第十一章 实数和二次根式全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材北京版八年级上册

第十一章 实数和二次根式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 平方根与算术平方根 题型2 平方根整数部分与小数部分 题型3 立方根 题型4 平方根与立方根 题型5 规律探索 题型6无理数与实数 题型7 二次根式定义及有意义的条件 题型8 二次根式的性质 题型9 二次根式的化简 题型10最简二次根式 题型11 二次根式的乘除法 题型12 同类二次根式 题型13 二次根式的加减法 题型14 二次根式混合运算及化简求值 题型15 二次根式的应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次根式综合 题型2 二次根式分母有理化 题型3 二次根式新定义 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 平方根与算数平方根 1．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 2．下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 3．若，则_______． 4．将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是______；与表示的两数之积是______． 5．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 6．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． ◆题型2 平方根整数部分与小数部分 7．的整数部分值为________． 8．的整数部分是_______，小数部分是_______． 9．若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 ◆题型3 立方根 10．“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 11．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．求下列各式中x的值： (1)； (2)． ◆题型4 平方根与立方根 13．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 14．已知一个正数x的两个平方根分别是和，若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的立方根． 15．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． ◆题型5 规律探索 16．综合与实践 (1)填空（用“”、“”或“”）： ___________；___________，从中你发现了什么规律？___________（用字母表示）． (2)请你按找到的规律进行计算： ①     ② (3)已知，，求（用含的式子表示）． 17．按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求．．．+的值． 18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 19．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ ◆题型6 无理数与实数 20．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 21．在 0、、、、、 这六个数中，无理数有_______个． 22．估计的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 23．如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 24．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为64时，输出的值是（     ）． A．2 B． C． D．3 ◆题型7 二次根式定义及有意义的条件 25．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 26．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．若二次根式 与 都有意义，则 a 的值是_______． 28．当时，二次根式的值为__________． ◆题型8 二次根式的性质 29．化简的结果是（     ） A．3 B． C． D．9 30．实数在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简： (1)___________，___________ (2)化简 31．使等式成立的a的取值范围为_________． ◆题型9二次根式的化简 32．【阅读材料】化简：． 解：隐含条件，解得， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，化简：（结果保留）； 【类比迁移】 (2)若，求的值； (3)若，求的值． 33．解答下列各题 (1)当时，化简______． (2)已知，求的立方根． 34．已知数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． ◆题型10 最简二次根式 35．下列式子中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 36．化简与计算：_____，______，_____． 37．已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． ◆题型11 二次根式的乘除法 38．计算： (1)； (2)； (3)． 39．计算： (1)； (2) 40．计算： 41．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 42．计算： (1) (2) (3) (4) 43．计算． ◆题型12 同类二次根式 44．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 45．若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 46．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． ◆题型13 二次根式的加减法 47．计算： (1) (2) (3)； (4) 48．计算 (1) (2) 49．计算： (1)； (2)． ◆题型14 二次根式混合运算及化简求值 50．计算： (1)÷－×； (2)． 51．计算： (1)； (2) 52．计算： (1)； (2)． 53．已知，求的值． 54．已知，求的值． 55．已知，，求的值； ◆题型15 二次根式的应用 56．如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为． (1)直接写出______，______； (2)求最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差多少？ 57．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（）高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：只需要的能量就会对人体造成危害） 58．阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． ◆题型1 二次根式综合 1．在如图1所示的的网格图中，放置着5个边长为1的小正方形，将它们按某种裁剪线剪开后重新拼装，能拼装成一个大正方形． (1)①请你在图1中画出裁剪线，并在图2中画出重新拼装后的大正方形； ②重新拼装的大正方形的边长为__________． (2)图3是由4个边长分别为的长方形和1个小正方形拼成的正方形图案． ①图3中小正方形的边长为__________； ②若该图案的总面积为，中间小正方形的面积为，则下列结论正确的是__________．（把所有正确结论的字母填在横线上） A．            B．            C．若，则 (3)在（2）的基础上，顺次连接长方形的对角线，得到一个新的正方形（如图4），若其面积为，求，，三者之间的数量关系． 2．沪科版数学七年级下册教材中有这样一个问题： 你会比较与的大小吗？ 本题可以采取一种叫作“放缩法”的数学方法完成，思路如下： 先将中的放大到，所以可得，问题得以解决； 进一步分析： 对于中的略微少放大一点，即：将放大到；可得 ；还可将缩小到，可得： ；所以可得：； 以上将一个式子适当的放大缩小的方法（即放缩法）是比较两个式子大小或者不等式证明常用的方法．请思考并体会此方法，完成以下任务： (1)请你用“放缩法”证明：； (2)已知x、y、z为正整数，且，求的值； (3)证明：（，且n为正整数）； 3．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 4．阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 5．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． ◆题型2 二次根式分母有理化 6．阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 7．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 8．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 9．【问题背景】在进行二次根式化简时，通常会遇到分母含有二次根式，例如：，这一类的式子，这时我们需要将其进行化简，，．这种化简的步骤叫作分母有理化． 【问题解决】 (1)仿照上面的解题过程，化简： ． (2)计算的值． 10．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： 请你根据小明的解答过程，解决如下问题： (1)__________； (2)化简：； (3)若，求的值． ◆题型3 二次根式新定义 11．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果（当时，；当为正整数时，），则，我们把叫做的“立信数”；反之，当为非负整数时，如果，则，我们把叫做的“立信范围”． 例如：，，．试解决下列问题： (1)填空：______；如果，实数的取值范围是______． (2)①求满足的所有整数的值； ②若关于的方程有正整数解，且a同时满足，是否存在这样的实数满足条件？若存在，请求出其值；若不存在，请说明理由． (3)求满足的所有的取值范围． 12．材料一：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：， ， ， 材料二：对于实数，我们定义一种新运算 （其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中，叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数． (1) ______；若 ，则 ______； (2)已知 ，请求出实数的取值范围； (3)已知 ， ， 求，的值； 若正格线性数 满足 ，求：满足条件的的值． 13．对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． (1)___________； ___________． (2)若 ，则的最大值为___________． 14．定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 15．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)的“舒适区间”是________；的“舒适区间”是________； (2)若为偶数，且的“舒适区间”为，求的小数部分； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 一、选择题 1．下列各数是无理数的是（     ）． A． B． C． D． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A．4 B．9 C．16 D．25 5．若，满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．下列关于立方根的说法中，正确的是（     ） A．负数没有立方根，所以 没有意义 B． C．的立方根是 D．立方根与平方根一样，都有两个 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．一个正方体储物盒的体积为，则该正方体储物盒的棱长是（     ） A． B． C． D． 9．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，数轴上有五个点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 13．要使代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 15．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（     ） A． B． C． D． 16．下列各式中运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 17．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 18．下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有平方根；③的算术平方根是4；④一定是负数；其中正确的有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 19．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 20．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 21．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 22．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 23．对于任意两个实数，定义一种新运算：．若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是（） A． B． C． D． 24．化简后等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 25．若一个数的算术平方根是，则这个数是________． 26．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 27．已知，那么______________． 28．计算：_______． 29．比较大小：______． 30．如果，那么________． 31．如果，那么满足的条件是__________． 32．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 33．若，则__________；比较大小：__________． 34．如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：．如果是“差商等数对”，那么______________． 35．如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 36．已知，，．若，求的值为________． 37．已知的平方根是，的立方根是，则的平方根是_________． 38．如图，数轴上两个点、表示的数分别为0和3，线段沿的方向平移到，点在线段上，的长为无理数，写出一个满足条件的长为____________． 39．已知，其中为整数，，则_____． 40．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 41．若，，化简____________________． 42．黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是（约为）的矩形是黄金矩形如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为________． 43．对任意实数，常用表示不超过x的最大整数，如：，，，现有以下结论：①方程的解为或；②当时，的值为0或2；③；④若，则x的取值范围是；其中错误的结论有_____________． 44．关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 45．已知为实数，则的最大值为 _____ ． 46．化简______． 47．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 48．如果，那么的值是_________． 三、解答题 49．求满足下列各式的未知数x： (1)； (2)． 50．计算：． 51．计算：． 52．某中学内有一块用于开展劳动实践活动的种植园，后勤处的工作人员计划制作一块长方形育苗牌，要求长方形的长与宽的比为，且面积为．请帮助工作人员求出该长方形育苗牌的宽． 53．某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 54．求满足下列各式的未知数的值： (1)； (2)． 55．已知与互为相反数，与互为倒数，的立方是，是最大的负整数．求的值． 56．根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 57．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 58．计算∶ (1) (2) 59．计算 (1)； (2)． 60．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 61．已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 62．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗）．球的体积公式是，其中r是球的半径，求融合后大球的半径．（结果保留根号） 63．一个正数的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求的值； (2)若是的整数部分，求的算术平方根． 64．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 65．在学习了二次根式后，小明同学发现有的含二次根式的式子可以写成另一个含二次根式的式子平方的形式．比如：．善于动脑的小明继续探究：当，，，为正整数时，若，则有，所以，．请模仿小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，则__________，__________； (2)若，且，，均为正整数，求的值． 66．阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 67．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 68．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 69．计算： (1)； (2) 70．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6、3、2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)判断，，这三个数是不是“完美组合数”，并说明理由． (2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值． 71．计算： (1)； (2)． 72．计算： (1) (2) 73．阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如： ①； ②． 上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题： (1)计算：； (2)计算：． 74．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为____________，小数部分为____________． (2)已知的立方根为，的算术平方根是7，c是的整数部分，求的平方根． (3)已知，其中x是的整数部分，且，求． 75．现有两张面积分别为和的正方形纸片 (1)如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ (2)如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ (3)在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 76．计算 (1)计算：________，________，________； (2)直接写出结果：________，________； (3)计算：． 77．善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有， 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： (1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示；_____，_____； (2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； (3)若，且均为正整数，求的值． 78．按要求解答问题： (1)如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 79．阅读材料： 小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如． 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中均为正整数）， 则有， 故． 这样小明就找到了把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，则_____，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：； (3)若，且均为正整数，求a的值； (4)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 80．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简___________，___________． (2)计算：． (3)已知是正整数，，，，求的值． 81．阅读材料：只要我们找到两个数a，b使，，这样，，那么便有． 探究并解决下列各题： (1)填上适当的数：______________； (2)能化成最简二次根式，求正整数m的最小值和最大值； (3)化简：． 82．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：_________；_________； (2)若，写出所有满足题意的x的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)①请你计算________； ②请你观察①，思考并计算． 83．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 84．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 85．设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 86．在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1)求m，n的值； (2)若点E是第一象限内一点，且轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点．点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒平行于y轴？ ②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标． 87．【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．已知实数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，m为正整数，，求证：c一定是偶数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 实数和二次根式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 平方根与算术平方根 题型2 平方根整数部分与小数部分 题型3 立方根 题型4 平方根与立方根 题型5 规律探索 题型6无理数与实数 题型7 二次根式定义及有意义的条件 题型8 二次根式的性质 题型9 二次根式的化简 题型10最简二次根式 题型11 二次根式的乘除法 题型12 同类二次根式 题型13 二次根式的加减法 题型14 二次根式混合运算及化简求值 题型15 二次根式的应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次根式综合 题型2 二次根式分母有理化 题型3 二次根式新定义 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 平方根与算术平方根 1．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 2．下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．若，则_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 4．将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是______；与表示的两数之积是______． 【答案】 2 【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个循环，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第7排从左向右第3个数， ， ， 则所表示的数是； 从图示中知道，所表示的数是； 第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数， ， 表示的数是． 与表示的两数之积是：． 5．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，求出的值，再计算得到正数的值. 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ， ． 6．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质及代数式的整体代入求值，关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”这一性质得到与的关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为：． ◆题型2 平方根整数部分与小数部分 7．的整数部分值为________． 【答案】2 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 8．的整数部分是_______，小数部分是_______． 【答案】 / 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，即可得到其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分． 【详解】解：， ， 即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 9．若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出与11相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可对应得到整数的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 又∵，为整数， ∴． ◆题型3 立方根 10．“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意立方根与平方根的符号差异，立方根的根指数3不可省略． 【详解】解：3的立方根用符号表示为． 11．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 12．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）先整理，再开平方可得解； （2）先整理，再开立方得出解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 开平方，得， 即或， ∴或； （2）解：， 整理，得， 开立方，得， 即， ∴． ◆题型4 平方根与立方根 13．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】首先根据题意，求出a，b的值，再解答即可． 【详解】解：的算术平方根是3，的立方根是2， ， 解得， ， 的平方根为． 14．已知一个正数x的两个平方根分别是和，若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的立方根． 【答案】代数式的立方根为． 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出，再依次计算、、的值，最后求解的立方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∵为的算术平方根， ∴， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴代数式的立方根为． 15．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用立方根与算术平方根的含义列方程求解即可； （2）求解，进一步求解即可. 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得． 因为的算术平方根是4， 所以， 解得． （2）解：由（1）得，． 所以． 所以的平方根为． ◆题型5 规律探索 16．综合与实践 (1)填空（用“”、“”或“”）： ___________；___________，从中你发现了什么规律？___________（用字母表示）． (2)请你按找到的规律进行计算： ①     ② (3)已知，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)，， (2)①10；②4 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的计算方法计算，可发现两个二次根式相乘等于被开方数相乘后再开方，用字母表示即可； （2）根据（1）中的规律把被开方数先相乘再开方计算即可； （3）把40分解成的形式，利用（1）中所得规律列出表达式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴发现的规律为； （2）解：①； ②． （3）解：∵，， ∴． 17．按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求．．．+的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）中三个具体的根式计算，对每个根号内的分式通分化简，根据完全平方公式将被开方数变形为完全平方形式，再根据算术平方根的非负性去掉根号，得到每个根式的化简结果，从中找出规律．推导的通用化简公式，将其变形为可裂项的形式． （2）将每一项用上述通用公式拆分，利用裂项相消法，相邻项抵消后计算剩余项的和 【详解】（1），而​，第一个空填； ，而，第二个空填​； ​，而​，第三个空填． 可以总结规律：对正整数，， 展开通分也可验证根号内的式子刚好是完全平方：， 开算术平方后直接得到上述结果． （2）根据上面的规律，把每一项都拆分改写：原式的每一项从到，代入规律可得： 原式 ． 18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 【答案】 【详解】解：观察各式可知，被开方数扩大（缩小）倍，立方根扩大（缩小）倍， ∵，， ∴，． 19．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ◆题型6 无理数与实数 20．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：、是整数，属于有理数； 、是有限小数，属于有理数； 、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 、是分数，属于有理数． 21．在 0、、、、、 这六个数中，无理数有_______个． 【答案】1 【详解】解：，， 0、、、、都是有理数， 只有是无理数，故无理数有1个． 22．估计的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算，再得出的取值范围，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴估计的值在到之间． 23．如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 观察数轴可知，点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， ∴表示实数的点可能是点． 24．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为64时，输出的值是（     ）． A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据程序框图代入数字进行计算判断即可． 【详解】解：输入， ∵，且为有理数， ∴； 输入， ∵为无理数， ∴输出， 即B符合题意． ◆题型7 二次根式定义及有意义的条件 25．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【详解】解：不一定是非负数，故A选项不符合题意， 不一定是非负数，故B选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，是二次根式，故D选项符合题意． 26．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：要使在实数范围内有意义，需，解得． 27．若二次根式 与 都有意义，则 a 的值是_______． 【答案】2 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，列出不等式组，求公共解集． 【详解】解：由题意得 解得 ． 28．当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，． ◆题型8 二次根式的性质 29．化简的结果是（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】由二次根式性质化简后计算绝对值即可． 【详解】解：． 30．实数在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简： (1)___________，___________ (2)化简 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由数轴，得 ， ∴，； （2）解：由数轴，得 ， ∴， ∴． 31．使等式成立的a的取值范围为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ◆题型9二次根式的化简 32．【阅读材料】化简：． 解：隐含条件，解得， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，化简：（结果保留）； 【类比迁移】 (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，，再结合算术平方根及根式的运算化简求值； （2）先根据根式有意义可得，再代入计算即可； （3）根据题意可知，再化简并解方程可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，解得， ， ； （2）解：，解得， 又，解得， 所以，， ， 解得， 则； （3）解：，解得， ， 解得， ． 33．解答下列各题 (1)当时，化简______． (2)已知，求的立方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合判断的符号，去绝对值化简即可． （2）根据非负数的性质求出和的值，再代入计算的立方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式 ． （2）解：∵，，且， ∴，， 可得，， 解得，. 当时，， ∴的立方根为； 当时，， ∴的立方根为． 综上所述，的立方根是或． 34．已知数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置确定 的符号及大小关系，判断绝对值和二次根式内式子的正负，利用 及绝对值的代数意义化简、合并同类项即可解答． 【详解】解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ 原式 ． ◆题型10 最简二次根式 35．下列式子中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，由此逐项判断即可． 【详解】解：，，， 、、均不是最简二次根式， 的被开方数为整数，不含分母，且不含能开得尽方的因数， 是最简二次根式，故答案为． 36．化简与计算：_____，______，_____． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 37．已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． ◆题型11 二次根式的乘除法 38．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质，把算式各部分化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）根据平方差公式和二次根式的性质进行计算即可； （3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 39．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式，二次根式的乘法运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．计算： 【答案】 【分析】利用二次根式除法法则，将多个二次根式的除法合并为一个二次根式，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，． 原式 ． 41．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 42．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 43．计算． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． ◆题型12 同类二次根式 44．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：先将各二次根式化为最简形式，仅被开方数相同的二次根式可合并． ，，二者均与被开方数不同，不能合并，故，，A，C错误， ，B正确， ，D错误． 45．若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 46．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】/ 【分析】根据二次根式定义得根指数为，同类最简二次根式被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式的根指数为，第一个根式的根指数是， ∴， 解得， ∵ 两个最简二次根式是同类二次根式， ∴， 把代入上式得， 解得， ∴ ． ◆题型13 二次根式的加减法 47．计算： (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 48．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 49．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）先分母有理化，计算立方根，化简二次根式，再合并． 【详解】（1）解： ； （2） ． ◆题型14 二次根式混合运算及化简求值 50．计算： (1)÷－×； (2)． 【答案】(1)1 (2)6 【分析】（1）二次根式混合运算遵循先乘除后加减的规则，有括号先算括号内的内容．计算二次根式乘除时，因为、（），所以可以先将乘除运算统一到根号下计算，也可以先化简各二次根式再运算． （2）对于形如的式子，用平方差公式展开计算，再合并同类项得到最终结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 51．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义计算； （2）根据二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘除，再展开完全平方，化简后合并同类二次根式即可； （2） 先展开完全平方，化简各二次根式，再合并二次根式即可． 【详解】（1）解:原式 ． （2）解：原式 ． 53．已知，求的值． 【答案】4 【详解】解： ∴ 54．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：原式， 因为， 所以， 得 代入原式， 得 原式， 将代入， 得 原式． 55．已知，，求的值； 【答案】 【详解】解：，， ，， ． ◆题型15 二次根式的应用 56．如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为． (1)直接写出______，______； (2)求最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由图可知三个正方形边长依次相差，中间正方形边长为，由面积求出，进而得、． （2）利用平方差公式简化计算． 【详解】（1）解：三个正方形边长依次相差， 中间正方形边长为，最小正方形边长为， 中间正方形面积为， ， ， ， ， ． （2）解：最大正方形与最小正方形的面积差为， ， ， ， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差． 57．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（）高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：只需要的能量就会对人体造成危害） 【答案】(1) (2) 这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害，能量为 【分析】（1）将代入公式，化简二次根式即可得到下落时间； （2）先将代入时间公式求出下落高度，再代入能量公式计算能量，与比较得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 ∵ ∴ 答：物体从40m高空落到地面的时间为； （2）解：∵钥匙下落时间， ∴ ∴ ∴ 钥匙所带能量为 ∵ ∴这串钥匙所带能量会对楼下行人产生危害 答：这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害． 58．阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），再按照样例格式计算即可； （2）先求出两个小正方形的边长分别为和，再计算剩余部分的面积． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个小正方形和的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴剩余部分的面积为． ◆题型1 二次根式综合 1．在如图1所示的的网格图中，放置着5个边长为1的小正方形，将它们按某种裁剪线剪开后重新拼装，能拼装成一个大正方形． (1)①请你在图1中画出裁剪线，并在图2中画出重新拼装后的大正方形； ②重新拼装的大正方形的边长为__________． (2)图3是由4个边长分别为的长方形和1个小正方形拼成的正方形图案． ①图3中小正方形的边长为__________； ②若该图案的总面积为，中间小正方形的面积为，则下列结论正确的是__________．（把所有正确结论的字母填在横线上） A．            B．            C．若，则 (3)在（2）的基础上，顺次连接长方形的对角线，得到一个新的正方形（如图4），若其面积为，求，，三者之间的数量关系． 【答案】(1)①在图1中画出裁剪线如图三块，在图2中按顺序重新拼装后的大正方形如图： ②重新拼装的大正方形的面积为，则边长为． (2)①；②A B (3) 【分析】（1）①根据面积不变裁剪即可； ②根据重新拼装的大正方形的面积为求边长； （2）①结合图形求图3中小正方形的边长； ②由图可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，再逐个结论判断即可； （3）求出，，，再找关系即可． 【详解】（1）略 （2）解：①根据四个边长分别为的长方形可以得图3中小正方形的边长为； ②由图可得大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∴，， A．，结论正确； B．，结论正确； C．若，则，，即，结论错误； （3）解：由图可得，，， ∴． 2．沪科版数学七年级下册教材中有这样一个问题： 你会比较与的大小吗？ 本题可以采取一种叫作“放缩法”的数学方法完成，思路如下： 先将中的放大到，所以可得，问题得以解决； 进一步分析： 对于中的略微少放大一点，即：将放大到；可得 ；还可将缩小到，可得： ；所以可得：； 以上将一个式子适当的放大缩小的方法（即放缩法）是比较两个式子大小或者不等式证明常用的方法．请思考并体会此方法，完成以下任务： (1)请你用“放缩法”证明：； (2)已知x、y、z为正整数，且，求的值； (3)证明：（，且n为正整数）； 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 综上，； (2) (3)证明：∵当且为正整数时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴． 综上，（且为正整数）． 【分析】（1）利用“放缩法”证明即可； （2）设，利用“放缩法”得到，然后结合得到，进而求解即可； （3）首先得出结论，然后利用“放缩法”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵x、y、z为正整数，且， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵S为正整数， ∴，即； （3）略 3．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 4．阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据“整数区间”的定义求解即可； 先根据无理数和的“整数区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，进而根据“整数区间”的定义求解即可； 根据二次根式的性质可得，即得，进而得到，，再两式相加可得，即得到，最后根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的“整数区间”是； ∵， ∴， ∴的“整数区间”是； （2）解：∵无理数（为正整数）的“整数区间”为， ∴， ∴， ∴， ∵无理数的“整数区间”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ①②，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无理数的“整数区间”为． 5．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． ◆题型2 二次根式分母有理化 6．阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可； （2）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可． 【详解】（1） ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ． 7．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 8．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2022 (3)3 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得. 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 9．【问题背景】在进行二次根式化简时，通常会遇到分母含有二次根式，例如：，这一类的式子，这时我们需要将其进行化简，，．这种化简的步骤叫作分母有理化． 【问题解决】 (1)仿照上面的解题过程，化简： ． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 22 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意仿照化简即可； （2）将第一个括号内的每一项分母有理化，进而解题． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， 同理可得：， ， ， ∴原式 ． 10．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： 请你根据小明的解答过程，解决如下问题： (1)__________； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据有理化因式的定义即可解决问题． （3）根据题干所给示例进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ， ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ◆题型3 二次根式新定义 11．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果（当时，；当为正整数时，），则，我们把叫做的“立信数”；反之，当为非负整数时，如果，则，我们把叫做的“立信范围”． 例如：，，．试解决下列问题： (1)填空：______；如果，实数的取值范围是______． (2)①求满足的所有整数的值； ②若关于的方程有正整数解，且a同时满足，是否存在这样的实数满足条件？若存在，请求出其值；若不存在，请说明理由． (3)求满足的所有的取值范围． 【答案】(1)；； (2)①； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵方程有正整数解， ∴是7的正约数，7的正约数为． 当时，得，此时为正整数，符合要求； 当时，得，不符合非负整数要求，舍去． 当时，根据定义得：， 即． ∵， ∴， 解得：． 综上所述，， ∵为整数， ∴为整数， 在内无合适的取值， 即不存在满足条件的实数； (3)． 【分析】（1）根据“立信数”及“立信范围”的定义计算即可； （2）①根据“立信范围”的定义得到，求解得到x的取值范围，再根据“立信数”的定义取合适的整数值即可； ②先整理得到，根据方程有正整数解可知或，进而求出，根据“立信范围”的定义求出，根据求出，即，根据为整数可知为整数，判断是否有合适的取值即可； （3）根据定义求出，根据是整数可知，进而根据“立信范围”的定义列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴； 若， 根据定义得， 即； （2）解：①∵， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， 即x为偶数， ∴； ②略； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， ∴， 解得：． 12．材料一：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：， ， ， 材料二：对于实数，我们定义一种新运算 （其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中，叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数． (1) ______；若 ，则 ______； (2)已知 ，请求出实数的取值范围； (3)已知 ， ， 求，的值； 若正格线性数 满足 ，求：满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；的值为或或 【分析】（1）根据所给定义求解即可； （2）根据题意可得，解不等式组即可得到答案； （3）①可求出，，则可得到方程组，解方程组即可得到答案；②根据正格线性数的定义可得都是正整数，则可求出，且a是整数；根据得到，解不等式组确定a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解不等式得， 解不等式得， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵是正格线性数， ∴都是正整数， ∴， 解得，且a是整数； ∵， ∴， ∴， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， 综上所述，，且a是整数， ∴a的值为4或5或6． 13．对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． (1)___________； ___________． (2)若 ，则的最大值为___________． 【答案】(1)；3 (2)98 【分析】（1）根据题意可求出，则，再估算出，可得 ； （2）根据题意可得当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则可求出，据此可得到答案． 【详解】（1）解：（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ……， 以此类推可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵ ，且， ∴，且n为正整数 ∴的最大值为98． 14．定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 【答案】(1)；0.86， (2)① ；② 【分析】(1)根据表示不超过的最大整数，进行计算。 (2) 本题考查连分数近似的新定义运算。按照给定的递推规则，依次计算，再代入连分数近似公式求值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即． （2）① 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ． (2) ② 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ， ． 15．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)的“舒适区间”是________；的“舒适区间”是________； (2)若为偶数，且的“舒适区间”为，求的小数部分； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（）仿照题干中的方法，根据“舒适区间”的定义求解； （）先根据的“舒适区间”求出的取值范围，再根据为偶数求出的值，代入即可求解； （）由二次根式有意义的条件得出，代入三次根式等式求出，再估算出的舒适区间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，舒适区间为； ∵，，， ∴，的舒适区间为； （2）解：的“舒适区间”为， ， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （3）解：根据二次根式有意义的条件，被开方数非负： ，， ， ， ∴右边， 即左边两个立方根之和为： ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 一、选择题 1．下列各数是无理数的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断． 【详解】解：A、 开方开不尽，是无限不循环小数，∴ 是无理数，符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、是整数，属于有理数，不符合题意． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式性质化简，按照先算根号内乘方再开方的顺序计算即可 【详解】解：先计算根号内的乘方，， ， 又的算术平方根是， ，即计算结果为 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴，解得， ∴， ∴这个正数为． 5．若，满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方与算术平方根的非负性列方程求,的值，代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 6．下列关于立方根的说法中，正确的是（     ） A．负数没有立方根，所以 没有意义 B． C．的立方根是 D．立方根与平方根一样，都有两个 【答案】B 【详解】解：，负数也有立方根；立方根只有一个，而平方根有两个， 故选：B． 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，错误． B选项：，错误． C选项：，正确． D选项：，错误 8．一个正方体储物盒的体积为，则该正方体储物盒的棱长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知正方体体积求棱长，利用体积与棱长的立方关系开立方求解即可． 【详解】解：， 故该正方体储物盒的棱长是． 9．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； B、是无限循环小数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、，是整数，属于有理数，不是无理数，不符合题意． 10．若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 11．下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的结果一定是非负的，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，， A错误； B选项，算术平方根的结果为非负数，， B错误； C选项，，当时，， C错误； D选项，， D正确． 12．如图，数轴上有五个点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【答案】C 【详解】解： 即 ∴， ∴表示数的点会落在点和之间． 13．要使代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，计算即可得出结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，判断解答即可． 【详解】解：，，被开方数均含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 的被开方数含分母，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 15．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入，化简二次根式得到结果． 【详解】解：将代入，得， 即鸡蛋落到地面所用的时间是． 16．下列各式中运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，此项错误； B、和不是同类二次根式，不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 17．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据二次根式加减乘除的计算规则，逐一判断选项即可。 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并， A错误； ， B错误； 根据二次根式乘法法则，得，计算正确， C正确； ， D错误． 18．下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有平方根；③的算术平方根是4；④一定是负数；其中正确的有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】需先化简再求其算术平方根，结合平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断． 【详解】解：①64的平方根是，立方根是4，故①错误； ②负数没有平方根，故②正确； ③，4的算术平方根是2，故③错误； ④当时，；当时，，故不一定是负数，④错误． 综上所述，正确的说法共1个． 19．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 20．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 21．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、根据二次根式乘法性质，可得， 计算正确； 、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； 、，计算错误； 、，计算错误． 22．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴得出，的取值范围及大小关系，再结合不等式的基本性质判断即可． 【详解】由数轴可知：，， ，且， A、，，故A选项错误； B、， ， ，，故B选项正确； C、，，故C选项错误； D、，，故D选项错误． 23．对于任意两个实数，定义一种新运算：．若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据新运算定义，对两个不等式化简： ∵， ∴， ∵， ∴， 因此不等式组的解集为： ∵不等式组有解， ∴，解得， ∴，， ∴要使内仅有一个整数， ∴该整数只能为， ∴， 解得， 因此的取值范围是． 24．化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 二、填空题 25．若一个数的算术平方根是，则这个数是________． 【答案】 【详解】解：，即的算术平方根是， 这个数是． 26．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解得． 27．已知，那么______________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的变化规律，被开方数小数点向左移动位，算术平方根的小数点向同方向移动位，结合已知条件计算结果． 【详解】解：∵, ∴ ． 28．计算：_______． 【答案】0 【详解】解： ． 29．比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 30．如果，那么________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，可求出的值，再代入求出，最后计算即可． 【详解】解：二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∵ ，且 ， ∴ 且 ， ∴ ， 把代入原式得 ， ∴ ． 31．如果，那么满足的条件是__________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再根据绝对值的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 32．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 33．若，则__________；比较大小：__________． 【答案】 3 ＜ 【详解】解：，， ． ，， ，即． 34．如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：．如果是“差商等数对”，那么______________． 【答案】 【分析】根据“差商等数对”的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是“差商等数对”， ∴根据定义可得， 即， 解得． 35．如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 【答案】 【分析】求出涂色部分的面积，再根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：观察图形可知，涂色部分由下方的一个正方形和上方的一个梯形组成， 下方正方形的边长为，面积为，上方梯形的上底为，下底为，高为，上方梯形的面积为， ∴涂色部分的总面积为， 设拼成的正方形的边长为，则， ， ， 即所拼成的正方形的边长应是． 36．已知，，．若，求的值为________． 【答案】5或 【分析】根据绝对值、乘方的定义得到a、b、c的所有可能取值，结合有理数乘法的符号法则筛选出满足的a、b组合，代入代数式计算即可． 【详解】解： 或 或 ，且 ，即a、b异号 当时，由a、b异号得 此时 当时，由a、b异号得 此时． 37．已知的平方根是，的立方根是，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，列出关于和的等式，求出，的值，再代入计算，最后求它的平方根即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， ， 解得； 的立方根是， ， 把代入得：， 解得； 把，代入得：， 的平方根是． 38．如图，数轴上两个点、表示的数分别为0和3，线段沿的方向平移到，点在线段上，的长为无理数，写出一个满足条件的长为____________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据平移的性质得出 ，由点在线段上确定的取值范围，在此范围内选取一个无理数即可 ． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵数轴上两个点、表示的数分别为0和3，且点在线段上， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵的长为无理数， ∴的长可以为 ． 39．已知，其中为整数，，则_____． 【答案】 【分析】先对原式分母有理化，再估算原式的取值范围，结合的条件确定整数的值． 【详解】解：， 设，则： ， ， ，即，可得， 又，， ，可得， ， 根据题意，为整数，，变形得： ，其中，即，符合条件，， ． 40．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 41．若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 42．黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是（约为）的矩形是黄金矩形如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为________． 【答案】2或 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为，已知边长未明确是长还是宽，因此分两种情况讨论，分别计算另一边长即可． 【详解】解：设该黄金矩形另一边的长为，分两种情况讨论： ①若为矩形的长， 则， 解得：， ②若为矩形的宽， 则， 解得：， 因此，该黄金矩形另一边的长为2或． 43．对任意实数，常用表示不超过x的最大整数，如：，，，现有以下结论：①方程的解为或；②当时，的值为0或2；③；④若，则x的取值范围是；其中错误的结论有_____________． 【答案】②③ 【分析】根据的新定义，逐个分析四个结论，通过分类讨论和解方程判断各结论正误，即可得到错误结论． 【详解】解：对于①：设（为整数），则， 方程 变形得 ， 代入不等式得： 解左边不等式得 ， 解右边不等式得 ， ∴ ， ∵为整数， ∴或， 当时， ，当时， ，因此①正确． 对于②：当时， ， 当时，， 当时，，故②错误． 对于③：取， ，，而 ， ，故③错误． 对于④：根据的定义，若（为整数），则不超过的最大整数为，因此的取值范围是 ，故④正确． 综上，错误的结论是②③． 44．关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 【答案】 ①④ 【分析】先解不等式组得到解集为 ，再逐个验证四个命题即可. 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， ① 当时，代入得 ，解集为，故命题①正确； ② 当时，，， 则不等式解集为， ∴整数解为，共个，不是个，故命题②错误； ③ 不等式组有解，则，解得，不是，故命题③错误； ④  ∵不等式组恰有个整数解，为整数， ∴是整数， 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，则整数解个数不足， 当时，，则整数解个数超过， ∴满足条件的整数最小值为，最大值为，差为，命题④正确， 综上，真命题的序号是①④. 45．已知为实数，则的最大值为 _____ ． 【答案】 【分析】先换元令，由为实数得，将原式转化为关于的函数，通过分子有理化判断式子的变化情况，即可得到最大值． 【详解】解：令， ∵是实数， ∴， ∴ 当时，和都随的增大而增大， ∴整个式子随的增大而减小， ∴当时，原式取得最大值， 将代入得，最大值为 46．化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 47．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【答案】 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 48．如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 三、解答题 49．求满足下列各式的未知数x： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先合并等式右边的常数，再利用平方根的定义求出未知数． （2）先移项、系数化为1，把看成整体，再利用平方根定义求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，， 当时，， ∴或． 50．计算：． 【答案】 24 【分析】根据二次根式的乘法和除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 51．计算：． 【答案】 【详解】解：． 52．某中学内有一块用于开展劳动实践活动的种植园，后勤处的工作人员计划制作一块长方形育苗牌，要求长方形的长与宽的比为，且面积为．请帮助工作人员求出该长方形育苗牌的宽． 【答案】 【分析】根据“长方形的长与宽的比为”设该长方形育苗牌的宽为，则长为，再根据“面积为”可列方程进行求解即可． 【详解】解：∵长方形的长与宽的比为， ∴设该长方形育苗牌的宽为，则长为， 由题意得， 解得或（舍去）， 该长方形育苗牌的宽为． 53．某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别根据平方根和算术平方根的定义计算即可； （2）将，的值分别代入得到，再求平方根即可. 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5， ∴，， 解得：，； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 54．求满足下列各式的未知数的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 方程两边同除以25得：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 55．已知与互为相反数，与互为倒数，的立方是，是最大的负整数．求的值． 【答案】 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，的立方是，是最大的负整数， ，，，， ． 56．根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 【答案】(1) (2)；137 (3)183和184 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得求解即可； （3）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴整数n值为183和184． 57．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据多项式乘以多项式、二次根式的乘除运算、分式的化简求值依次计算即可. （1）根据多项式乘以多项式的法则，进行计算； （2）根据二次根式的运算法则进行计算； （3）根据分式的运算法则计算，可得：原式，再把代入化简后的分式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时， 原式． 58．计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（） 先进行乘方运算，再根据算术平方根的定义和绝对值的性质化简，最后进行加法运算即可． （）利用平方差公式、零指数幂和立方根的定义化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 59．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得或． 60．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 61．已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，即可求解； （2）把y的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∵是64的立方根， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 62．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗）．球的体积公式是，其中r是球的半径，求融合后大球的半径．（结果保留根号） 【答案】融合后大球的半径为 【分析】根据融合前后总体积不变的等量关系，结合球的体积公式列等式求解大球半径． 【详解】解：融合过程无损耗，总体积不变， 大球体积等于两个小球的体积之和． 设融合后大球的半径为R， ∵两个小球半径分别为，， ∴ 解得． 63．一个正数的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求的值； (2)若是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出，根据立方根的定义求出即可； （）估算的取值范围得到整数部分，再求出代数式的值，最后根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得 ； （2）解：∵，，， ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴的算术平方根为． 64．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)方案二省料，选择方案二． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）由“比差法”计算与的差，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小即可； （3）利用“比差法”进行计算即可； （4）用代数式表示方案一、方案二的用料面积，再根据“比差法”进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ， ， ， 即； （4）解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，则方案一用料的面积为，方案二用料的面积为， ， 而型钢板的面积比型钢板大，即，也就是， ∴， ∴方案二省料，选择方案二． 65．在学习了二次根式后，小明同学发现有的含二次根式的式子可以写成另一个含二次根式的式子平方的形式．比如：．善于动脑的小明继续探究：当，，，为正整数时，若，则有，所以，．请模仿小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，则__________，__________； (2)若，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2)46或14 【分析】（1）根据小明的方法利用完全平方公式将展开，即可解答； （2）利用完全平方公式将展开，得到，，再根据，均为正整数，即可得到，的两组数值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵，且，，均为正整数， ∴， ∴，， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为46或14． 66．阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 【答案】(1)当时，原式；当时，原式 (2)解：甲的答案正确，理由如下： ， 当时，原式； (3) 【分析】（1）把原式化为，然后再化简即可； （2）把原式化为，然后再化简求值即可； （3）把原式化为，再根据绝对值的性质化简，然后求值即可． 【详解】（1）解：； ∴当即时，原式； 当即时，原式； （2）略 （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 67．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) ， 证明： ； (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：； （2）略 （3）解： ． 68．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 69．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 70．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6、3、2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)判断，，这三个数是不是“完美组合数”，并说明理由． (2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值． 【答案】(1)解：，，是“完美组合数”． 理由如下： ，，，均为整数，且这三个数是互不相等的负整数，满足“完美组合数”的定义， 这三个数是“完美组合数”． (2) 【分析】（1）利用“完美组合数”的定义解出即可． （2）利用“完美组合数”的定义列关于的式子，结合为负整数，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：三个数、、是“完美组合数”， 有两个数乘积的算术平方根为15， 或， 或， 或（不是负整数，舍去）， ． 71．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 72．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先依据二次根式乘除法则计算乘除，化简根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如： ①； ②． 上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式 ． 74．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为____________，小数部分为____________． (2)已知的立方根为，的算术平方根是7，c是的整数部分，求的平方根． (3)已知，其中x是的整数部分，且，求． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）估算出，即可求解； （2）先根据立方根、算术平方根的定义求解，再进行无理数估算出，即可求解，再代入求值即可； （3）先估算出，再由不等式的性质得到，再结合已知条件确定的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故的整数部分为5，小数部分为； （2）解：由题意得， 解得， ∵ ∴， ∴的整数部分c是6， ∴， ∴13的平方根是， 即的平方根是． （3）解：∵ ∴， ∴ 又∵，其中x是的整数部分，且， ∴，， ∴． 75．现有两张面积分别为和的正方形纸片 (1)如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ (2)如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ (3)在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到和的长，再计算面积即可； （2）根据两正方形的边长与三角形边长和长方形边长的关系，计算出三角形边长和长方形边长；由余下面积即可求解； （3）根据面积算出两正方形边长,结合已知线段长，计算出构造出的长方形的长和宽；由空白部分面积即可求解． 【详解】（1）解：如图， 两张正方形纸片的面积分别为和， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，两正方形纸片的边长分别为，， 余下面积 ， 裁剪过后五边形余下的面积为； （3）解：如图， 正方形的面积为，正方形的面积为， ，， ， ， ， 图中空白部分的面积为． 76．计算 (1)计算：________，________，________； (2)直接写出结果：________，________； (3)计算：． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）利用分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化计算后进行加减法和乘法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， （3）解： 77．善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有， 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： (1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示；_____，_____； (2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； (3)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或12 【分析】（1）将等式右侧完全平方展开，对比左右两边有理部分、无理部分，即可得到、关于m，n的表达式． （2）把等式右侧展开，对应系数列等式，先求出，再计算． （3）先展开完全平方式，对应系数得到关系式，再根据m，n是正整数，枚举所有符合条件的正整数组合，求出． 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，， ，； （3）解：， ，，化简得， 均为正整数， ，或，； 当，时，； 当，时，； 的值为28或12． 78．按要求解答问题： (1)如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】(1) (2)， (3)解：不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 由题意得，， 解得（负值舍弃）； 所以截出的长方形纸片的长为，宽为， 由于正方形纸片的面积为，则这个正方形纸片的边长为； ∵， 故， ∴， 故边长为的正方形纸片，无法裁出一个长为的长方形纸片； 即不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】（1）解：由拼图可得大正方形面积为，其边长为． （2）解：由拼图可知，小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：， 所以正方形的边长为． （3）略 79．阅读材料： 小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如． 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中均为正整数）， 则有， 故． 这样小明就找到了把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，则_____，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：； (3)若，且均为正整数，求a的值； (4)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1)， (2)31，12，2，3（答案不唯一） (3)a的值为13或7 (4) 【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可； （2）设，，根据，，即可求解； （3）根据完全平方公式求出，，则，根据为正整数得出或，再求出a即可． （4）由条件可得，再根据题干所给方法，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， 设，，则，， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∴， ∵均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为13或7． （4）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∵均为正整数， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， ∴． 80．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简___________，___________． (2)计算：． (3)已知是正整数，，，，求的值． 【答案】(1)， (2)2025 (3) 【分析】（1）根据平方差公式，第一个式子给分子分母同乘，第二个式子给分子分母同乘，化简消去分母中的根号即可． （2）对括号内每一项进行分母有理化，抵消中间项，然后利用平方差公式计算乘积． （3）先对a、b进行分母有理化，然后代入计算和的值，最后代入等式求解出m的值． 【详解】（1）解：， ． （2）观察每一项的形式，因此可得： 原式 ． （3）， ， 代入得， 因此， 解得． 81．阅读材料：只要我们找到两个数a，b使，，这样，，那么便有． 探究并解决下列各题： (1)填上适当的数：______________； (2)能化成最简二次根式，求正整数m的最小值和最大值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的最小值是，最大值是 (3) 【分析】（1）根据给出示例，利用二次根式的性质以及完全平方公式求解； （2）利用二次根式的性质进行整理，确定的值，逐一进行求解判断即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行整理，然后利用算术平方根的定义进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴，则，，且为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的最小值是，最大值是； （3）解：令， 则 ， ∵， ∴， ∴， 即． 82．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：_________；_________； (2)若，写出所有满足题意的x的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)①请你计算________； ②请你观察①，思考并计算． 【答案】(1)2，5 (2) (3) (4)① ② 23 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据，得，得到，解答即可； （3）首先确定，再把中括号的代数式去掉绝对值，化简，再利用定义解答即可． （4）①根据新定义，解答即可； ②计算发现其规律，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得；； （2）解：， ， ， 故满足题意的x的整数值为． （3）解：根据题意，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x， 则， ， ， ， 故． （4）①解： ； ②解：根据题意，得， ， ， ， ． 83．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 84．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （2）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （3）根据“开方对称数对”的定义分两种情况解答即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴数对的开方对称数对为和； （2）解：∵，，数对的一个开方对称数对是， ∴； （3）解：∵数对的一个开方对称数对是， ∴根据“开方对称数对”的定义，需要分两种情况讨论： 当，时，，，此时； 当，时，，，此时； ∴的值为或． 85．设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得 当时， ∵，则 ∴； ②； ③ 【分析】（1）分别计算，，，的值，代入条件，即可求解； （2）①，将代入第一问得到的关系式，因为，所以可以对等式进行变形推导，得到和的关系。 ②，先利用和联立方程求解的值，再利用得到的关系式，结合第一问的参数关系式，联立求解，最后计算； 对于③，先由得到的一个等式，结合第一问的关系式，推导与的关系，再代入，得出，，进而求得关于的代数式，根据随的增大而减小，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴ ∴ 即， ∴； （2）①略； ②由，得：，则 由，得，则 联立，解得： 由，得 ∴ 代入得， 解得： ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴， 代入得， ∴ ∵，即，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 代入得 ∴ 即 ∴ ∵， ∴， 又∵为整数，则 ∵ ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 86．在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1)求m，n的值； (2)若点E是第一象限内一点，且轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点．点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒平行于y轴？ ②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①经过秒平行于y轴；②点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）①由（1）可得，则，设经过秒平行于y轴，则，，此时点、在轴的右侧，求出，点的坐标为，由题意可得点、的横坐标相等，从而得出，解方程即可得出结果；②分两种情况：当点在轴右侧时，当点在轴左侧时，分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）解：①由（1）可得， 由题意可得， 设经过秒平行于y轴，则，，此时点、在轴的右侧， ∴，， ∴点的坐标为， ∵平行于y轴， ∴点、的横坐标相等， ∴， 解得， 即经过秒平行于y轴； ②当点在轴右侧时，，，点的坐标为， 此时， 解得， 此时点的坐标为， 当点在轴左侧时，，，点的坐标为， 此时， 解得， 此时点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 87．【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．已知实数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，m为正整数，，求证：c一定是偶数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∴为非负数． (2)证明：∵为正整数， ∴也为正整数，则， ， ， ∴． ∵m 为正整数，为偶数， ∴c 一定是偶数． 【分析】（1）利用平方差公式对进行变形，代入已知条件并提取公因式，化简并判断非负性即可； （2）先求出，，再利用二次根式的性质进行化简即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十一章实数和二次根式全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1平方根与算术平方根 题型2平方根整数部分与小数部分 题型3立方根 题型4平方根与立方根 题型5规律探索 题型6无理数与实数 题型7二次根式定义及有意义的条件 题型8二次根式的性质 题型9二次根式的化筒 题型10最筒二次根式 题型11二次根式的乘除法 题型12同类二次根式 题型13二次根式的加减法 题型14二次根式混合运算及化筒求值 题型15二次根式的应用 目核心提升：重难题型归纳 题型1二次根式综合 题型2二次根式分母有理化 题型3二次根式新定义 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1平方根与算术平方根 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.A 2.C 3 5 4. 5 5.49 6.1 ◆题型2平方根整数部分与小数部分 7.2 8 A V21-4/-4+V21 9.C ◆题型3立方根 10.D 11.(1)0.2 (2)-4 (3)5 (4)16 12.(1) 3 2/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) ts、1 8 ◆题型4平方根与立方根 13.±1 14.代数式b-c的立方根为1. 15.(1)a=6,b=-1 (2)±6 ◆题型5规律探索 16.(=,=,Va×Vb=vab(a≥0，b≥0) (2)①10：②4 (3)a2b 、111 17.()2,6,12 、120 (211 18. 21.54 -0.4642 19.2.872 ◆题型6无理数与实数 20.C 21.1 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.D 23.B 24.B ◆题型7二次根式定义及有意义的条件 25.D 26.B 27.2 28.2 ◆题型8二次根式的性质 29.A 30.(1)-b,a (2)2a 31.a≤3 ◆题型9二次根式的化简 32.(1)π-3 (2)6-25 (3)2027 33.(1)2+a (2)5或-11 34.0 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型10最简二次根式 35.C 36. 3W5 35号6 20 37.4 ◆题型11二次根式的乘除法 38.(1)75 (2)24 (3)9+4v2 39.(1)14-65 (2)2 40.10W2 41.D 42.1)2 (2)-3 (3)2√2 (4)4-2√5 43.5 ◆题型12同类二次根式 44.B 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.1 46,9-号 ◆题型13二次根式的加减法 47.(1)145 (2)6√2-3√6 (3)4+2V5 (④6-4V3 根029 (2)-1 49.(①)-4xV (2)4 ◆题型14二次根式混合运算及化筒求值 50.(1)1 (2)6 51.(1)2+22 (2)1 52@46-号 (2)7 53.4 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 54.-3-22 55.-6 ◆题型15二次根式的应用 56.(1)a=2V10+1,b=210-1 (2)8V10cm2 57.(1)22s (2)这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害，能量为90侧 58.(10(22-V5) (2(6i5-10)cm2 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1二次根式综合 1.(1)①在图1中画出裁剪线如图三块，在图2中按顺序重新拼装后的大正方形如图： 甲 甲 图1 图2 ②重新拼装的大正方形的面积为5，则边长为V5, (2)①a-b:②AB (3)S大+S本=2S中 2.(1)证明：V21>V20.25=4.5 .√21-4>0.5， 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷4,0010 5 5 :V21<V21.16=4.6, .V21-4<0.6 2-4<06=012= 5 5 Γ25’ 1V21-4,3 综上，10<5<25 (2)x+y+z=8 (3)证明：当k≥3且k为正整数时，k2>k2-k, k2>k(k-), 1111 ·2<k(k-)k-1k, 1,11 42n 31 4n' ,n≥3， .313 4n4 1.1 13 小2+3++4： 1.1 1、1.11,11313、121 :2+京++227+=4十g36,36>363 一十 11 11 小22+家+叶 n23 111,,13 综上，32+++<4〈n≥3且n为正整数). 3.(1)2+√2 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)Vm-1+1 (3)6+V5-6 4.(1)(1,2):（-2,-1) (2)8 3)(5,6) 5.1@(5+2;②2+5 (2)vm±√n 3)剩余部分的面积为(4√21-14)cm ◆题型2二次根式分母有理化 6051 (②2026-v2 2 7.(1)5-3 (2)V2026-V2025<√2024-√2023 8.(1)√2-1 (2)2022 (3)3 905+5 2 (2)22 10.()V3-2 (2)44 (3)0 9/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3二次根式新定义 5 11.四2029：)≤x7 (2)①x=4； ②不存在，理由如下： 1-2@x+x-3= 3, x(3-2a)=7, 程-2@+-3=写有正整数解 :方程3 3-2@是7的正约数，7的正约数为1,7. 当3-2(@)=1时，得a)=1,此时x=7为正整数，符合要求： 当3-2a=7时，得a=-2,不符合非负整数要求，舍去. 当@-=1时，根据定义得：1一2a<1+ 2 即时a< 3 1 :(2a-1）=a+ 2 ,11 1.1 a+22s2a-1<a+ +2 解得：1≤a<2, 综上所述，1sa<3 2 10/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :(2a-1)为整数， 1 ·a+2为整数， 在1≤a<内无合适的取值， 3 即不存在满足条件的实数a； 9 4· 12.(1)-3,13 (2)-4≤a<-2 (3)①m=2,n=3;②a的值为4或5或6 aw9, (2)98 14.(1)2；0.86,0≤{x<1 5 (2②①2：②5 15.1)(4,5),（-7,-6) (2)V3-1或5-2 (3)(-26,-25) 题型专练 高频重难特训 一、选择题 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.c 8.A 9.C 10.C 11.D 12.C 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.D 19.A 20.B 21.A 22.B 23.A 24.C 二、填空题 25.3 26.x≥-2 27. 0.4147 28.0 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.> 30.1 31.x≥3 32.5(答案不唯一) 33 34. 2n+9 4 35.V5 36.5或-9 37. ±5 38. √2（答案不唯一） 39.45 40.2V10 41.(3a-2b)ab 42.2或3+V5 43.②③ 44. ①④ 45.V5-1 46.5-3v6/-3√6+5 47.（406,5) 48.15 三、解答题 49.()x=±36 4 (2)x=3或x=-1. 50. 13/19 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24 51.-3V2 2 52.10cm 53.(1)m=5,n=6 a号 510==号 5 (2)x=-2 55.20 56.(1)±13.8 (2)13.3137 (3)183和184 57.(1) 2x2+5xy-3y2 (2) 6 2 (3) 2-3 58.(1)4+V5 (2)2 59.(1)V3 ②m=4或m=-乃 4 0w29 (2)3V6-3√5 61.1x=3y=1,m=25 9 (2)±5 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62. 融合后大球的半径为35cm 63.(1)a=4,b=-1 (2)√2 64.(1)5,√29-5 (2)> (3)V100+V98<299 (4)方案二省料，选择方案二. 65.(1)3m2+n2,2mn (2)46或14 66.(1)当x≥-2时，原式=x+2；当x<-2时，原式=-x-2 (2)解：甲的答案正确，理由如下： a+Va2-l0a+25=a+V(a-5=a+la-5, 当a=6时，原式=a+a-5=2a-5=12-5=7； (3)3 94 61.①1-255 = (2) 2n+1n (n+1)2 n+1, 2n+1 证明： (n+ (n+1)2 2n+1 V(n+1)2(n+1)2 n2+2n+1-2n-1 (n+1)2 n V(n+1)2 n n+1: 1 350 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1’2 69.(1)7N2-43 (2)4-V5 70.(1)解：-3，-12，-27是“完美组合数”. 理由如下： ~V-3)×(-12)=6,V-3)×(-27)=9,V-12)×(-27)=18,均为整数，且这三个数是互不相等的负整数， 满足“完美组合数”的定义， .这三个数是“完美组合数”. (2)m=-45 71.(1)2+3√2 (2)6+2√6 a. (2)4+6 73.(1)5+V2 (2)V2026-1 74.(1)5,V26-5 (2)±V13 (3)12-V5 75.()-12+8V3)cm2 (2)12v5cm2 (3)(16+2v3)cm2 76.(①)2-1,3-V2,2-V5 (2)5-2,√6-V5 (3)2024 77.(1)a=m2+3n2,b=2mn (2)a=9,m=2 (3)a=28或12 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 78.(1)V2 (2)13,V13 (3)解：不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为5xcm,宽为4xcm, 由题意得，5x.4x=740, 解得x=V37(负值舍弃)： 所以截出的长方形纸片的长为5V37cm,宽为4V37cm, 由于正方形纸片的面积为900cm2,则这个正方形纸片的边长为30cm: .36<37<49 故6<V37<7, .30<5V37<35, 故边长为30cm的正方形纸片，无法裁出一个长为5V37cm的长方形纸片： 即不能用一块面积为900cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为740cm的长方形纸片，使它的 长与宽之比为5：4. 79.(1)m2+3n2,2mn (2)31,12,2,3(答案不唯一) (3)a的值为13或7 (④2±√2 80.(①)V7-V6,V5+2 (2)2025 (3)m=506 81.(1)W3+V5,5+5 (2)m的最小值是10，最大值是25 (3)V6 82.(1)2,5 (2)1,2,3 (3)-2 (4)①-1②23 83.(1) 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -15 (2) 5 (3) x=1 [x=2 2或 ly=3 v=4或x=3 =3y=2 84.(①)(3,4)，(-4,3) 27 (28 (3)-39或-109 85.(1)b(c+1)=d(a+1) (2)①证明：由(1)可得b(c+l)=d(a+l) 当a=C时， b(a+1)=d(a+1) .a>0,则a+1≠0 .b=d: ②8： ③2 86.(1)m=-3,n=6 ②0经过2秒0平行于y轴：②点P的坐标为44或4 87.(1)证明：，a-b=mn, ..a2-b2-2mnb =(a+b)(a-b)-2mnb =mn(a+b)-2mnb =mn(a+b-2b) =mn(a-b) =mn·mn =m2n2≥0， :.a2-b2-2mnb为非负数. 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：，m为正整数， ∴，n=m+2也为正整数，则m=n-2, a-2m-b=(a-b)-2m=mn-2m=m(n-2)=mm=m2≥0」 a+2n-b=(a-b)+2n=mn+2n=n(m+2)=n-n=n2≥0， :.c=Va-2m-b+a+2n-b=m+n=m+n=m+(m+2)=2m+2. 为正整数，2m+2为偶数， ℃一定是偶数. 19/19