第十一章 实数和二次根式(单元分层自测·能力提升卷)数学新教材北京版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十一章 实数和二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，真命题是（     ） A．立方根等于本身的数只有0 B．若，则 C．实数与数轴上的点一一对应 D．若，则 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 5．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 7．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．关于，下列说法错误的是（） A．如图，利用两个边长为的正方形可以裁剪拼接成一个面积为的大正方形 B．数轴上到原点距离小于的整数有三个 C．存在两个互质的正整数、，使得 D．的小数部分是 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 10．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 11．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 12．已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 13．已知，化简______． 14．“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 15．如图，面积为的正方形的边在数轴上，点A表示的数为1．将正方形沿着数轴水平向右移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为S． ①若，则数轴上点表示的数是_______﹔ ②若，则数轴上点表示的数是________（用含a的代数式表示）． 16．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ①______； ② _____________． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（6分）二次根式计算 (1) (2) 18．（9分）计算： (1)； (2)； (3)化简：． 19．（5分）已知，，求代数式的值． 20．（6分）已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 21．（5分）已知，求的值． 22．（6分） 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 23．（7分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：________，________，________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 24．（7分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求的最小值． 2/5 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十一章实数和二次根式·参考答案 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A D D C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9.< 10 -2(答案不唯一) 1(答案不唯一) 11.4 12. 3 13.2x-21-2+2x 29 14. 8<丽<2 a 15. 2 2024 16. 3 2025 三、解答题（共8小题，共52分） 17.(6分) 【详解】(1)解： 8-6x店 =2W2-V2 =V2 2)解：(5+25-2)+5- =5-2+3-2V3+1 =7-25 18.(9分) 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解： s+-4得 =v8x2+5xW2-4x5 =i6+6-4xy6 -4+v6-26 =4-V6 ②.i5+w5-可-(05 =后x15+-26+2-(50+5+5+v5) =5+3-2V6+2-（6+5 -V5+3-26+2-6-V5 =5-3√6 (3)解：由题可知：x≤2， Vx-3-(2-x)月 =3-x-(2-x) =3-x-2+x =1. 19.(5分) 【详解】解：a=2+1b=V2-1 .a-b=2, :a-ab=a(a-)=(2+1小x2=22+2 20.(6分) 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：正数m的两个平方根分别是a和b, .b=-a, :.a+b=a+a=Va-Va=0 (2)解：由(1)得b=-a, 把6=-0代入7a-36s-30,得7a-3(-a小s-30 解得a≤-3，两边平方得a≥9，故m≥9， 又ab≥-9，而ab=-m,得-m≥-9，解得m≤9， .m=9 21.(5分) 【详解】解：要使-3和V3 和 “有意义，被开方数必须非负，因此： x-3≥0 3-x≥0 解得x=3, 将=3代入y=-3+3-x+4 得y=0+0+4=4: 将x=3,y=4代入式子： 回+F*-层 x4+香- 令 =23+5-23 3 5+45 3. 22.(6分) 【详解】(1)解：：m=5+V2.n=V5-2 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :m+n=25,mm=3 .(m+m)=m2+2mn+R :m2+n=(m+n}-2m=(25-2×3=14 (2)解：：m=5+2.n=5-5 :m+n=25,m-n=22,mm=3 m_n-m2-t_(m+mm-m_25x22_40 .∴.nmmn mn 3 3 23.(7分) 33636V6 【详解】(1)解：6(6矿62： 22x3√6 店( 3； 2 2(5-3 25-_25--5-5, 5+5(W5+3W5-5)5-3 2 2-1（5-3-253-253-25, (2)解：x=2+12+12-可2-11 y=2+1 （2+13+22_3+25-3+22: 2-1(2-1V2+12-11 .(x+y)2 =(3-2V2+3+2W2)2 =62 =36 (11 1 (3)解：(2++5+V5+.+2026+2025 ×(√2026+1 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-1 3-V2 √2026-√2025 (2+2-可(3+23-2 十…+ (W2026+V2025V2026-V2025 ×2026+1) -÷9爱 2026-2025 ×(V2026+1 =(V2-1+V5-V2++2026-V2025×V2026+1 =(V2026-1(V2026+ =2026-1 =2025 24.(7分) 【详山新：当a0时.+日回-26石房+4 当6-名，即g=2时，a+2 的最小值为4. 当a<0时，a+ =(+ 可-2va2a2+4 可2 当a=品。，即g2时，a+的最大值为4 2 (2)解： 2a+3a+4 4 =2a+-+3 a 5/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +3t22a:a +3+4v2 2 当且仅当v2a=石，即a=2时， 2a2+3a+4 a 取得最小值，最小值为3+42： 6/5 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十一章 实数和二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，真命题是（     ） A．立方根等于本身的数只有0 B．若，则 C．实数与数轴上的点一一对应 D．若，则 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 5．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 7．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．关于，下列说法错误的是（） A．如图，利用两个边长为的正方形可以裁剪拼接成一个面积为的大正方形 B．数轴上到原点距离小于的整数有三个 C．存在两个互质的正整数、，使得 D．的小数部分是 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 10．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 11．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 12．已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 13．已知，化简______． 14．“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 15．如图，面积为的正方形的边在数轴上，点A表示的数为1．将正方形沿着数轴水平向右移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为S． ①若，则数轴上点表示的数是_______﹔ ②若，则数轴上点表示的数是________（用含a的代数式表示）． 16．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ①______； ② _____________． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（6分）二次根式计算 (1) (2) 18．（9分）计算： (1)； (2)； (3)化简：． 19．（5分）已知，，求代数式的值． 20．（6分）已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 21．（5分）已知，求的值． 22． （6分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 23．（7分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：________，________，________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 24．（7分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十一章 实数和二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 2．下列命题中，真命题是（     ） A．立方根等于本身的数只有0 B．若，则 C．实数与数轴上的点一一对应 D．若，则 【答案】C 【分析】根据立方根概念，不等式性质，实数与数轴的对应关系，只需逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，，， 立方根等于本身的数有，A是假命题； 对选项B：， ，B是假命题； 对选项C：根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，C是真命题； 对选项D：举反例，，满足，但， D是假命题． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母． 【详解】答：∵ ，被开方数4含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； ∵ ，被开方数8含能开得尽方的因数，∴B不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母，∴C不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴D是最简二次根式． 4．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察作图过程得出拼接的正方形的边长=点到的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：∵由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形 ∴正方形的面积 ∴拼接的正方形的边长， 观察作图过程得出点到的距离， ∴点表示的数是． 5．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除法则和加减运算规则，逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：根据二次根式运算法则：二次根式乘法满足，除法满足，只有同类二次根式才可合并加减. 对各选项逐一判断： 选项A：，A计算正确. 选项B：，B计算错误. 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，C计算错误. 选项D：与不是同类二次根式，不能合并，D计算错误. 6．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义可得，、、的取值范围，分别判断各选项是否正确． 【详解】解：由题干可知，，，， ∴，A错误； ，B错误； ，C正确；，D错误． 7．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，，，，故A错误； 对于B，，，，又，，故B错误； 对于C，，，又，，故C正确； 对于D，，，，故D错误． 8．关于，下列说法错误的是（） A．如图，利用两个边长为的正方形可以裁剪拼接成一个面积为的大正方形 B．数轴上到原点距离小于的整数有三个 C．存在两个互质的正整数、，使得 D．的小数部分是 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式、无理数的估算、无理数的定义以及实数的小数部分定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、两个边长为的正方形面积均为，总面积为，可以裁剪拼接成面积为的大正方形，故该选项说法正确； 、∵， ∴数轴上到原点距离小于的整数有，共个，故该选项说法正确； 、是无理数，不能表示为两个整数之比，即不存在正整数，使得，故该选项说法错误； 、∵， ∴的整数部分是，小数部分是，故该选项说法正确． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 10．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】解：取，满足，但， 故能说明该命题是假命题．（答案不唯一，满足 且即可） 11．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定它相邻的两个整数，比较到两个整数的距离大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， ，，， ，故在数轴上更靠近4， 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为． 12．已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，进而得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，， ， 不等式同乘得，， 不等式两边同时加得， ， 是的整数部分， ， 是的小数部分， ， ． 13．已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 14．“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键 根据调日法规则，新分数由不足近似分数和过剩近似分数的分子之和与分母之和的比得到，再比较新分数与的大小以确定更新方向． 【详解】解：第4次调试时，不足近似分数为，过剩近似分数为，新分数A的计算为，其小数形式为3.625． ∵，且，即新分数大于， ∴新分数为过剩近似分数．更新后，不足近似分数保持不变，过剩近似分数更新为， ∴更新范围B为． 故答案为：，． 15．如图，面积为的正方形的边在数轴上，点A表示的数为1．将正方形沿着数轴水平向右移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为S． ①若，则数轴上点表示的数是_______﹔ ②若，则数轴上点表示的数是________（用含a的代数式表示）． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，平移的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）可求出正方形的边长为2，则，由平移的性质可得，由，得到四边形的面积为2，则，即可得到，再求出的长即可得到答案； （2）仿照（1）求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的面积为，， ∴正方形的边长为， ∴， 由平移的性质可得， ∵， ∴四边形的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：2； （2）∵正方形的面积为，， ∴正方形的边长为， ∴， 由平移的性质可得， ∵， ∴四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：； 16．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ①______； ② _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第①小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题②的要点是：当n为正整数时，． ①根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ②根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵， ∴ ． 故答案为：， 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（6分）二次根式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（9分）计算： (1)； (2)； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先计算乘法以及二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘法、除法以及完全平方公式计算，然后再合并同类二次根式即可； （3）由二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质化简，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： = =． （2）解： ． （3）解：由题可知：， ． 19．（5分）已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：，， ， ∴． 20．（6分）已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相反数性质和立方根性质计算结果； （2）代入不等式得到的取值范围，即可求出的值． 【详解】（1）解：正数m的两个平方根分别是a和b， ， ． （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得，两边平方得，故， 又，而，得，解得， ． 21．（5分）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再求出，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：要使和有意义，被开方数必须非负，因此： 解得， 将代入， 得； 将，代入式子： ． 22．（6分） 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，再利用完全平方公式变形求解即可； （2）由已知条件可得，再根据异分母分式加减运算、因式分解变形，最后将相关条件代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 23．（7分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：________，________，________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）按照题目给出的分母有理化方法计算； （）先对分母有理化化简，相加消去无理数得到整数和，再整体平方求值； （）先对括号内每一项拆分化简，化简括号内式子，再用平方差公式相乘计算结果． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； ． （3）解： 24．（7分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）根据题意变形求解即可； （2）把变形为，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时， ∴当，即时，的最小值为4． 当时， ∴当，即时，的最大值为． （2）解： ∴当且仅当，即时， 取得最小值，最小值为． 14/15 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $