第2章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第2章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则 · 能熟练进行单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算 · 灵活运用平方差公式与完全平方公式进行简便计算 · 掌握整式的四则混合运算顺序与方法 · 能运用整式运算解决求值、规律探索与几何面积等综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.幂的运算 同底数幂相乘：am·an=am+n（m、n为正整数） 幂的乘方：(am)n=amn 积的乘方：(ab)n=an·bn 同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0，m>n） 逆用运算法则可进行大小比较与整体代换 概念辨析例题：计算：(a2)3·a4的结果是（　　）A．a9　B．a10　C．a11　D．a24 答案：B 解析：(a2)3=a6，再与a4相乘：a6·a4=a6+4=a10。故选B。 ✅️ 2.整式的乘法 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘 单项式乘多项式：用单项式分别乘多项式的每一项，再相加 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项 不含某项求字母值：展开后令该项系数为0 概念辨析例题：计算：(x+2)(x-3)。 答案：x2-x-6 解析：用x分别乘x和-3，再用2分别乘x和-3：x·x+x·(-3)+2·x+2·(-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6。 ✅️ 3.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 公式变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 几何解释：公式可用于图形面积与直观验证 概念辨析例题：计算：(2x+3)(2x-3)。 答案：4x2-9 解析：这是平方差公式：a=2x，b=3，所以(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9。 ✅️ 4.整式的混合运算与规律探索 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号 先化简再求值：代入字母值前先合并同类项化简 程序流程图：按程序逐步代入计算 规律探索：观察数字或图形结构，归纳一般式并验证 概念辨析例题：先化简，再求值：(x-1)2+x(x+2)，其中x=-1。 答案：3 解析：原式=(x2-2x+1)+(x2+2x)=2x2+1，代入x=-1得2×1+1=3。 🧀 知识总结表 核心概念 运算法则 注意事项 同底数幂相乘 am·an=am+n 底数不变指数相加 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 积的乘方 (ab)n=an·bn 每个因式分别乘方 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两项相同、两项相反 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项是2ab 📩 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-14题） · 判断底数是否相同，再应用对应法则 · 幂的乘方注意指数相乘而非相加 · 逆用法则可灵活变形 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】根据同类项概念判定A；根据同底数幂相乘法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算并判定D． 【详解】解：A、 不是同类项，无法合并，则此选项不符合题意； B、，则此选项不符合题意； C、，则此选项不符合题意； D、，则此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式加法，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握同类项概念，同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算和幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方法则可得，，，据此比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． 4．（7.2幂的乘方与积的乘方（1）七年级数学下册苏科版2024）有下列算式：①（是正整数）；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，根据幂的相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：①，正确； ②，原计算错误； ③，原计算错误； ④，原计算错误． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 6．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的除法． 先计算积的乘方，再计算单项式的除法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方、积的乘方，解题关键是熟知同底数幂的除法的计算法则． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）先计算括号，再计算同底数幂的除法； （3）先计算括号，再计算同底数幂的除法； （4）先计算括号，再计算同底数幂的除法； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，积的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关知识．将所求式子变形为，再利用积的乘方的逆用求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 11．（第二章代数与方程（1）-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用））计算：____________． 【答案】． 【知识点】积的乘方运算 【分析】根据积的乘方法则计算即可. 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方，熟练运用运算法则是解题的关键. 12．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）计算（结果用幂的形式表示）：_____． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】把看作是一个整体，利用同底数幂的乘法解答即可． 【详解】解： 13．（23-24七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式的乘法，最后计算单项式的除法即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 14．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，平方差公式和完全平方公式，幂的混合运算，熟练掌握公式并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得解； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得解； （3）利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【考点2】整式的乘法（第15-22题） · 单项式乘多项式逐项相乘不漏项 · 多项式乘多项式用一项乘另一项各项 · 不含某项令系数为0 15．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：． 16．（2024·甘肃兰州·模拟预测）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据多项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算______________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 18．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 【答案】 9 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据关于x的代数式与的乘积中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：9． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：____________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 21．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则_______． 【答案】/ 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案是：． 22．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘以多项式，进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【考点3】乘法公式（第23-40题） · 识别公式结构：平方差看两项 · 完全平方注意中间项±2ab · 公式变形用于整体求值 23．（25-26七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 平方差公式适用于形式为的算式，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数，需逐一检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 平方差公式要求两式分别为和的形式， 选项A：，不符合公式； 选项B：，符合的形式（其中）； 选项C：，无相同或相反项，不符合； 选项D：，无相同或相反项，不符合； 故选：B． 24．（25-26八年级上·广东广州·期末）若是完全平方式，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特点是解答的关键．根据完全平方式的定义，表达式应满足即可求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 这个完全平方式为：或， ， 故选：D． 25．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式为两数和与两数差的乘积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式进行计算，符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选B． 26．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式为，据此对各选项判断即可． 【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，符合题意； C、，可以用平方差公式计算，不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，不符合题意． 27．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）若，，在下列判断结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，有理数的大小比较，利用完全平方公式求得值是解题的关键．利用完全平方公式求得值，通过比较结果即可得出结论． 【详解】解： ， ， ． 故选：B． 28．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果用平方差公式计算，则可将原式变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式解答． 【详解】， 故选：． 【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用解题是关键． 30．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为8，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为（   ） A．11 B．19 C．22 D．35 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积，数形结合是解答本题的关键． 设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b，由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，即可得出答案． 【详解】解：设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， 所以， 由图3可知，阴影部分面积． 故选：B． 31．（25-26六年级下·山东烟台·期末）计算的结果是____________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【详解】 ． 32．（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）若是完全平方式，则m的值为 ____． 【答案】5或/或5 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：由于，     ∴，     解得或．     故答案为：5或． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值． 33．（22-23七年级上·上海静安·期中）计算：____________ 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 34．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是_______．    【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，用两种方法表示出两个长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：剩余部分的面积可以用：进行表示，也可以用进行表示， ∴上述操作能验证的等式是； 故答案为：． 35．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）计算：_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式．先变形为，再用平方差公式计算，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，则________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的除法，平方根的计算，熟练掌握公式是解本题的关键． 将等式化为，再两边同时平方，可化为，即可得解答． 【详解】解：由，得 ， ∴， ∴， ， ， 即， ∴ ∴． 故答案为：． 37．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）整式是完全平方式，则______． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征求解即可，熟练掌握完全平方式的结构是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么______． 【答案】17 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】对已知等式变形，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键． 39．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题可利用平方差公式来进行简便计算，需要将和进行适当变形，构造出平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式的实际应用，通过将带分数变形构造出平方差公式的形式来进行简便运算．熟练掌握平方差公式的结构特征以及带分数的变形方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 40．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【考点4】整式的混合运算与规律探索（第41-52题） · 先化简再求值 · 程序图按步骤代入 · 规律题归纳验证 41．（23-24七年级下·广东佛山·期末）按如图所示的程序输出的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值、整式的混合运算 【分析】本题考查了列代数式与整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据运算程序进行列式计算即可． 【详解】解∶根据题意，得 ， 故选∶B． 42．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、等式的性质1、等式的性质2 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、等式的性质、等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，计算正确，故选项符合题意； C. 若，则，原计算错误，故选项不符合题意； D. 若，则，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 43．（2024·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了积的乘方，平方差公式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故A不合题意． ∵不是同类项，无法计算， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 44．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式四则混合运算 【分析】先设，除以时所得的余式为，商式为，再分别令、即可求出m、n的值，代入余式，即可求解． 【详解】解：设，除以时所得的余式为，商式为， 当时，， 当时，， ∴，， ∴多项式除以时，所得的余式为， 故选：A． 【点睛】本题考查带余数的除法，解题的关键是设出原式除以时所得的余式为，商式为，再用取特殊值法求解即可． 45．（23-24九年级下·重庆开州·期中）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论： ①第项为 ② ③若第项的值为，则 以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式的规律探究，多项式乘以多项式，根据题意可得第1项为，，第2项为，，第3项为，，根据变化规律解答即可． 【详解】根据题意， 第1项为， ， 第2项为， ， 第3项为， ， ∴第4项为，故①正确； ∴，故②不正确； 若第2023项的值为0，则， ∴， 即， ∴，故③正确； 故选：C． 46．（22-23七年级下·广西桂林·期中）设，且，则（　　） A． B． C．674 D．673 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出之间的等式关系是解题关键． 令，可将的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可． 【详解】解：设， 则， 将的值代入可得：， 解得：， ，， ， 故选：B． 47．（2026·重庆·模拟预测）实数和满足，则________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则. 48．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 49．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 50．（25-26七年级上·上海·期中）若、互为相反数，且，则____，_____． 【答案】 1 【知识点】相反数的定义、运用平方差公式进行运算、加减消元法 【分析】本题考查了平方差公式，相反数的性质，解二元一次方程组；根据平方差公式将方程变形，利用与互为相反数的条件得到，进而求解方程组． 【详解】解：与互为相反数，． 方程，应用平方差公式得： ， 即． 代入，得， 两边除以，得， 即． 联立方程组： ， 解得： 故答案为：，． 51．（2023·四川成都·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 __________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键． 首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：∵， 可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是， 故答案为：． 52．（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 幂的运算注意法则区分：相乘指数相加、乘方指数相乘 · 整式乘法逐项相乘，防止漏项 · 乘法公式先识别结构再套用 · 混合运算先化简再求值 · 规律题从特殊到一般归纳验证 【作业1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查有理数的乘方运算，先将化为，根据幂的乘方将原式化为，再根据同底数幂的乘法的逆运算转化为，然后根据积的乘方的逆运算转化为，即可得解．掌握相应的运算法则的逆运算是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业2】（23-24七年级下·全国·暑假作业）已知，求的值． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 【作业3】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)    ； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的乘法法则，正确计算是解题的关键． 【作业4】（23-24七年级上·上海·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)19 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了利用完全平方公式计算， （1）把待求式变形为，代入计算即可． （2）根据，代入计算即可， 熟练进行公式变形是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴ ． 【作业5】（20-21七年级上·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】根据多项式除以单项式法则和合并同类项法则计算即可． 【详解】解： = =． 【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握多项式除以单项式法则和合并同类项法则是解题关键． 【作业6】（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】列代数式、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查列代数式，整式乘法的运算，完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用． （1）由，则，然后根据代入求解即可； （2）首先求出，然后根据正方形的面积公式求解即可； （3）首先得到，然后计算，进而得到． 【详解】（1）解：∵，则 ∴； （2）解：当点P是的中点时，， ∴； （3）解：当点P不是的中点时，得， ∴ ∵ ∴ ∴． 【作业7】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先算乘方和除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【作业8】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，根据乘法公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【作业9】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知两互不相等的正整数a，b满足，求的值． 【答案】672 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式及平方差公式分解因式，即可得到答案 【详解】解：由条件得 ∴， ∵为互不相等的正整数， ∴和为整数，且， 若，则，不合题意，故， ∵， ∴只能是， 解得，符合题意. ∴. 【作业10】（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】先把带分数拆成整数与分数的差或和，再利用平方差公式简化运算． 【详解】解：原式 ． 【作业11】（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)1，2，3 (3)①7；② 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的运算，换元法． （1）用不同方式求大正方形的面积求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则计算，然后再根据三种纸片的面积，进而得出答案； （3）①根据已知条件，利用完全平方公式，先求出，然后求出即可； ②设，则，，根据已知得出，利用完全平方公式展开，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积为，也可以为， ∴，，之间的等量关系为：； （2）解： ， ∵一张A种纸片的面积为，一张B种纸片的面积为，一张C种纸片的面积为， ∴要拼出一个面积为的矩形，需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张． 故答案为：1，2，3； （3）解：①∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值是． 【作业12】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用完全平方公式以及平方差公式运算，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【作业13】（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)，， (2) (3)6 【知识点】整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （2）根据结论求出，然后进行计算即可得解； （3）根据结论求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴， ∴ ∴结合结论②和结论③，可以得到等式； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：由（2）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 【作业14】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，用，表示的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）5． 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，逆用法则可得．再将，，代入，即可解决此题． （2）先根据幂的乘方得到，再将，代入，即可解决此题． 【详解】解：（1），， . （2），， 原式. 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 【作业15】（24-25六年级下·山东泰安·期末）阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】有理数的乘方运算、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律探索，乘方，理解材料的计算方法是关键． （1）根据材料的计算方法，找出规律即可求解； （2）根据题意，将原式变形得，运用材料提示方法计算即可； （3）根据材料提示方法得到，则或，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ， ∴； （2）解： ； （3）解：， ∴， 解得，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 【作业16】（25-26七年级上·上海青浦·期中）【问题】条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 【探究】一个平面被条直线分割，给出的图例如下： 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 (1)填空：________． (2)计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：___________（用含的式子表示），进而得到___________．（结果写成最简形式） (3)应用：一个正方体蛋糕切11刀（不移动蛋糕的位置，且只能竖着切），被分成的块数至多为______块． 【答案】(1)11 (2)； (3)67 【知识点】图形类规律探索、整式四则混合运算 【分析】（1）根据平面内有条直线、条直线、条直线时平面被分成的个数总结出规律，根据规律得到的值； （2）根据题目中提供的思路得到：，，，，，然后把这组差相加可得：，从而得到，计算可得结果； （3）把代入的表达式中求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知：平面内有条直线时，平面被分成个部分， 平面内有条直线时，平面最多被分成个部分，增加了个部分， 平面内有条直线时，平面最多被分成个部分，增加了个部分， 根据规律可知：当平面内有条直线时，所分部分最多时，将增加个部分，即平面最多被分成个部分， ∴； （2）解：由（1）可知，，，，，， ∴， ， ， ， ， ； （3）解：当时，， ∴一个正方体蛋糕切11刀（不移动蛋糕的位置，且只能竖着切），被分成的块数至多为67块． 【作业17】（专题03 整式的乘法（计算题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册）计算： 【答案】0 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 先积的乘方运算，再单项式乘单项式运算，最后合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 ． 【作业18】（25-26七年级上·上海闵行·期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 【答案】(1)；0 (2)； (3) (4) 【知识点】整式四则混合运算、十字相乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式除以整式的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式有因式，再利用长除法确定整式除以整式的商式，得到，再利用十字相乘法因式分解，即可得出答案． 【详解】（1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 故答案为：；0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则 所以，． 故答案为：；； （3）解：对于一元整式， 由、得， 所以把代入整式，得其值为0． 故答案为：； （4）解：由（3）得，整式有因式， 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则， 又因为， 所以 故答案为：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪教版（五四制）七年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则 · 能熟练进行单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算 · 灵活运用平方差公式与完全平方公式进行简便计算 · 掌握整式的四则混合运算顺序与方法 · 能运用整式运算解决求值、规律探索与几何面积等综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.幂的运算 同底数幂相乘：am·an=am+n（m、n为正整数） 幂的乘方：(am)n=amn 积的乘方：(ab)n=an·bn 同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0，m>n） 逆用运算法则可进行大小比较与整体代换 概念辨析例题：计算：(a2)3·a4的结果是（　　）A．a9　B．a10　C．a11　D．a24 答案：B 解析：(a2)3=a6，再与a4相乘：a6·a4=a6+4=a10。故选B。 ✅️ 2.整式的乘法 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘 单项式乘多项式：用单项式分别乘多项式的每一项，再相加 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项 不含某项求字母值：展开后令该项系数为0 概念辨析例题：计算：(x+2)(x-3)。 答案：x2-x-6 解析：用x分别乘x和-3，再用2分别乘x和-3：x·x+x·(-3)+2·x+2·(-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6。 ✅️ 3.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 公式变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 几何解释：公式可用于图形面积与直观验证 概念辨析例题：计算：(2x+3)(2x-3)。 答案：4x2-9 解析：这是平方差公式：a=2x，b=3，所以(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9。 ✅️ 4.整式的混合运算与规律探索 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号 先化简再求值：代入字母值前先合并同类项化简 程序流程图：按程序逐步代入计算 规律探索：观察数字或图形结构，归纳一般式并验证 概念辨析例题：先化简，再求值：(x-1)2+x(x+2)，其中x=-1。 答案：3 解析：原式=(x2-2x+1)+(x2+2x)=2x2+1，代入x=-1得2×1+1=3。 🧀 知识总结表 核心概念 运算法则 注意事项 同底数幂相乘 am·an=am+n 底数不变指数相加 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 积的乘方 (ab)n=an·bn 每个因式分别乘方 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两项相同、两项相反 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项是2ab 📩 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-14题） · 判断底数是否相同，再应用对应法则 · 幂的乘方注意指数相乘而非相加 · 逆用法则可灵活变形 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 4．（7.2幂的乘方与积的乘方（1）七年级数学下册苏科版2024）有下列算式：①（是正整数）；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 6．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算：______． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：__________． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则________． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：______． 11．（第二章代数与方程（1）-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用））计算：____________． 12．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）计算（结果用幂的形式表示）：_____． 13．（23-24七年级上·上海普陀·期中）计算：． 14．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【考点2】整式的乘法（第15-22题） · 单项式乘多项式逐项相乘不漏项 · 多项式乘多项式用一项乘另一项各项 · 不含某项令系数为0 15．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·甘肃兰州·模拟预测）的结果是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算______________． 18．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：____________． 20．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）计算：________． 21．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则_______． 22．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【考点3】乘法公式（第23-40题） · 识别公式结构：平方差看两项 · 完全平方注意中间项±2ab · 公式变形用于整体求值 23．（25-26七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·广东广州·期末）若是完全平方式，则的值为（） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）若，，在下列判断结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 28．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果用平方差公式计算，则可将原式变形为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为8，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为（   ） A．11 B．19 C．22 D．35 31．（25-26六年级下·山东烟台·期末）计算的结果是____________． 32．（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）若是完全平方式，则m的值为 ____． 33．（22-23七年级上·上海静安·期中）计算：____________ 34．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是_______．    35．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）计算：_____． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，则________． 37．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）整式是完全平方式，则______． 38．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么______． 39．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 40．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【考点4】整式的混合运算与规律探索（第41-52题） · 先化简再求值 · 程序图按步骤代入 · 规律题归纳验证 41．（23-24七年级下·广东佛山·期末）按如图所示的程序输出的结果是（   ） A． B． C． D．1 42．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 43．（2024·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24九年级下·重庆开州·期中）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论： ①第项为 ② ③若第项的值为，则 以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 46．（22-23七年级下·广西桂林·期中）设，且，则（　　） A． B． C．674 D．673 47．（2026·重庆·模拟预测）实数和满足，则________． 48．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 49．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 50．（25-26七年级上·上海·期中）若、互为相反数，且，则____，_____． 51．（2023·四川成都·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 __________． 52．（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）计算： （2）计算： 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 幂的运算注意法则区分：相乘指数相加、乘方指数相乘 · 整式乘法逐项相乘，防止漏项 · 乘法公式先识别结构再套用 · 混合运算先化简再求值 · 规律题从特殊到一般归纳验证 【作业1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：________． 【作业2】（23-24七年级下·全国·暑假作业）已知，求的值． 【作业3】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)    ； (3)． 【作业4】（23-24七年级上·上海·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)． 【作业5】（20-21七年级上·上海宝山·期末）计算： 【作业6】（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 【作业7】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【作业8】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算： 【作业9】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知两互不相等的正整数a，b满足，求的值． 【作业10】（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【作业11】（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【作业12】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 【作业13】（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【作业14】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，用，表示的值； （2）已知，，求的值． 【作业15】（24-25六年级下·山东泰安·期末）阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 【作业16】（25-26七年级上·上海青浦·期中）【问题】条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 【探究】一个平面被条直线分割，给出的图例如下： 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 (1)填空：________． (2)计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：___________（用含的式子表示），进而得到___________．（结果写成最简形式） (3)应用：一个正方体蛋糕切11刀（不移动蛋糕的位置，且只能竖着切），被分成的块数至多为______块． 【作业17】（专题03 整式的乘法（计算题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册）计算： 【作业18】（25-26七年级上·上海闵行·期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $