第12章·因式分解·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章·因式分解·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练综合运用各种因式分解方法处理高难度多项式 · 会用因式分解解决代数式的整体求值问题 · 能借助因式分解判断整除性、余数等数论问题 · 结合几何图形面积灵活构造并分解因式 · 能读懂材料题、新定义题并按规则计算 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解方法的综合运用 提公因式、公式法、十字相乘、分组分解的组合 换元与整体思想简化高次多项式 实数范围与有理数范围分解的区别 概念辨析例题：分解因式：x4-3x2-4 答案：(x2+1)(x+2)(x-2) 解析：设 y=x2，则原式=y2-3y-4=(y+1)(y-4)=(x2+1)(x2-4)=(x2+1)(x+2)(x-2) ☆ 2.因式分解与代数式求值 先分解再整体代入求值 由条件式变形得积的形式，再求具体值 完全平方变形求值：a2+b2、ab、a±b 互化 概念辨析例题：已知 x+y=5，xy=6，求 x2+y2 答案：13 解析：x2+y2=(x+y)2-2xy=25-12=13 ☆ 3.因式分解与整除、数论 把数式化积后分析整除性与约数 平方差连续分解：a2n-b2n 的分解 判断能否被某数整除：验证因式是否含该因子 概念辨析例题：说明 264-1 能被 3 整除 答案：264-1=(232-1)(232+1)，其中 232-1 含因子 3 解析：264-1 连续用平方差分解，22=4≡1 (mod 3)，故 2偶数-1 能被 3 整除 ☆ 4.因式分解与几何图形 用两种方法表示图形面积列等式 完全平方公式的几何解释 面积型压轴题的分解与求值 概念辨析例题：大正方形边长为 a+b，其面积可表示为 a2+2ab+b2 或 (a+b)2，由此验证： 答案：(a+b)2=a2+2ab+b2 解析：两种面积表示相等，即得完全平方公式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 综合分解 一提二套三分组四检查 按序进行、防漏项 换元分解 整体换元降低次数 换回原字母 整体求值 分解后整体代入 先化简再求值 整除判断 化积后看因子 结合同余思想 几何面积 S=两种表示相等 图形分割完整 阅读新定义 按规则翻译成代数式 逐条理解定义 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的基本方法（第1-11题） · 先提公因式再套公式，高次用换元 · 实数范围补求根公式 · 分解到底再回代 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．（25-26七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____． 6．（2023八年级上·福建泉州·竞赛）若，则的和为______． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式：． 8．（25-26八年级上·全国·周测）分解因式： (1)． (2)． (3)． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 10．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； 11．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【考点2】因式分解的应用（代数求值）（第12-18题） · 条件式变形为积的形式 · 整体代入降低计算量 · 完全平方变形求值 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 13．（24-25九年级上·重庆·开学考试）已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（培优专题02：二元一次方程组（六大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（浙教版））若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 15．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 17．（25-26七年级下·山东济南·期中）对于任意有理数，我们规定 (1)已知，则 ； (2)对于有理数若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． (4) 18．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【考点3】因式分解的应用（整除与数论）（第19-32题） · 连续平方差分解大数幂 · 化积后枚举约数 · 用同余判断整除 19．（25-26八年级上·全国·期末）关于x，y的方程的整数解的对数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 21．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 23．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 24．（2025·四川宜宾·一模）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．若为“异能数”，其中（，且为整数）；规定：，若能被7整除，且，求的最大值为_________. 25．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 26．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学____人． 27．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 28．（2025·浙江温州·中考真题）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是_______． 29．（2023·四川成都·模拟预测）设（n为正整数），则的值_________1（填“＞”，“=”或“＜”） 30．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 31．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【考点4】因式分解的应用（几何与阅读）（第33-45题） · 面积两种表示列等式 · 图形分割完整无遗漏 · 结合完全平方公式 33．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 34．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 35．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 36．（2026·湖北武汉·一模）由，，三个数字组成进制数记作，若，且，，为整数，各位数字均小于，则的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 37．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记．若为整数，则称m为“五行数”．例如：，，则是整数，所以214是“五行数”；，，则不是整数，所以113不是“五行数”．计算_________；s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求符合条件的s的最大值与最小值的差是_________． 38．（24-25七年级下·江西九江·阶段检测）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是_________． 39．（25-26八年级上·北京·期末）同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 40．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于_____________． 41．（25-26七年级下·浙江台州·期末）我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 42．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 43．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 44．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 45．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴分解先观察结构，再选方法 · 高次多项式优先换元降次 · 求值题先分解再整体代入 · 整除题把式子化为积再分析 · 几何面积题用「两种表示」列等式 【作业1】．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【作业2】．（25-26九年级下·全国·一轮复习）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【作业3】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【作业4】．（21-22九年级下·浙江·期末） 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，且都为正数，若满足，，，则（　　） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块_______型地砖． 【作业7】．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知，，，满足关系式，，则的值为__________． 【作业8】．（25-26八年级上·广西桂林·期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为______． 【作业9】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______． 【作业10】．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【作业11】．（2023八年级·贵州遵义·竞赛）分解因式：______． 【作业12】．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【作业13】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【作业14】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为，这时可以确定多项式中有因式．同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到． 又如：对于多项式，发现当时，的值为，则多项式中有因式，我们可以设，解得，于是我们可以得到． 以上这种分解因式的方法叫试根法．请你根据材料，解答以下问题： (1)当时，多项式的值为______，多项式中有因式______，从而分解因式______． (2)用试根法分解因式： ①； ②； ③． (3)①已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式； ②分解因式：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章·因式分解·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练综合运用各种因式分解方法处理高难度多项式 · 会用因式分解解决代数式的整体求值问题 · 能借助因式分解判断整除性、余数等数论问题 · 结合几何图形面积灵活构造并分解因式 · 能读懂材料题、新定义题并按规则计算 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解方法的综合运用 提公因式、公式法、十字相乘、分组分解的组合 换元与整体思想简化高次多项式 实数范围与有理数范围分解的区别 概念辨析例题：分解因式：x4-3x2-4 答案：(x2+1)(x+2)(x-2) 解析：设 y=x2，则原式=y2-3y-4=(y+1)(y-4)=(x2+1)(x2-4)=(x2+1)(x+2)(x-2) ☆ 2.因式分解与代数式求值 先分解再整体代入求值 由条件式变形得积的形式，再求具体值 完全平方变形求值：a2+b2、ab、a±b 互化 概念辨析例题：已知 x+y=5，xy=6，求 x2+y2 答案：13 解析：x2+y2=(x+y)2-2xy=25-12=13 ☆ 3.因式分解与整除、数论 把数式化积后分析整除性与约数 平方差连续分解：a2n-b2n 的分解 判断能否被某数整除：验证因式是否含该因子 概念辨析例题：说明 264-1 能被 3 整除 答案：264-1=(232-1)(232+1)，其中 232-1 含因子 3 解析：264-1 连续用平方差分解，22=4≡1 (mod 3)，故 2偶数-1 能被 3 整除 ☆ 4.因式分解与几何图形 用两种方法表示图形面积列等式 完全平方公式的几何解释 面积型压轴题的分解与求值 概念辨析例题：大正方形边长为 a+b，其面积可表示为 a2+2ab+b2 或 (a+b)2，由此验证： 答案：(a+b)2=a2+2ab+b2 解析：两种面积表示相等，即得完全平方公式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 综合分解 一提二套三分组四检查 按序进行、防漏项 换元分解 整体换元降低次数 换回原字母 整体求值 分解后整体代入 先化简再求值 整除判断 化积后看因子 结合同余思想 几何面积 S=两种表示相等 图形分割完整 阅读新定义 按规则翻译成代数式 逐条理解定义 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的基本方法（第1-11题） · 先提公因式再套公式，高次用换元 · 实数范围补求根公式 · 分解到底再回代 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐个判断每个多项式因式分解时是否用到完全平方公式即可解答． 【详解】解：①，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ②，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ③，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ④，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ⑤，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ⑥，提公因式后用到完全平方公式，因式分解用到完全平方公式； 综上，用到完全平方公式的共有个，即选项B符合题意． 【点睛】掌握完全平方公式为是解题的关键． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____． 【答案】 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解中十字相乘法的应用，熟练掌握因式分解中十字相乘法是解题关键． 对于二次三项式，利用十字相乘法，将常数项分解为两个整数的乘积，这两个整数的和即为的可能值，列出所有分解情况并计算和，得到的所有可能值． 【详解】设 ，则展开后比较系数得 且 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 综上，整数的所有可能值为：． 故答案为． 6．（2023八年级上·福建泉州·竞赛）若，则的和为______． 【答案】0 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．前三项用完全平方公式因式分解；中间两项提公因式；最后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 8．（25-26八年级上·全国·周测）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）先提取公因式，再看剩余部分是否符合完全平方公式的形式，进行因式分解； （2）先将式子变形，提取公因式，再对剩余部分进行整理化简； （3）先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ， ， ． （3）解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解是解题的关键． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 10．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握添项法与十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）将原式变形后解答即可； （2）用十字相乘法因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 【考点2】因式分解的应用（代数求值）（第12-18题） · 条件式变形为积的形式 · 整体代入降低计算量 · 完全平方变形求值 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【详解】解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③， ∵ 则当的值恒为正数时，即可， ∴， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ∴，， ∵p、q为整数， ∴p、q的值可为或或或或或 ∴或或8或或7或， 故④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 13．（24-25九年级上·重庆·开学考试）已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】多项式的判断、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 14．（培优专题02：二元一次方程组（六大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（浙教版））若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式、加减消元法 【分析】本题考查的是方程组的解法，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，分两种情况讨论：当时，方程有1组解；当时，方程化为，再把三个方程相加，结合完全平方公式进一步解答即可． 【详解】解：当时，方程有1组解； 当时， ∵，则， ∴， ∴三个方程相加：， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； 综上：方程有2组解； 故选：B． 15．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】整式乘法混合运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项，发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果． 【详解】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 16．（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1) (2) (3)， 如图所示． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． （2）， ． ． ， ． （3）略 17．（25-26七年级下·山东济南·期中）对于任意有理数，我们规定 (1)已知，则 ； (2)对于有理数若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． (4) 【答案】(1)3 (2) (3)（i）；（ii）的值为2 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数、因式分解的应用 【分析】（1）由新定义求出，然后利用因式分解计算即可； （2）先根据新定义变形，再根据完全平方式有和差两种形式解答即可； （3）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以， 解得． 18．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 【考点3】因式分解的应用（整除与数论）（第19-32题） · 连续平方差分解大数幂 · 化积后枚举约数 · 用同余判断整除 19．（25-26八年级上·全国·期末）关于x，y的方程的整数解的对数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】因式分解的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了因式分解及二元一次方程的整数解，将原方程变形为，然后枚举所有整数因子对，再回代求解的对数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴和也为整数，且均为的因数， 枚举所有整数因子对满足：，，，，，， 分别计算： 当，时，，，得； 当，时，，，得； 当，时，，，得； 当，时，，，得； 当，时，，，得； 当，时，，，得， ∴共有6对整数解， 故选：D． 20．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 21．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式和因式分解对式子变形，推出，分两种情况讨论，当时和当时，进而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、同号， ∵，， ∴； ①当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； ②当时，可化为， ∴， ∴， ∴，与矛盾， 故此种情况不成立； 综上所述，． 故选：A． 22．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选：A． 23．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】先利用平方差公式化简原式，得到乘积能被整除的条件：要么百位数字与个位数字的差是的倍数，要么百位数字加倍十位数字加个位数字是的倍数，再从小到大枚举得到结果． 【详解】解：设一个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ∵这个三位数为“完全数”， ∴能被整除，且三个数字各不相同， ∵，且5是质数， ∴乘积能被整除等价于：是的倍数，或是的倍数． 若“完全数” 最小，则先取，再取最小的，此时不能为和， 从小到大验证： 若，则，不能被整除； 若，则，不能被整除； 若，，能被整除，且三个数字各不相同，因此最小的“完全数”是． 找第个“完全数”： 从小到大枚举百位为的“完全数”，去掉数字重复的情况，累计共得到个“完全数”， 分别为：， 接下来从小到大枚举百位为的“完全数”，前三个依次为（第个），（第个），（第个）， 因此第个“完全数”是． 24．（2025·四川宜宾·一模）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．若为“异能数”，其中（，且为整数）；规定：，若能被7整除，且，求的最大值为_________. 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解整除、完全平方数的定义，把不等式和方程相结合进行综合分析是解题关键．根据能被7整除可得出，，结合、的取值范围可得的值为92或81，根据可得出，结合、的取值范围，可得或34，将，的值代入计算选出最大值即可． 【详解】解：由题意知：，，、，且、、、为整数）， ∴， 同理， 能被7整除， 为整数， 又， ， ， ，，或，， 或81， 又， ， 即：， ， 、且， ，，或，， 或34，将、的值代入计算可得， ，，，， ， ． 故答案为：. 25．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意，，，且，故．由，得方程，整理得．因和为正整数且，枚举12的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故． 【详解】解：由已知，，，且． 展开得， 即， 因式分解得． 由于和是正整数，且，故，． 又，且， 因此可能因子对为，，． 当，时，解得，． 当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去． 当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去． 故唯一解为，，此时． 故答案为：． 26．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学____人． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，根据增加或减少人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为m，n，列式后得出，再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数． 两式相减，得， 即． ∵， 和同奇或同偶， ∴或， 解得或 当时，，， 当时，，，不合题意，舍去； 故原长方形队阵中有同学人． 故答案为：． 27．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 【答案】①②③ 【知识点】因式分解的应用 【详解】解：①∵， ∴多项式除以后的余数为4，故①正确； ②∵， ∴多项式能被整除，故②正确； ③若能被整除，则能因式分解，且含有因式， ∴当时，整个多项式为0， 即时，多项式的值为0， 则，故③正确； ④除以后的余数为1，说明含有因式， 令，多项式的值为0，则； 同理，含有因式， 令，多项式的值为0， 则， 解得，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③． 28．（2025·浙江温州·中考真题）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是_______． 【答案】2116 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查整式的运算，因式分解的应用．解题关键是利用因式分解把已知和所求整式变形．根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答． 【详解】解：． ，，， ， 可因式分解，变为， 同理， ， 原式 ， 故为一个平方数， 且，，为整数， ，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ， ． 故答案为：2116． 29．（2023·四川成都·模拟预测）设（n为正整数），则的值_________1（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】＜ 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查数式规律问题、因式分解的应用，先化简已知式，再利用拆项法求代数式值即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：＜． 30．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 31．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【详解】（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）略 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用提公因式法因式分解后计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【考点4】因式分解的应用（几何与阅读）（第33-45题） · 面积两种表示列等式 · 图形分割完整无遗漏 · 结合完全平方公式 33．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、因式分解的应用 【分析】先根据定义，利用平方差公式推导“公正数”的特征，再找出不超过2026的最大公正数对应的奇数，最后利用裂项相消法计算所有公正数的和． 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数）， 。 要求公正数不超过2026，即， 得， 最大取，此时最大的奇数为， 所有不超过2026的公正数之和为： ． 34．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 35．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形、运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 36．（2026·湖北武汉·一模）由，，三个数字组成进制数记作，若，且，，为整数，各位数字均小于，则的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、因式分解的应用 【分析】先将不同进制的数转换为十进制数，根据题意列等式化简，再结合的范围和各位数字的限制验证得到的值。 【详解】解：将p进制数转换为十进制，得值为，十进制数的值为， ∵， ∴， 化简得， 提取公因式得， ∵，， ∴，即， 又∵，且为整数， ∴可取， 当时，，得， ∵，最大，此时，不符合要求； 当时，，得，可得，，满足；由得，所有条件符合要求； 当时，，得， ∵，最大，无解； 综上，． 37．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记．若为整数，则称m为“五行数”．例如：，，则是整数，所以214是“五行数”；，，则不是整数，所以113不是“五行数”．计算_________；s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求符合条件的s的最大值与最小值的差是_________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、因式分解的应用 【分析】先按照定义计算，再设出s各数位的数字，结合s是偶数、百位比十位大5、各数位不为零的条件，列出表达式，根据五行数”要求为整数，找出所有符合条件的s，最后计算最大值与最小值的差即可． 【详解】解：当时，将百位数字放到末两位后，得， ∴； 设s的十位数字为，百位数字为，个位数字为， 根据题意得s各数位数字不为零，且s是偶数，因此，是不为零的偶数，即， ，， ∴， 又为整数，1005能被5整除，因此能被5整除， 化简得是5的倍数， 依次讨论得：当时，是5的倍数，得，此时； 当时，是5的倍数，得，此时； 当时，是5的倍数，得，此时； 当时，是5的倍数，得，此时； 所有符合条件的s中，最小值是612，最大值是948，差为． 38．（24-25七年级下·江西九江·阶段检测）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是_________． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解及整式混合运算的应用，先根据大中小三个正方形的边长分别为，，，分别表示出，，，再代入，，然后利用因式分解得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为，，， ∴，，， ∵，且， ∴，且， 整理得，且， ∵可得，， ∴， ∵可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·北京·期末）同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 【答案】 / 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）等于图1中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，等于图2中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，据此求出和，再利用作差法求解即可； （2）根据（1）所求可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 40．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于_____________． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可． 【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数） 同理，（为整数）． 由，得 ， ， 故，， 所以，． 因此，，．， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用． 41．（25-26七年级下·浙江台州·期末）我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】（1）根据题中所给关系式逐一判断即可； （2）先对进行因式分解，再结合为正整数，即可证明； （3）①先根据题中所给条件求出，再结合求得，进而求解； ②根据和，得出，再因式分解得，分情况讨论进而求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 42．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 【答案】(1) (2)多项式B的另一个零点为 (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、因式分解的应用、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了新定义、多项式的零点、因式分解，理解题意，利用多项式对应系数相等构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式的零点的定义将代入求得a，再将a的值代入因式分解后解一元一次方程即可； （3）通过因式分解求得的一个零点为3，根据“2系多项式”的定义求得M的另一个零点为，即，再利用多项式对应系数相等建立方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得， 故答案为：； （2）根据题意，把代入B得， 解得， 把代入B得， 令， 解得， ∴多项式B的另一个零点为； （3）∵， ∴多项式M的一个零点为3， 则另一个零点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】(1) ， 大正方形的边长为， (2) (3)张 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 44．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：； 情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法．理由： ∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形图略． 45．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴分解先观察结构，再选方法 · 高次多项式优先换元降次 · 求值题先分解再整体代入 · 整除题把式子化为积再分析 · 几何面积题用「两种表示」列等式 【作业1】．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 【作业2】．（25-26九年级下·全国·一轮复习）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 【作业3】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 【作业4】．（21-22九年级下·浙江·期末） 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查因式分解的应用，利用立方和与立方差公式化简计算，即可得出答案． 【详解】解：由立方和、立方差公式可得， ， ， ∴， ∴ 故选：B． 【作业5】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，且都为正数，若满足，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，由已知可得，，，即得，再分与两种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ①当时，， ∴，与已知矛盾，不合题意， ∴； ②∵，，， ∴，，， 若，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，与已知矛盾，不合， ∴， 同理可得，， ∴，即 故选：． 【作业6】．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块_______型地砖． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 【作业7】．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知，，，满足关系式，，则的值为__________． 【答案】74 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键． 将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可. 【详解】由题意得，①， ②， 得③， 得④， 得， ， ． 故答案为：74． 【作业8】．（25-26八年级上·广西桂林·期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为______． 【答案】 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【详解】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 【作业9】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______． 【答案】31或175或1631 【知识点】因式分解的应用、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查因式分解的应用．设此数为a，则，，，再将81分解成为3和27，或1和81，或9和9，分别列得二元一次方程组，求得x、y的值，即可求得a的值． 【详解】解：设这个正整数为a，则，，， ， 对81因式分解，可以分解为3和27，或1和81，或9和9， 所以：，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 故答案为：31或175或1631． 【作业10】．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【答案】9或12或21 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 【作业11】．（2023八年级·贵州遵义·竞赛）分解因式：______． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 【作业12】．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1) ， 若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； (2)， 用长除法操作如下： 故； (3) (4) 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 【作业13】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴ ， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 【作业14】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【知识点】因式分解的应用、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为，这时可以确定多项式中有因式．同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到． 又如：对于多项式，发现当时，的值为，则多项式中有因式，我们可以设，解得，于是我们可以得到． 以上这种分解因式的方法叫试根法．请你根据材料，解答以下问题： (1)当时，多项式的值为______，多项式中有因式______，从而分解因式______． (2)用试根法分解因式： ①； ②； ③． (3)①已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式； ②分解因式：． 【答案】(1)；； (2)①②③ (3)①② 【知识点】因式分解的应用 【分析】（1）根据题意，当时，，设，求出、的值，进而即可求出答案； （2）①根据题意，当时，，设，求出、的值，进而即可求出答案； ②根据题意，当时，，设，求出、的值，进而即可求出答案； ③根据题意，当时，，当时，，设，求出、的值，进而即可求出答案； （3）①设另一个因式为，根据题意列出关系式，计算求出、的值，即可确定出因式分解的结果； ②根据式子的特点，确定当时，，进而因式分解． 【详解】（1）解：当时，， 设， 解得：，， ∴， 故答案为：；；． （2）解：①当时，， 设， 解得：，， ． ②当时，， 设， 解得：，， ． ③当时，， 当时，， 设， 解得：，， ． （3）解：①设，则， ， 解得， ． ②当时，， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式和因式分解．理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $