第五章 一次函数（复习讲义）数学新教材浙教版八年级上册

第五章 一次函数 复习要点 1.理解常量与变量的概念及相对性；理解函数的概念，掌握对于自变量x的每一个确定值，函数y都有唯一确定的值与之对应；掌握解析法、列表法、图象法三种表示法，能求函数值、判断点是否在函数图象上，并能从图象中获取起点、终点、水平线段、交点等信息。 2.掌握确定自变量取值范围的方法：整式型为全体实数；分式型要求分母不为0；偶次根式型要求被开方数大于或等于0；实际或几何问题还需符合实际意义和图形存在条件。 3.理解一次函数和正比例函数的概念及关系，掌握y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）是一次函数，当b=0时为非零正比例函数y=kx（k≠0）；掌握待定系数法求一次函数表达式的“设、代、解、还原”步骤，明确正比例函数需一对对应值，一般一次函数需两对对应值；已知y+m与x-n成正比例时，能设为y+m=k(x-n)（k≠0）。 4.掌握一次函数图象的画法，能用两点法画一次函数图象，知道一次函数图象是一条直线，正比例函数图象恒过原点；当自变量取值范围有限制时，图象是线段或射线；掌握图象与y轴交点(0,b)、与x轴交点(-b/k,0)，会求直线与两坐标轴围成的直角三角形面积。 5.掌握两直线的位置关系：当k₁=k₂且b₁≠b₂时两直线平行，当k₁≠k₂时两直线相交；掌握直线y=kx+b关于y轴对称的表达式为y=-kx+b，关于x轴对称的表达式为y=-kx-b；掌握一次函数的增减性：当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时y随x的增大而减小；掌握系数k，b的符号与图象经过象限的关系。 6.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，知道一次函数图象上点的坐标是对应二元一次方程的解，两直线交点坐标就是对应二元一次方程组的解；能利用图象求近似解，也能通过解方程组准确求两直线交点坐标。 7.能建立一次函数模型解决简单实际问题，会根据实际背景确定自变量取值范围，利用一次函数的增减性解决最值问题，并通过比较函数值进行方案选择；能结合一次函数的表达式、图象和性质解决综合问题，体会数形结合、函数建模和转化等思想方法。 复习重难点 重点：常量与变量、函数概念及三种表示法；自变量取值范围的确定；一次函数与正比例函数的概念及关系；待定系数法求一次函数表达式；一次函数图象的画法、与坐标轴交点及两直线位置关系；一次函数的增减性及k，b的符号与图象象限的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；建立一次函数模型解决实际最值和方案选择问题。 难点：待定系数法的灵活运用，特别是“y+m与x-n成正比例”的整体设元；一次函数图象与性质的综合应用；结合实际背景确定自变量取值范围；利用增减性解决最值问题和方案决策问题；一次函数图象与二元一次方程组的相互转化；建立适当的一次函数模型解决综合实际问题。 知识点 常量与变量 1.常量与变量的定义 在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。 （1）判断标准：要判断一个量是常量还是变量，就是看在这个过程中量的取值有无改变。 （2）相对性：常量与变量是相对于某一个特定的变化过程而言的。当变化过程或限制条件发生改变时，常量与变量可能会发生转化。 2.常量的常见表现形式 ①具体的常数数值（如关系式 v = 331 + 0.6t 中的 331 和 0.6）。 ②用字母表示的特定常数或固定不变的物理量（如圆周率 π、真空中的光速 c 等）。 要点归纳： （1）在一个变化过程中，固定不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量。 （2）判断一个量是常量还是变量，关键看在所研究的过程中该量的取值是否发生改变。 （3）常量与变量具有相对性，脱离具体的变化过程去讨论常量和变量是没有意义的。 要点速测 1．圆的周长公式，其中常量是______，变量是______． 【答案】 和 【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据常量与变量的定义，常量是公式中数值不变的量，变量是数值变化的量． 【详解】解：在圆的周长公式中，圆周率是一个常数， ∴是常量， ∵圆的周长随半径的变化而变化， ∴和是变量． 故答案为：；和． 知识点 函数的概念及表示方法 1.函数的概念 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫作自变量。 【注】“唯一确定”是指对于自变量 x 的每一个取值，因变量 y 只能有唯一的一个值与之对应。允许不同的 x 对应同一个 y（多对一），但绝不允许同一个 x 对应两个或多个 y（一对多）。 2.函数的三种常用表示法 （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．例如：，。 （2）列表法：通过列表表示函数的方法。 （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法。 3.自变量的取值范围 ①整式型：函数式为整式时，自变量的取值范围是全体实数。 ②分式型：函数式含分母时，要求分母不能为 0。 ③二次根式型：函数式含偶次根式时，要求被开方数大于或等于 0。 ④实际或几何问题：除使代数式本身有意义外，自变量还必须符合实际意义（如时间、人数非负）或几何图形的存在条件（如线段长度为正、三角形两边之和大于第三边）。 4.函数的图象 （1）定义：把一个函数的自变量 x 的值与函数 y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫作这个函数的图象。 （2）从函数图象获取信息： ①起点与终点坐标：与纵轴交点表示初始状态，终点横坐标表示整个过程持续的总时间。 ②平行于横轴的线段：表示随自变量（时间）增加，函数值保持不变（如暂停、休息或停留）。 ③图象的交点：表示在该自变量取值下，两个函数的函数值相等（如行程问题中的相遇或追上）。 要点归纳： （1）判断变量 y 是否为 x 的函数，核心看对于 x 的每一个确定值，y 是否有唯一确定的值与之对应；在图象上表现为垂直于横轴的直线与图象至多有一个交点。 （2）函数常用的三种表示法为解析法、列表法和图象法；已知函数值 y₀在图象上反求自变量时，可过点 (0, y₀) 作垂直于 y 轴的直线，读取其与图象交点的横坐标。 （3）求函数表达式的关键是寻找自变量 x 与函数 y 之间的数量关系；确定自变量取值范围时，必须同时兼顾代数式有意义和实际背景有意义。 要点速测 2．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义和函数图象，根据“自变量的每一个值，因变量有唯一的值与之对应”判定即可． 【详解】解：从A、C、D选项中的图象可知，每一个，都有唯一的值与之对应，因此能表示y是x的函数，不符合题意； B选项中，当时，每一个，都有两个值与之对应，因此不能表示y是x的函数，符合题意； 故选：B． 3．小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟．已知返回的速度快于去的速度，则他离家的距离米随时间分钟的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义是解题关键．根据离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，其中返回时由于速度更快变化的更明显，据此求解即可． 【详解】解：∵小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟， ∴离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，故排除B、D选项； ∵返回的速度快于去的速度， ∴返回时变化的更明显， 故选：A． 4．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分式的分母不能为零，求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴分母， ∴． 因此，自变量的取值范围是． 故选：C． 知识点 一次函数的意义与表达式 1.一次函数与正比例函数的概念 （1）一次函数：一般地，函数 y = kx + b（k，b 都是常数，且k≠0）叫作一次函数。 （2）正比例函数：当 b = 0时，一次函数 y = kx + b 就成为 y = kx（k 是常数，k ≠ 0），叫作正比例函数，常数 k 叫作比例系数。 （3）两者的关系：正比例函数是特殊的一次函数（当常数项b=0时）。正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 【注】一次函数表达式必须同时满足三个条件：自变量所在的代数式是整式、自变量 x 的最高次数是 1、一次项系数k≠0。 2.待定系数法求一次函数表达式 （1）定义：先设出一次函数表达式 y = kx + b，再根据已知条件求出待定系数 k 和 b 的值，从而确定一次函数表达式的方法叫作待定系数法。 （2）求一次函数表达式的一般步骤： ①设：设所求的一次函数表达式为 y = kx + b，其中k，b是待确定的常数，k≠0（若明确为正比例函数，则设 y = kx）。 ②代：把两对已知的自变量与对应的函数值（或函数图象上两个点的坐标）分别代入y=kx+b，得到关于 k，b 的二元一次方程组。 ③解：解这个关于 k，b 的二元一次方程组，求出k，b的值。 ④还原：把求得的k，b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数表达式。 注意：若已知“y+m与x-n成正比例”（m，n为常数），应将两部分看作整体，设为y+m= k(x - n)（k≠0），切勿直接设为y=kx。 要点归纳： （1）形如y=kx+b（k，b 是常数，且k ≠ 0）的函数叫作一次函数；当b=0时，成为正比例函数y=kx（k≠0），其中k叫作比例系数。 （2）确定一次项系数k和常数项b的值之前，必须先去括号、合并同类项，将函数表达式化简为标准形式y=kx+b。 （3）用待定系数法求一次函数表达式的步骤可概括为“一设、二代、三解、四还原”；确定正比例函数需一对对应值，确定一般一次函数需两对对应值。 要点速测 5．在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握定义是关键；根据一次函数的定义，形如的函数是一次函数，其中 x 的次数必须为 1. 分别对各选项判断即可． 【详解】解：∵一次函数的一般形式为， 对于选项 A：，表达式是分式，不是整式，故不符合定义； 对于选项 B：，即，符合定义； 对于选项 C：，即，符合定义； 对于选项 D：，即，符合定义． ∴不属于一次函数的是 A． 故选：A． 6．若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 7．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，自变量，函数值的取值方法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）先根据自变量的值求函数值，然后根据一次函数的增减性得出答案即可． 【详解】（1）解：在等式中，当时，；当时，， ∴，解得，； （2）解：由（1）可得：一次函数解析式为：， 当时，，当时，， ∴当时，的取值范围为． 知识点 一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象及其画法 （1）一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k，b都为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数y=kx+b的图象。 （2）两点法画一次函数图象： ①画正比例函数 y = kx 的图象：通常取原点(0, 0) 和点(1, k)，过这两点画直线即可。 ②画一次函数y=kx+b的图象：通常取点(0, b)和另一个易计算的整点，或取直线与两坐标轴的交点 (0, b) 与(-b/k, 0)，过这两点画直线即可。 注意：当自变量x的取值范围有限制时，一次函数的图象是直线的一部分（线段或射线），画图时包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。 2．一次函数图象与坐标轴的交点及位置关系 （1）与坐标轴的交点：直线y=kx+b（k≠0）与y轴的交点坐标为(0, b)（令x=0），与x轴的交点坐标为(-b/k, 0)（令 y = 0）。直线与两坐标轴围成的直角三角形面积为S=b²/(2|k|)。 （2）点与图象的关系：判断点P(x₀, y₀)是否在函数图象上，只需把 x = x₀代入函数表达式算出 y，若 y = y₀则点在图象上，否则不在图象上。 （3）两直线的位置与对称关系： ①平行与相交：对于直线 l₁：y = k₁x + b₁与 l₂：y = k₂x + b₂，当 k₁= k₂且 b₁≠ b₂时，两直线互相平行；当k₁≠k₂时，两直线相交。 ②关于坐标轴对称：直线 y = kx + b 关于 y 轴对称的直线表达式为 y = -kx + b（k 变号，b不变）；关于 x 轴对称的直线表达式为 y=-kx-b（k，b均变号）。 3．一次函数的性质（增减性） 对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）： （1）当k>0时，y随x的增大而增大（在图象上表现为直线从左向右上升；若x₁<x₂，则y₁<y₂）。 （2）当k<0时，y随x的增大而减小（在图象上表现为直线从左向右下降；若x₁<x₂，则y₁>y₂）。 4．系数 k，b 的符号与一次函数图象位置的关系 对于正比例函数也叫直线（k为常数，且k≠0）： 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性） 经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 对于一次函数（k，b为常数，）： 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 一、三、四 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 二、三、四 要点归纳： （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，与x轴交于点(,0)，与y轴交于点(0,b)；正比例函数y=kx的图象是一条恒过原点(0, 0)的直线。 （2）一次函数的增减性仅由比例系数k的正负决定：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。常数项b的正负决定直线与y轴交点在原点上方还是下方。 （3）直线y=kx+b关于y轴对称的函数表达式为y=-kx+b，关于x轴对称的函数表达式为y=-kx-b；当自变量满足x₁≤x≤x₂时，可结合函数的增减性代入两端点求出y的取值范围。 要点速测 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】直接运用一次函数图像的性质求解即可． 【详解】解：∵对于一次函数， ∴，, ∴y随x的增大而减小，函数图像与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图像经过第一象限、第二象限、第四象限，即一次函数的图像不经过第三象限． 9．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意； C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意； D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意； 故选：D． 知识点 一次函数的简单应用 1.利用图象获得经验公式的基本步骤 ①收集数据：通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值。 ②描点画图：建立适当的直角坐标系，在坐标系中以各对应值为坐标描点，用描点的方法画出函数图象。 ③判断并求式：观察图象特征，若所描各点在同一条直线上（或几乎在同一条直线上），则判断两个变量具有或近似具有一次函数关系，再选取直线上（或靠近直线的）两点坐标，用待定系数法求出函数表达式。 【注】利用实验数据描点所获得的函数表达式有时是近似的。 2.一次函数与二元一次方程组的关系 （1）一次函数与二元一次方程：一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标(x, y)都是相应二元一次方程kx-y+b=0的一组解；反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的一次函数图象上。 （2）两直线交点与二元一次方程组的解：在同一直角坐标系中，两条直线y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂的交点坐标(x₀, y₀)同时满足两个函数式，因此交点坐标就是二元一次方程组 y = k₁x + b₁ y = k₂x + b₂ 的解x = x₀，y = y₀ 注意：利用一次函数图象观察交点坐标求方程组的解，得到的可能是近似解；而通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组，则可以准确求出两个一次函数图象的交点坐标。 3.运用一次函数解决实际问题的一般过程 ①审题建模：分析实际问题中的数量关系，确定两个变量之间是一次函数关系后，设出未知数并写出一次函数表达式y=kx+b。 ②确定范围：根据实际背景或题中的不等关系（如成本限制、库存限制等）列不等式（组），求出自变量x的取值范围a≤x≤c。 ③求解与决策： 最值问题：利用一次函数的增减性求解。当k >0时，x=a时y最小，x = c时y最大；当k<0时，x=a 时y最大，x=c时y最小。 方案选择问题：分别写出两种方案的函数式y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂，先求出y₁=y₂时的临界值x₀（即两直线交点的横坐标），再分x <x₀、x=x₀、x>x₀三种情况比较y₁与y₂的大小，从而选出最优方案。 平面几何问题：建立适当的直角坐标系，写出关键点坐标并求出线段所在直线的函数表达式，求出交点坐标转化为线段长度，结合全等三角形或面积割补法完成证明与计算。 要点归纳： （1）确定两个变量是否具有一次函数关系，可通过描点画图观察各点是否（或大致）在一条直线上，再用待定系数法求得经验公式。 （2）两个一次函数图象的交点坐标与对应的二元一次方程组的解互为等价关系：由图象交点可读出方程组的解，解方程组可求出两直线的交点坐标。 （3）运用一次函数解决实际最值与方案决策问题时，核心是建立函数表达式并确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性或两函数图象的高低位置关系得出结论。 要点速测 10．如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 11．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点的坐标值，观察函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，即当时，． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ， ， ， ∴的解集为． 故答案为：． 12．某销售公司推销一种产品，设（件）是推销产品的数量，（元）是付给推销员的月报酬．公司付给推销员月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同．看图解答下列问题： (1)求每种付酬方案关于的函数表达式． (2)如果你是推销员，那么你会选择哪种方案？并写出具体方案． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2) 解：当时，方案二的月报酬高于方案一的月报酬，此时选择方案二； 当时，方案一、二的月报酬一样，选择方案一、二均可以； 当时，方案一的月报酬高于方案二的月报酬，此时选择方案一． 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质是关键． （1）根据图示，运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象，结合交点的意义判定即可． 【详解】（1）解：设方案一中关于的函数表达式为， ∴， 解得，， ∴方案一中关于的函数表达式为， 设方案二中关于的函数表达式为， ∴， 解得，， ∴方案二中关于的函数表达式为； （2）略 题型1 常量与变量的识别及函数概念的判断 ▌例1-1 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． ▌例1-2 下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 解题要点 常量与变量的识别及函数概念的判断 1.紧扣“在某一变化过程中量的取值是否改变”来区分常量与变量，注意常量与变量随过程限制条件的改变而具有相对性。 2.判断变量y是否为x的函数，关键看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应（允许“多对一”，不允许“一对多”）。 3.从图象判断函数关系时，过横轴上任意一点作横轴的垂线，若垂线与图象至多有一个交点，则表示y是x的函数。 ▌迁移练1-1 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数据即可得出结论BC；根据C计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数， ∴A正确，不符合题意； 从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢， ∴B正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高时，声速增加， ∴C正确，不符合题意； 由C可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播， ∴D错误，符合题意． 故选：D． ▌迁移练1-2 下列与的关系中，不是的函数关系的是_______．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 题型2 函数自变量的取值范围与求函数值 ▌例2-1 有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为______，定义域为______． 【答案】 【分析】本题考查了函数的解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．设宽增加了米，依题意有，则，则，再求出定义域即可． 【详解】解：设宽增加了米， 依题意有， 则， ， ， ． ，解得， 定义域为， 故答案为：， ▌例2-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末）小慧骑车从甲地到乙地，小聪骑车从乙地到甲地，小慧的速度小于小聪的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小慧的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： (1)点的坐标表示的实际意义为__________． (2)小慧和小聪的速度分别是多少？ (3)求线段所表示的与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)出发1小时后，两人相遇 (2)小慧的速度为，小聪的速度为 (3) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）点B的纵坐标为0，说明此时两人相遇，再根据横坐标为1可得两人相遇需要的时间为1小时，据此可得答案； （2）由函数图象可知，甲、乙两地的距离为，小慧到达目的地的时间为，据此求出小慧的速度，再求出两人的速度之和，进而可求出小聪的速度； （3）由函数图象可知，点C的横坐标表示小聪到底目的地的时间，点C纵坐标表示此时两人的距离，求出小聪到达目的地的时间，进而求出点C的坐标，再列出对应的函数关系式即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知点B的坐标为，故点B的坐标表示的实际意义为出发1小时后，两人相遇； （2）解：∵小慧的速度小于小聪的速度， ∴小慧比小聪后到达目的地， 由函数图象可知，甲、乙两地的距离为，小慧到达目的地的时间为， ∴小慧的速度为， 由（1）可知，出发1小时后，两人相遇， ∴两人的速度之和为， ∴小聪的速度为； 答：小慧的速度为，小聪的速度为； （3）解：由函数图象可知，点C的横坐标表示小聪到底目的地的时间，点C纵坐标表示此时两人的距离， ∵， ∴点C的坐标为， ∴， ∴线段所表示的与之间的函数表达式． 解题要点 函数自变量的取值范围与求函数值 1.纯代数式求自变量取值范围：整式为全体实数；分式要求分母不为0；二次根式要求被开方数大于或等于0。 2.实际或几何背景问题中，自变量取值范围必须同时满足代数式有意义、实际意义（如时间、数量非负）及几何图形存在条件（如三角形三边关系2x＞y且y＞0）。 3.已知自变量的值代入函数式可求出函数值；已知函数值则代入函数式转化为方程，解方程即可反求自变量的值。 ▌迁移练2-1 已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查的是求函数值，先判断出时，所符合的关系式，然后将代入对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． ▌迁移练2-2 （25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 【答案】(1)， (2) (3)腰长为7.5 【分析】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解； （3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：代入到，则， ∴底边的长为4； （3）解：代入，得， 解得， ∴腰长为7.5． 题型3 从函数图象中获取信息 ▌例3-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，饮水机向一个水杯注入开水，直至水杯内注满水．若饮水机单位时间内出水量保持不变，则从开始到水杯注满的过程中，水杯内水面的高度h与注水时间t之间的函数关系图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的实际意义，熟练掌握根据实际物体的形状变化分析函数变化趋势是解题的关键． 根据水杯下窄上宽的形状和饮水机单位时间出水量不变的条件，分析水面高度随时间的变化趋势：水杯下窄上宽，所以的增长速度会越来越慢，进而分析得解． 【详解】解：∵饮水机单位时间内出水量保持不变， ∴单位时间内注入水杯的水的体积不变． ∵水杯下窄上宽，横截面积随高度增加而增大， ∴水面高度的增长速度会越来越慢，即的增加随的增加而变缓． ∴只有B选项符合题意． 故选：B． ▌例3-2 （25-26八年级上·浙江台州·期末）甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 【答案】 【分析】本题考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟，根据图象列方程组，解方程组求得甲的速度为米/分钟，再将速度乘以时间，即可求解． 【详解】解：设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟， 根据图象，可得， 解得， 甲家到学校的路程为米． 故答案为：． 解题要点 从函数图象中获取信息 1.明确横轴与纵轴分别代表的实际意义及单位，注意观察图象的起点（初始状态）、终点（总用时或最终状态）和最高点。 2.图象中平行于横轴的水平线段表示随时间推移函数值保持不变（如中途休息、暂停排水或掉球停顿）；线段越陡峭表示变化速度越快。 3.同一坐标系中两个函数图象的交点，表示在该时刻两个对象的函数值相等（如行程问题中的相遇或追上）。 ▌迁移练3-1 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．的长度为6 B．的面积为6 C．的周长为9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的计算，解题的关键在于根据动点问题的函数图象获取需要的信息． 由题意可知，，设，则，结合图象得到，进而求出，利用勾股定理，以及函数图象中的信息逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：由题意可知，， 设，则， 当点运动到点时，， 解得或， 或， 故A选项错误，不符合题意； 由图知，当点运动到点时，的面积 的面积， 故B选项错误，不符合题意； 的周长为， 故C选项错误，不符合题意； 当，则， ； 当，则， ； 故D选项正确，符合题意； 故选：D． ▌迁移练3-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息， ①根据路程=速度×时间计算即可；②根据速度的增加量÷所用时间列式计算即可；③求出两车速度相等时所用时间，再由路程=速度×时间求出乙车行驶的路程即可；④根据两车速度相等时所用时间和图象判断即可． 【详解】解：∵乙车前6秒行驶的路程为米，∴①正确； ∵在0到6秒内甲车的速度每秒增加米，∴②正确； ∵当两车速度相等时所用时间为秒，此时乙车行驶的路程为米，∴③正确； 由③知，第秒时两车速度相等，根据图象，在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，∴④正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：A． 题型4 一次函数与正比例函数的概念辨析及参数求解 ▌例4-1 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． ▌例4-2 已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 解题要点 一次函数与正比例函数的概念辨析及参数求解 1.先将函数式去括号、合并同类项化为最简形式，再判断是否符合y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的结构特征。 2.已知含参函数是一次函数求参数值时，需同时列式满足两个条件：自变量x的最高次数等于1，且一次项系数k≠0。 3.若进一步要求该函数为正比例函数，则在上述两个条件基础上，还需满足常数项b=0。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值，一次函数的增减性，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得y随x的增大而增大，再求出时和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． ▌迁移练4-2已知直线与直线平行，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据两条直线平行时，k相等但b不同列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴且 ∴且， ∴． 故答案为：． 题型5 用待定系数法求一次函数的表达式 ▌例5-1 小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： … … … … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可借助待定系数法求出符合多数点的一次函数解析式，再结合一次函数图象上点的坐标特征核验所有给定数据，就能找出计算出错的函数值． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 选取表格中前两组坐标和代入解析式得， ， 解得， 一次函数解析式为． 将表格中剩余的值依次代入上述解析式，计算对应的值， 当时，代入得，和表格中给出的一致； 当时，代入得，和表格中给出的不一致； 当时，代入得，和表格中给出的一致； 可以看出，除对应的值外，其余所有点都满足该一次函数关系式，说明表格里错误的函数值为． ▌例5-2 （25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点． (1)求k的值； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入，即可求出k的值； （2）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴． ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小． ∵当时，， ∴当时，． 解题要点 用待定系数法求一次函数的表达式 1.严格按照“一设、二代、三解、四还原”的步骤求解：设y=kx+b（k≠0），代入两组对应值或两点坐标构建二元一次方程组，解出k，b后代回表达式。 2.若遇到广义正比例关系“y+m与x-n成正比例”，应整体设为y+m=k(x-n)（k≠0），切勿直接设为y=kx。 3.利用实验或测量数据求经验公式时，先在坐标系中描点观察是否大致在一条直线上，再选取直线上（或较多点靠近的直线上）的两个点坐标用待定系数法求解。 ▌迁移练5-1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（，k为常数）的图象经过点． (1)求k的值． (2)若点，都在该函数图象上，比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法即可求出k的值； （2）根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（，k为常数）的图象经过点． ∴， 解得 （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数上的点的纵坐标随着横坐标的增大而增大， ∵， ∴ ▌迁移练5-2（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，则直线l必经过（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，先求出直线l的解析式，再将各选项点代入验证即可． 【详解】解：设直线l的解析式为（）， ∵点与在直线l上， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， 将各选项代入解析式验证： A. 当时，，故该点不在直线l上． B. 当时，，故该点不在直线l上． C. 当时，，故该点不在直线l上． D. 当时，，与点的纵坐标相等，故该点在直线l上． 故选：D． 题型6 一次函数的图象位置与图形变换 ▌例6-1 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选：B． ▌例6-2 两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；观察题中所给选项，根据图象逐项判断的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； B、由的图象可知，；由的图象可知，，但是应该经过一、三象限，图像不正确，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 解题要点 一次函数的图象位置与图形变换 1.直线y=kx+b与y轴交点为(0，b)，与x轴交点为(-b/k，0)；系数k的正负决定直线的升降趋势，常数项b的正负决定与y轴交点在原点上方还是下方，两者共同决定图象经过的象限。 2.两直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行时，k1=k2且b1≠b2；直线平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律。 3.直线y=kx+b关于y轴对称的表达式为y=-kx+b（k变号，b不变）；关于x轴对称的表达式为y=-kx-b（k，b均变号）。 ▌迁移练6-1关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 根据一次函数的性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 对于一次函数 ， 当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意； ∵ ，， ∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意； ∵ 当 时，； 当 时，， ∴ ，C错误，不符合题意； ∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意. 故选：D． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解． 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 题型7 利用一次函数的增减性比较大小与求函数值 ▌例7-1 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． ▌例7-2 （25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质，当一次函数的比例系数大于0时，函数值随的增大而增大，列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一次函数中，随增大而增大， ，解得． 故答案为：． 解题要点 利用一次函数的增减性比较大小与求函数值 1.一次函数y=kx+b的增减性仅由比例系数k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2.比较图象上不同点的纵坐标大小时，无需代值计算，直接根据k的正负确定增减性，再由横坐标的大小关系推导出纵坐标的大小关系。 3.当自变量满足x1≤x≤x2时，求函数值y的范围只需将两个端点x1，x2代入算出对应值，并注意当k＜0时不等号方向相反。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵直线中，，∴y随x增大而减小， ∵，∴， A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意； B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定， 若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但， 综上，B错误，不符合题意； C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意； D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意； 故选：D． ▌迁移练7-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知，为直线上的两个点，若，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，先将直线方程变形，确定直线过定点及增减性，结合得出与的大小关系，再逐一分析选项． 【详解】解：∵直线方程可化为， ∴当时，，且时，y随x的增大而增大， ∵，在直线上，且， ∴， 对于A、B：若，则，但无法推出或，故A、B错误； 对于C：若，则， 又∵， ∴，即，故C正确； 对于D：由C的推导可知，故D错误， 故选：C． 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系 ▌例8-1 （25-26八年级上·浙江金华·期末）一次函数和正比例函数在同一平面直角坐标系中，它们交点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的交点问题，联立方程求解坐标是解题关键． 通过联立两个函数解析式求解交点坐标，再根据象限坐标特征判断所在象限，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，联立两个函数解析式得， ∴将代入，得， 移项得，即， 解得， 将代入，得， ∴交点坐标为， ∵第一象限内的点横、纵坐标均为正， ∴该交点位于第一象限， 故选：A． ▌例8-2 如图，直线与的交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点坐标，再根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，将代入，得， ∴直线与的交点坐标为， 方程与可分别变形为，， ∴方程组的解是； 故选：A． 解题要点 一次函数与二元一次方程组的关系 1.一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标(x，y)都是相应二元一次方程的一组解；反之，以方程的解为坐标的点都在该直线上。 2.两条直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的交点坐标(x0，y0)，即为由这两个函数式组成的二元一次方程组的解。 3.已知两函数图象的交点可直接写出对应方程组的解；反之，要求两直线的准确交点坐标，可将两个函数表达式联立成二元一次方程组求解。 ▌迁移练8-1如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． ▌迁移练8-2（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点、在直线上，直线l和函数的图象交于点B．    (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合． （1）利用待定系数法即可求得直线l的表达式； （2）先根据已知条件得出点B的坐标，进而求得函数的表达式，求得点D的坐标，从而得出的距离，最后利用三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A，C在直线l上， 将点A，C代入得，， 解得， ∴直线l的表达式为． （2）解：∵点B是直线与的交点，点B的横坐标为1， ∴点B坐标为， 又∵点B在函数上， 将点B代入得：， ∴解析式为， ∴点D坐标为， ∴， ∴． 题型9 一次函数的实际应用 ▌例9-1 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． ▌例9-2 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动．经市场调查发现，某种商品的周销量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，下表给出了该商品售价、周销量、周销售利润（元）的三组对应值数据： 40 70 90 180 90 30 3600 4500 2100 注：周销售利润周销量（售价进价） (1)求关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围．） (2)该商品的进价为__________元/件； 若该商品的售价不低于元/件，销售量不低于件．当售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1) (2)；售价为元时，周销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据周销售利润周销量（售价进价）列方程求解即可；先根据“商品的售价不低于元/件，销售量不低于件”确定的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 根据题意得：， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：该商品的进价为元/件， 根据题意得，， 解得， 即该商品的进价为元/件； 根据题意得，，， 解得， ， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当售价为元时，周销售利润最大，此时，（元），即最大利润为元． 解题要点 一次函数的实际应用 1.阶梯计费问题中，超过分界值x0后的函数表达式统一按“前序固定满额费用+超出部分单价×(x-x0)”列式化简，并注明自变量取值范围。 2.求实际问题的最大利润或最省运费时，先写出一次函数式y=kx+b，再由题中限制条件列不等式（组）求出自变量范围a≤x≤c，最后利用一次函数的增减性在端点处求得最值。 3.方案选择问题中，先令y1=y2求出两方案费用相等的临界值x0（即两图象交点的横坐标），再分x＜x0、x=x0、x＞x0三种情况对比函数值大小或图象高低，给出最优选择。 ▌迁移练9-1宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题： (1)野营点距离山脚 ． (2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标． (3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)，当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为 【分析】（1）根据时间乘速度即可求解； （2）根据题意即可补全函数图象； （3）利用待定系数法求得小队下山的函数表达式，再计算时，的值即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由题意，函数图象如下， ； （3）解：设小队下山的函数表达式为，代入，， ∴， ∴， ∴， 令时，， ∴当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为． ▌迁移练9-2（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 难点一 一次函数图象与性质的含参综合辨析 一次函数y=kx+b中系数k，b的符号与图象位置、增减性以及自变量和函数值范围的对应关系是本章的核心纽带。当解析式中含有未知参数，且题目未明确给出参数正负或图象具体形态时，需要将代数推理与几何草图紧密结合，并进行严谨的分类讨论。 方法总结： ①先将含参函数表达式化为标准形式y=kx+b，明确一次项系数与常数项分别对应的含参代数式。 ②根据直线经过的象限或增减性条件，转化为关于参数的一元一次不等式（组），注意区分“经过某象限”与“不经过某象限”在边界b=0处的取舍差异。 ③若遇到形如mk+b=0的代数条件，可将其转化为函数图象经过定点(m，0)，结合草图直观判断函数值的正负与大小。 ④在已知自变量区间a≤x≤c和函数值区间m≤y≤n互求参数时，若系数k的正负未知，必须分k＞0（端点同向对应）和k＜0（端点反向对应）两种情况列方程组求解。 ⑤判断同一坐标系中两条含参直线的图象是否正确时，可采用“假设检验法”：先由其中一条直线确定参数的符号，再检验另一条直线是否与之矛盾。 易错提醒： ①忽略一次函数定义中隐含的前提条件“一次项系数k≠0”，导致求出使k=0的增根未舍去。 ②题目要求“函数图象不经过第三象限”时，只考虑了经过第一、二、四象限（k＜0，b＞0），漏掉了直线过原点仅经过第二、四象限（k＜0，b=0）的情况。 ③当k＜0时利用增减性求函数值范围，代入两端点后忘记调换大小顺序，写出形如5≤y≤-1的错误不等式。 ④混淆直线的左右平移与上下平移规律，在左右平移时未给自变量x整体加括号。 难点精练 1．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值． (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、待定系数法求解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点，得到，再结合得到二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点得到，二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图像经过第一象限再结合可得，然后确定S的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为8， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∴，解得：． （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图像经过第一象限，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) ①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； ②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②由①得，则，再分和两种情况讨论，求出的最小值，再结合“当时，都成立”，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得，     ∴的表达式为； （2）解：① 略 ②由①得，， ∴， ∴， 当时，则， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，a的取值范围为或． 3．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为6； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得； ②当时，， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为6； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： (1)求的长； (2)点E的坐标，并求出直线的解析式； (3)若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． (4)求直线关于直线对称的直线解析式 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）先求解，，结合，可得； （2）如图，过作于，证明，可得，再进一步求解即可； （3）如图，过作轴于，证明，当时，求解，可得将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位，进一步可得答案； （4）先求解，关于直线的对称点为，，设直线为：，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵直线交坐标轴于A、B两点， ∴当时，， 当时，， 解得：， ∴，， ∵， ∴. （2）解：如图，过作于， ∵平分交y轴于E，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为. （3）解：如图，过作轴于， ∵在直线上， ∴， 当时， ∴，而， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位， ∴平移后的直线为. （4）解：如图，∵，， ∴，关于直线的对称点为，， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴直线关于直线对称的直线解析式为：. 难点二 一次函数实际应用中的双图象行程与方案决策问题 双图象行程问题（相遇与追及）和含约束条件的方案决策问题是本章实际应用的高频重难点。此类问题往往将文字信息、数据表格与折线图象融合在一起，要求准确提取图象中起点、拐点、交点、截距的实际意义，并运用数形结合思想进行定量计算。 方法总结： ①在s-t行程图象中，先看两坐标轴截距：纵轴截距表示初始距离，横轴截距表示晚出发的时间；再由线段端点坐标差算出斜率，斜率的绝对值即为该段路程的运动速度。 ②准确理解两图象交点的双重意义：在行程问题中，交点横坐标表示相遇（或追上）的时刻，纵坐标表示相遇处离起点的距离；在方案决策问题中，交点表示两种方案费用或报酬完全相同。 ③求两物体在某一时刻相距特定路程的时间，或已知到达终点求另一物体的剩余距离时，先利用待定系数法分别求出两段直线的函数表达式，再转化为代数方程|s1-s2|=d求解。 ④在调运、生产等最值与方案决策问题中，先通过列表理清各变量间的数量关系，写出目标函数y=kx+b，再根据库存、资金等限制列不等式组确定自变量范围a≤x≤c。 ⑤结合一次函数的增减性（k＞0或k＜0）在边界端点处求出最值；若自变量代表人数、件数等离散量且边界不是整数，需取范围内最接近边界的整数代入计算。 易错提醒： ①在折返跑或“离家距离与时间”图象中，误把最高点的纵坐标（单程距离）当作往返运动的总路程。 ②在先后出发的双图象行程问题中，求后出发物体的函数表达式时，直接设成正比例函数s=kt，忽略了图象不过原点而应设为s=kt+b。 ③分段计费或分段行程问题中，求某一段的函数表达式时直接用“总路程÷总时间”代替该段的斜率，或未按所在区间分段讨论。 ④方案选择问题作答时，漏掉两方案费用相等（x=x0）这一临界情况的说明。 难点精练 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式． (2)当两人相距1千米时，求运动时间的值． 【答案】(1)关于的函数解析式为； (2)当两人相距1千米时，运动时间的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行解答． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得甲匀速骑行时和乙匀速跑步时，关于的函数解析式，再分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意设乙匀速骑行时，关于的函数解析式为， 将点和代入得，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设甲匀速骑行时，关于的函数解析式为， 将点代入得，解得， ∴关于的函数解析式为； 同理，乙匀速跑步时，关于的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； 答：当两人相距1千米时，运动时间的值为或． 6．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）小舟和小山相约去博物馆参观．小舟从学校步行出发直接去博物馆．同时，小山从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小山家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小山家的路程（米）与所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示． (1)请直接写出点的坐标． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)小山离开超市去博物馆的途中与小舟相遇，求相遇时他们距离小山家的路程． 【答案】(1) (2)线段所在直线的函数表达式 (3)相遇时他们距离小山家的路程为3000米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由题意易得点的坐标为，设线段所在直线的函数表达式为，把代入进行求解即可； （3）由题意先得出线段所在直线的函数表达式为，然后令，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为； 故答案为：； （2）解：由图2得，小山在11分钟内匀速行驶了2200米，所以米/分钟． 由图1得，小山从超市到达博物馆的路程为1600米，米/分钟，则小山从超市到博物馆的时间为8分钟，所以点的坐标为． 设线段所在直线的函数表达式为，把代入得： ，解得：； 所以线段所在直线的函数表达式为． （3）解：设线段所在直线的函数表达式为，把代入得： ，解得：， 所以． 令，，解得， 把代入； 答：相遇时他们距离小山家的路程为3000米． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查分段函数的应用．根据不同用电量范围的单价来计算电费是解题的关键． （1）根据各档次计费方法计算即可； （2）已知某户上一个月的用电量为，判断其处于内，将代入（1）中相应的关系式计算即可； （3）先分别计算第一档最多电费为（元），再计算用电量为时的电费，然后与已知电费元比较，可知该户上一个月的用电量超过第二档，即用电量在内，最后将代入（1）中相应的关系式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴与之间的关系式为； （2）解：将代入， 得：（元）， ∴该户上一个月的电费为元； （3）解：∵，， ∴该户上一个月的用电量超过， 将代入， 得：， 解得：， ∴该户上一个月的用电量为． 8．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y； (2)写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【分析】（1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解． （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨 ∴， 即， ∵， 解得，且为3的倍数 ∴ 且为3的倍数 （2）解：∵， ∴ （3） ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 难点三 一次函数背景下的平面几何与面积综合探究 将直角坐标系、一次函数与平面几何（如三角形面积、全等三角形、垂直平分线、梯形等）相结合，是体现“以数解形、以形助数”的压轴题型。解题核心在于实现“点的坐标↔直线表达式↔线段长度↔图形面积或几何全等”之间的双向转化。 方法总结： ①若几何图形未给出坐标系，优先利用图形中的直角边、对称轴或垂直平分线建立适当的直角坐标系，使更多顶点落在坐标轴上以简化坐标。 ②利用已知两点的坐标，通过待定系数法求出线段所在直线的函数表达式，进而令x=0或y=0求出直线与坐标轴的交点坐标。 ③求直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积时，直接利用坐标轴交点转化为两直角边长|xA|和|yB|，代入S=1/2·|xA|·|yB|=b²/(2|k|)计算。 ④求坐标系内一般三角形或四边形面积时，常采用“割补法”或“延长交轴法”：延长某一边与坐标轴相交，将所求图形面积转化为两个以坐标轴上的线段为底边的三角形面积之和或差。 ⑤涉及线段相等或倍分关系的证明时，可通过延长线段交坐标轴构造全等三角形（如ASA、AAS），或利用坐标与勾股定理直接算出各线段长度进行验证。 易错提醒： ①将点的坐标转化为线段长度或三角形底和高时，忘记给可能为负数的坐标加上绝对值符号，导致面积算出负数或漏掉另一侧的对称解。 ②已知三角形面积反求直线上动点坐标或参数k，b的值时，忽略动点可能在坐标轴上方或下方两种位置，导致漏解。 ③在建系解决几何问题时，未先说明以哪一点为原点、哪两条互相垂直的直线分别为x轴和y轴，导致解答过程缺乏规范性。 ④求两条相交直线与坐标轴围成的三角形面积时，找错作为底边的坐标轴截距或找错对应交点的高。 难点精练 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：在平面直角坐标系中，一次函数图象与直线的交点记为点，作该一次函数图象上点及点左侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点左侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数的“对称函数”． (1)如图1是一次函数的图象，则它的“对称函数”图象如图2所示． ①求点的坐标； ②当时，求函数的“对称函数”与轴的交点的坐标，并求出解析式； (2)若函数的“对称函数”图象与轴围成的三角形面积等于4，请求出的值． 【答案】(1)①，②， (2)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，轴对称性质，理解并运用新定义“对称函数”，能够将图象的对称转化为点的对称是解题的关键． （1）①将代入到中求解，即可解题； ②先求出直线与轴的交点，进而得到其关于直线对称的点，设“对称函数”的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）先求出直线与轴的交点，进而得到其关于直线对称的点，再求出时，点坐标，结合三角形面积公式建立方程讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：①将代入到中，得， ； ②令中，则， ， 直线与轴交于点， 关于直线对称的点为，         即时，函数的“对称函数”与轴的交点坐标为． 设“对称函数”的解析式为，将点代入解析式， ， 解得，         时，函数的“对称函数”解析式为． （2）解：函数中，令， 则，则，则与轴交于点， 关于直线对称的点为，         令，则． 与轴围成的三角形面积为：，     若，则， ；         若，则， ． 10．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 11．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)轴上有一点．使得，求点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）将代入，求出的值和点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式求出的面积，进而得到的面积，则可求出的长，据此可得答案； （3）将转化为的一次函数，进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的纵坐标为或， ∴点Q的坐标为或； （3）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，如图1，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，直线与y轴相交于点C． (1)求新函数的图象的表达式． (2)在射线上有一动点，连接，试求的面积S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)如图2，过点作平行于y轴的直线． ①求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿y轴方向平移，若直线与x轴相交于点，与y轴相交于点，其中点在右侧，点在左侧，则在直线上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ①证明：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在；满足条件的点P为或 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时， ， 综上：； （3）①略 ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图： ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作 ，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 综上：或． 基础达标 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）对于一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象与x轴交点坐标是 B．当x增加1时，y增加1 C．函数图象不经过第四象限 D．函数值y随自变量x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的计算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，可得，． 对于A选项：∵x轴上点的纵坐标为，令，则，解得． ∴函数图象与x轴的交点坐标是，是函数与y轴的交点坐标，故A错误，符合题意． 对于B选项：当增加变为时，，因此增加时增加，故B正确，不符合题意． 对于C选项：∵，，∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故C正确，不符合题意． 对于D选项：∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故D正确，不符合题意． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数图象一定交于轴负半轴一点 D．函数图象一定经过点 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．通过分析一次函数的性质，判断各选项的正误，其中选项D通过代入点验证成立． 【详解】A．当时，，函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A错误； B．当时，y 随x的增大而增大，故B错误； C．当时，，图象交y轴于正半轴，故C错误； D．当时，，图象一定经过点，故D正确． 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系，若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质和应用，求正比例函数解析式，求函数值，解题的关键是掌握待定系数法． 蜡烛燃烧的长度与时间成正比例关系，先根据已知条件求出比例常数，再计算15分钟燃烧的长度，最后用原长减去燃烧长度得到剩余长度． 【详解】解：设燃烧长度与时间的关系为， ∵时，， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴ 剩余长度为， 故选：A． 5．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方， ∴不等式的解为， 故答案为：A． 6．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据一次函数自变量与函数值的计算，两直线平行时比例系数的关系，一次函数图象与坐标轴围成图形面积的计算方法，即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴一次函数与直线相交，故B选项错误，不符合题意； 令时，；令时，； ∴一次函数与坐标轴围成的图形面积为，故C选项错误，不符合题意； ∵一次函数过， ∴经过y轴的负半轴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 7．如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解题意，图示中函数图形的横坐标、纵坐标表示的含义分析即可求解． 【详解】解：先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶， ∴符合题意的函数图象是D选项， 故选：D ． 8．如图，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用中动点函数图象，分类讨论：当点P由A运动到B点时，即和当点P由B运动到C点时，即，根据三角形的面积即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当点P由A运动到B点时，即， ， 当点P由B运动到C点时，即， ， 符合题意的函数关系的图象是， 故选A． 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴ 乙用分钟追上甲，该选项说法正确，不符合题意； 、由图可得，甲的速度为米/分钟， ∴乙的速度为米/分，该选项说法正确，不符合题意； 、乙追上甲时，二人离终点的距离为米， ∴乙追上甲后，再跑米才到达终点， 该选项说法正确，不符合题意； 、乙到达终点所用的时间为分钟， 当乙到达终点时甲走的路程为米， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 10．（25-26八年级上·浙江金华·期末）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点的坐标，再利用点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解的值． 【详解】解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4 ∴平移后点的坐标为，即 ∵点在直线上 ∴点的横、纵坐标满足，即 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 能力进阶 11．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，根据题意观察函数图象，结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图，对各个结论依次进行分析判断即可． 【详解】解：当时，， A、B之间的距离为， 故①正确； 由题意和图可得，乙的速度为， 甲的速度为， ， 乙行走的速度是甲的倍， 故②正确； 由题意和图可得，， 故③正确； 由题意和图可得，， 故④错误． 综上，结论正确的有①②③． 故答案为：①②③． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线关于轴的对称直线解析式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数以及轴对称等知识，取原直线上两点，求其关于y轴的对称点，再利用待定系数法求对称直线的解析式． 【详解】解：在直线上取两点和，则关于y轴对称后得到点和 ． 设对称直线的解析式为， 代入点得， 解得， 故对称直线解析式为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形定义，由直线可得，当时，；当时，；所以，，由勾股定理得，然后分如图，当时，如图，当或时进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴点； 如图，当或时， ∴点或； 综上可得，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 14．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出的值即可． 【详解】解：当时，即时，函数随的增大而增大， 当时，， ， 解得：； 当时，即时，函数随的增大而减小， 当时，， ， 解得：； 综上所述，和 故答案为：或6． 15．如图，函数与的图像相交于点，则关于的不等式的解为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了利用一次函数的图像解不等式，掌握数形结合的方法是解题的关键．先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图像得到，当时，直线在直线下方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：根据题意，函数与的图像相交于点， 将点代入函数， 可得，解得， ∴， 由函数图像可知，当，直线在直线下方， 此时可有，即有， ∴关于的不等式的解为． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）为响应国家积极推进中小学生每天综合体育运动的号召，某学校实施了“运动积分”奖励制度，鼓励学生周末在家多锻炼．现有甲、乙两班的奖励方案如图所示，学生可根据运动时间（分钟/周）兑换相应的运动积分（分）． 请根据图象解决下列问题： (1)若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换_____运动积分？ (2)求乙班运动积分与运动时间的函数表达式，若某学生本周末的运动时间为21分钟，则他根据哪个班的方案兑换更好？ (3)对于相同的运动时间（分钟/周），若根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分，求的值． 【答案】(1)10 (2)，根据乙班的方案兑换更好 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）根据待定系数法求出乙班运动积分与运动时间的函数表达式，进而求出两个班的积分，比较后作答即可； （3）分、两种情况作答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，可兑换运动积分恒为10， 即若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换10运动积分． 故答案为：10； （2）解：设乙班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将代入得， 即， 即乙班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将代入得：， 即根据乙班的方案兑换更好； （3）解：当时， 将代入得：， ∵， ∴不存在x的值使得两个班的方案兑换的运动积分相差15分； 当时， 设甲班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将、代入得： ， 解得：， 即甲班运动积分与运动时间的函数表达式为， ∵根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分， ∴， 解得：； 综上所述，． 17．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）设的解析式为，由图可得，；，，代入可得方程组，即可求出，的值； （2）根据直线的解析式为，求出点D坐标，联立直线，方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （3）与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，；， 代入得 ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：由，令，得， ， ； 由， 解得， ， ， ； （3）解：与有公共底边且在x轴上，的面积是面积的倍， ∴点到直线轴的距离是点到直线轴的距离的倍， 即纵坐标的绝对值是，则到轴距离为， 点纵坐标是， 将代入， ， 解得， ， 将代入， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． 18．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 【答案】(1) 连线：如图， ； (2)一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点， 理由， 由一次函数得，， ∴当时，即时，， ∴一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点； (3)的取值范围是或． 【分析】本题主要考查了画函数图像，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，解题时熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）当时，，然后通过画图像的方法即可画出图像，再结合图像可得横纵坐标都为整数的点的个数； （）由一次函数得，，当时，即时，，进而求解； （）根据题意，分当时，当时两种情形列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 列表： ∴横纵坐标都为整数的点共有个， 故答案为：； （2）略 （3）解：当时，随的增大而增大， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 当时，随的增大而减小， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 综上可得：的取值范围是或． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点 ①请判断的大小关系，并说明理由． ②当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数表达式的求解、一次函数的增减性以及根据函数值的范围求自变量的取值范围，熟练掌握一次函数的性质与待定系数法是解题的关键． （1）先利用点在正比例函数上求出点的坐标，再将点和点的坐标代入一次函数，解方程组求出、的值，从而得到一次函数表达式． （2）①根据一次函数的值判断函数的增减性，再比较与的大小，进而判断与的大小关系．②先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， 解得， ∴， ∵过和， ∴， 解得，， ∴一次函数表达式为； （2）解：①∵， ∴中，随的增大而减小， ∵， ∴； ②∵， ， ∴，即， ∵中，随的增大而减小， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 复习要点 1.理解常量与变量的概念及相对性；理解函数的概念，掌握对于自变量x的每一个确定值，函数y都有唯一确定的值与之对应；掌握解析法、列表法、图象法三种表示法，能求函数值、判断点是否在函数图象上，并能从图象中获取起点、终点、水平线段、交点等信息。 2.掌握确定自变量取值范围的方法：整式型为全体实数；分式型要求分母不为0；偶次根式型要求被开方数大于或等于0；实际或几何问题还需符合实际意义和图形存在条件。 3.理解一次函数和正比例函数的概念及关系，掌握y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）是一次函数，当b=0时为非零正比例函数y=kx（k≠0）；掌握待定系数法求一次函数表达式的“设、代、解、还原”步骤，明确正比例函数需一对对应值，一般一次函数需两对对应值；已知y+m与x-n成正比例时，能设为y+m=k(x-n)（k≠0）。 4.掌握一次函数图象的画法，能用两点法画一次函数图象，知道一次函数图象是一条直线，正比例函数图象恒过原点；当自变量取值范围有限制时，图象是线段或射线；掌握图象与y轴交点(0,b)、与x轴交点(-b/k,0)，会求直线与两坐标轴围成的直角三角形面积。 5.掌握两直线的位置关系：当k₁=k₂且b₁≠b₂时两直线平行，当k₁≠k₂时两直线相交；掌握直线y=kx+b关于y轴对称的表达式为y=-kx+b，关于x轴对称的表达式为y=-kx-b；掌握一次函数的增减性：当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时y随x的增大而减小；掌握系数k，b的符号与图象经过象限的关系。 6.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，知道一次函数图象上点的坐标是对应二元一次方程的解，两直线交点坐标就是对应二元一次方程组的解；能利用图象求近似解，也能通过解方程组准确求两直线交点坐标。 7.能建立一次函数模型解决简单实际问题，会根据实际背景确定自变量取值范围，利用一次函数的增减性解决最值问题，并通过比较函数值进行方案选择；能结合一次函数的表达式、图象和性质解决综合问题，体会数形结合、函数建模和转化等思想方法。 复习重难点 重点：常量与变量、函数概念及三种表示法；自变量取值范围的确定；一次函数与正比例函数的概念及关系；待定系数法求一次函数表达式；一次函数图象的画法、与坐标轴交点及两直线位置关系；一次函数的增减性及k，b的符号与图象象限的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；建立一次函数模型解决实际最值和方案选择问题。 难点：待定系数法的灵活运用，特别是“y+m与x-n成正比例”的整体设元；一次函数图象与性质的综合应用；结合实际背景确定自变量取值范围；利用增减性解决最值问题和方案决策问题；一次函数图象与二元一次方程组的相互转化；建立适当的一次函数模型解决综合实际问题。 知识点 常量与变量 1.常量与变量的定义 在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为 。 （1）判断标准：要判断一个量是常量还是变量，就是看在这个过程中量的取值有无改变。 （2）相对性：常量与变量是相对于某一个特定的变化过程而言的。当变化过程或限制条件发生改变时，常量与变量可能会发生转化。 2.常量的常见表现形式 ①具体的常数数值（如关系式 v = 331 + 0.6t 中的 331 和 0.6）。 ②用字母表示的特定常数或固定不变的物理量（如圆周率 π、真空中的光速 c 等）。 要点归纳： （1）在一个变化过程中，固定不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量。 （2）判断一个量是常量还是变量，关键看在所研究的过程中该量的取值是否发生 。 （3）常量与变量具有相对性，脱离具体的变化过程去讨论常量和变量是没有意义的。 要点速测 1．圆的周长公式，其中常量是______，变量是______． 知识点 函数的概念及表示方法 1.函数的概念 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有 确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫作 。 【注】“唯一确定”是指对于自变量 x 的每一个取值，因变量 y 只能有唯一的一个值与之对应。允许不同的 x 对应同一个 y（多对一），但绝不允许同一个 x 对应两个或多个 y（一对多）。 2.函数的三种常用表示法 （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．例如：，。 （2）列表法：通过列表表示函数的方法。 （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法。 3.自变量的取值范围 ①整式型：函数式为整式时，自变量的取值范围是 。 ②分式型：函数式含分母时，要求分母不能为 。 ③二次根式型：函数式含偶次根式时，要求被开方数 。 ④实际或几何问题：除使代数式本身有意义外，自变量还必须符合 （如时间、人数非负）或几何图形的存在条件（如线段长度为正、三角形两边之和大于第三边）。 4.函数的图象 （1）定义：把一个函数的自变量 x 的值与函数 y 的对应值分别作为点的 和 ，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫作这个函数的图象。 （2）从函数图象获取信息： ①起点与终点坐标：与纵轴交点表示初始状态，终点横坐标表示整个过程持续的总时间。 ②平行于横轴的线段：表示随自变量（时间）增加， 保持不变（如暂停、休息或停留）。 ③图象的交点：表示在该自变量取值下，两个函数的函数值相等（如行程问题中的相遇或追上）。 要点归纳： （1）判断变量 y 是否为 x 的函数，核心看对于 x 的每一个确定值，y 是否有唯一确定的值与之对应；在图象上表现为垂直于横轴的直线与图象至多有一个交点。 （2）函数常用的三种表示法为解析法、列表法和图象法；已知函数值 y₀在图象上反求自变量时，可过点 (0, y₀) 作垂直于 y 轴的直线，读取其与图象交点的横坐标。 （3）求函数表达式的关键是寻找自变量 x 与函数 y 之间的数量关系；确定自变量取值范围时，必须同时兼顾代数式有意义和实际背景有意义。 要点速测 2．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟．已知返回的速度快于去的速度，则他离家的距离米随时间分钟的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点 一次函数的意义与表达式 1.一次函数与正比例函数的概念 （1）一次函数：一般地，函数 （k，b 都是常数，且k≠0）叫作一次函数。 （2）正比例函数：当 b = 0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），叫作 ，常数k叫作 。 （3）两者的关系：正比例函数是特殊的一次函数（当常数项b=0时）。正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 【注】一次函数表达式必须同时满足三个条件：自变量所在的代数式是 、自变量 x 的最高次数是 、一次项系数 。 2.待定系数法求一次函数表达式 （1）定义：先设出一次函数表达式 ，再根据已知条件求出待定系数 k 和 b 的值，从而确定一次函数表达式的方法叫作 。 （2）求一次函数表达式的一般步骤： ①设：设所求的一次函数表达式为 y = kx + b，其中k，b是待确定的常数，k≠0（若明确为正比例函数，则设 y = kx）。 ②代：把两对已知的自变量与对应的函数值（或函数图象上两个点的坐标）分别代入y=kx+b，得到关于 k，b 的二元一次方程组。 ③解：解这个关于 k，b 的二元一次方程组，求出k，b的值。 ④还原：把求得的k，b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数表达式。 注意：若已知“y+m与x-n成正比例”（m，n为常数），应将两部分看作整体，设为y+m= k(x - n)（k≠0），切勿直接设为y=kx。 要点归纳： （1）形如y=kx+b（k，b 是常数，且k ≠ 0）的函数叫作一次函数；当b=0时，成为正比例函数y=kx（k≠0），其中k叫作比例系数。 （2）确定一次项系数k和常数项b的值之前，必须先去括号、合并同类项，将函数表达式化简为 形式y=kx+b。 （3）用待定系数法求一次函数表达式的步骤可概括为“一设、二代、三解、四还原”；确定正比例函数需 对应值，确定一般一次函数需 对应值。 要点速测 5．在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 7．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)当，求的取值范围． 知识点 一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象及其画法 （1）一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k，b都为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数y=kx+b的图象。 （2）两点法画一次函数图象： ①画正比例函数y=kx的图象：通常取原点 和点 ，过这两点画直线即可。 ②画一次函数y=kx+b的图象：通常取点(0,b)和另一个易计算的整点，或取直线与两坐标轴的交点(0, b) 与(-b/k, 0)，过这两点画直线即可。 注意：当自变量x的取值范围有限制时，一次函数的图象是直线的一部分（线段或射线），画图时包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。 2．一次函数图象与坐标轴的交点及位置关系 （1）与坐标轴的交点：直线y=kx+b（k≠0）与y轴的交点坐标为(0, b)（令x=0），与x轴的交点坐标为(-b/k, 0)（令y =0）。直线与两坐标轴围成的直角三角形面积为S=b²/(2|k|)。 （2）点与图象的关系：判断点P(x₀, y₀)是否在函数图象上，只需把 x = x₀代入函数表达式算出 y，若 y = y₀则点在图象上，否则不在图象上。 （3）两直线的位置与对称关系： ①平行与相交：对于直线 l₁：y = k₁x + b₁与 l₂：y = k₂x + b₂，当 k₁= k₂且 b₁≠ b₂时，两直线互相 ；当k₁≠k₂时，两直线 。 ②关于坐标轴对称：直线y=kx +b关于y轴对称的直线表达式为 （k 变号，b不变）；关于 x 轴对称的直线表达式为 （k，b均变号）。 3．一次函数的性质（增减性） 对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）： （1）当k>0时，y随x的 （在图象上表现为直线从左向右上升；若x₁<x₂，则y₁<y₂）。 （2）当k<0时，y随x的增大而减小（在图象上表现为直线从左向右下降；若x₁<x₂，则y₁>y₂）。 4．系数 k，b 的符号与一次函数图象位置的关系 对于正比例函数也叫直线（k为常数，且k≠0）： 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性） 经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 对于一次函数（k，b为常数，）： 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 一、三、四 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 二、三、四 要点归纳： （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，与x轴交于点 ，与y轴交于点(0,b)；正比例函数y=kx的图象是一条恒过原点(0, 0)的直线。 （2）一次函数的增减性仅由比例系数k的 决定：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。常数项b的正负决定直线与y轴交点在原点上方还是下方。 （3）直线y=kx+b关于y轴对称的函数表达式为y=-kx+b，关于x轴对称的函数表达式为y=-kx-b；当自变量满足x₁≤x≤x₂时，可结合函数的增减性代入两端点求出y的取值范围。 要点速测 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 知识点 一次函数的简单应用 1.利用图象获得经验公式的基本步骤 ①收集数据：通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值。 ②描点画图：建立适当的直角坐标系，在坐标系中以各对应值为坐标描点，用描点的方法画出函数图象。 ③判断并求式：观察图象特征，若所描各点在同一条直线上（或几乎在同一条直线上），则判断两个变量具有或近似具有一次函数关系，再选取直线上（或靠近直线的）两点坐标，用待定系数法求出函数表达式。 【注】利用实验数据描点所获得的函数表达式有时是 的。 2.一次函数与二元一次方程组的关系 （1）一次函数与二元一次方程：一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标(x, y)都是相应二元一次方程kx-y+b=0的 ；反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的一次函数图象上。 （2）两直线交点与二元一次方程组的解：在同一直角坐标系中，两条直线y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂的交点坐标(x₀, y₀)同时满足两个函数式，因此交点坐标就是二元一次方程组 y = k₁x + b₁ y = k₂x + b₂ 的解x = x₀，y = y₀ 注意：利用一次函数图象观察交点坐标求方程组的解，得到的可能是近似解；而通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组，则可以准确求出两个一次函数图象的交点坐标。 3.运用一次函数解决实际问题的一般过程 ①审题建模：分析实际问题中的数量关系，确定两个变量之间是一次函数关系后，设出未知数并写出一次函数表达式y=kx+b。 ②确定范围：根据实际背景或题中的不等关系（如成本限制、库存限制等）列不等式（组），求出自变量x的取值范围a≤x≤c。 ③求解与决策： 最值问题：利用一次函数的 求解。当k >0时，x=a时y最小，x = c时y最大；当k<0时，x=a 时y最大，x=c时y最小。 方案选择问题：分别写出两种方案的函数式y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂，先求出y₁=y₂时的临界值x₀（即两直线交点的横坐标），再分x <x₀、x=x₀、x>x₀三种情况比较y₁与y₂的大小，从而选出最优方案。 平面几何问题：建立适当的直角坐标系，写出关键点坐标并求出线段所在直线的函数表达式，求出交点坐标转化为线段长度，结合全等三角形或面积割补法完成证明与计算。 要点归纳： （1）确定两个变量是否具有一次函数关系，可通过描点画图观察各点是否（或大致）在一条直线上，再用待定系数法求得经验公式。 （2）两个一次函数图象的 与对应的二元一次方程组的 互为等价关系：由图象交点可读出方程组的解，解方程组可求出两直线的交点坐标。 （3）运用一次函数解决实际最值与方案决策问题时，核心是建立函数表达式并确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性或两函数图象的高低位置关系得出结论。 要点速测 10．如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为__________． 12．某销售公司推销一种产品，设（件）是推销产品的数量，（元）是付给推销员的月报酬．公司付给推销员月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同．看图解答下列问题： (1)求每种付酬方案关于的函数表达式． (2)如果你是推销员，那么你会选择哪种方案？并写出具体方案． 题型1 常量与变量的识别及函数概念的判断 ▌例1-1 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ ▌例1-2 下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 解题要点 常量与变量的识别及函数概念的判断 1.紧扣“在某一变化过程中量的取值是否改变”来区分常量与变量，注意常量与变量随过程限制条件的改变而具有相对性。 2.判断变量y是否为x的函数，关键看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应（允许“多对一”，不允许“一对多”）。 3.从图象判断函数关系时，过横轴上任意一点作横轴的垂线，若垂线与图象至多有一个交点，则表示y是x的函数。 ▌迁移练1-1 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 ▌迁移练1-2 下列与的关系中，不是的函数关系的是_______．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 题型2 函数自变量的取值范围与求函数值 ▌例2-1 有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为______，定义域为______． ▌例2-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末）小慧骑车从甲地到乙地，小聪骑车从乙地到甲地，小慧的速度小于小聪的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小慧的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： (1)点的坐标表示的实际意义为__________． (2)小慧和小聪的速度分别是多少？ (3)求线段所表示的与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 解题要点 函数自变量的取值范围与求函数值 1.纯代数式求自变量取值范围：整式为全体实数；分式要求分母不为0；二次根式要求被开方数大于或等于0。 2.实际或几何背景问题中，自变量取值范围必须同时满足代数式有意义、实际意义（如时间、数量非负）及几何图形存在条件（如三角形三边关系2x＞y且y＞0）。 3.已知自变量的值代入函数式可求出函数值；已知函数值则代入函数式转化为方程，解方程即可反求自变量的值。 ▌迁移练2-1 已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 ▌迁移练2-2 （25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 题型3 从函数图象中获取信息 ▌例3-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，饮水机向一个水杯注入开水，直至水杯内注满水．若饮水机单位时间内出水量保持不变，则从开始到水杯注满的过程中，水杯内水面的高度h与注水时间t之间的函数关系图可能是（   ） A． B． C． D． ▌例3-2 （25-26八年级上·浙江台州·期末）甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 解题要点 从函数图象中获取信息 1.明确横轴与纵轴分别代表的实际意义及单位，注意观察图象的起点（初始状态）、终点（总用时或最终状态）和最高点。 2.图象中平行于横轴的水平线段表示随时间推移函数值保持不变（如中途休息、暂停排水或掉球停顿）；线段越陡峭表示变化速度越快。 3.同一坐标系中两个函数图象的交点，表示在该时刻两个对象的函数值相等（如行程问题中的相遇或追上）。 ▌迁移练3-1 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．的长度为6 B．的面积为6 C．的周长为9 D． ▌迁移练3-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型4 一次函数与正比例函数的概念辨析及参数求解 ▌例4-1 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． ▌例4-2 已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 解题要点 一次函数与正比例函数的概念辨析及参数求解 1.先将函数式去括号、合并同类项化为最简形式，再判断是否符合y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的结构特征。 2.已知含参函数是一次函数求参数值时，需同时列式满足两个条件：自变量x的最高次数等于1，且一次项系数k≠0。 3.若进一步要求该函数为正比例函数，则在上述两个条件基础上，还需满足常数项b=0。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的取值范围． ▌迁移练4-2已知直线与直线平行，则____． 题型5 用待定系数法求一次函数的表达式 ▌例5-1 小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： … … … … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　） A． B． C． D． ▌例5-2 （25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点． (1)求k的值； (2)当时，直接写出y的取值范围． 解题要点 用待定系数法求一次函数的表达式 1.严格按照“一设、二代、三解、四还原”的步骤求解：设y=kx+b（k≠0），代入两组对应值或两点坐标构建二元一次方程组，解出k，b后代回表达式。 2.若遇到广义正比例关系“y+m与x-n成正比例”，应整体设为y+m=k(x-n)（k≠0），切勿直接设为y=kx。 3.利用实验或测量数据求经验公式时，先在坐标系中描点观察是否大致在一条直线上，再选取直线上（或较多点靠近的直线上）的两个点坐标用待定系数法求解。 ▌迁移练5-1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（，k为常数）的图象经过点． (1)求k的值． (2)若点，都在该函数图象上，比较，的大小． ▌迁移练5-2（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，则直线l必经过（   ） A． B． C． D． 题型6 一次函数的图象位置与图形变换 ▌例6-1 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌例6-2 两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 解题要点 一次函数的图象位置与图形变换 1.直线y=kx+b与y轴交点为(0，b)，与x轴交点为(-b/k，0)；系数k的正负决定直线的升降趋势，常数项b的正负决定与y轴交点在原点上方还是下方，两者共同决定图象经过的象限。 2.两直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行时，k1=k2且b1≠b2；直线平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律。 3.直线y=kx+b关于y轴对称的表达式为y=-kx+b（k变号，b不变）；关于x轴对称的表达式为y=-kx-b（k，b均变号）。 ▌迁移练6-1关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 ▌迁移练6-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 题型7 利用一次函数的增减性比较大小与求函数值 ▌例7-1 （25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． ▌例7-2 （25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________． 解题要点 利用一次函数的增减性比较大小与求函数值 1.一次函数y=kx+b的增减性仅由比例系数k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2.比较图象上不同点的纵坐标大小时，无需代值计算，直接根据k的正负确定增减性，再由横坐标的大小关系推导出纵坐标的大小关系。 3.当自变量满足x1≤x≤x2时，求函数值y的范围只需将两个端点x1，x2代入算出对应值，并注意当k＜0时不等号方向相反。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌迁移练7-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知，为直线上的两个点，若，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系 ▌例8-1 （25-26八年级上·浙江金华·期末）一次函数和正比例函数在同一平面直角坐标系中，它们交点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌例8-2 如图，直线与的交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 解题要点 一次函数与二元一次方程组的关系 1.一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标(x，y)都是相应二元一次方程的一组解；反之，以方程的解为坐标的点都在该直线上。 2.两条直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的交点坐标(x0，y0)，即为由这两个函数式组成的二元一次方程组的解。 3.已知两函数图象的交点可直接写出对应方程组的解；反之，要求两直线的准确交点坐标，可将两个函数表达式联立成二元一次方程组求解。 ▌迁移练8-1如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． ▌迁移练8-2（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点、在直线上，直线l和函数的图象交于点B．    (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标为1，求的面积． 题型9 一次函数的实际应用 ▌例9-1 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ ▌例9-2 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动．经市场调查发现，某种商品的周销量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，下表给出了该商品售价、周销量、周销售利润（元）的三组对应值数据： 40 70 90 180 90 30 3600 4500 2100 注：周销售利润周销量（售价进价） (1)求关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围．） (2)该商品的进价为__________元/件； 若该商品的售价不低于元/件，销售量不低于件．当售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 解题要点 一次函数的实际应用 1.阶梯计费问题中，超过分界值x0后的函数表达式统一按“前序固定满额费用+超出部分单价×(x-x0)”列式化简，并注明自变量取值范围。 2.求实际问题的最大利润或最省运费时，先写出一次函数式y=kx+b，再由题中限制条件列不等式（组）求出自变量范围a≤x≤c，最后利用一次函数的增减性在端点处求得最值。 3.方案选择问题中，先令y1=y2求出两方案费用相等的临界值x0（即两图象交点的横坐标），再分x＜x0、x=x0、x＞x0三种情况对比函数值大小或图象高低，给出最优选择。 ▌迁移练9-1宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题： (1)野营点距离山脚 ． (2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标． (3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离． ▌迁移练9-2（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 难点一 一次函数图象与性质的含参综合辨析 一次函数y=kx+b中系数k，b的符号与图象位置、增减性以及自变量和函数值范围的对应关系是本章的核心纽带。当解析式中含有未知参数，且题目未明确给出参数正负或图象具体形态时，需要将代数推理与几何草图紧密结合，并进行严谨的分类讨论。 方法总结： ①先将含参函数表达式化为标准形式y=kx+b，明确一次项系数与常数项分别对应的含参代数式。 ②根据直线经过的象限或增减性条件，转化为关于参数的一元一次不等式（组），注意区分“经过某象限”与“不经过某象限”在边界b=0处的取舍差异。 ③若遇到形如mk+b=0的代数条件，可将其转化为函数图象经过定点(m，0)，结合草图直观判断函数值的正负与大小。 ④在已知自变量区间a≤x≤c和函数值区间m≤y≤n互求参数时，若系数k的正负未知，必须分k＞0（端点同向对应）和k＜0（端点反向对应）两种情况列方程组求解。 ⑤判断同一坐标系中两条含参直线的图象是否正确时，可采用“假设检验法”：先由其中一条直线确定参数的符号，再检验另一条直线是否与之矛盾。 易错提醒： ①忽略一次函数定义中隐含的前提条件“一次项系数k≠0”，导致求出使k=0的增根未舍去。 ②题目要求“函数图象不经过第三象限”时，只考虑了经过第一、二、四象限（k＜0，b＞0），漏掉了直线过原点仅经过第二、四象限（k＜0，b=0）的情况。 ③当k＜0时利用增减性求函数值范围，代入两端点后忘记调换大小顺序，写出形如5≤y≤-1的错误不等式。 ④混淆直线的左右平移与上下平移规律，在左右平移时未给自变量x整体加括号。 难点精练 1．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值． (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 3．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： (1)求的长； (2)点E的坐标，并求出直线的解析式； (3)若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． (4)求直线关于直线对称的直线解析式 难点二 一次函数实际应用中的双图象行程与方案决策问题 双图象行程问题（相遇与追及）和含约束条件的方案决策问题是本章实际应用的高频重难点。此类问题往往将文字信息、数据表格与折线图象融合在一起，要求准确提取图象中起点、拐点、交点、截距的实际意义，并运用数形结合思想进行定量计算。 方法总结： ①在s-t行程图象中，先看两坐标轴截距：纵轴截距表示初始距离，横轴截距表示晚出发的时间；再由线段端点坐标差算出斜率，斜率的绝对值即为该段路程的运动速度。 ②准确理解两图象交点的双重意义：在行程问题中，交点横坐标表示相遇（或追上）的时刻，纵坐标表示相遇处离起点的距离；在方案决策问题中，交点表示两种方案费用或报酬完全相同。 ③求两物体在某一时刻相距特定路程的时间，或已知到达终点求另一物体的剩余距离时，先利用待定系数法分别求出两段直线的函数表达式，再转化为代数方程|s1-s2|=d求解。 ④在调运、生产等最值与方案决策问题中，先通过列表理清各变量间的数量关系，写出目标函数y=kx+b，再根据库存、资金等限制列不等式组确定自变量范围a≤x≤c。 ⑤结合一次函数的增减性（k＞0或k＜0）在边界端点处求出最值；若自变量代表人数、件数等离散量且边界不是整数，需取范围内最接近边界的整数代入计算。 易错提醒： ①在折返跑或“离家距离与时间”图象中，误把最高点的纵坐标（单程距离）当作往返运动的总路程。 ②在先后出发的双图象行程问题中，求后出发物体的函数表达式时，直接设成正比例函数s=kt，忽略了图象不过原点而应设为s=kt+b。 ③分段计费或分段行程问题中，求某一段的函数表达式时直接用“总路程÷总时间”代替该段的斜率，或未按所在区间分段讨论。 ④方案选择问题作答时，漏掉两方案费用相等（x=x0）这一临界情况的说明。 难点精练 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式． (2)当两人相距1千米时，求运动时间的值． 6．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）小舟和小山相约去博物馆参观．小舟从学校步行出发直接去博物馆．同时，小山从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小山家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小山家的路程（米）与所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示． (1)请直接写出点的坐标． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)小山离开超市去博物馆的途中与小舟相遇，求相遇时他们距离小山家的路程． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 8．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y； (2)写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润． 难点三 一次函数背景下的平面几何与面积综合探究 将直角坐标系、一次函数与平面几何（如三角形面积、全等三角形、垂直平分线、梯形等）相结合，是体现“以数解形、以形助数”的压轴题型。解题核心在于实现“点的坐标↔直线表达式↔线段长度↔图形面积或几何全等”之间的双向转化。 方法总结： ①若几何图形未给出坐标系，优先利用图形中的直角边、对称轴或垂直平分线建立适当的直角坐标系，使更多顶点落在坐标轴上以简化坐标。 ②利用已知两点的坐标，通过待定系数法求出线段所在直线的函数表达式，进而令x=0或y=0求出直线与坐标轴的交点坐标。 ③求直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积时，直接利用坐标轴交点转化为两直角边长|xA|和|yB|，代入S=1/2·|xA|·|yB|=b²/(2|k|)计算。 ④求坐标系内一般三角形或四边形面积时，常采用“割补法”或“延长交轴法”：延长某一边与坐标轴相交，将所求图形面积转化为两个以坐标轴上的线段为底边的三角形面积之和或差。 ⑤涉及线段相等或倍分关系的证明时，可通过延长线段交坐标轴构造全等三角形（如ASA、AAS），或利用坐标与勾股定理直接算出各线段长度进行验证。 易错提醒： ①将点的坐标转化为线段长度或三角形底和高时，忘记给可能为负数的坐标加上绝对值符号，导致面积算出负数或漏掉另一侧的对称解。 ②已知三角形面积反求直线上动点坐标或参数k，b的值时，忽略动点可能在坐标轴上方或下方两种位置，导致漏解。 ③在建系解决几何问题时，未先说明以哪一点为原点、哪两条互相垂直的直线分别为x轴和y轴，导致解答过程缺乏规范性。 ④求两条相交直线与坐标轴围成的三角形面积时，找错作为底边的坐标轴截距或找错对应交点的高。 难点精练 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：在平面直角坐标系中，一次函数图象与直线的交点记为点，作该一次函数图象上点及点左侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点左侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数的“对称函数”． (1)如图1是一次函数的图象，则它的“对称函数”图象如图2所示． ①求点的坐标； ②当时，求函数的“对称函数”与轴的交点的坐标，并求出解析式； (2)若函数的“对称函数”图象与轴围成的三角形面积等于4，请求出的值． 10．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 11．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)轴上有一点．使得，求点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，如图1，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，直线与y轴相交于点C． (1)求新函数的图象的表达式． (2)在射线上有一动点，连接，试求的面积S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)如图2，过点作平行于y轴的直线． ①求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿y轴方向平移，若直线与x轴相交于点，与y轴相交于点，其中点在右侧，点在左侧，则在直线上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 基础达标 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）对于一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象与x轴交点坐标是 B．当x增加1时，y增加1 C．函数图象不经过第四象限 D．函数值y随自变量x的增大而增大 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数图象一定交于轴负半轴一点 D．函数图象一定经过点 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系，若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（    ） A． B． C． D． 5．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 6．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 7．如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 10．（25-26八年级上·浙江金华·期末）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 能力进阶 11．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有______． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线关于轴的对称直线解析式是___________． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 14．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 15．如图，函数与的图像相交于点，则关于的不等式的解为_______． 16．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）为响应国家积极推进中小学生每天综合体育运动的号召，某学校实施了“运动积分”奖励制度，鼓励学生周末在家多锻炼．现有甲、乙两班的奖励方案如图所示，学生可根据运动时间（分钟/周）兑换相应的运动积分（分）． 请根据图象解决下列问题： (1)若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换_____运动积分？ (2)求乙班运动积分与运动时间的函数表达式，若某学生本周末的运动时间为21分钟，则他根据哪个班的方案兑换更好？ (3)对于相同的运动时间（分钟/周），若根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分，求的值． 17．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 18．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点 ①请判断的大小关系，并说明理由． ②当时，求函数值的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $