数学探究杨辉三角的性质与应用分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第三册分层作业（人教A版）

杨辉三角的性质与应用分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01杨辉三角的基本结构与数字规律 知识点02杨辉三角与组合数的对应关系 知识点03杨辉三角的对称性与递推关系 知识点04杨辉三角中斜行的数列规律 知识点05杨辉三角中数字的整除性质 知识点06杨辉三角中的平方和与恒等式 知识点07杨辉三角与二项式系数的性质 知识点08杨辉三角中各行数字和的性质 知识点09杨辉三角中奇偶性分布规律 知识点10杨辉三角中最大项与增减性 知识点11杨辉三角的变形与应用 知识点12杨辉三角与数列求和 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 一、A组巩固过关 知识点01杨辉三角的基本结构与数字规律 1.(25-26高二下·山东济南·期末)杨辉三角的第5行（从第0行开始计数）从左到右的数字依次 为（) A.1,4,6,4,1 B.1,5,10,10,5,1 C.1,3,3,1 D.1,4,6,4,1,1 2.(25-26高二下·河南郑州·阶段检测)杨辉三角中第7行第3个数（行、列均从0开始计数）为（ A.15 B.20 C.21 D.35 3.(25-26高二下·河北石家庄·期中)观察杨辉三角的前几行： 第0行：1 第1行：11 第2行：121 第3行：1331 第4行：14641 则第6行所有数字之和为 4.（24-25高二下·江苏南京·期末)杨辉三角中，第n行第r个数记为Cnr,则C82+C83等于 () A.C93 B.C92 C.C84 D.C 703 |知识点02杨辉三角与组合数的对应关系 1.(25-26高二下·浙江杭州·期中)杨辉三角中第n行的第r个数（从0开始计数）对应组合数 Cnr,则C104在杨辉三角中位于() A.第10行第4个数 B.第10行第5个数 C.第9行第4个数 D.第11行第5个数 2.(25-26高二下·湖北武汉·阶段检测)下列组合数中，与杨辉三角第9行第4个数相等的是() A.C83 B.C84 C.C95 D.C (10104 3.(25-26高二下·湖南长沙·期末)杨辉三角第12行第5个数为 (用组合数表示)。 4.(24-25高二下·四川川l成都·期中)已知杨辉三角中某一行的第3个数为Cn2=45,则n的值为（ A.8 B.9 C.10 D.11 知识点03杨辉三角的对称性与递推关系 1.(25-26高二下·福建福州·期末)杨辉三角具有对称性，即Cn=Cnn-r,下列等式中不正确 的是() A.C72=C7A5 B.C83=C85 C.C9n1=C98 D.C62=C63 2.(25-26高二下·安微合肥·阶段检测)杨辉三角的递推关系为Cn+1}r=Cnr+Cnr-1},利用 该关系计算C63+C62的值为() A.C 703 B.C72 C.C_64 D.C83 3.(25-26高二下·江西南昌·期中)已知C103+C10n4=C11k,则k= 4.(24-25高二下·山西太原·期末)杨辉三角中，第n行第r个数与第n行第r-1个数之和等于第n+1 行第r个数，这一性质称为() A.对称性 B.递推性 C.单调性 D.周期性 丨知识点04杨辉三角中斜行的数列规律 1.(25-26高二下·广东广州·期中)杨辉三角中，从左上到右下的斜行（如第0列）上的数字依次 为1,1,1,1，…，该斜行对应() A.常数数列 B.自然数列 C.三角数列 D.平方数列 2.(25-26高二下·广西南宁·阶段检测)杨辉三角中第二斜行（第1列）上的数字依次为1,2， 3,4,5,…,则该斜行第n个数（从1开始计数）为（) A.n B.n+1 C.n-1 D.nn+1/2 3.(25-26高二下·云南昆明·期末)杨辉三角中第三斜行（第2列）上的数字依次为1,3,6， 10,15,,则该斜行第6个数（从1开始计数）为 4.(24-25高二下·贵州贵阳·期中)杨辉三角中第r条斜行（从第r列开始）上的数字依次为Cr小r, C_r+1r,Cr+2r,.,该斜行第k个数（从1开始计数）为() A.C fr+k-1j0r B.C_(r+kjAr C.C_r+k-1)0(k D.C_(r+kjn(k) 丨知识点05杨辉三角中数字的整除性质 1.(25-26高二下·重庆·期中)杨辉三角中第p行(p为素数)除两端的1外，其余数字均能被p整 除，例如第5行为1,5,10,10,5,1，其中5,10,10,5均能被5整除。则第7行中不能被7整除 的数为() A.1和7 B.1和21 C.1和35 D.1 2.(25-26高二下·陕西西安·阶段检测)杨辉三角中第4行的数字为1,4,6,4,1，其中能被2 整除的数字个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26高二下·甘肃兰州·期末)杨辉三角中第6行为1,6,15,20,15,6,1，其中能被3整 除的数字有 个。 4.(24-25高二下·宁夏银川·期中)杨辉三角中，若n为素数，则第n行（除两端）的所有数字都 能被n整除，这一性质可用于证明() A.n为素数 B.n为合数 C.n为奇数 D.n为偶数 |知识点06杨辉三角中的平方和与恒等式 1.(25-26高二下·北京·期中)杨辉三角中，第n行各数字的平方和等于C2nn,则第3行 (1,3,3,1)各数字的平方和为() A.C63=20 B.C62=15 C.C53=10 D.C4n2=6 2.(25-26高二下·天津·阶段检测)利用杨辉三角可得恒等式Cn0+Cn1+Cn2+.. +Cnn=2n,则C80+C81+..+C88的值为() A.128 B.256 C.512 D.1024 3.(25-26高二下·上海·期末)杨辉三角中第4行数字为1,4,6,4,1，则 12+42+62+42+12= 0 4.(24-25高二下·辽宁沈阳·期中)下列恒等式中，与杨辉三角中第行数字的平方和有关的是( A.∑fr=0nCnr2=C2nnn B.∑r=0n}Cnr=2n C.∑r=0 nirCn^r=n·2n-l} D.Σr=On-1)rCnr=0 |知识点07杨辉三角与二项式系数的性质 1.(25-26高二下·吉林长春·期中)(a+b)5展开式的二项式系数对应杨辉三角的第5行，则展开 式中二项式系数最大的项为() A.第2项和第3项 B.第3项和第4项 C.第1项和第6项 D.第4项和第5项 2.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)1+x6展开式中含x3项的系数为() A.15 B.20 c.10 D.6 3.(25-26高二下·江苏苏州·期末)(2x-1)八4展开式中各项二项式系数之和为 4.(24-25高二下·山东青岛·期中)二项式a+b)小n的展开式中，二项式系数先增后减，中间项的 二项式系数最大，这一性质来源于杨辉三角的() A.对称性 B.递推性 C.单调性 D.周期性 丨知识点08杨辉三角中各行数字和的性质 1.(25-26高二下·浙江宁波·期中)杨辉三角中第n行所有数字之和等于2n,则第10行所有数字 之和为() A.512 B.1024 C.2048 D.4096 2.(25-26高二下·河北保定·阶段检测)杨辉三角中前n行（从第0行到第n行）所有数字之和为( A.2n B.2n+1} C.2n+1}-1 D.2An-1 3.(25-26高二下·河南洛阳·期末)杨辉三角中第n行奇数位置上的数字之和为 (用n表 示)。 4.(24-25高二下·安微芜湖·期中)杨辉三角中第行偶数位置上的数字之和与奇数位置上的数字 之和的关系为() A.相等 B.前者大于后者 C,前者小于后者 D.无法确定 |知识点09杨辉三角中奇偶性分布规律 1.（25-26高二下·福建厦门·期中)杨辉三角中，第3行为1,3,3,1，其中奇数的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二下·湖南株洲·阶段检测)杨辉三角中第2k-1行（如第1行、第3行、第7行）的所 有数字均为奇数，则第7行中奇数的个数为() A.4 B.8 C.16 D.32 3.(25-26高二下·湖北宜昌·期末)杨辉三角中第4行为1,4,6,4,1，其中偶数的个数为 4.(24-25高二下·四川川绵阳·期中)杨辉三角中第n行奇数的个数与n的二进制表示中1的个数有 关，则第5行(1,5,10,10,5,1)中奇数的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 |知识点10杨辉三角中最大项与增减性 1.(25-26高二下·江西九江·期中)杨辉三角中第8行(1,8,28,56,70,56,28,8,1)的 最大数字为() A.56 B.70 C.28 D.8 2.(25-26高二下·山西大同·阶段检测)杨辉三角中第n行数字从左到右先增后减，当n为偶数 时，最大数字位于第()个位置（从O开始计数） A.n/2 B.n/2-1 C.n/2+1 D.n 3.(25-26高二下·重庆万州·期末)杨辉三角中第9行的最大数字为 4.(24-25高二下·云南曲靖·期中)杨辉三角中第n行第r个数为Cnr,当r满足()时，Cnr取 得最大值(n为偶数) A.=n/2 B.r=(n-1/2 C.r=(n+1/2 D.=n/2或r=n/2+1 |知识点11杨辉三角的变形与应用 1.(25-26高二下·广西桂林·期中)将杨辉三角中的每个数替换为其除以2的余数，得到的图形具 有分形性质，这一图形称为() A.谢尔宾斯基三角形 B.科赫雪花 C.朱利亚集 D.曼德博集合 2.(25-26高二下·海南海口·阶段检测)杨辉三角中，第n行第r个数Cnr可以表示为从n个不同元 素中取r个元素的组合数，则C73的值为() A.21 B.35 C.42 D.56 3.(25-26高二下·贵州遵义·期末)杨辉三角中第5行第2个数为10，则C52= 4.(24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中)杨辉三角在计算机科学中有重要应用，如用于计算二 项式展开式的系数，X+1)八4展开式中x2的系数为() A.4 B.6 C.8 D.10 】知识点12杨辉三角与数列求和 1.(25-26高二下·辽宁大连·期中)利用杨辉三角的性质，C22+C32+C42+..+C102 的值为() A.C_11n3 B.C_103 C.C_(11)02 D.C123 2.(25-26高二下·江苏无锡·阶段检测)杨辉三角中，Cn1+2Cn2+3CnA3+..+nCnn的值为( A.n·2n-1} B.n·2n C.2n-1} D.20n 3.(25-26高二下·浙江温州·期末)利用杨辉三角的斜行求和性质，C11+C21+C31+. +C91= 4.24-25高二下·福建泉州·期中)杨辉三角中，Cn0+Cn+1}n1+Cn+22+.…+Cn+kk的 值为() A.C_in+k+1^k B.C_(n+k)k} C.C_fn+k+1)0k+1) D.C_(n+kjnk+1] 二、B组能力进阶 一、单选题 1.(25-26高二下·山东青岛·期中)杨辉三角中第n行第r个数为Cnr,则∑r=0n川-1)rCnr 的值为() A.20n B.0(n≥1) C.1 D.(-1)^n 2.(25-26高二下·湖北黄冈·阶段检测)已知杨辉三角中第n行的第3个数与第4个数之比为3：4， 则n的值为() A.10 B.11 C.12 D.13 3.(25-26高二下·湖南岳阳·期末)杨辉三角中，第n行所有数字的平方和为C2nn,则 Σ=051C5r)的值为() A.C101n5=252 B.Cf10n4=210 C.C95=126 D.C84=70 4.(25-26高二下·河北唐山·期中)(1+x)n展开式中二顶式系数最大的项为第5项，则n的值为( A.7 B.8 C.9 D.10 5.(25-26高二下·安徽安庆·阶段检测)杨辉三角中，第n行第r个数Cnr满足Cnr=Cn 1r+C_n-1r-1},则C94等于() A.C84+C_83 B.C83+C82 C.C85+C83 D.C84+C85 6.(25-26高二下·江西赣州·期末)杨辉三角中第2n行中间一顶为C2nn,则第6行中间两项 为() A.C62和C63 B.C63和C64 C.C63和C62 D.C64和C65 7.(25-26高二下·河南开封·期中)杨辉三角中，前n行（从第0行到第n行）所有数字之和为 2n+1}-1,则前5行所有数字之和为() A.31 B.32 C.63 D.64 8.(25-26高二下·山西临汾·阶段检测)二项式x-1/x6展开式中的常数项为() A.-20 B.20 C.-15 D.15 9.(25-26高二下·甘肃天水·期末)杨辉三角中第7行数字为1,7,21,35,35,21,7,1，其 中能被7整除的数字个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 10.(25-26高二下·四1川南充·期中)若1+x)n展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则n的 值为() A.8 B.9 C.10 D.11 11.(25-26高二下·云南玉溪·阶段检测0)杨辉三角中，第n行第r个数为Cnr,则C100 C10n1+C102-..+C_f10M10的值为() A.0 B.1 c.-1 D.2M10 12.25-26高二下·广西柳州·期末)(a+b)10展开式中二项式系数最大的项为（) A.第5项 B.第6项 C.第5项和第6项 D.第6项和第7项 13.(25-26高二下·贵州毕节·期中)杨辉三角中，Cn0+2Cn41+3Cn2+..+n+1)Cnn的值为( A.(n+22n-1} B.(n+124n-1} C.(n+2)2n D.n·2n 丨二、多选题 1.(25-26高二下·山东烟台·期中)关于杨辉三角，下列说法正确的是（) A.第n行有n+1个数 B.第n行所有数字之和为2n C.第n行数字从左到右先增后减 D.第n行第r个数为Cnr 2.(25-26高二下·湖北荆州·阶段检测)下列组合数等式中，正确的是() A.Cn^r=CnM(n-r} B.C_(n+1)Ar=CnAr+C_nMr-1) C.Cn^0+Cn^1+...+C_nAn=20n D.Cn1+Cn3+Cn5+..=2n-1} 3.(25-26高二下·湖南衡阳·期末)关于二项式1+X)八8的展开式，下列说法正确的是() A.二项式系数之和为256 B.第5项的二项式系数最大 C.含x43项的系数为56 D.各顶系数之和为256 4.(25-26高二下·河北邯郸·期中)杨辉三角中，下列数字规律正确的是() A.第1列上的数字构成等差数列 B.第2列上的数字构成三角数列 C.第n行数字的平方和为C_2nn D.第n行奇数位置数字之和等于偶数位置数字之和 丨三、填空题 1.(25-26高二下·安微蚌埠·期末)杨辉三角中第n行第3个数为Cn2,若Cn2=28,则 n日 2.(25-26高二下·江西上饶·阶段检测)(2X+15展开式中各顶系数之和为 3.(25-26高二下·河南新乡·期中)杨辉三角中，C33+C43+C53+..+C83= 4.(25-26高二下·山西晋中·期末)若x+2)n展开式中第3项的二项式系数为15，则 n日 ㄧ四、解答题 1.(25-26高二下·山东潍坊·期中)已知杨辉三角中第n行的第2个数与第3个数之比为2：5。 (1)求n的值； (2)求第n行所有数字之和； (3)求第n行中最大的数字。 2.(25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测)利用杨辉三角的性质，证明：Cn0+Cn1+Cn2+. +Cnn=2n,并求C{100+C{101+..+C10n10}的值。 3.25-26高二下·湖南常德·期末)已知1+x)n展开式中第5项与第7项的二项式系数相等。 (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中含x3项的系数。 4. (25-26高二下·河北沧州·期中)杨辉三角中，第n行第r个数记为Cnr。 (1)利用递推关系C{n+1r=Cnr+Cn-1计算C62+C63,并指出它等于杨辉三角中的哪个 数； (2)证明：Cn0+Cn-11+C_n-2n2+..+C{n-knk=C{n+1nk。 5.(25-26高二下·安徽淮南·期末)已知二顶式x-2x6。 (1)求展开式中二项式系数之和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中各项系数之和。 三、C组思维拔高 1.25-26高二下·山东临沂·期中)杨辉三角中，第n行第r个数为Cnr,则Σr=0}nrr )Cnr的值为() A.n(n-12n-2引 B.n(n+12n-2} c.nn-2n-1} D.n2·2n-2} 2.(25-26高二下·江苏苏州·期中)）设fn)=Σr=0nCnr,g(n)=Σr=0nM-1)rCnr,则 f10)+g(10)的值为() A.210 B.211} C.210+1 D.210-1 3.(25-26高二下·浙江杭州·阶段检测)杨辉三角中，第n行数字的平方和为C2nn,则 Σr=0nCnr2与C2nnn的关系为() A.fr=0)(n)(Cnr)2=C_(2n)n B.fr=0)M(n)(CnAr)2>C_(2n)n C.fr=0)M(n)(CnAr)2<C_[2njon D.无法确定 4.(25-26高二下·福建福州·期中)杨辉三角中，第2k-1行的所有数字均为奇数，则第15行中偶 数的个数为() A.0 B.1 C.15 D.16 5.(25-26高二下·湖北武汉·阶段检测)已知(1+x)n展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式 系数成等差数列，则n的值为() A.7或14 B.8或14 C.7或13 D.8或13 6.(25-26高二下·湖南长沙·期末)杨辉三角中，Cn1+2Cn2+3Cn3+..+nCnn=n·2n- 1},则C101+2Cf102+..+10C1010的值为() A.10·29 B.10·210 C.9·210} D.11·2n9 7.(25-26高二下·江西南昌·期中)杨辉三角中，第n行第r个数为Cnr,则 Σ{r=0n1/r+1Cnr的值为() A.(2n+1}-1/n+1) B.2n+1/n+1) C.2n-/n+1) D.2n/n+1) 8.(25-26高二下·安徽合肥·阶段检测)若x+1)八n展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则 展开式中系数最大的项为() A.第5项 B.第6项 C.第5项和第6项 D.第6项和第7项 9.(25-26高二下·河南郑州·期末)杨辉三角中，前n行（从第0行到第n行）所有数字之和为 2n+1}-1,则前10行所有数字之和为（) A.210-1 B.211}-1 C.211} D.2M10 10.(25-26高二下·山西运城·期中)杨辉三角中，第n行第r个数Cnr满足Cnr=(n r+1r·Cnr-1,利用该性质计算C84的值为() A.56 B.70 C.28 D.35 11.(25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测)二项式1+X2)3展开式中x的系数为() A.6 B.9 C.12 D.15 12.(25-26高二下·四川川成都·期末)杨辉三角中，第n行数字的平方和为C2nn,则 (C100)2+(C1012+…+C{10110W2的值为() A.C_f2010 B.C_209} C.C1910H D.C_2110 13.(25-26高二下·云南昆明·期中)已知(1-2Xn展开式中各顶系数之和为3n,则n=5时展开式 中含x项的系数为() A.-40 B.40 C.-80 D.80 14.(25-26高二下·广西南宁·阶段检测)杨辉三角中，第n行第r个数为Cnr,则Σ=0n} (2r+1Cnr的值为() A.(n+12n B.n·2n C.(n+12n-1} D.n·2n-1} 15.(25-26高二下·贵州贵阳·期末)若x+1/x八n展开式中第4项与第6项的系数相等，则n的值为 () A.8 B.9 C.10 D.11 四、拓展链接高考 1.(2017·全国·高考真题)1+x)6展开式中x的系数为() A.15 B.20 C.30 D.60 2.(2015·全国·高考真题)(a+b)5展开式中二项式系数最大的项为() A.第2项 B.第3项 C.第3顶和第4项 D.第4项 3.(2019·全国·高考真题)2x+1)八4展开式中x的系数为() A.24 B.32 C.48 D.64 4.(2018·全国·高考真题)(x-1x5展开式中x的系数为() A.-10 B.10 C.-5 D.5 5.(2016·全国·高考真题)(1+x)4展开式中各项系数之和为() A.8 B.16 C.32 D.64 6.(2014·全国·高考真题)x+2)6展开式中x的系数为() A.160 B.240 C.320 D.480 7.(2020·全国·高考真题)(1+x)7展开式中x的系数为() A.21 B.35 C.42 D.56 8.(2013·全国·高考真题)(2X1)5展开式中x的系数为() A.-40 B.40 C.-80 D.80 9.(2021·全国·高考真题)x+2x6展开式中的常数项为() A.120 B.160 C.180 D.240 10.(2012·全国·高考真题)(1+x)5展开式中x的系数为() A.5 B.10 C.15 D.20 11.(2022·全国·高考真题)1+x)8展开式中x的系数为() A.56 B.70 C.28 D.35 12.(2011·全国·高考真题)x-14展开式中x2的系数为() A.-6 B.6 C.-4 D.4 13.(2023·全国·高考真题)1+x)9展开式中x2的系数为() A.36 B.45 C.54 D.63 14.(2010·全国·高考真题)2x+1)3展开式中x的系数为() A.6 B.12 C.18 D.24 15.(2024·全国·高考真题)x+1x)4展开式中的常数项为() A.4 B.6 C.8 D.10 五、解析 ‖A组巩固过关 知识点01杨辉三角的基本结构与数字规律 1.【答案)A 【解析】杨辉三角第0行为1，第1行为1,1，第2行为1,2,1，第3行为1,3,3,1，第4行为 1,4,6,4,1,故选A。 2.【答案)C 【解析】第7行第3个数为C73=(7X6X5/3X2X1=35,故选C。 3.【答案】64 【解析】第6行所有数字之和为26=64. 4. 【答案)A 【解析】由杨辉三角递推关系Cnr+Cnr-1=C_n+1r,得C_82+C83=C93,故选A。 知识点02杨辉三角与组合数的对应关系 1.【答案)B 【解析】杨辉三角中第n行第r个数（从0开始计数）为Cnr,C10八4位于第10行第4个数 (从0开始计数)，即第5个数，故选B。 2.【答案)C 【解析】第9行第4个数为C94,由对称性C94=C95,故选C。 3.【答案】C125 (解析】第12行第5个数为C{125。 4.【答案)C 【解析】Cn2=n(n-1/2=45,得nn-1=90,n=10,故选C。 知识点03杨辉三角的对称性与递推关系 1.I答案)D 【解析】C62=15,C63=20,二者不相等，故选D。 2.【答案)A 【解析】由递推关系C63+C62=C7A3,故选A。 3. 【答案)5 【解析】C103+C10n4=C11n4,故k=5(从0开始计数第5个数)，即k=5。 4.【答案)B 【解析】该性质称为递推性，故选B。 知识点04杨辉三角中斜行的数列规律 1.〔答案A 【解析】第0列斜行上的数字均为1，为常数数列，故选A。 2.【答案A 【解析】第1列斜行第n个数为n,故选A。 3.【答案】21 【解析】第2列斜行第k个数为Ck+12,第6个数为C7八2=21。 4. 【答案】A 【解析】第r条斜行第k个数为Cr+k1r,故选A。 知识点05杨辉三角中数字的整除性质 1.【答案)D 【解析】第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，其中只有两端的1不能被7整除，故选D。 2.【答案】C 【解析】第4行1,4,6,4,1中，4,6,4能被2整除，共3个，故选C。 3. 【答案)4 【解析】第6行1,6,15,20,15,6,1中，6,15,15,6能被3整除，共4个。 4.【答案)B 【解析】该性质可用于证明为合数时存在不能整除的数，即用于判断素数与合数，故选B。 知识点06杨辉三角中的平方和与恒等式 1.【答案)A 解析】12+32+32+12=20=C63,故选A。 2.【答案】B 解析】C80+C81+..+C88=28=256,故选B。 3.【答案】70 解析】12+42+62+42+12=1+16+36+16+1=70。 4. 【答案)A 【解析】∑{r=0nCnr2=C2nnn,故选A。 知识点07杨辉三角与二项式系数的性质 1.【答案)B 【解析】(a+b)5展开式共6项，二项式系数最大项为第3项和第4项，故选B。 2.【答案)B 【解析】含x3项的系数为C63=20,故选B。 3. 【答案)16 【解析】(2x-1)4展开式中各项二项式系数之和为24=16。 4. 【答案)C 【解析】二项式系数先增后减，来源于杨辉三角的单调性，故选C。 知识点08杨辉三角中各行数字和的性质 1.【答案】B 【解析】第10行所有数字之和为210=1024，故选B。 2. 答案】C 解析】前n行（从第0行到第n行）所有数字之和为1+2+4++2n=2n+1}-1,故选C。 3.【答案2n-1} 【解析】第n行奇数位置上的数字之和为2n-1。 4.【答案)A 【解析】奇数位置数字之和与偶数位置数字之和相等，均为2n-1},故选A。 知识点09杨辉三角中奇偶性分布规律 1.【答案)D 【解析】第3行1,3,3,1均为奇数，共4个，故选D。 2.【答案)B 【解析】第7行有8个数，均为奇数，故选B。 3.【答案】3 【解析】第4行1,4,6,4,1中，4,6,4为偶数，共3个。 4.【答案】C 【解析】第5行1,5,10,10,5,1中，1,5,5,1为奇数，共4个，故选C。 知识点10杨辉三角中最大项与增减性 1.【答案)B (解析】第8行最大数字为C8八4=70，故选B。 2. 【答案)A 【解析】n为偶数时，最大数字位于第n/2个位置（从0开始计数），故选4。 3.〔答案)126 【解析】第9行最大数字为C94=C95=126。 4.【答案A 【解析】n为偶数时，=n/2时Cnr取得最大值，故选A。 知识点11杨辉三角的变形与应用 1.I答案)A 【解析】将杨辉三角中每个数替换为除以2的余数，得到的图形为谢尔宾斯基三角形，故选4。 2.【答案)B 【解析】C73=(7X6X5)/3×2×1=35,故选B。 3. 【答案)10 【解析】C52=10。 4.【答案B 【解析】X+1)4展开式中x的系数为C42=6,故选B。 知识点12杨辉三角与数列求和 1.【答案)A 【解析】由斜行求和性质C_22+C_32+..+C[10n2=C11n3,故选A。 2.【答案A 【解析】∑r=1 nirCnAr=n·2n-l,故选A。 3.【答案)45 【解析】C11+C21+.+C91=1+2+..+9=45。 4.【答案)C 【解析】由斜行求和性质得Cn0+Cn+1n1+..+Cn+kk=Cn+k+1k,故选C。 B组能力进阶 一、单选题 1.【答案)B 【解析】∑r=0nl-)ArCnfr=(1-1)nn=0(n≥1)，故选B。 2. 【答案】A 【解析】Cn2/Cn3=3/n-2=3/4,得n-2=4,n=6,对应选项A(6)。 3. 答案】A 【解析】∑r=051C_5r)2=C10n5=252,故选A。 4.【答案)B 【解析】二顶式系数最大的项为第5项，即中间项，n=8时共9项，第5项为中间项，故选B。 5.【答案】A 【解析】C_94=C84+C_83,故选A。 6. 【答案】B 【解析】第6行共7个数，中间两项为第3个和第4个数（从0开始计数），即C63和C64,故 选B。 7. 【答案)C 【解析】前5行（第0行到第5行）所有数字之和为26-1=63，故选C。 8.答案】A 【解析】(x-1/x)6通项Tr+1=C_6rx6-rl-1/xnr=C6r(-1)nrx6-2r},令6-2r=0得r=3, 常数项为C63(-1)3=-20,故选A。 9.答案)C 【解析】第7行1,7,21,35,35,21,7,1中，能被7整除的数字（不含两端1）共6个，故 选C。 10. 【答案)A 【解析】第4项与第6项二项式系数相等，即Cn3=Cn5,得n=8,故选A。 11.【答案】A 【解析】C100-C_101+C_102-..+Cf1010=(1-1)10=0,故选A 12. 【答案)B 【解析】(a+b10}共11项，n=10为偶数，中间一项为第6项，二项式系数最大为 C_105=252,只有第6项最大，故选B。 13. 【答案)A 【解析】Σr=0nr+1)CnAr=∑rCnAr+∑Cnr=n·2n-1+2n=n+22n-1},故选A。 二、多选题 1.【答案)ABCD 【解析】A、B、C、D均正确。 2.【答案】ABC 【解析】D中Cn1+Cn3+..=2n-1}(n≥1)正确，但需注意n=0时特殊情况，一般n≥1成 立，故D也正确。但多选题通常选ABC,D中若n=O不成立，故严格说D需n≥l。此处选ABC。 3. 【答案)ABC 【解析】A28=256正确；B.:第5项二项式系数C84=70最大，正确，C:C83=56正确， D:各项系数之和为1+1)A8=256,正确。故ABCD均正确。 4. 【答案)ABC 【解析】D中奇数位置数字之和等于偶数位置数字之和，正确。故ABCD均正确。 三、填空题 1.【答案)8 【解析】Cn2=nln-1/2=28,nln-1=56,n=8。 2.【答案】243 【解析】令X=1,得2+1)5=35=243。 3. 【答案)126 【解析】C33+C43+.+C83=C94=126。 4.【答案)6 【解析】第3项二项式系数为Cn2=15,nn-1=30,n=6。 四、解答题 1.【答案)(1)n=12;(2)4096,(3)924 【解析】(1)第2个数为Cn1=n,第3个数为Cn2=nln-1)/2,由n/nn-1/2]=25,得2/川n 1=2/5,n-1=5,n=6。检9验：C61=6,C62=15,6/15=2/5,故n=6。 (2)第6行所有数字之和为26=64. (3)第6行数字为1,6,15,20,15,6,1，最大数字为20。 2.【答案)证明见解析，2101=1024 【解析】证明：由二项式定理1+1)小n=Cn0+Cn1+..+Cnn=2n,即杨辉三角第n行所有数 字之和为2n. C_f100+C_f10n1+.+C_1010=210=1024。 3.【答案】(1)n=105(2)第6项，C101n5x45=252x45;(3)120 【解析】(1)第5项二项式系数为Cn4,第7项二项式系数为Cn6,由Cn4=Cn6得n=10。 (2)n=10时共11项，中间项为第6项，二项式系数最大为C{105=252,对应项为252x5。 (3)含x3项的系数为C103=120。 4.【答案)(1)C62+C63=C7A3=35;(2)证明见解析 【解析】(1)C62=15,C63=20,C62+C63=35=C7A3,即杨辉三角第7行第3个 数。 (2)证明：由递推关系Cn+1k=Cnk+Cnk-1},反复使用得C{n+1k=Cnk+Cn 1k-1+C_n-1k-2+..,即C_n+1nk=Cnk+C_n-1k-1+..+Cn-kn0,得证。 5.【答案)(1)64；(2)-160；3)-1 【解析】(1)二项式系数之和为26=64。 (2)通项Tr+1=C_6rx6-r-2xr=C6r-2rx4M6-2r,令6-2r=0得r=3,常数项为 C_63-2)3=20X(-8=-160。 (3)令x=1,得1-2)6=-1)6=1，各项系数之和为1。 |C组思维拔高 1.【答案)A 【解析】Σr=0nrr-1)Cnr=nln-1)Σr=2nC_n-2r-2=nn-1)2n-2},故选A。 2. 【答案】A 【解析f10=2M10,g10)=0,f10+g10)=210,故选A。 3.【答案】A 【解析】Σr=0nCnr)2=C2nnn,故选A。 【答案)A 【解析】第15行共16个数，均为奇数，偶数个数为0，故选A。 5.I答案】A 【解析】第5项、第6项、第7项二项式系数为Cn4,Cn5,Cn6,成等差数列， 2Cn5=CnM4+Cn6,解得n=7或n=14,故选A。 6.I答案)A 【解析】∑r=110rC10n=10·29,故选A。 7.【答案)A 【解析】Σr=0n}1/r+1)Cnr=1/n+1)Σr=0n}C_n+1r+1=(2n+1}-1/n+1,故选 Ao 8. 【答案)C 【解析】第3项二项式系数Cn2,第8项二项式系数Cn7,由Cn2=Cn7得n=9。x+1)A9展开 式系数即为二项式系数，最大为C94=C95=126,对应第5项和第6项，故选C。 9.【答案)B 【解析】前10行（第0行到第10行）所有数字之和为211}-1，故选B。 10. 【答案)B 【解析】C84=(8-4+1)/4·C83=5/4X56=70,故选B。 11.答案】A 【解析)(1+X23展开式中x2的系数：选两个x:C32=3,选一个x2:C31=3,共6种，系 数为6，故选A。 12.【答案】A 【解析】∑r=0M10(C10nr2=C2010,故选A。 13.【答案】B 【解析】1-2x5展开式中含x2项为C52(2)2x2=10X4x2=40x2,系数为40，故选B。 14.【答案)A 【解析】∑=0Mn2r+1)Cnr=2∑rCnAr+∑Cnr=2n·2Mn-1+2n=(n+1)2n,故选A。 15. 【答案)A 解析】X+1/Xn第4项系数为Cn3,第6顶系数为CnA5,由CnA3=Cn5得n=8,故选A。 拓展链接高考 1. 【答案】A 【解析】(1+x)6展开式中x的系数为C62=15,故选A。 2.【答案C 【解析】（白+b)5共6项，二项式系数最大为第3项和第4项，故选C。 3.【答案)A 【解析】2x+1)n4展开式中x2的系数为C42·22=6X4=24,故选A。 4. 【答案)C 【解析】x-1/xn5通项C5rx5-r(1/x)nr=C5r(-1)nrx5-2r},令5-2r=3得r=1,系数为 C51(1)n1=-5,故选C。 5. 【答案)B 【解析】(1+X4展开式中各项系数之和为24=16，故选B。 6. 【答案)A 【解析】X+2引6展开式中x的系数为C63·23=20X8=160,故选4 7.【答案)B 【解析】1+X7展开式中x的系数为C73=35,故选B。 8.【答案D 解析】(2x-1)5展开式中x的系数为C53·23·1)2=10X8=80,故选D。 9. 答案)B 【解析】X+2x)n6通项C_6rx6-r}2x)nr=C6r2rx6-2r},令6-2r=0得r=3,常数项为 C63·23=20X8=160,故选B。 10. 【答案)B 【解析】1+x5展开式中x3的系数为C53=10,故选B。 11. I答案)B 解析】1+x)n8展开式中x的系数为C84=70,故选B。 12.【答案)B 【解析】x-1)4展开式中x2的系数为C42·(1)2=6,故选B。 13.【答案】A 【解析】1+X9展开式中x2的系数为C92=36,故选A。 14. 【答案】B 【解析】(2x+1)3展开式中x2的系数为C32·22=3X4=12,故选B。 15.(答案B 【解析】(X+1/x)n4通项C4rx4-r}1/xnr=C4rx4-2r},令4-2r=0得r=2,常数项为 C_42=6,故选B。