江苏扬州市江都区大桥高级中学2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试卷

2026~2027学年第一学期10月学情检测 高三数学 命题单位:扬州市江都区大桥高级中学 命题人:姚让文 审核人:黄娟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效。 3.本试卷共4页,考试时间为120分钟。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x|(x-2)2>0},集合B={x|x=2k+1,k∈N,则A∩B= A.② B.{2} C.A D.B )3 2 ) 2.已知cosa 6F则cos2a 3/ B.25 3.曲线y=sinx+cosx在点(0,1)处的切线方程为 A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x+1 D.v=x-1 4.已知a,beR,则“a3<b3”的一个充分不必要条件是 4合号 B.a2<b2 C.Iga<lgb D.2<2 5.已知角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在射线y=3x(x≤0)上,则sima= A.-30 B.、10 c.v10 D.3V10 10 10 10 10 [2e-1,x<1, 6.若函数f(x)= 在R上单调递增,则实数a的取值范围为 w-lnx,x≥1 A.[1,+o) B.(1,+o) C.(1,2) D.[2,+m) 7.己知函数f(x)=e-x2-m-1在R上仅存在极小值,则m的范围是 2 A.0<m<e B.m<0 C.m>e D.l≤e 试卷第1页(共10页) 8.在锐角 ABC中,D为边BC的中点,点E在线段AD上,若AE=ED,EB.EC=0,则 cosA的取值范围是 3V21 57 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要 求的。 9.已知函数f)=4sin(or+A>0,a>0-亚sp< 2 、2 的部分图象如图所示,则 A.0=2 B.- c.f(x)在区间元,4 5 ) 上单调递减 12 D.当马,名为方程了)的两个不同的解时,-x的最小值为写 10.设a,b均为正数,且a+b=2,则 A.0<ab≤1 B. 1+2>3 a b C.log2Va+log4b≤0 D.2+2≥4 11.己知函数f(x),8(x)及其导函数f'(x),g'(x)的定义域均为R,f(x)=g(x+1),f(3-x)-8(x)=2, 8(x-1)关于点(2,0)对称,则 A.8(1)=0 B.f(0)=0 C. 含-0 D. f()(k)o 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 l2.已知两单位向量a,b满足la+2b=a-,则a,6的夹角为 1B.已知函数)=3cos(2+,(00<)满足r+号-f任-恒成x,则p 一,若 锐角a满足f(a)=-1,则cosa- 4 14.已知对于x>0,都有e+a<1-l血x,则a的取值范围是 (用集合表示结果) 试卷第2页(共10页) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在梯形ABCD中,ABIICD,AB=4,CD=L,AD=3,∠DAB= (1)求AC的长: (2)求sin∠ACB的值. 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,AD=√5,OD=2,AC与BD相交于点O,PO⊥平 面ABCD,E是线段PB的中点 (1)求证:PD/平面ACE: (2)若平面PAD与平面4CB所成锐二面角的余弦值为5,求P0. E 3 D B 17.某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行,只有当理论考试成绩合格时,才可继续实操考试.已 知每科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,每次理论考 试成续合格的概率均为},每次实操考试成线合格的概率均为。假设各次考试成线合格与否均互不影响。 (1)求他可获得证书的概率 (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为5,求5的分布列和数学 期望E(). 试卷第3页(共10页) 18.(17分) 已知函数f(x)=2 sinxcosx+2cos2x (1)求函数f(x)的对称中心: (2)若方程f国=a在82 「兀 上的有两个解,求a的范围: (3)将函数∫(x)的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线C,再将C上的各点横坐标变为原来的2倍 (纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若x∈ 22mm∈1,o,不等式m2-2mt+2≥8)成立,求 实数t的取值范围. 19.(17分) 设函数y=f(x)的极小值点组成集合Dfs (1)若f(x)=x-sinx,证明:Dr=⑦: (2)若g(x)=e(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),0∈Dgx,求实数a的取值范围: (3)若定义域为R的函数y=h(x)的图象是一条连续曲线,记其导函数为y=N(x),且y=M(x)在R上 为严格增函数.求证:若存在∈R,使得h(x)<h()对任意x<恒成立,则必有DMx)=②. 试卷第4页(共10页) 2026~2027学年第一学期10月学情检测 高三数学试卷参考答案 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D7.B 8.C 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目 要求的.全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选的得0分. 9.ABD 10.ACD 11.AD 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. a骨 13.;6 23 14.{da≤-) 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)【难度】0.71 【解】(I)如图,因为梯形ABCD中,∠DAB= 3, 所以∠ADC=2 39 由余弦定理得C4=CD +4D2-2CD-ADcs2亚=1+9-2 1x3xc0120 =13. 3 所以CA=√3, (2)在aADC中,cos∠ACD=CD+AC2-AD2_1+13-9_5N3 2CD.AC 2 1 V1326 又cos∠ACD=cos∠C4B=5Vi3 26 在a1BC中,BC2=AB2+AC2-2AB4C-c0s∠CA1B=16+13-2 4xNB 5E=9 26 所以BC=3,又sin∠ACD=sin∠CAB=3V39, 26 由正弦定理得, CB AB sin∠CAB sin∠ACB,即} 4 sin∠CAB sin∠ACB' 解得sin∠4cB=2V39 13 16.(15分)【难度】0.62 (1)证明:四边形ABCD是菱形 .AC,BD互相平分,且ACOBD=O,则O为BD的中点, 又E是线段PB的中点,连接OE,∴OE∥PD, ,PD丈平面AEC,OEC平面AEC,且OE∥PD,.PD∥平面AEC 试卷第5页(共10页) (2)四边形ABCD是菱形,.AC,BD互相平分,且AC⊥BD. .AD=5,OD=2,..OA=AD2-OD2=1. 由于PO⊥平面ABCD,OB,OCC平面ABCD,则PO⊥OB,PO⊥OC, 又AC⊥BD,所以∠BOC=90 ,故OB,OC,OP两两垂直 以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-1,0),B(2,0,0),C(0,1,0),D(-2,0,0),设P(0,0,a)(a>0) 则0PA=(0,1,40-(21o.4E-(u4c=0,20). 设平面PAD的一个法向量为m=(,,2),且PA=(0,-1,-a,AD=(-2,1,0) E D mPA-0y-=0,即+=0。 则 mAD=-2x+y+0=0'4=2x B 取无1,则天=25=名m2引 设平面4C图的-个法向量为元=,为:2小,正=114C=020), a iAB=名++气3=0,日 则 0,即经-0.限飞=1,则585=子10- i:AC=0+2y2+0=0 y=0 平省A0与平而AC5所限领=面角的会法值为9,且m-L2》n-(0-引 所以cos(m,= m +0+a -3 园 /5 +aV+a ,2,即a=4,解得a=2,或a=-2(舍去).即p0=2. 3￥12=5+、 17.(15分)【难度】0.65 【解】(1)设理论考试合格为事件A,实操考试合格为事件B, 理论考试有两次机会,至少一次合格的概率为:P心倒=1-)-名 实接考试有丙次机会,至少一次合格的概率为:P()-1-)一号 因为只有理论合格后才能参加实操,所以获得证书的概率为:P=P4)P(B)15 8-3 16961 (2)设“第一次理论考试合格”为事件A,“理论考试补考合格”为事件A; 试卷第6页(共10页) “第一次实操考试合格”为事件B,“实操考试补考合格”为事件B2: 由已知得,5=2,3,4, 注高到备事件之间的独立性与互际性,可有贴=小=4》-八不)子号子行8 P啡=动=a)a国+P44)-号分- P5=利=P44a)P44画)-子号片子+g6 所以,随机变量的分布列为 2 3 4 品a 3 8 16 参加考试次数的期塑位()=2 8+意+4水。月 16-21 18.(17分)【难度】0.65 【解】(1)因为f(x)=2 sinxcosx+2cos2x, 2 =V万(m2rcos+cos2rsm+1=an2x+}1 4 4 2x+亚=akEZ,解得x=亚+,keZ, 4 82 所以对称中心为亚+】 8+21k∈z (2)因为x∈ 82所以2x+∈0,5n]】 「 4L4 因为)=5m(2x+到+1,当0s2x+经分即零≤x≤发时,)单调递增, 8 8 当经2x+子平即日≤受1单调减,当2x+=0或时,=V0-1=1, 8 当2+是时,)-m子1=反+1,所以方能0-a在智哥引上约有两个解 所以ae1,V2+1) (3)因为函数∫(x)的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线C, 再将C上的各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象, 所以g)=an(+牙引 试卷第7页(共10页) x∈-%,,∀me-1,0,不等式t2-2mt+2≥8()成立,所以mt2-2mt+2≥8( 因为引 .元「 3 所以x+号 44’4 4 军即x=-时,8()=-1,当m∈-10]时、令A0m=m-2证+2=仔-2xm+2. 2 h(-1)≥-1am 所以 h01,即+2+2之-,即-1st≤3, 22-1 所以实数t的取值范围[-1,3]。 19.(17分) 【难度】0.25 (1)函数f(x)=x-sinx,定义域为R, 由f"(x)=1-cosx≥0,所以函数f(x)在R上单调递增, 所以函数f()无极值点,所以D=O. (2)g'(x)=e*(2x-2sinx)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(e*-a), 由(1)知当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,即x-sinx≥0,当x<0时,x-sinx<0: ①若a≤0,则e-a>0,所以当x<0时,g'(x)<0,当x≥0时,g'(x)≥0, 所以g(x)在(-n,O)上单调递减,在[0,+o)上单调递增,所以x=0为g(x)的极小值点. ②若0<a<1,当na<x<0时,g'(x)<0,当x≥0时,g'(x)≥0, 所以g(x)在(na,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, 所以x=0为8(x)的极小值点. ③若a=1,则x-simx与e-a同号,所以g'(x)≥0, 所以8(x)在(m,+n)上单调递增,无极值点,不合题意. ④若a>1,当x<0时,g'(x)>0,当0≤x<na时,g'(x)≤0, 所以g(x)在(-n,0)上单调递增,在[0,ha)上单调递减, 所以x=0为函数8(x)的极大值点,不合题意. 综上,实数a的取值范围为(-o,1). 试卷第8页(共10页) (3)方法二:若Dx)≠⑦,则N(x)=0在R上有解,设为X, 由于y=(x)在R上为严格增函数,所以当x∈(-o,x)时,(x)<()=0, 则h(x)为严格减函数, 当x∈(x,+o)时,1(x)>M(x)=0,(x)为严格增函数,所以x=,1为极小值点, 当,≥,则结合(x)在(-o,)上为严格减函数,即h(x)在(-n,)也为严格减函数, 所以存在x2<x,使得h(x2)>h(x),与题意矛盾, 当<,由于存在∈R,使得h(x)<h()对任意x<恒成立, 所以存在实数M≤h(x),使得h(x)<M对任意x<x恒成立, 且满足随着x从,连续减小趋近于负无穷,函数y=M-(x)的函数值从M-h(x)逐渐连续减小趋近于O, 所以y=M为h(x)的渐近线,则有x -o时,h(x) M,x -o时,H(x) 0, 由于y=h(x)的定义域为R,h(x)在(-o,,)上为严格减函数,N(x)在R上为严格增函数, 所以当x1>x-1>x-2>…>x-n>…时,有h(x)<h(x-1)<h(x-2)<…<h(3-m)<…<M, 和0=(x)>H(s-1)>(:-2)>…>(s1-n)>…>lim(x1-n)=im(x)=0,与不等式的传递性 矛盾, 所以不存在这样的,使得H(x)=0在R上有解,故D=. 方法二:先证明:当y=H(x)在R上为严格增函数时,任取x,xeR,均有(x)(x-x)+h(x)≤h(x), 等号当且仅当x=x时成立, 设m(x)=N(x)(x-x)+h(x)-h(x),则m'(x)=(x)-(x), 所以当1(x)>H(x),即x<x时,m(x)>0,即函数y=m(x)在(-n,x)单调递增, 当(x)<(x),即x>x时,m(x)<0,即函数y=m(x)在(x,+o)单调递减, 所以m(x)≤m(x)=(x)x-x)+h(x)-h(x)=0. 即(x)(x-x)+h(x)sh(x),等号当且仅当x=x时成立: 再证明:Dax=⑦, 若Dx≠,则H(x)=O在R上有解,设为, 试卷第9页(共10页) 由于y=H(x)在R上为严格增函数,所以当x∈(-o,x)时,1(x)<N()=O,h(x)为严格减函数, 当∈((1,+o)时,1(x)>1()=0,(x)为严格增函数,所以x=1为极小值点, 当≥,则结合(x)在(-,1)上为严格减函数, 即h(x)在(-o,x)也为严格减函数,所以存在x<x,使得(x,)>h(),与题意矛盾, 当<,令N(x)(x-x)+h(x)>h(),则(x)x>h()-h(x+x7(x),由于x的任意性,取x<5, 则r()<0,故x<h)h()+(e) h(x) h()-h(x)+x7(x) 再取实数满足x<x且x< (x) 有h()>(x)(s-x)+(x)>(x) h)hA(x)+x(-E+hK')=(o): (c) 与“h(x)<h(,)”对任意x<恒成立矛盾, 所以不存在这样的,使得H(x)=O在R上有解,故Dx=O. 试卷第10页(共10页)