一次函数；②筒车半径为；③筒车旋转一周所需时间为；④在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，以上说法正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大． 利用函数图象即可求解． 【解析】根据图象可得不是关于的一次函数，故①错误； 从图象可以看出，转轮旋转一周需要的时间是；转轮的最高点离水面，最低点离水面，所以转轮的直径为，则半径为，故②错误，③正确； 从图象可以看出，在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，故④正确； 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【解析】一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为． 12．直线与直线的交点坐标为，若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据交点坐标求出的值，再结合一次函数的增减性分析不等式的解集即可． 【解析】由交点坐标为，代入，得， 解得：，即交点为， 由于，函数为递减函数，而为递增函数， 当时，，，故； 当时，，，故； 因此，当时，． 故答案为． 13．已知一次函数与（为常数，）的交点坐标为，若，则关于的函数解析式为________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象的交点问题，熟知一次函数图象的交点满足两个函数解析式是解题的关键．把代入两个一次函数，得到，，并求出，再代入新函数的表达式即可求出答案． 【解析】∵一次函数与（为常数，）的交点坐标为， ∴，， ∴， 则， ∴ 故答案为 14．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，把点、的坐标分别代入一次函数解析式，求得的最大值和最小值，可得的取值范围．用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的最值是解题的关键． 【解析】把代入得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴的取值范围是． 故答案为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为________． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【解析】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 16．规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点在第________象限． 【答案】一 【分析】根据新定义得到一次函数，再根据正比例函数的定义得到，然后判断点所在的象限即可． 【解析】∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， ∴， ∴点为点，在第一象限．故答案为一． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而减小． 根据以上信息求： （1）填空：点的坐标是________； （2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； （3）点在直线上，当时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 解：把点和代入得： ，解得：， ∴这个函数的表达式为， 画出这个函数的图象，如图： （3）或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握待定系数法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的性质确定B点坐标即可； （2）把A、B代入解析式求解即可； （3）设点的坐标为，根据，列出方程即可． 【解析】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为或， ∵的值随着值的增大而减小， ∴点B的坐标为； 故答案为 （2）略 （3）解：设点的坐标为，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 18．（9分）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求点A，B的坐标，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】函数的图象如图所示． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标并画出函数图象是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象． 【解析】当时，，解得，则点的坐标为； 当时，，则点的坐标为． 19．（9分）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）函数的图象如图1所示： （2） 函数的图象如图2所示： （3） 函数的图象如图3所示： 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，准确判断出函数图象经过的象限是解题的关键． （1）根据已知一次函数的图象的位置关系进行解答即可； （2）根据已知函数图象判断出，即可得到经过的象限，进行解答即可； （3）根据已知函数图象判断出，，，即可得到经过的象限，进行解答即可． 【解析】（1）解：∵的图象与的图象平行，且过坐标原点， ∴函数的图象如图． （2）根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴， ∴函数经过第二，三，四象限， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象如图． （3）根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴，， ∴函数经过第一，三，四象限，且与y轴交于点， ∴函数的图象如图． 20．（9分）若直线（ ），（ ），则称直线为这两条直线的友好直线． （1）直线与的友好直线为________． （2）已知直线是直线与（ ）的友好直线，且直线经过第一、三、四象限． ①求的取值范围； ②不论取何实数直线都过定点，试求这个定点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】（1）根据“友好直线”的定义解答即可； （2）①先根据“友好直线”的定义求出直线的解析式，再根据直线经过第一、三、四象限可得，，可得关于的不等式组，求出不等式组的解集即可；②将解析式变形后，令的系数等于，即可求出的值，代入解析式求出，即可求这个定点的坐标． 【解析】（1）解：直线与的友好直线为，即． （2）解：①直线是直线与（ ）的友好直线， 直线的解析式为：， ∵直线经过第一、三、四象限， 解得； ②由①得， 直线一定过定点． 21．（9分）在平面直角坐标系中，已知一次函数． （1）若一次函数的图象经过原点，求k的值． （2）若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键． （1）经过原点，则且，再进一步求解即可； （2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解； 【解析】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴． 22．（9分）已知正比例函数，当时，函数有最大值3．求的值． 【答案】或 【分析】分与两种情况讨论正比例函数增减性，确定取得最大值对应的自变量，列方程求解． 【解析】当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得； 当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得． 故的值为或． 23．（9分）已知一次函数（，k为常数）的图象经过点． （1）求k的值． （2）若点，都在该函数图象上，比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法即可求出k的值； （2）根据一次函数的增减性进行解答即可． 【解析】（1）解：∵一次函数（，k为常数）的图象经过点． ∴， 解得 （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数上的点的纵坐标随着横坐标的增大而增大， ∵， ∴ 24．（9分）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． （1）分别求出直线和直线解析式； （2）在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为 （2）点P的坐标为或 （3）点E的坐标为：或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【解析】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴点B的坐标为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 联立， 解得：， ∴点D的坐标为， ∵，， ， 设点P的坐标为， 当点P在、D之间时， （6）， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在点上面时， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． （3）解：∵，， ∴；， 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（ ） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 2．下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（ ） A． B． C． D． 5．如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 7．关于函数，下列说法错误的是（ ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 8．已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（ ） A．图象经过第二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 9．定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“互逆点”．例如求直线的“互逆点：联立方程，解得，则直线的“互逆点为．给出下列说法：①直线的“互逆点”为；②如果直线没有“互逆点”，那么；③如果直线的互逆点是，则不等式的解集是；④已知直线的“互逆点”为，且点，在直线上，则；其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，我国古代发明了利用水流作动力取水灌田的筒车，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．筒车中的转轮可以抽象成一个圆，圆上一点离水面的高度与旋转时间之间的关系如图所示，①是关于的一次函数；②筒车半径为；③筒车旋转一周所需时间为；④在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，以上说法正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则________．（填“”、“”或“”） 12．直线与直线的交点坐标为，若，则的取值范围为________． 13．已知一次函数与（为常数，）的交点坐标为，若，则关于的函数解析式为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是________． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为________． 16．规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点在第________象限． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而减小． 根据以上信息求： （1）填空：点的坐标是________； （2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； （3）点在直线上，当时，求出点的坐标． 18．（9分）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求点A，B的坐标，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． 19．（9分）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）； （2）； （3）． 20．（9分）若直线（ ），（ ），则称直线为这两条直线的友好直线． （1）直线与的友好直线为________． （2）已知直线是直线与（ ）的友好直线，且直线经过第一、三、四象限． ①求的取值范围； ②不论取何实数直线都过定点，试求这个定点的坐标． 21．（9分）在平面直角坐标系中，已知一次函数． （1）若一次函数的图象经过原点，求k的值． （2）若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 22．（9分）已知正比例函数，当时，函数有最大值3．求的值． 23．（9分）已知一次函数（，k为常数）的图象经过点． （1）求k的值． （2）若点，都在该函数图象上，比较，的大小． 24．（9分）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． （1）分别求出直线和直线解析式； （2）在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $