5.4 一次函数的简单应用（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一次函数的简单应用核心知识点，系统梳理一次函数与一元一次方程（图象与x轴交点）、不等式（图象上下方区间）、二元一次方程组（图象交点）的关系，构建从代数关系到几何意义再到实际建模的学习支架，涵盖分段函数、行程、销售利润等应用类型。 该资料通过“易错提醒”帮助学生用数学眼光识别问题陷阱，“解题贴士”引导数学思维推理函数性质，结合行程、销售等实际问题培养模型意识与应用意识。课中例题与题型分类辅助教师教学，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第五章 一次函数 5.4 一次函数的简单应用 课标要点 1.能从实际情境中提取变量关系，建立一次函数模型。 2.会用待定系数法求解实际问题中的一次函数解析式，确定自变量取值范围。 3.能利用一次函数图象和性质解决求值、比较大小、最值、方案选择等简单实际问题。 4.了解两个一次函数图象交点的实际意义，能解决简单双函数应用问题。 学习重难点 重点： 1.建立一次函数实际模型，求解函数解析式； 2.结合实际确定自变量取值范围； 3.利用函数性质与图象解决实际应用问题。 难点： 1.从文字情境中准确提炼不等关系与变量关系； 2.结合实际意义对函数结果进行取舍、取整； 3.利用数形结合分析函数图象交点、端点的实际意义。 知识点 一次函数与一元一次方程 1. 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决：一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值，即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 方程 的解 直线与轴交点的横坐标。 易错提醒 1）误将交点纵坐标当作方程的解； 2）混淆与y轴交点的意义，y轴交点对应的函数值； 3）不会利用函数图象直观解方程，只会机械代数计算。 随学随练 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 知识点 一次函数与不等式（重点） 1. 一次函数与一元一次不等式的关系： ①从函数（数）的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； ②从函数图象（形）的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2. 用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ①当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： ； ②当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： 。 易错提醒 1）看错图象上下区域，导致解集方向颠倒； 2）含等号时遗漏实心点、取值包含临界值； 3）两个函数比较时，找错交点分界点； 4）忽略k的正负对增减性和解集的影响。 随学随练 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，直线经过点，，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是________． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 知识点 一次函数与二元一次方程组（重点） 1. 二元一次方程与一次函数的等价转化： 任意二元一次方程：可变形为一次函数形式： 。 2. 本质结论：以二元一次方程所有解为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上； 一次函数直线上每一个点的横、纵坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 3. 二元一次方程组与两条一次函数直线： 把二元一次方程组的两个方程分别化为、两条直线： 方程组的解 = 两条直线交点的坐标；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 4.三种位置关系（方程组解的三种情况）： 两条直线斜率、截距关系 直线位置 方程组解的情况 图像特征 （斜率不等） 两条直线相交 有唯一一组解 存在唯一交点 （斜率相等，截距不等） 两条直线平行无交点 无解 无公共点 （斜率、截距全相等） 两条直线重合 无数组解 直线上所有点都是解 5. 图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①把方程组中两个二元一次方程，分别化成形式； ②在同一平面直角坐标系中画出两条直线； ③读出两条直线交点的横、纵坐标； ④写出方程组的解。 6．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤： ①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组； ②用代入消元或加减消元法解方程组； ③方程组的解就是交点坐标。 特别提醒 1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 2）两直线相交有唯一解、平行无解、重合有无数解。 随学随练 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·天津河西·期末）如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为__________． 知识点 一次函数的实际应用 1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 2.一次函数的实际应用一般解题步骤： ①设：设变量，列解析式 ； ②求：代入两组数据，用待定系数法求出 ； ③限：根据实际意义写出自变量取值范围； ④解：利用函数增减性（递增，递减）求值、最值、方案，最后作答。 特别提醒 根据实际关系列一次函数解析式，结合自变量取值范围求最值、方案选择、对比优劣。 随学随练 1．（25-26八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800元，每生产1吨石墨精粉，额外需要原料、人工等成本120元．设工厂每日生产石墨精粉x吨，每日生产总成本为y元． (1)请写出y与x之间的函数解析式； (2)若该厂某日生产石墨精粉15吨，求当日的生产总成本． 拓展 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式数形对应对比 对比对象 代数含义 图象几何意义 核心关联结论 一元一次方程 求使的值 直线与轴交点横坐标 方程的解 = 直线与轴交点横坐标 一元一次不等式 求使的取值范围 直线在轴上方所有点的横坐标集合 取交点右侧； 取交点左侧 一元一次不等式 求使的取值范围 直线在轴下方所有点的横坐标集合 取交点左侧； 取交点右侧 补充规律：的正负直接改变不等式解集方向，判断范围前需先区分斜率符号。 活学活用 1．画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 3．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是___________． 拓展 一次函数与二元一次方程（组）逻辑对比 1. 二元一次方程与一次函数对应关系： 二元一次方程形式 可转化一次函数形式 核心等价结论 方程的所有解，对应直线上所有点的坐标；直线上任意一点坐标，都是该方程的一组解，二者完全等价。 2. 两条一次函数直线与二元一次方程组解的关系： 两直线参数关系 直线位置关系 对应方程组解的情况 相交 有唯一一组解，解的数值即为两直线交点坐标 平行 无解，两条直线无公共交点，无公共解 重合 有无数组解，直线上所有点的坐标均为方程组的解 双向核心逻辑：求两直线交点坐标，可联立对应二元一次方程组求解；解二元一次方程组，也可通过绘制对应一次函数直线，利用图象交点判定解的情况。 活学活用 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，一次函数（、为常数，且）与一次函数交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 拓展 函数视角解方程/方程组两种方法对比 1. 代数计算法：纯代数消元、直接计算，结果精准，无误差，但无法直观观察图象位置关系。 2. 图象几何法：画图观察交点、区间，直观体现数形关系，但读数存在近似误差，适合定性分析范围。 3. 使用区分：求精确数值优先代数法；分析取值范围、直线位置关系优先图象法。 活学活用 1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 题型 一次函数与一元一次方程结合 解题贴士 1）方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标； 2）已知函数值求自变量，可直接转化为一元一次方程求解，数形结合快速解题。 ▌例1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． ▌对点练1-1．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·山东·期末）一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 题型 一次函数与不等式结合 解题贴士 易错：①上下区域对应不等号方向搞反；②两函数交点横坐标取舍等号错误；③不会结合图象判断区间，纯代数计算易出错；④多段图象遗漏部分解集。 ▌例1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，过点的直线：与直线：相交于点． (1)求直线的解析式． (2)不等式的解集为__________；（直接写出答案） ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，一次函数（k，b是常数，且）的图象分别交x轴、y轴于点，，则不等式的解集为__________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式 的解集是_________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，一次函数的图象经过点，点，并且与一次函数的图象交于点． (1)由图可知，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． ▌对点练1-5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是______． (2)求a和b的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 题型 一次函数与二元一次方程组结合 解题贴士 1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 2）图象平行无交点则方程组无解，图象重合则方程组有无数组解。 ▌例1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D．无法求解 ▌对点练1-1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则关于和的二元一次方程组的解是__________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 题型 一次函数实际应用——行程问题 解题贴士 1）横轴为时间、纵轴为路程/距离，先求运动过程的一次函数解析式； 2）利用解析式求特定时间路程、相遇时间、相距距离；结合同向、相向、追及模型解题。 ▌例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（     ） A．， B．， C．， D．， ▌例2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ ▌对点练1-1．（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离（单位：）与出发时间（单位：）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点的坐标为____． ▌对点练1-3．（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 题型 一次函数实际应用——销售利润问题 解题贴士 1）根据“利润=(售价-成本)×销量”，结合销量与售价的一次函数关系，构建利润函数； 2）利用函数增减性求最大、最小利润，结合自变量取值范围确定最值。 ▌例1．（25-26八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． ▌例2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ ▌对点练1-1．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． ▌对点练1-2．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？ ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济．阿城区山林资源丰富，生态条件优越，盛产各类优质原生态山珍，某特产专营店推出、两款山珍礼盒，深受消费者喜爱． 素材一 顾客甲在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元； 素材二 顾客乙在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元． 素材三 某球迷协会，计划采购这两款礼盒共盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求款礼盒的数量不超过款礼盒数量的倍． 请完成下列任务： (1)求每盒款礼盒、每盒款礼盒的单价； (2)求款礼盒购买多少盒时，使得该球迷协会购买的总费用最低，最低总费用是多少元？ 题型 一次函数实际应用——分配方案问题 解题贴士 易错：①约束条件挖掘不全，取值范围出错；②忽略自变量为正整数；③不会根据增减性判断最优方案；④多种分配方案枚举遗漏。 ▌例1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ ▌对点练1-2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为了缅怀先烈我们学校计划组织名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的，两种型号客车中，租用辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用型号客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量 租金 30人/辆 400元/辆 25人/辆 300元/辆 (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (2)若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 题型 一次函数实际应用——阶梯计费问题 解题贴士 1）费用随用量分段变化，每段为独立一次函数； 2）先判断用量所在区间，代入对应区间解析式计算费用； 3）已知费用可反向求用量范围。 ▌例1．（25-26八年级下·河北保定·期末）某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． (1)请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； (2)某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·青海海东·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算用户的电费，应交电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求当和时，与的函数解析式； (2)当用电量为度时，则应交电费多少钱？ 题型 一次函数实际应用——跨学科问题 解题贴士 结合物理速度、压强、温度转换等跨学科公式，识别变量间一次函数关系，建立解析式，代入数值求解、分析变化规律。 ▌例1．（25-26八年级下·河北衡水·期末）在弹性限度内，弹簧的长度（）与所挂物体质量（）的函数图象如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某科技公司研发了一款基于人工智能的农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度（毫米）与每日光照时间（小时）之间满足一次函数关系．某团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据以作研究，以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） … 6 8 10 12 14 … 日均生长高度（毫米） … 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 … (1)求关于的函数解析式； (2)若某天由于天气原因，温室仅能提供7小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第m天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为)，对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在装水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块质量为时，木块露出水面上的高度为_______． 实验次数 一 二 三 铁块A质量 25 50 75 高度 44 38 32 ▌对点练1-3．（25-26八年级下·福建福州·期末）在气温为到范围内，声音在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数据： 气温（） 声速（） 已知声速（单位：），声音频率（单位：）与波长（单位：）满足关系式．若国际通用钢琴标准音（中音）的频率为 ，则气温为时，该标准音在空气中的波长约为______（结果精确到）． ▌对点练1-4．（2026·陕西西安·二模）某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 (1)根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求与之间的函数关系式； (3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ ▌对点练1-5．（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． (3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） 题型 一次函数实际应用——其他问题 解题贴士 提取题干线性变化关系，判定变量为一次函数关系，设解析式代入两组数据求解，利用增减性、端点值解决最值、范围、求值问题。 ▌例1．（25-26八年级下·福建福州·期末）某登山队大本营所在位置的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于y与x的关系式正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） ▌对点练1-1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·吉林·期末）某水库的水位在小时内持续上涨，初始的水位高度为米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度（单位：米）关于时间（单位：小时）的函数解析式为________ ▌对点练1-3．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分的长度（单位：）与双层部分的长度（单位：）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为时，单层部分的长度为；双层部分的长度为时，单层部分的长度为． (1)求与之间的函数关系式； (2)按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服，请计算此时单层部分的长度． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高.某位同学利用量筒和相同大小的玻璃球进行了实验，在量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出的条件下，研究了量筒中水面高度 与投入玻璃球数量粒之间的变化关系.根据实验结果得到如下的表格数据： 投入玻璃球数量/粒 0 5 10 15 20 … 水面高度/cm 10 11 12 13 14 … (1)由表格知：投入玻璃球数量每增加5粒，水面高度增加_____cm，进而可得与的函数表达式为______； (2)当量筒内水面的高度是时，请求出投放玻璃球多少粒？ 题型 一次函数与几何综合 解题贴士 先求一次函数解析式，得出与坐标轴交点、线段长度；结合面积、周长、等腰、直角、平行等几何条件，联立方程求参数、动点坐标、线段最值。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知点，中，满足，为轴正半轴上一点，且． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，直线：交于点，为线段上一动点，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标； (4)如图3，点为轴负半轴上一点，于点，若，求点的坐标． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为___________． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是轴上一点，，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且满足． (1)直接写出、两点的坐标：__________，__________； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动．设点运动时间为秒．连结，当沿射线匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值，并写出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，作交线段于点，连接交于点，当时，求点坐标和点的坐标． 基础通关 1.（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为3，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北邢台·期末）工人要铺设一段总长50米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为，其中的实际意义是（     ） A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t小时一共铺设的水管总长度 C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度 5．（25-26八年级下·广东茂名·期末）如图，直线经过、两点，则关于的不等式组的解集为________． 6．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 8．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 9．如图，直线与直线相交于点． (1)求p的值； (2)直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (3)若直线与x轴交于点，求m和n的值． 10．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． (1)这批服装一共有________件； (2)求增加工人后与的函数表达式； (3)已知这批服装的出厂价为每件元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比原先增加了元，问：前多少天的总利润恰好为元？（利润等于出厂价减去成本） 素养提升 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）周末，爸爸和小明从家出发骑行前往超市．两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示，根据图象提供的信息，在下列结论中，①家到超市的全程是2000米；②小明先到达超市；③从出发到分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快；④在爸爸出发分钟时，小明追上了爸爸．正确的结论有（     ） A．①③④ B．①② C．①②④ D．①②③④ 2．（2026·山东济南·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温（单位：）随加热时间（单位：）变化的部分数值： 加热时间 … 油温 … 根据表格中的数据判断，加热时的油温为________． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在用一种塑料管制作简易长笛实践活动中，同学们知道音高是由空气柱振动频率决定的，“空气柱越短，音高越高”．下面是睿智小组的同学研究空气柱与音高关系实验的一部分． 如图，取两根下底面密封的塑料管，侧面先不开孔．甲为粗细均匀的圆柱形直管，乙为粗细不同的变径异形管，总长均为．向管内注入清水，水柱上方留存空气柱． 记录管内水柱高度与注水量的数据如下： 注水量 0 40 100 200 300 400 500 600 … 甲管水柱高度 0 1.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 a … 乙管水柱高度 0 1.2 3.0 5.5 7.8 9.9 11.8 b … (1)在如图平面直角坐标系中，用描点法画出关于x的图象，根据图象解决下列问题： ①当x由小变大时，的变化情况是________________； ②当x的范围是________________时，与有交点（用所给的数据表示）； ③你还能从图象中获得哪些信息，请写出一个； (2)小睿说，我们组不用继续实验了，我能算出当时，；小智说，我也能算出当时，．判断他们的说法是否正确，并说明理由． 5．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图是我国传统计重工具杆秤，其称重原理是通过移动秤砣在秤杆上的位置，使秤杆保持水平，从而读取物品的重量．秤砣到提纽的水平距离（厘米）与秤钩所挂物体重量（斤）满足函数关系．某兴趣小组对实验室中的杆秤进行称重实验，得到以下组数据：    厘米 斤 (1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；    (2)选出最符合实际的函数模型，求出这个函数的解析式； (3)实验中当秤杆上秤砣到提纽的水平距离为厘米时，则秤钩所挂物体的重量为__________斤． (4)若此次实验的杆秤最大称重重量是斤，直接写出秤砣到提纽的水平距离的取值范围__________． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：与：交于点，，与轴分别交于点，． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)上是否存在点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26八年级下·四川凉山·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线，通常也称为直线，其中称为直线的斜率，若直线上有两点和则．特别地，当直线与直线互相垂直时，． 【理解运用】 (1)已知点，，其中m为常数，且．若直线与直线垂直，求的值； (2)判定点，，三点构成的是否是直角三角形？并说明理由． 迁移创新 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，射线所对应的函数解析式为，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，作射线．    (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为______； (2)求射线所对应的函数解析式，不要求写出x的取值范围； (3)将射线，所组成的图形记为图象，动点在图象上，其横坐标为．将图象在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差记为． ①当时，_______；当时，_______； ②当时，直接写出的值； ③当时，直接写出的取值范围． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射成功，三名航天员于次日5时13分进驻“天宫”，中国航天员完成第12次“太空会师”．航天事业的蓬勃发展，促进了航天文创产品的销售．某商店售卖A，B两款航天文创产品，已知购买一个A款航天文创产品和一个B款航天文创产品共需130元，购买一个A款航天文创产品比购买两个B款航天文创产品少花费20元． (1)求A，B两款航天文创产品的单价． (2)若某研学团队欲购买A，B两款航天文创产品共50个，且A款航天文创产品的数量不少于款航天文创产品数量的倍．该研学团队购买A，B两款航天文创产品各多少个，可使得总花费最低？最低花费是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.4 一次函数的简单应用 课标要点 1.能从实际情境中提取变量关系，建立一次函数模型。 2.会用待定系数法求解实际问题中的一次函数解析式，确定自变量取值范围。 3.能利用一次函数图象和性质解决求值、比较大小、最值、方案选择等简单实际问题。 4.了解两个一次函数图象交点的实际意义，能解决简单双函数应用问题。 学习重难点 重点： 1.建立一次函数实际模型，求解函数解析式； 2.结合实际确定自变量取值范围； 3.利用函数性质与图象解决实际应用问题。 难点： 1.从文字情境中准确提炼不等关系与变量关系； 2.结合实际意义对函数结果进行取舍、取整； 3.利用数形结合分析函数图象交点、端点的实际意义。 知识点 一次函数与一元一次方程 1. 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决：一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值，即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 方程 的解 直线与轴交点的横坐标。 易错提醒 1）误将交点纵坐标当作方程的解； 2）混淆与y轴交点的意义，y轴交点对应的函数值； 3）不会利用函数图象直观解方程，只会机械代数计算。 随学随练 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 2．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 知识点 一次函数与不等式（重点） 1. 一次函数与一元一次不等式的关系： ①从函数（数）的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； ②从函数图象（形）的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2. 用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ①当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： ； ②当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： 。 易错提醒 1）看错图象上下区域，导致解集方向颠倒； 2）含等号时遗漏实心点、取值包含临界值； 3）两个函数比较时，找错交点分界点； 4）忽略k的正负对增减性和解集的影响。 随学随练 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，直线经过点，，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 即关于x的不等式的解集为． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：由图象得，当时，函数的图象在函数的图象上方或重合， ∴关于x的不等式的解集是． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 知识点 一次函数与二元一次方程组（重点） 1. 二元一次方程与一次函数的等价转化： 任意二元一次方程：可变形为一次函数形式： 。 2. 本质结论：以二元一次方程所有解为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上； 一次函数直线上每一个点的横、纵坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 3. 二元一次方程组与两条一次函数直线： 把二元一次方程组的两个方程分别化为、两条直线： 方程组的解 = 两条直线交点的坐标；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 4.三种位置关系（方程组解的三种情况）： 两条直线斜率、截距关系 直线位置 方程组解的情况 图像特征 （斜率不等） 两条直线相交 有唯一一组解 存在唯一交点 （斜率相等，截距不等） 两条直线平行无交点 无解 无公共点 （斜率、截距全相等） 两条直线重合 无数组解 直线上所有点都是解 5. 图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①把方程组中两个二元一次方程，分别化成形式； ②在同一平面直角坐标系中画出两条直线； ③读出两条直线交点的横、纵坐标； ④写出方程组的解。 6．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤： ①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组； ②用代入消元或加减消元法解方程组； ③方程组的解就是交点坐标。 特别提醒 1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 2）两直线相交有唯一解、平行无解、重合有无数解。 随学随练 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解就是交点的横纵坐标，即． 2．（25-26八年级下·天津河西·期末）如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先将交点横坐标代入，即可得交点坐标，再根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解答． 【详解】解：由图可知，交点的横坐标为1， 将代入得，， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为． 知识点 一次函数的实际应用 1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 2.一次函数的实际应用一般解题步骤： ①设：设变量，列解析式 ； ②求：代入两组数据，用待定系数法求出 ； ③限：根据实际意义写出自变量取值范围； ④解：利用函数增减性（递增，递减）求值、最值、方案，最后作答。 特别提醒 根据实际关系列一次函数解析式，结合自变量取值范围求最值、方案选择、对比优劣。 随学随练 1．（25-26八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 【答案】1125元 【详解】解：由图象，当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：，解得， ， ∴当时，． 答：当销售量为66件时，销售金额为1125元. 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800元，每生产1吨石墨精粉，额外需要原料、人工等成本120元．设工厂每日生产石墨精粉x吨，每日生产总成本为y元． (1)请写出y与x之间的函数解析式； (2)若该厂某日生产石墨精粉15吨，求当日的生产总成本． 【答案】(1)； (2)2600元 【分析】（1）根据总成本固定成本人工成本，即可得到答案； （2）把代入函数解析式即可求解 【详解】（1）解：由题意得：y与x之间的一次函数解析式为； （2）解：当时， 答：生产石墨精粉15吨时当日的生产总成本2600元． 拓展 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式数形对应对比 对比对象 代数含义 图象几何意义 核心关联结论 一元一次方程 求使的值 直线与轴交点横坐标 方程的解 = 直线与轴交点横坐标 一元一次不等式 求使的取值范围 直线在轴上方所有点的横坐标集合 取交点右侧； 取交点左侧 一元一次不等式 求使的取值范围 直线在轴下方所有点的横坐标集合 取交点左侧； 取交点右侧 补充规律：的正负直接改变不等式解集方向，判断范围前需先区分斜率符号。 活学活用 1．画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当时，，当时，，可知在之间存在使得，所以方程的根的取值范围是． 【详解】解：由表可知，当时，， 当时，， 在之间存在使得， 即， 方程的根最精确的范围是． 2．已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 3．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故答案为：． 拓展 一次函数与二元一次方程（组）逻辑对比 1. 二元一次方程与一次函数对应关系： 二元一次方程形式 可转化一次函数形式 核心等价结论 方程的所有解，对应直线上所有点的坐标；直线上任意一点坐标，都是该方程的一组解，二者完全等价。 2. 两条一次函数直线与二元一次方程组解的关系： 两直线参数关系 直线位置关系 对应方程组解的情况 相交 有唯一一组解，解的数值即为两直线交点坐标 平行 无解，两条直线无公共交点，无公共解 重合 有无数组解，直线上所有点的坐标均为方程组的解 双向核心逻辑：求两直线交点坐标，可联立对应二元一次方程组求解；解二元一次方程组，也可通过绘制对应一次函数直线，利用图象交点判定解的情况。 活学活用 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，一次函数（、为常数，且）与一次函数交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数交于点， ∴， ∴关于、的方程组的解是， 故选：B． 2．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题的关键． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵ 方程组 的解为 ， 方程组的解表示两条直线的交点坐标， ∴ 直线 与 的交点坐标为 ． 故选：A． 拓展 函数视角解方程/方程组两种方法对比 1. 代数计算法：纯代数消元、直接计算，结果精准，无误差，但无法直观观察图象位置关系。 2. 图象几何法：画图观察交点、区间，直观体现数形关系，但读数存在近似误差，适合定性分析范围。 3. 使用区分：求精确数值优先代数法；分析取值范围、直线位置关系优先图象法。 活学活用 1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．把代入，求出的值，再求出方程组的解即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为． 故选：D． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点坐标即可 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴方程组的解为． 故选A． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解为对应的两条直线的交点的横纵坐标，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是； 故答案为：． 题型 一次函数与一元一次方程结合 解题贴士 1）方程kx+b=0的解，对应一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标； 2）已知函数值求自变量，可直接转化为一元一次方程求解，数形结合快速解题。 ▌例1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． ▌例2．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． ▌对点练1-1．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． ▌对点练1-2．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·山东·期末）一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【分析】方程的解是一次函数中，函数值时对应的自变量的值，已知一次函数图像经过点，即可得到方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为． 题型 一次函数与不等式结合 解题贴士 易错：①上下区域对应不等号方向搞反；②两函数交点横坐标取舍等号错误；③不会结合图象判断区间，纯代数计算易出错；④多段图象遗漏部分解集。 ▌例1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像以及坐标即可求解． 【详解】解：根据图象知，一次函数的图象与x轴的交点为，且y随x的增大而增大， ∴不等式的解集为． ▌例2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，过点的直线：与直线：相交于点． (1)求直线的解析式． (2)不等式的解集为__________；（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点D的坐标为，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数图象直接得出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴， 则D的坐标为， ∵直线经过，， ∴， 解得：． ∴直线的解析式为：． （2）解：根据图象可得：不等式的解集为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知，当时，． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，一次函数（k，b是常数，且）的图象分别交x轴、y轴于点，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，确定直线与y轴的交点坐标，结合函数的增减性，找出函数值小于或等于时对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与y轴交于点 ∴当时，，且y随x的增大而减小， ∴当时， ∴不等式的解集为． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式 的解集是_________． 【答案】 【详解】解：观察图象得：当时，直线在直线的上方， ∴关于的不等式 的解集是． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，一次函数的图象经过点，点，并且与一次函数的图象交于点． (1)由图可知，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】（1）根据函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时自变量的取值范围即可得到答案； （2）①利用待定系数法求出直线的解析式，根据不等式的解集可得一次函数与一次函数的交点的横坐标为，据此可求出点B的坐标；②把点B的坐标代入中求解a即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴由函数图象可知，不等式的解集是； （2）解：①∵一次函数的图象经过点，点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵不等式的解集是， ∴一次函数与一次函数的交点的横坐标为， 在中，当时，， ∴； ②把点B的坐标代入得，解得． ▌对点练1-5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是______． (2)求a和b的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)，． (3)的坐标为或 【分析】（1）对于不等式，因为其几何意义是直线在上方时对应的范围，所以结合两直线交点M的横坐标即可直接确定取值范围． （2）求的值，因为点在直线上，所以将点A坐标代入即可计算；求的值，先将M的横坐标代入表达式得到M的纵坐标，再将M点坐标代入即可计算． （3）解决三角形面积问题，先求出点D的坐标，可得的长度为定值，因为和同底，所以面积比等于高的比，即点P纵坐标的绝对值是点M纵坐标绝对值的3倍，再结合点P在直线上，代入直线解析式即可求出P的坐标． 【详解】（1）解：∵不等式表示直线在直线上方的部分对应的范围，两直线交点横坐标为， ∴由图象可得：． （2）解：将代入， 得， 解得， ∴． ∵横坐标为， ∴代入得， ∴． 将代入， 得， 解得． （3）解：对，令，得， 解得， ∴． ∵，在轴上， ∴和同底为， 面积比等于对应高（纵坐标的绝对值）的比： ∵， 得， 即或． ∵在直线上： 当时，，解得，得； 当时，，解得，得． ∴点的坐标为或． 题型 一次函数与二元一次方程组结合 解题贴士 1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 2）图象平行无交点则方程组无解，图象重合则方程组有无数组解。 ▌例1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D．无法求解 【答案】A 【分析】求出交点坐标，再根据以直线解析式构成的二元一次方程组的解即为交点坐标即可求解． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴两直线的交点坐标为， ∴方程组的解为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，将已知方程组变形后即可得到对应直线，根据方程组的解得到交点坐标． 【详解】解：将已知方程组中的两个方程变形得到， ， ∵方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标是． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则关于和的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组的解为. ▌对点练1-3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】先将横坐标为1代入解得两直线交点坐标，再结合图像得出关于，的方程组的解为． 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 故答案为：． 题型 一次函数实际应用——行程问题 解题贴士 1）横轴为时间、纵轴为路程/距离，先求运动过程的一次函数解析式； 2）利用解析式求特定时间路程、相遇时间、相距距离；结合同向、相向、追及模型解题。 ▌例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】依据函数的图象获取信息，根据行程问题中的“路程=速度×时间”进行计算． 【详解】解：小船沿直线从码头向码头匀速前进，路程，时间，速度；抵达后停留；小船从码头返回码头，路程，时间，速度． ▌例2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）把代入（）所得函数关系式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加， ∴， 即； （2）解：当时，代入，得， 答：当小球滚动了时，其速度是． ▌对点练1-1．（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 【答案】B 【分析】数形结合可得答案． 【详解】解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相同，故A不正确； 速度路程时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速度更快，故B正确，C不正确，D不正确． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离（单位：）与出发时间（单位：）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点的坐标为____． 【答案】 【分析】根据函数图像分别表示出的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：如下图，设函数的图像与轴，轴分别交于点， 根据题意，可知， 普通公交车的速度为， 则普通公交车从B地到A地用时，即， 设，将点代入， 可得，解得， ∴， 设，将点，代入， 可得，解得， ∴， 联立方程，可得，解得， 将代入，可得， ∴点的坐标为． ▌对点练1-3．（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】(1)1200 (2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 (3)600米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：米； （2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 题型 一次函数实际应用——销售利润问题 解题贴士 1）根据“利润=(售价-成本)×销量”，结合销量与售价的一次函数关系，构建利润函数； 2）利用函数增减性求最大、最小利润，结合自变量取值范围确定最值。 ▌例1．（25-26八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 ▌例2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． ▌对点练1-1．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【答案】(1)每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元 (2)购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值． （1）首先设每个哪吒主题手办售价为​x元，每个敖丙主题手办售价为y元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3 个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个，结合（1）中求得的单价，建立总费用函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组​确定m的正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解． 【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得：   ∵， ∴   为正整数 或2    在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． ▌对点练1-2．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？ 【答案】(1)应安排4天精加工，8天粗加工 (2)加工这批蔬菜最多获得145000元利润 【分析】（1）根据题意可得等量关系为：精加工天数粗加工天数，精加工吨数粗加工吨数，列出方程组求解即可． （2）设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨，根据题意列出W与m之间的关系，再确定m的取值范围，然后利用一次函数的性质求出W的最大值． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天粗加工， 根据题意得 解得， 答：应安排4天进行精加工，8天粗加工； （2）解：设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨， ∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， 解得 ， 根据题意，得 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， 答：加工这批蔬菜最多获得145000元利润． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． 【答案】(1) (2)购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设购买甲道具件，先求出a的取值范围，再设该公司付款总金额为元，列出w关于a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为，         则，解得， 即；                 当时，设函数解析式为，则， 解得 即，                             综上可知，； （2）解：设购买甲道具件，则 ， 解得，     设该公司付款总金额为元，则      ， 随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济．阿城区山林资源丰富，生态条件优越，盛产各类优质原生态山珍，某特产专营店推出、两款山珍礼盒，深受消费者喜爱． 素材一 顾客甲在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元； 素材二 顾客乙在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元． 素材三 某球迷协会，计划采购这两款礼盒共盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求款礼盒的数量不超过款礼盒数量的倍． 请完成下列任务： (1)求每盒款礼盒、每盒款礼盒的单价； (2)求款礼盒购买多少盒时，使得该球迷协会购买的总费用最低，最低总费用是多少元？ 【答案】(1)每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元 (2)采购款礼盒盒时总费用最低，最低总费用为元 【分析】（1）设每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设采购款礼盒盒，求出的取值范围，设购买这批物资的总费用为，可得：，根据一次函数的性质可得：当时，的最小值． 【详解】（1）解：设每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元， ， 解得：， 答：每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元； （2）解：设采购款礼盒盒， 根据题意可得：，   解得：， 设购买这批物资的总费用为， 根据题意可得：， ， 随的增大而增大， 当时，的最小值， 答：采购款礼盒盒时总费用最低，最低总费用为元． 题型 一次函数实际应用——分配方案问题 解题贴士 易错：①约束条件挖掘不全，取值范围出错；②忽略自变量为正整数；③不会根据增减性判断最优方案；④多种分配方案枚举遗漏。 ▌例1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每个型箱子能装100本作文本，每个型箱子能装200本作文本 (2)共有5种打包方案，型箱子1个，型箱子5个，费用最少，为28元 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元，根据题意可得到，进而由a、b为正整数求得a、b的值，再得到，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本， 根据题意，得，解得， 答：每个A型箱子能装100本作文本，每个B型箱子能装200本作文本； （2）解：设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元 由题意， 为正整数 ∴或或或或 随增大而减小 ∴当时，取得最小值，此时 答：共有5种打包方案，A型箱子1个，B型箱子5个，费用最少，为28元． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为了缅怀先烈我们学校计划组织名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的，两种型号客车中，租用辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用型号客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量 租金 30人/辆 400元/辆 25人/辆 300元/辆 (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (2)若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用． 【答案】(1) 关于的函数解析式为，的取值范围是，且为整数 (2) 一共有种租车方案，最低租车费用为元 【分析】（1）由总费用为两种车型租金之和列函数解析式，结合载客量要求与车辆数为整数确定的取值范围； （2）根据总费用限制列不等式，结合的取值范围确定方案数，利用一次函数增减性求最低费用． 【详解】（1）解：∵租用型号客车辆，共租用辆客车， ∴租用型号客车辆， ∴； 由需搭载名学生，得 ， 解得； ∵，，即，且为整数， ∴，且为整数； 答：关于的函数解析式为，的取值范围是且为整数． （2）解：由租车总费用不超过元，得，解得； 结合（1）中且为整数， ∴，且为整数， ∴可取，，，，共种租车方案； ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：一共有种租车方案，最低租车费用为元． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 题型 一次函数实际应用——阶梯计费问题 解题贴士 1）费用随用量分段变化，每段为独立一次函数； 2）先判断用量所在区间，代入对应区间解析式计算费用； 3）已知费用可反向求用量范围。 ▌例1．（25-26八年级下·河北保定·期末）某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可； （2）分别求出当时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【答案】(1) (2)某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h． 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【详解】（1）解：由题意得，当时，． （2）解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． (1)请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； (2)某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 【答案】(1)A套餐：当时，；当时，；B套餐：当时，；当时，． (2)当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱 【分析】（1）分范围写出分段函数； （2）在的条件下，比较两个函数值的大小，分情况得到更省钱的方案． 【详解】（1）解：A套餐：当时，；当时，； B套餐：当时，；当时，． （2）解：当时，此时A套餐费用为，B套餐费用为， 当，即， 解得：， 当，即， 解得：， 当，即， 解得：， 又因为， ； 当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·青海海东·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算用户的电费，应交电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求当和时，与的函数解析式； (2)当用电量为度时，则应交电费多少钱？ 【答案】(1)当时，， 当时， (2)应交电费元 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，设， 把代入得，解得 ； 当时，设， 把，分别代入得， 解得， ； （2）依题意，当时，，（元）． 题型 一次函数实际应用——跨学科问题 解题贴士 结合物理速度、压强、温度转换等跨学科公式，识别变量间一次函数关系，建立解析式，代入数值求解、分析变化规律。 ▌例1．（25-26八年级下·河北衡水·期末）在弹性限度内，弹簧的长度（）与所挂物体质量（）的函数图象如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象确定直线经过的两个点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，再将 代入计算即可． 【详解】解：设弹簧长度 与所挂物体质量 的函数解析式为 ． 由图象可知，直线经过点 和 ． ，解得 ， ， 当 时，． ∴当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为． ▌例2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某科技公司研发了一款基于人工智能的农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度（毫米）与每日光照时间（小时）之间满足一次函数关系．某团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据以作研究，以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） … 6 8 10 12 14 … 日均生长高度（毫米） … 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 … (1)求关于的函数解析式； (2)若某天由于天气原因，温室仅能提供7小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度． 【答案】(1) (2)3.6毫米 【分析】（1）因为已知y与x满足一次函数关系，所以设函数解析式为（），从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组．解上述二元一次方程组，求出k和b的值，即可得到y关于x的函数解析式． （2）如果要预测光照7小时的生长高度，那么将代入已求出的函数解析式，计算对应的y值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把分别代入上式， 得， 解得． 关于的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当时，． 故当温室仅能提供7小时光照时，预测该番茄植株当天的生长高度为3.6毫米． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第m天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为)，对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵在上， ∴ 解得： 根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度. ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在装水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块质量为时，木块露出水面上的高度为_______． 实验次数 一 二 三 铁块A质量 25 50 75 高度 44 38 32 【答案】26 【分析】设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将，代入解析式得：， 解得：， 高度与铁块的质量的关系式为：， 当时，， 当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·福建福州·期末）在气温为到范围内，声音在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数据： 气温（） 声速（） 已知声速（单位：），声音频率（单位：）与波长（单位：）满足关系式．若国际通用钢琴标准音（中音）的频率为 ，则气温为时，该标准音在空气中的波长约为______（结果精确到）． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出关于的一次函数解析式，再代入气温的值求出对应声速，最后根据公式计算波长即可． 【详解】解：设关于的一次函数解析式为， 将，和，代入解析式， 可得， 解得， 故关于的解析式为， 当时，， 将，代入得， ， 故该标准音在空气中的波长约为 ． ▌对点练1-4．（2026·陕西西安·二模）某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 (1)根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求与之间的函数关系式； (3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 【答案】(1)见解析，一次； (2)； (3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 【分析】（1）根据表格中的数据分别在图2的平面直角坐标系中描点、连线，即可得出图象，再结合图象即可得解； （2）利用待定系数法求函数解析式并验证即可得解； （3）将代入（2）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：描点、连线如图所示： ； 由图象可知，该函数可能是二次函数关系； （2）设与之间的函数关系式为， 将，代入中，得 解得 ∴与之间的函数关系式为； （3）令，则． ∴当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． ▌对点练1-5．（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． (3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 【答案】(1) ①如图所示： ②； (2) 解：不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为21时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． (3) 【分析】（1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长，弹力增加，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． （3）根据，依题意，则 【详解】（1）解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） ②根据题意得：每伸长，弹力增加， ∴； （2）略 （3）解：∵弹簧的劲度系数， ∵物块的质量大于物块的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大 ∴， 根据图形可得， ∴ 题型 一次函数实际应用——其他问题 解题贴士 提取题干线性变化关系，判定变量为一次函数关系，设解析式代入两组数据求解，利用增减性、端点值解决最值、范围、求值问题。 ▌例1．（25-26八年级下·福建福州·期末）某登山队大本营所在位置的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于y与x的关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据气温变化规律，结合初始气温和登高后的温度变化，即可推导得到y与x的关系式． 【详解】解：海拔每升高气温下降，登山队员登高， 气温一共下降， 又大本营初始气温为，当前气温等于初始气温减去下降的气温， ，整理得． ▌例2．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1) (2)晚上八点半 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，代入数值求出，即可得到答案； （2）当时，，解得，上午9：30过了11个小时后是晚上8：30，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知函数为一次函数， 设与之间的函数表达式为， 由题意可得， 解得， ； （2）解：当时，， 上午9：30过了11个小时后是晚上8：30， 当箭尺读数为72厘米时是晚上八点半． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出关于的函数关系式，再结合函数图象可得答案． 【详解】由题意得，， 与符合一次函数关系，图象为直线，且随的增大而减小， 四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·吉林·期末）某水库的水位在小时内持续上涨，初始的水位高度为米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度（单位：米）关于时间（单位：小时）的函数解析式为________ 【答案】 【分析】总水位高度等于初始水位高度加上小时上涨的水位高度，根据上涨水位等于速度乘时间列关系式． 【详解】解： 已知初始水位高度为米，水位上涨速度为每小时米， 则小时上涨的水位高度为米， 因此总水位高度， 结合的取值范围， 可得函数解析式为． ▌对点练1-3．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分的长度（单位：）与双层部分的长度（单位：）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为时，单层部分的长度为；双层部分的长度为时，单层部分的长度为． (1)求与之间的函数关系式； (2)按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服，请计算此时单层部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，再运用待定系数法求解与之间的函数关系式，即可作答． （2）理解题意，直接将代入中，求出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设与之间的函数关系式为， 将、代入中， 得 解得 与之间的函数关系式为． （2）解：由（1）得 由题意知：， 将代入中，得， 此时单层部分的长度为． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高.某位同学利用量筒和相同大小的玻璃球进行了实验，在量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出的条件下，研究了量筒中水面高度 与投入玻璃球数量粒之间的变化关系.根据实验结果得到如下的表格数据： 投入玻璃球数量/粒 0 5 10 15 20 … 水面高度/cm 10 11 12 13 14 … (1)由表格知：投入玻璃球数量每增加5粒，水面高度增加_____cm，进而可得与的函数表达式为______； (2)当量筒内水面的高度是时，请求出投放玻璃球多少粒？ 【答案】(1)1， (2)投放玻璃球30粒 【分析】本题考查了一次函数： （1）找出投入玻璃球数量与水面高度变化的规律，设与的函数表达式为，将数值代入从而得到表达式； （2）代入函数表达式即可． 【详解】（1）解：由表可知，投入玻璃球数量每增加5粒时， 水面高度分别增加了，，， 故投入玻璃球数量每增加5粒，水面高度增加， 设与的函数表达式为， 将代入表达式，得， ， 解得：， 故表达式为． 故答案为：；． （2）解：将代入， 得， 解得：． 答：投放玻璃球为粒． 题型 一次函数与几何综合 解题贴士 先求一次函数解析式，得出与坐标轴交点、线段长度；结合面积、周长、等腰、直角、平行等几何条件，联立方程求参数、动点坐标、线段最值。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． ▌例2．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知点，中，满足，为轴正半轴上一点，且． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，直线：交于点，为线段上一动点，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标； (4)如图3，点为轴负半轴上一点，于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作交于点，过点作轴于点，构造，求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得，然后列方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：过点作交于点，过点作轴于点， 则 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：如图，设交轴于点， ，轴， ， 设，则， ， 解得， ； （4）解：对于直线， 当时，，解得， ， 如图，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ，， ∴将代入，则， ， ， ． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是轴上一点，，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为． (2)点或． (3)是等腰直角三角形，理由如下： 作轴且交y轴于点H，轴且交x轴于点M， 则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）首先根据直线的表达式求出点A坐标，接着根据得到点B坐标，将点B，点C同时代入中联立方程，求出k、b的值，进而得到直线的表达式． （2）根据直线、的表达式联立方程，求出交点D，得到两个三角形的高；其次结合的长度求出，进而得到的值；设点，将表示出来，再根据三角形面积计算公式求解，求出的值，进而得到点E． （3）首先过点D分别作x，y轴的垂线，得到的平行线，根据平行线性质得到内错角相等，通过相等的角代换得到是的角平分线，进而根据“直角三角形内，一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等”判定三角形全等，得出对应边相等，求出的长；最后结合各点坐标计算出的各边长，根据边长关系判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴令，得， 解得，即点， ∴， ∴，即点， 将点，代入中，得， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）∵直线、交于点D，联立方程得， 解得，， ∴点． 设点，则． ∵， ∴， ∴，得， 解得或， ∴点或． （3）略 【点睛】可通过作辅助线构造全等三角形求解线段长度，根据三边关系判断三角形形状． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且满足． (1)直接写出、两点的坐标：__________，__________； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动．设点运动时间为秒．连结，当沿射线匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值，并写出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，作交线段于点，连接交于点，当时，求点坐标和点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，t的值为1.5或3.5，点P的坐标为或 (3)点 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性求出，则此题可解； （2）先根据点，求出，再设点P运动的时间为t秒，则进而得出，然后根据可得，接下来求出或，可得答案； （3）根据题意可得点Q的纵坐标为2，再求出直线的关系式，进而得出点，此时可得点，然后求出直线的关系式，最后令求出，则此题可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得, ∴点； （2）解：存在， 由（1）知点， ∴， ∴． 设点P运动的时间为t秒，则 ∴点P的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即， 解得或， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为， 所以存在，t的值为1.5或3.5，此时点P的坐标为或； （3）解：∵，且点Q在线段上， ∴点Q的纵坐标为2， 设直线的关系式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， 解得， ∴点． ∵轴， ∴点． 设直线的关系式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，得， ∴点， 所以点P的坐标为，点D的坐标为． 基础通关 1.（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定当时对应的的值，再结合图象得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 观察图象知，当时，． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为3，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点A的横坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得 ∴点A的横坐标为 由图象可得，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象上方 ∴不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先根据交点纵坐标结合已知一次函数求出横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标， 又∵交点的纵坐标为，且在上， ∴将代入，得， 解得， ∴交点的坐标为，即原方程组的解为． 4．（25-26八年级下·河北邢台·期末）工人要铺设一段总长50米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为，其中的实际意义是（     ） A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t小时一共铺设的水管总长度 C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度 【答案】B 【分析】根据剩余未铺水管长度总水管长度已铺设水管长度推导即可． 【详解】解：∵已知总水管长为米，且， ∴已铺设水管长度， 因此的实际意义是工作小时一共铺设的水管总长度． 5．（25-26八年级下·广东茂名·期末）如图，直线经过、两点，则关于的不等式组的解集为________． 【答案】 【详解】解：∵直线经过、两点， ∴当时，， ∴关于的不等式组的解集为． 6．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 【答案】8 【分析】先根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到直角三角形两条直角边和的长度，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 当时，可得，解得，即， 当时，可得，即， ∴， ∵点在轴上，点在轴上，为坐标原点，所以， ∴． 7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解. 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是. 8．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)点； (3)不等式的解集为：． 【分析】（1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）令中，即可求出x的值得到点C的坐标； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）令中， 得 解得 点； （3）根据图象可得不等式的解集为：． 9．如图，直线与直线相交于点． (1)求p的值； (2)直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (3)若直线与x轴交于点，求m和n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点M代入，解出p即可； （2）根据图象即可知方程组的解为M点的坐标； （3）将M点和B点代入直线，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； （3）解：∵，， ∴， 解得． 10．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． (1)这批服装一共有________件； (2)求增加工人后与的函数表达式； (3)已知这批服装的出厂价为每件元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比原先增加了元，问：前多少天的总利润恰好为元？（利润等于出厂价减去成本） 【答案】(1) (2) (3)前10天 【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件； （2）设增加工人后与的函数表达式为，把、代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可； （3）设前天的总利润恰好为13500元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知，这批服装一共有800件； （2）解：设增加工人后与的函数表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴； （3）解：设前天的总利润恰好为13500元． 当时，，不符合题意； 当时，， 解得， 答：前10天的总利润恰好为13500元． 素养提升 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）周末，爸爸和小明从家出发骑行前往超市．两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示，根据图象提供的信息，在下列结论中，①家到超市的全程是2000米；②小明先到达超市；③从出发到分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快；④在爸爸出发分钟时，小明追上了爸爸．正确的结论有（     ） A．①③④ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断①的正误；从两人到达终点的时间，可以判断②的正误；根据图象的陡缓可以判断速度的大小，继而判断③正误；确定两人运动的函数图象的解析式，求交点坐标，解答即可． 【详解】解：根据函数图象，超市的纵坐标为2000，小明家的纵坐标为0，故小明家到超市的路程是2000米； 故①正确；根据图象，得小明到达超市用时间分钟，小明爸爸到达超市用时间分钟， 故小明先到达超市；故②正确； 根据图象看出，小明爸爸的运动图象比小明的运动图象更陡些， 故从出发到分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢； 故③错误； 设小明爸爸行驶的函数关系式为，把代入，得，解得， 故解析式为，设小明行驶分钟以后的解析式为，把，代入，， 解得， 故小明此时段的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故相遇时间为分钟， 故在爸爸出发分钟时，小明追上了爸爸．故④正确． 2．（2026·山东济南·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温（单位：）随加热时间（单位：）变化的部分数值： 加热时间 … 油温 … 根据表格中的数据判断，加热时的油温为________． 【答案】180 【分析】观察表格数据可知，与满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式计算即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，是的一次函数， 设函数解析式为， 将代入解析式得， 将代入解析式得， 解得， 因此与的函数解析式为， 当时，， 即加热时的油温为． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2) 21元 【分析】（1）根据等量关系列式化简即可得到关系式； （2）将用水量代入关系式计算即可得到结果； 【详解】（1）解：由题意得，，10吨以内水费为元，超过10吨部分水量为吨，对应水费为元， ∴，化简得， 即应缴水费与用水量的关系式为； （2）解：由题意得，小明家本月用水量吨，，符合的条件， 将代入得， 答： 小明家应缴水费21元． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在用一种塑料管制作简易长笛实践活动中，同学们知道音高是由空气柱振动频率决定的，“空气柱越短，音高越高”．下面是睿智小组的同学研究空气柱与音高关系实验的一部分． 如图，取两根下底面密封的塑料管，侧面先不开孔．甲为粗细均匀的圆柱形直管，乙为粗细不同的变径异形管，总长均为．向管内注入清水，水柱上方留存空气柱． 记录管内水柱高度与注水量的数据如下： 注水量 0 40 100 200 300 400 500 600 … 甲管水柱高度 0 1.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 a … 乙管水柱高度 0 1.2 3.0 5.5 7.8 9.9 11.8 b … (1)在如图平面直角坐标系中，用描点法画出关于x的图象，根据图象解决下列问题： ①当x由小变大时，的变化情况是________________； ②当x的范围是________________时，与有交点（用所给的数据表示）； ③你还能从图象中获得哪些信息，请写出一个； (2)小睿说，我们组不用继续实验了，我能算出当时，；小智说，我也能算出当时，．判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)关于x的图象如图所示：，①随着注水量增大，乙管水柱高度持续增大，但增长速度逐渐变慢；②；③甲管与成正比例关系，图象为过原点的直线；乙管随增加增速放缓，图象是向上凸的曲线； (2)小睿正确，小智错误，理由如下 甲管底面积固定，水柱高度与注水量成正比． 由，，比例关系：． 当时，， 因此小睿说法正确． 乙管管径不均匀，和不是一次函数，无固定比例，无法通过现有数据准确算出对应的， 因此小智说法错误． 【分析】（1）根据列表，描点，然后用光滑的曲线连接即可求解 ①描出乙管对应所有数据点连线，观察曲线走势，得出整体上升、增速越来越慢； ②对比表格，两组，大小，两者高低关系反转，确定交点区间； ③对比甲乙图象形态，写出正比例曲线增速相关一条信息即可． （2）先分析甲管均匀圆柱，与成正比，根据已有数据求出比例式，代入算出，判定小睿正确；再分析乙管为变径异形管，与无固定比例，不能精准推算，判定小智错误． 【详解】（1）关于x的图象：略； ①从图象可知，随着注水量增大，乙管水柱高度持续增大，但增长速度逐渐变慢； ②时，，，； 时，，，； 时，，，； 时，，，； 交点出现在之间． ③甲管与成正比例关系，图象图象为过原点的直线；乙管随增加增速放缓，图象是向上凸的曲线． （2）略 5．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图是我国传统计重工具杆秤，其称重原理是通过移动秤砣在秤杆上的位置，使秤杆保持水平，从而读取物品的重量．秤砣到提纽的水平距离（厘米）与秤钩所挂物体重量（斤）满足函数关系．某兴趣小组对实验室中的杆秤进行称重实验，得到以下组数据：    厘米 斤 (1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；    (2)选出最符合实际的函数模型，求出这个函数的解析式； (3)实验中当秤杆上秤砣到提纽的水平距离为厘米时，则秤钩所挂物体的重量为__________斤． (4)若此次实验的杆秤最大称重重量是斤，直接写出秤砣到提纽的水平距离的取值范围__________． 【答案】(1)画出函数的图象如图所示： (2)一次函数，函数解析式为 (3) (4) 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）根据已知坐标点描点，画出函数图象． （2）根据函数图象符合一次函数的图象特征，设函数的表达式为，利用待定系数法得到一次函数的解析式． （3）代入到一次函数的解析式，解得对应的值即可． （4）根据一次函数的增减性在的取值范围内求出的最值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）中函数图象可知，函数图象为一条直线，符合一次函数的图象特征，是一次函数， ∴设的函数解析式为：， 把和代入表达式得：， 解得：， ∴函数模型为一次函数，所对应的函数解析式为； （3）解：当时，， ∴秤钩所挂物体的重量为斤； （4）解：把代入解析式得：， 解得：， ∵，当时，，且， ∴当时，， ∴秤砣到提纽的水平距离的取值范围为． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：与：交于点，，与轴分别交于点，． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)上是否存在点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先把点代入，求出点A的坐标，再把点A代入，即可求出n的值． （2）结合函数图象，当不等式时，即直线在直线上方，据此求解即可． （3）分别求出点B，C的坐标，先求出，设，再由，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． （2）解：由（1）知，， 结合函数图象，当时，不等式． （3）解：当时，则，∴， 当时，则，∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴或． 7．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）先根据求出点B的坐标，结合求出点A的坐标，代入即可求出k的值； （2）先用勾股定理求出长度，设点C的坐标为，则，，由折叠的性质得，，最后由勾股定理解即可； （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 点B的坐标为， ， ， ， 点A在x轴的正半轴上， 点A的坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解： ，， ， 设点C的坐标为， 则， ， 由折叠得，， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为； （3）解： ， ， ， 当以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 分两种情况： 当时，， 如图： 点E的横坐标为或， 点E的纵坐标为或， 点E的坐标为或； 当时，， 如图： 点F的纵坐标为或， 点E的纵坐标为或， 即或， 解得或， 点E的坐标为或， 综上可得，点E的坐标为或或或． 8．（25-26八年级下·四川凉山·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线，通常也称为直线，其中称为直线的斜率，若直线上有两点和则．特别地，当直线与直线互相垂直时，． 【理解运用】 (1)已知点，，其中m为常数，且．若直线与直线垂直，求的值； (2)判定点，，三点构成的是否是直角三角形？并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）先根据两点坐标求直线的斜率，再结合垂直关系列方程求解． （2）分别计算三角形三边所在直线的斜率，通过验证斜率乘积判断是否存在垂直关系，进而判断三角形形状． 【详解】（1）解∶ ∵，，， ∴根据斜率公式，直线的斜率为， ∵直线的斜率为，直线与该直线垂直， ∴根据题意得 ， ∴， 解得； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ 是直角三角形． 迁移创新 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，射线所对应的函数解析式为，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，作射线．    (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为______； (2)求射线所对应的函数解析式，不要求写出x的取值范围； (3)将射线，所组成的图形记为图象，动点在图象上，其横坐标为．将图象在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差记为． ①当时，_______；当时，_______； ②当时，直接写出的值； ③当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)射线所对应的函数解析式为 (3)①4；2；②m的值为或3；③m的取值范围为或或 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）①根据题意代入求解即可； ②分四种情况讨论求解即可； ③分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴射线所对应的函数解析式为； （3）解：图象V由和组成， 最低点为，， n为点P与点B之间部分最高点与最低点纵坐标之差； ①当时：P在射线上，， P到B段，y从4降至0， 最高4，最低0， ∴； 当时：P在射线上，， P到B段路径经，最高为B点，最低为A点， ∴； ②当时：若，P在B左侧，最高，最低0， ∴， 解得； 若，最高为0，最低， ∴， 解得(舍去)； 若，最低恒为，最高为， 则，不符合题意舍去， 若，最低恒为，最高， ∴， 解得； ③当时： 情况1：当时，， 由题意得，解得； 情况2：当时，， 由题意得， 解得， 即； 情况3：当时，， 由题意得， 解得，即； 情况4：当时，， 由题意得，解得，即； 综上，m的取值范围为或或． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射成功，三名航天员于次日5时13分进驻“天宫”，中国航天员完成第12次“太空会师”．航天事业的蓬勃发展，促进了航天文创产品的销售．某商店售卖A，B两款航天文创产品，已知购买一个A款航天文创产品和一个B款航天文创产品共需130元，购买一个A款航天文创产品比购买两个B款航天文创产品少花费20元． (1)求A，B两款航天文创产品的单价． (2)若某研学团队欲购买A，B两款航天文创产品共50个，且A款航天文创产品的数量不少于款航天文创产品数量的倍．该研学团队购买A，B两款航天文创产品各多少个，可使得总花费最低？最低花费是多少元？ 【答案】(1)A款航天文创产品单价为80元，B款航天文创产品单价为50元 (2)购买A款30个，B款20个时总花费最低，最低花费为3400元 【分析】（1）据题干给出的两个总价关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两款产品的单价； （2）先根据A款数量和B款数量的不等关系列出一元一次不等式，得到自变量的取值范围，再得到总花费关于购买数量的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最低花费． 【详解】（1）解：设A款航天文创产品单价为元，B款航天文创产品单价为元． 根据题意得， 把代入得， 解得， 把代入得， 答：A款航天文创产品单价为80元，B款航天文创产品单价为50元； （2）解：设购买A款航天文创产品个，总花费为元，则购买B款航天文创产品个． 根据题意得， 解得， 总花费， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，取得最小值， 此时，（元）， 答：购买A款30个，B款20个时总花费最低，最低花费为3400元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $