第十一章 实数和二次根式（单元自测）2026-2027学年数学新教材北京版八年级上册

第十一章 实数和二次根式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．请估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小．由，得到，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， 故选A． 2．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个小正方体的体积，再根据正方体棱长等于体积的立方根计算棱长． 【解析】∵二阶魔方总体积为，一共包含个小正方体． ∴每个小正方体体积 设小正方体棱长为，则 每个小正方体的棱长为．故选B． 3．下列说法正确的是（ ） A．4的算术平方根是2 B．的平方根是4 C．0没有立方根 D．平方根等于本身的数是0和1 【答案】A 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐个判断选项：算术平方根只有非负的一个值，正数的平方根有两个且互为相反数，0的立方根是0，平方根等于本身的数只有0，由此确定A正确． 【解析】A、，且算术平方根为非负数，故4的算术平方根是2，说法正确，符合题意； B、，的平方根是，说法错误； C、，即0的立方根是0，说法错误； D、1的平方根是，不等于本身，平方根等于本身的数只有0，说法错误．故选A． 4．下列说法正确的是（ ） A．负数没有平方根，也没有立方根 B． C． D．任意实数都有唯一的立方根 【答案】D 【解析】对各选项逐一判断： A. 负数没有平方根，但有立方根，故A错误； B. ，故B错误； C. 表示16的算术平方根，结果为4，故C错误； D. 任意实数都有唯一的立方根，故D正确．故选D． 5．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ） A．9 B．3 C．81 D．16 【答案】C 【解析】依题意， 解得： ∴这个正数是：故选C． 6．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【解析】 ∴， 解得． 故选D． 7．已知一个长方形的长是宽的倍，面积为，则长方形的宽在（ ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】B 【分析】利用长与宽的倍数关系，结合面积公式得到宽为，通过平方法估算宽的取值范围即可． 【解析】设长方形的宽为，则长为， 由题意得， 整理得，即， ∴， ∵，，且， ∴．故选B． 8．若，则的平方根是（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【解析】∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选C． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为________．（取） 【答案】 【分析】已知圆柱体积、高和的取值，利用圆柱体积公式列方程求解底面半径即可． 【解析】设这个升降阻车器的底面半径为， 将，，，代入公式得， 化简得， ， ∵半径为正数， ∴．故答案为$10$． 10．已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数的运算，熟练掌握无理数的估算及实数的运算是解题的关键；根据无理数的估算，得出的整数部分和小数部分，再代入代数式计算即可． 【解析】∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， 则； 故答案为． 11．若x和y互为相反数，则________． 【答案】 【分析】由和互为相反数得，利用立方根的性质即可求出结果． 【解析】∵和互为相反数， ∴， ∴， ∵ 对于任意实数，都有， ∴， ∴原式．故答案为$2$． 12．现对实数，定义一种运算：．则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【解析】，， 则． 故答案为． 13．已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】根据立方根、平方根的定义分别求出和的值，估算的大小得到整数的值，代入计算后求其算术平方根即可． 【解析】的立方根是， ， 解得， 是的平方根， ， 即， 解得， ， ， 的整数部分， 计算得， 的算术平方根是．故答案为$3$． 14．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的定义列方程求出a的值，进而可求m的值． 【解析】∵，， ∴， 即， 则． 故答案为． 15．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【解析】①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为③． 16．已知的平方根是，的立方根是3，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的意义，求出的值，再代入计算的值，再求出其立方根即可． 【解析】解的平方根是， ， 即， 的立方根是， ， 即， 解得：， ， 则的立方根为．故答案为$\sqrt[3]{23}$． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（5分）有一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的x的值为36时，输出的________． （2）是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． （4）若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 【答案】（1） （2）存在；0与1 （3）输入的数据是负数；因为负数没有算术平方根． （4）2与4 【分析】（1）按照数值转换器的程序进行计算即可； （2）根据0与1的算术平方根是它本身的特点即可完成； （3）根据负数没有平方根的性质即可说明； （4）根据开平方与算术平方根是互逆的运算即可完成． 【解析】（1）解：36的算术平方根为6，是有理数，6的算术平方根是，而是无理数，输出结果为； （2）解：由于0与1的算术平方根是它本身，无论多少次开算术平方根，其结果始终是它本身，故存在数0与1，始终输不出y的值； （3）略 （4）解：若，则，，，……， 即2与4是输入的最小的2个不同x的值，输出的数都是． 18．（5分）（1）计算：． （2）求中的的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求解一元二次方程、算术平方根和立方根的有关计算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先算算术平方根和立方根，再算加减； （2）直接开平方法进行求解即可． 【解析】（1） ； （2） ， 解得． 19．（6分）（1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了立方根，化简绝对值，算术平方根，二次根式的加减法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据立方根的定义，可得，然后解出答案即可； （2）先化简绝对值和计算算术平方根，然后从左到右进行计算即可． 【解析】（1） （2） 20．（6分）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）长为，宽为； （2） 能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【解析】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）略 21．（6分）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）； （3） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【解析】（1）略 （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 22．（8分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】（1）4， （2） 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【解析】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 23．（8分）已知，． （1）求； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算等知识，掌握二次根式的运算是关键； （1）把多项式化简，再代入即可求解； （2）由题意可求得a与b的值，可计算出，再代入即可求解． 【解析】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵， ∴x、y的整数部分为1， ∴， ∴， ∴． 24．（8分）【观察发现】 ∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为 【解决问题】 （1）求的整数部分和小数部分 （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的平方根． （3）已知、其中是一个正整数，，求的值． 【答案】（1）整数部分为，小数部分为； （2）； （3） 【分析】本题主要考查无理数的估算、立方根与算术平方根的定义以及实数的混合运算，关键是掌握无理数估算的方法及立方根、算术平方根的性质． （1）通过确定与相邻的两个完全平方数，得到的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分； （2）根据立方根的定义求出的值，再利用算术平方根的定义求出的值，估算的整数部分得到，代入代数式计算后求平方根； （3）先确定的范围，得到的范围，从而确定和的值，再代入代数式计算，注意负数的奇次幂为负数． 【解析】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为； 小数部分为； （2）解：∵的立方根是， ∴，解得； ∵的算术平方根是， ∴，解得； ∵，即， ∴； 则， ∵的平方根是， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴，即， 又∵，是正整数，， ∴，； 则． 25．（10分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】（1） （2）①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【解析】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 26．（10分）计算：． 【答案】 【解析】原式 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 实数和二次根式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．请估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．4的算术平方根是2 B．的平方根是4 C．0没有立方根 D．平方根等于本身的数是0和1 4．下列说法正确的是（ ） A．负数没有平方根，也没有立方根 B． C． D．任意实数都有唯一的立方根 5．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ） A．9 B．3 C．81 D．16 6．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知一个长方形的长是宽的倍，面积为，则长方形的宽在（ ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 8．若，则的平方根是（ ） A． B．3 C． D．2 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为________．（取） 10．已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则________． 11．若x和y互为相反数，则________． 12．现对实数，定义一种运算：．则的值为________． 13．已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，则的算术平方根为________． 14．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为________． 15．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 16．已知的平方根是，的立方根是3，则的立方根为________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（5分）有一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的x的值为36时，输出的________． （2）是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． （4）若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 18．（5分）（1）计算：． （2）求中的的值． 19．（6分）（1）解方程：． （2）计算：． 20．（6分）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 21．（6分）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 22．（8分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 23．（8分）已知，． （1）求； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 24．（8分）【观察发现】 ∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为 【解决问题】 （1）求的整数部分和小数部分 （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的平方根． （3）已知、其中是一个正整数，，求的值． 25．（10分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 26．（10分）计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $