第02讲 成对数据的统计分析（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 变量的相关关系 知识点2 样本相关系数 知识点3 一元线性回归模型 知识点4 列联表与独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1 变量的相关关系 【方法技巧】散点图判相关法 题型2 样本相关系数 【方法技巧】相关系数 r 解读法 题型3 一元线性回归模型 【方法技巧】回归方程定点速记法 题型4 非线性回归模型 【方法技巧】换元转化线性法 题型5 残差 【方法技巧】残差拟合效果判断法 题型6 列联表与独立性检验 【方法技巧】卡方χ2临界比对法 题型7 独立性检验与其他知识综合 【方法技巧】分步拆解综合法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 成对数据的统计分析 T3（5分） T5（5分） T3（5分） 考情分析 成对数据的统计分析是天津高考统计模块考点，以选择题、填空题为主，也可在统计解答题中出现，单题分值 5 分，整体难度中等。高频考查方向为：①相关关系的判断、散点图的识别；②相关系数的含义与简单计算；③一元线性回归方程的求解与预测；④残差、残差图的理解，常结合实际背景给出数据表格综合考查，是统计板块应用性较强的内容，也是概率统计大题常考方向，需要熟练掌握计算步骤与统计意义。 复习目标 1. 理解相关关系的概念，能通过散点图判断两个变量是否具有线性相关关系、判断正相关与负相关； 2. 理解相关系数r的统计含义，会利用相关系数判断线性相关的强弱； 3. 掌握一元线性回归方程y^=b^x+a^的求解公式，会用回归方程进行预测； 4. 理解残差、残差平方和的含义，会借助残差分析模型拟合效果，区分相关关系与函数关系。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 变量的相关关系 1．变量的相关关系 (1)函数关系 函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 2．散点图 (1)散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做 . (2)正相关和负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量 ；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量 . 3．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量 相关. 自主检测下列说法错误的是（   ） A．当经验回归方程为时，变量x和y负相关 B．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r的值越接近1 C．回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D．回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好 知识点2 样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和）. (1)当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也 ；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也 . (2)当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会 ；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会 . 自主检测观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 知识点3 一元线性回归模型 1．一元线性回归模型 把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的 . 2．线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi-(bxi+a)|= |ei|，显然|ei|越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“ ”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将称为Y关于x的 ，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二 乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点(,). 3．残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为 .残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为 . 4．回归分析的三大常用结论 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. (3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 自主检测下列是某商品2025年前5个月的平均价格与月份的统计数据： 月份代码 1 2 3 4 5 平均价格（单位：元） 17 16 20 18 19 用方程拟合上述数据，当残差平方和最小时，（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 知识点4 列联表与独立性检验 1．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 2．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称 . (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 3．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 必记结论 1．经验回归直线过点. 2．求时，常用公式. 3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误. 自主检测某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； (2)从这400件样品中有放回地抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 题●型●破●译 题型1 变量的相关关系 例1-1（2026·天津·二模）芯片作为集成电路上的载体广泛应用于手机和航天等多个领域.某公司根据市场调研与统计得到，从年至年在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下： 由上图发现可以用一元线性回归模型刻画收益与投入的关系.根据以上信息，如下判断错误的为（   ） A．该公司收益数据的极差为 B．该公司收益数据的中位数为 C．可推断与两个变量正线性相关 D．若年投入亿元，则收益一定为亿元 例1-2（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 方法技巧 散点图判相关法 通过散点图判断相关关系：点从左下到右上为正相关，左上到右下为负相关；点分散杂乱无趋势则无明显线性相关，区分相关关系（不确定）和函数关系（确定）。 【变式训练1-1】已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（    ） A．变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 B．变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 C．变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 D．变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 【变式训练1-2】已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 7 4 3 A．变量x和y呈负相关 B．当时， C． D．该经验回归直线必过点 【变式训练1-3·变考法】以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（    ） A．    B．    C．    D．    题型2 样本相关系数 例2-1（2026·天津·模拟预测）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（     ） A． B． C． D． 例2-2对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 方法技巧 相关系数 r 解读法 相关系数r∈[−1,1]；∣r∣越靠近 1，线性相关性越强；r>0正相关，r<0负相关；∣r∣越靠近 0，线性相关程度越弱。 【变式训练2-1】对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【变式训练2-3】【新思维】已知变量具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型3 一元线性回归模型 例3-1某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据如下表所示 日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日 4月6日 试销价元 9 11 10 12 13 14 产品销量件 40 32 29 35 44 （1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求关于的线性回归方程，并预测4月6日的产品销售量； （2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件的概率. 参考公式： 其中， 例3-2某产品的研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下表： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 6 7 产品收益y（亿元） 2 3 5 7 8 8 9 根据表中数据建立y关于x的线性回归方程，则下列说法中错误的是（    ） A．， B．由散点图可知变量x和y呈正相关 C．用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为 D．如果研发投入18亿元，估计产品收益为23亿元 例3-3某品牌新能源汽车在今年1至5月的月销量（单位：千辆）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 月销量 3.1 2.4 4 5 5.5 根据数据可推断月销量与月份两个成对数据之间存在线性相关关系． (1)求关于的经验回归方程； (2)根据你得到的经验回归方程，预测今年10月份该品牌汽车的销量． 附： 方法技巧 回归方程定点速记法 回归直线y^​=b^x+a^必过样本中心点(xˉ,yˉ)；先算xˉ,yˉ，再求b^，代入求a^；预测时代入x直接算出y^，注意不能随意外推太远。 【变式训练3-1】为传承国家级非物质文化遗产秦腔，助力乡村振兴，某村办企业开发了一款秦腔脸谱手工挂件. 为确定合适的定价，统计了不同定价(元)与网上月销量(万件)的数据如下: 10 12 14 16 18 9 7 5 5 4 (1)请根据上表提供的数据，求关于的经验回归方程; (2)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元(定价为整数)？ (参考数据：) (参考公式：) 【变式训练3-2】2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 (1)求关于的经验回归方程； (2)预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 题型4 非线性回归模型 例4-1车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I，则两个变量正相关 B．若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 例4-2某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 方法技巧 换元转化线性法 对指数、幂型等非线性关系，做换元（如z=lny），转化为一元线性回归求解；求出回归式后再还原变量，得到原模型回归方程。 【变式训练4-1】现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【变式训练4-2·变载体】脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【变式训练4-3】随着“碳中和”战略的推进，某市新能源汽车保有量逐年攀升．为了研究该市新能源汽车保有量y（单位：万辆）与年份代码x之间的关系，统计了该市2016年至2025年（年份代码x分别为1至10）的数据．经初步处理，得到如下统计量的值： ，，，，，其中表示的自然对数． (1)根据散点图分析，发现与之间不适宜建立线性回归方程，但与具有较强的线性相关性，请利用最小二乘法，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； (2)该市某社区计划推广“绿色出行”活动，拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中，随机抽取3人组成宣讲团．设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； (3)为了进一步提升服务质量，该社区对宣讲团成员进行培训考核．已知新能源车车主考核合格的概率为，燃油车车主考核合格的概率为，且各人考核是否合格相互独立．求抽取的宣讲团成员中，恰好有2人考核合格的概率． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 题型5 残差 例5-1（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中不正确的是（     ） A．一组数据的下四分位数为 B．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C．已知，则 D．根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 例5-2（2026·天津西青·三模）下列说法正确的是（    ） A．已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的上四分位数等于原来数据的上四分位数 B．对具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为1.5 C．若随机变量，则 D．对分类变量与，它们的卡方统计量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大 方法技巧 残差拟合效果判断法 残差ei=yi−y^i​；残差平方和越小、残差点均匀落在水平带状区域内，模型拟合效果越好；残差点分布有规律，则模型不合适。 【变式训练5-1】（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 【变式训练5-2】下列说法中，正确的是（    ） A．已知一系列样本点一个经验回归方程，若样本点与的残差相等，则 B．已知随机变量，若，则 C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240 D．每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，每个题目答对的概率均为且相互独立，若答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3 【变式训练5-3】（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 题型6 列联表与独立性检验 例6-1国家加大了全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在暑假中对某校高二年级的男生和女生各名进行了调查，了解他们每天的体育锻炼情况，现统计得出样本中每天体育锻炼时间低于的学生占样本总数的，其中每天体育锻炼时间低于的女生有人． (1)完成下面的列联表； 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 (2)试根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否存在差异？ 附： 例6-2现从某市市民中随机抽取300人对是否使用互联网购物进行调查，得到下列的列联表.根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：在犯错误不超过______的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 200 不常使用互联网购物 合计 70 300 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.272 2.706 3.841 5.024 6.635 其中， 方法技巧 卡方χ2临界比对法 根据 2×2 列联表计算；把算出的χ2和临界值对比，大于临界值，就有对应把握认为两个变量有关联。 【变式训练6-1】某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． (1)根据所给数据，完成以下表格； (2)计算，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？（结果保留小数点后三位） 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (3)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【变式训练6-2】某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异．    (1)填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 (2)判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【变式训练6-3】为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为学生提供了“科技”和“艺术”两门选修课.为了解选择“科技”或“艺术”是否与性别有关，现随机抽取了100人. (1)补全下面列联表： 性别 科技 艺术 共计 男生 40 50 女生 共计 30 (2)是否有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 题型7 独立性检验与其他知识综合 例7-1利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得χ2＝4.236. P（χ2＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 参照附表，可得正确的结论是（  ） A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关” B．有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关” C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” D．有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 例7-2为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50 未服用 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．（其中且）（参考数据：，） 附：， α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 方法技巧 分步拆解综合法 先从题干、图表中提取数据完善列联表，再计算卡方；常和频率、抽样、概率结合，先完成统计量计算，再按题意下结论，注意表述规范，不能写 “一定有关”。 【变式训练7-1】通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（    ） A．爱好跳绳与性别有关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别无关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【变式训练7-2】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表： 锻炼不达标 锻炼达标 总计 男 女 总计 通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流. ①求这人中，男生、女生各有多少人？ ②从参加体会交流的人中，随机选出人做重点发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和期望. 参考公式：，其中. 临界值表 【变式训练7-3】近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性， (1)为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了下列数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 70 30 不频繁使用 50 50 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)按照分层抽样的方式从该校抽取对高满意度的6人，低满意度的4人．若从选定的10人中随机抽取2人做进一步调查，求所选2人中对高满意度的人数的分布列和期望． 参考公式：，其中．． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 2．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 3．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 4．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（    ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 2．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 3．变量x与y的观测数据的散点图如图所示，据此可以判断变量x与y之间（    ） A．很可能存在负相关 B．一定存在正相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关 4．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 5．已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是 A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 6．对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 7．已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 8．某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①；②；③．其中正确的是______．（填序号） 9．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验后得到如下数据．经过计算得，根据临界值表，可以认为该种药物对预防疾病有效果的把握为______． 患病 未患病 合计 服用药 10 46 56 未服用药 22 32 54 合计 32 78 110 10．为了了解高中生数学考试成绩是否和吃早点有关，调查者随机调查了50名高中生的情况，调查结果如下（单位：人）： 考试成绩吃早点情况 及格 不及格 吃早点 17 10 不吃早点 15 8 试问：高中生的数学考试成绩是否和吃早点有关?（） 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考成对数据的统计分析基础演练，核心考查变量间相关关系、回归分析、独立性检验的基本概念与基础运算。重点包括散点图识别、相关系数的意义判断；一元线性回归方程求解、非线性回归的换元转化；残差含义、2×2 列联表、卡方独立性检验计算。常结合实际背景、数据表格命题，题型以选择题、填空题、解答小题为主。同时注重区分相关关系与函数关系、相关系数正负与强弱判断、回归预测不能随意外推、卡方结论表述规范等易错点考查，题目难度中等，侧重基础概念理解与运算熟练度，是统计板块应用性题型，要求审题细致、运算准确。 1．（2026·天津河西·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．随机变量，，且，，则 C．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 D．根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5% 2．（2026·天津武清·模拟预测）下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（     ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·天津北辰·三模）下列说法正确的有（   ） ①数据1，3，5，7，9，11的第50百分位数为5，中位数为6； ②若一组数据的方差为0，则这组数据中的所有数值均相等； ③若随机变量满足，则，； ④在回归模型中，残差平方和越大，则回归拟合的效果越好； A．3个 B．2个 C．4个 D．1个 4．（2026·天津·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．若事件相互独立，则 B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联” D．样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 5．（2026·天津·模拟预测）下列说法中，错误的个数为（ ） ①一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17； ②根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ③若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ④用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好. ⑤随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026·天津河西·三模）为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是（     ） A．变量与呈正相关关系 B．经验回归直线必过样本中心点，且 C．若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D．若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 7．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为___________________. x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 8．随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 9．某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 10．随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 重难·创新演练 设题创新：天津高考成对数据的统计分析重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合频率分布、抽样、概率等内容，核心考查非线性回归换元转化、独立性检验与统计量综合。难点集中在换元后还原表达式、卡方计算的数据提取、统计结论严谨表述等问题。题目跳出简单套公式计算，侧重逻辑推理与建模思想。 1．（2026·天津南开·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 2．（2026·天津和平·三模）以下说法不正确的是（     ） A．样本数据1，1，1，3，3，3的极差为2，标准差为1 B．对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值为2 C．对一个容量为的总体，抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，三种方法的总体中每个个体被抽中的概率均相等 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与无关联” 3．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·天津北辰·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 5．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 6．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 C．的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大 D．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 7．下列说法正确的是（   ） A．样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 8．下列说法正确的个数是（   ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A．1 B．2 C．3 D．4 9．2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 (1)由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； (2)若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 10．下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (2)计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） (3)请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 变量的相关关系 知识点2 样本相关系数 知识点3 一元线性回归模型 知识点4 列联表与独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1 变量的相关关系 【方法技巧】散点图判相关法 题型2 样本相关系数 【方法技巧】相关系数 r 解读法 题型3 一元线性回归模型 【方法技巧】回归方程定点速记法 题型4 非线性回归模型 【方法技巧】换元转化线性法 题型5 残差 【方法技巧】残差拟合效果判断法 题型6 列联表与独立性检验 【方法技巧】卡方χ2临界比对法 题型7 独立性检验与其他知识综合 【方法技巧】分步拆解综合法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 成对数据的统计分析 T3（5分） T5（5分） T3（5分） 考情分析 成对数据的统计分析是天津高考统计模块考点，以选择题、填空题为主，也可在统计解答题中出现，单题分值 5 分，整体难度中等。高频考查方向为：①相关关系的判断、散点图的识别；②相关系数的含义与简单计算；③一元线性回归方程的求解与预测；④残差、残差图的理解，常结合实际背景给出数据表格综合考查，是统计板块应用性较强的内容，也是概率统计大题常考方向，需要熟练掌握计算步骤与统计意义。 复习目标 1. 理解相关关系的概念，能通过散点图判断两个变量是否具有线性相关关系、判断正相关与负相关； 2. 理解相关系数r的统计含义，会利用相关系数判断线性相关的强弱； 3. 掌握一元线性回归方程y^=b^x+a^的求解公式，会用回归方程进行预测； 4. 理解残差、残差平方和的含义，会借助残差分析模型拟合效果，区分相关关系与函数关系。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 变量的相关关系 1．变量的相关关系 (1)函数关系 函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 2．散点图 (1)散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 3．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关. 自主检测下列说法错误的是（   ） A．当经验回归方程为时，变量x和y负相关 B．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r的值越接近1 C．回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D．回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好 【答案】B 【详解】A.因为，所以变量x和y负相关，故A正确； B.成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数的值越接近1，故B错误； C.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好，故C正确； D.回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好，故D正确. 知识点2 样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和）. (1)当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. (2)当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 自主检测观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内； 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义， 两个变量呈负相关，故； ②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内； 随着的增大，总体呈增大趋势； 根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近， 说明图2的线性相关性更强，即 选项，已知且，且，故 成立； 选项，因为且，所以，故选项B错误； 选项，因为且，则，选项C错误； 选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误. 知识点3 一元线性回归模型 1．一元线性回归模型 把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 2．线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi-(bxi+a)|= |ei|，显然|ei|越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将称为Y关于x的经验回归方 程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二 乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点(,). 3．残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 4．回归分析的三大常用结论 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. (3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 自主检测下列是某商品2025年前5个月的平均价格与月份的统计数据： 月份代码 1 2 3 4 5 平均价格（单位：元） 17 16 20 18 19 用方程拟合上述数据，当残差平方和最小时，（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【详解】当时，，残差的平方为； 当时，，残差的平方为； 当时，，残差的平方为； 当时，，残差的平方为； 当时，，残差的平方为； 所以残差平方和 ， 对于二次函数开口向上，故在对称轴时取到最小值，故D正确. 故选：D. 知识点4 列联表与独立性检验 1．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 2．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 3．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 必记结论 1．经验回归直线过点. 2．求时，常用公式. 3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误. 自主检测某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； (2)从这400件样品中有放回地抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)与使用机床的类型有关 (2)分布列为： 0 1 2 3 【详解】（1）由列联表得． 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，能判断产品的质量与使用机床的类型有关． （2）每次抽到新型国产机床生产的良品的概率为， 依题意的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 易知，故． 题●型●破●译 题型1 变量的相关关系 例1-1（2026·天津·二模）芯片作为集成电路上的载体广泛应用于手机和航天等多个领域.某公司根据市场调研与统计得到，从年至年在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下： 由上图发现可以用一元线性回归模型刻画收益与投入的关系.根据以上信息，如下判断错误的为（   ） A．该公司收益数据的极差为 B．该公司收益数据的中位数为 C．可推断与两个变量正线性相关 D．若年投入亿元，则收益一定为亿元 【答案】D 【详解】对于AB选项，将收益由小到大排列依次为、、、、、、， 该公司收益数据的极差为，A对， 该公司收益数据的中位数为，B对； 对于C选项，由散点图可知，可推断与两个变量正线性相关，C对； 对于D选项，用回归方程计算的收益只是个估计值，而不是准确值， 即若年投入亿元，则收益不一定为亿元，D错. 例1-2（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 【答案】D 【详解】对于A，观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布， 且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存在相关关系，故A错误； 对于B，回归直线方程中，斜率反映了变量随的变化趋势， 若表示变量随的增大而增大，为正相关，若表示变量随的增大而减小，为负相关； 由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数， 而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为，故B错误； 对于C，的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很强，故C错误； 对于D，由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确． 方法技巧 散点图判相关法 通过散点图判断相关关系：点从左下到右上为正相关，左上到右下为负相关；点分散杂乱无趋势则无明显线性相关，区分相关关系（不确定）和函数关系（确定）。 【变式训练1-1】已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（    ） A．变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 B．变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 C．变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 D．变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 【答案】C 【详解】因为线性相关系数，， 所以变量x与y之间呈正相关关系，变量u与v之间呈负相关关系． 因为|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越高，所以x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性． 故选：C． 【变式训练1-2】已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 7 4 3 A．变量x和y呈负相关 B．当时， C． D．该经验回归直线必过点 【答案】C 【详解】对A：由可得，故变量x和y呈负相关，故A正确； 对B：当时，，故B正确； 对C：由表可得，， 故，解得，故C错误； 对D：由，，故D正确. 故选：C. 【变式训练1-3·变考法】以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 题型2 样本相关系数 例2-1（2026·天津·模拟预测）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察图像，可以发现图1整体从左往右递减，图2整体从左往右递增，所以， 同时图2整体排列比图1更为紧密，所以， ，A正确； 因为，所以 ， ， ，故BCD都错误. 例2-2对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 方法技巧 相关系数 r 解读法 相关系数r∈[−1,1]；∣r∣越靠近 1，线性相关性越强；r>0正相关，r<0负相关；∣r∣越靠近 0，线性相关程度越弱。 【变式训练2-1】对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【答案】D 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【答案】D 【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 【变式训练2-3】【新思维】已知变量具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，接近于1，即， 第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，接近于-1，即， 所以有. 故选：A 题型3 一元线性回归模型 例3-1某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据如下表所示 日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日 4月6日 试销价元 9 11 10 12 13 14 产品销量件 40 32 29 35 44 （1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求关于的线性回归方程，并预测4月6日的产品销售量； （2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件的概率. 参考公式： 其中， 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由题设可得，， 则 . 所以， 则回归直线方程为， 故. （2）从6天中随机取2天的所有可能结果为： ，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中相邻两天的结果为，，，，共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件的概率 . 例3-2某产品的研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下表： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 6 7 产品收益y（亿元） 2 3 5 7 8 8 9 根据表中数据建立y关于x的线性回归方程，则下列说法中错误的是（    ） A．， B．由散点图可知变量x和y呈正相关 C．用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为 D．如果研发投入18亿元，估计产品收益为23亿元 【答案】C 【详解】由数据趋势可知，研发投入增大时，产品收益整体呈上升趋势，因此变量和呈正相关， 由数据可知，，， 把，代入得， 故， 把代入得，因此估计产品收益为23亿元， 综上所述C错误. 例3-3某品牌新能源汽车在今年1至5月的月销量（单位：千辆）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 月销量 3.1 2.4 4 5 5.5 根据数据可推断月销量与月份两个成对数据之间存在线性相关关系． (1)求关于的经验回归方程； (2)根据你得到的经验回归方程，预测今年10月份该品牌汽车的销量． 附： 【答案】(1) (2)千辆 【详解】（1）根据数据可得： ， . 1 2 3 4 5 3.1 2.4 4 5 5.5 0 1 2 0 1 1.5 ， ， ， ， 所以关于的经验回归方程为． （2）当时，（千辆）， 预测今年10月份该品牌汽车的销量为千辆． 方法技巧 回归方程定点速记法 回归直线y^​=b^x+a^必过样本中心点(xˉ,yˉ)；先算xˉ,yˉ，再求b^，代入求a^；预测时代入x直接算出y^，注意不能随意外推太远。 【变式训练3-1】为传承国家级非物质文化遗产秦腔，助力乡村振兴，某村办企业开发了一款秦腔脸谱手工挂件. 为确定合适的定价，统计了不同定价(元)与网上月销量(万件)的数据如下: 10 12 14 16 18 9 7 5 5 4 (1)请根据上表提供的数据，求关于的经验回归方程; (2)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元(定价为整数)？ (参考数据：) (参考公式：) 【答案】(1) (2)15元 【详解】（1）根据题意有 ， . 所以， 故 故所求经验回归方程为 . （2）由题设，即， 解得，因为定价为整数，所以定价最高为15元. 【变式训练3-2】2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 (1)求关于的经验回归方程； (2)预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 【答案】(1) (2)5.28万公里 【详解】（1）由题意得， ， 则 ， ． 故关于的经验回归方程为 ． （2）当时， ． 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里． 题型4 非线性回归模型 例4-1车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I，则两个变量正相关 B．若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 【答案】D 【详解】模型I所得经验回归方程为，因为，则两个变量负相关，故A不正确； 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量估计减少1.14个单位，故B不正确； 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度可能越小，故C不正确； 由于模型I的决定系数为0.95，模型II的决定系数为0.99，由于，则模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好，故D正确. 故选：D. 例4-2某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1)模型②； (2)（i）（ⅱ）27.1亿元 【详解】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 方法技巧 换元转化线性法 对指数、幂型等非线性关系，做换元（如z=lny），转化为一元线性回归求解；求出回归式后再还原变量，得到原模型回归方程。 【变式训练4-1】现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 【变式训练4-2·变载体】脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】(1)选择模型② (2)，10人 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适. （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有. 则，所以 则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为. 由题意，，解得，又为整数，所以. 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人. 【变式训练4-3】随着“碳中和”战略的推进，某市新能源汽车保有量逐年攀升．为了研究该市新能源汽车保有量y（单位：万辆）与年份代码x之间的关系，统计了该市2016年至2025年（年份代码x分别为1至10）的数据．经初步处理，得到如下统计量的值： ，，，，，其中表示的自然对数． (1)根据散点图分析，发现与之间不适宜建立线性回归方程，但与具有较强的线性相关性，请利用最小二乘法，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； (2)该市某社区计划推广“绿色出行”活动，拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中，随机抽取3人组成宣讲团．设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； (3)为了进一步提升服务质量，该社区对宣讲团成员进行培训考核．已知新能源车车主考核合格的概率为，燃油车车主考核合格的概率为，且各人考核是否合格相互独立．求抽取的宣讲团成员中，恰好有2人考核合格的概率． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 【答案】(1) (2) 0 1 2 (3) 【详解】（1）对，两边取对数，令， 则与建立线性回归模型．， ，，，，其中表示的自然对数， 由题意可知：，，， ， 所以，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为：. （2）由题意，总人数为6人（4名燃油车主，2名新能源车主），从中抽取3人， 随机变量表示抽取的新能源车主人数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）设事件为“抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格”，表示抽取的新能源车主人数， 则， ， ， 所以 ， 故抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格的概率为． 题型5 残差 例5-1（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中不正确的是（     ） A．一组数据的下四分位数为 B．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C．已知，则 D．根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 【答案】C 【详解】对于A，该组数据共个，下四分位数即第25百分位数，位置为整数， 所以下四分位数为第2项与第3项的平均值，即，A正确． 对于B，残差公式为，代入观测值，预测值， 得残差为，B正确； 对于C，，由二项分布概率公式， 代入得，C错误。 对于D：由独立性检验原理，对应， 即推断两个分类变量有关联的犯错概率不大于，D正确． 例5-2（2026·天津西青·三模）下列说法正确的是（    ） A．已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的上四分位数等于原来数据的上四分位数 B．对具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为1.5 C．若随机变量，则 D．对分类变量与，它们的卡方统计量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大 【答案】B 【详解】对于A选项，对于30个各不相同的数据，上四分位数的位置为 ，向上取整为23，因此上四分位数是第23个数， 去掉最大和最小两个数据后，剩余28个数据， 此时上四分位数的位置为 ， 因此上四分位数是第21个数和第22个数的平均值， 由于原数据各不相同，第22个数不等于第23个数， 因此新的上四分位数不等于原来的上四分位数. 对于B选项，经验回归方程一定过样本中心点 , 将样本中心点代入回归方程，得，，则 因此回归方程为， 残差的定义为观测值减去预测值，即， 对于样本点，预测值为，残差为 对于C选项，随机变量，说明正态分布的均值， 曲线关于对称，因此， 已知，则， 故C选项错误. 对于D选项，卡方检验的原理是统计量衡量观测值与理论值的偏离程度， 越大，说明观测值与理论值的差异越显著，越有把握认为两个分类变量有关系， 反之，越小，说明差异越小，越没有把握认为有关系. 方法技巧 残差拟合效果判断法 残差ei=yi−y^i​；残差平方和越小、残差点均匀落在水平带状区域内，模型拟合效果越好；残差点分布有规律，则模型不合适。 【变式训练5-1】（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 【答案】C 【详解】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关，故A正确； 选项B： 易得，，样本中心点为，回归直线方程经过样本中心点，故B正确； 对于CD：将样本中心点坐标代入回归直线方程得 ，故D正确. 计算预测值，实际值， 残差. 题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误， 故选：C 【变式训练5-2】下列说法中，正确的是（    ） A．已知一系列样本点一个经验回归方程，若样本点与的残差相等，则 B．已知随机变量，若，则 C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240 D．每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，每个题目答对的概率均为且相互独立，若答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3 【答案】D 【详解】对于A，经验回归方程，若样本点与的残差相等， 则，可得，A错误； 对于B，曲线关于对称，因为，则， 所以，B错误； 对于C，将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名， 有两种分组方法，即或， 则不同的分配方法有，C错误； 对于D，设为得分，故可能为4或2， 故，， 故，D正确. 故选：D 【变式训练5-3】（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【答案】D 【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 题型6 列联表与独立性检验 例6-1国家加大了全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在暑假中对某校高二年级的男生和女生各名进行了调查，了解他们每天的体育锻炼情况，现统计得出样本中每天体育锻炼时间低于的学生占样本总数的，其中每天体育锻炼时间低于的女生有人． (1)完成下面的列联表； 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 (2)试根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否存在差异？ 附： 【答案】(1)补全的列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 (2)依据的独立性检验，不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异 【详解】（1）样本总数为，每天锻炼时间低于的人数为人， 男生低于的人数为， 男生不低于的人数为， 女生不低于的人数为， 不低于的总人数为， 则列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 （2）零假设该校男生和女生每天锻炼时间无差异， 则, 当时，临界值， 因为，故没有充分证据拒绝零假设， 故不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异． 例6-2现从某市市民中随机抽取300人对是否使用互联网购物进行调查，得到下列的列联表.根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：在犯错误不超过______的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 200 不常使用互联网购物 合计 70 300 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.272 2.706 3.841 5.024 6.635 其中， 【答案】0.10 【详解】由总样本量为300，非年轻人合计70，所以年轻人合计30070230； 经常使用互联网购物的合计200，其中年轻人160，所以经常使用互联网购物的非年轻人为20016040；不常使用互联网购物的合计300200100，其中不常使用互联网购物的年轻人为23016070，不常使用互联网购物的非年轻人为704030. 补全后列联表如下： 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 40 200 不常使用互联网购物 70 30 100 合计 230 70 300 所以， 因为，对应. 因此在犯错误的概率不超过0.10的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 方法技巧 卡方χ2临界比对法 根据 2×2 列联表计算；把算出的χ2和临界值对比，大于临界值，就有对应把握认为两个变量有关联。 【变式训练6-1】某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． (1)根据所给数据，完成以下表格； (2)计算，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？（结果保留小数点后三位） 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (3)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 (2)，有关； (3)． 【详解】（1）因为100名学生有60名学生的短跑成绩合格，所以有40名学生的短跑成绩不合格， 因为60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时， 所以60名短跑成绩合格的学生中有名学生每周的锻炼时间不超过5小时， 因为有45名学生每周的锻炼时间超过5小时， 所以40名短跑成绩不合格的学生中有名学生每周的锻炼时间超过5小时， 40名短跑成绩不合格的学生中有名学生每周的锻炼时间不超过5小时， 根据以上信息可得表格如下：单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 （2）零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立． 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关． （3）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名， 其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人． 从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲， 设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”， “甲每周的锻炼时间不超过5小时”， 用列联表中的数据计算频率并替代概率后得，， 又已知，， 由全概率公式可得， 所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为． 【变式训练6-2】某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异．    (1)填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 (2)判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 【详解】（1） 乐观 不乐观 合计 国内代表 40 60 100 国外代表 60 40 100 合计 100 100 200 （2）：假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关， 则， 答：有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 【变式训练6-3】为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为学生提供了“科技”和“艺术”两门选修课.为了解选择“科技”或“艺术”是否与性别有关，现随机抽取了100人. (1)补全下面列联表： 性别 科技 艺术 共计 男生 40 50 女生 共计 30 (2)是否有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1) 性别 科技 艺术 共计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 共计 70 30 100 (2)有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关. 【详解】（1）补全列联表如下， 性别 科技 艺术 共计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 共计 70 30 100 （2）根据列联表数据，得 ， 所以有的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关. 题型7 独立性检验与其他知识综合 例7-1利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得χ2＝4.236. P（χ2＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 参照附表，可得正确的结论是（  ） A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关” B．有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关” C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” D．有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 【答案】A 【详解】由题意及表格知，观测值χ2＝4.236＞3.841，所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”． 故选：A 例7-2为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50 未服用 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．（其中且）（参考数据：，） 附：， α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】46 【详解】由题意可得， 整理得， 所以或， 解得或， 又因为且， 所以， 所以a的最小值为46. 故答案为：46. 方法技巧 分步拆解综合法 先从题干、图表中提取数据完善列联表，再计算卡方；常和频率、抽样、概率结合，先完成统计量计算，再按题意下结论，注意表述规范，不能写 “一定有关”。 【变式训练7-1】通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（    ） A．爱好跳绳与性别有关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别无关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【详解】，，， ，，， 根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关， 故选：C. 【变式训练7-2】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表： 锻炼不达标 锻炼达标 总计 男 女 总计 通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流. ①求这人中，男生、女生各有多少人？ ②从参加体会交流的人中，随机选出人做重点发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和期望. 参考公式：，其中. 临界值表 【答案】（1）列联表见详解，在犯错误的概率不超过的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关；（2）①男生有人，女生有人；②分布列见详解，. 【详解】（1）列联表如下图所示： 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 合计 由列联表中数据，计算得到的观测值为 . 所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关； （2）① “锻炼达标”的学生有人，男、女生人数比为， 故用分层抽样方法从中抽出人，男生有人，女生有人. ②的可能取值为、、， ，，， 的分布列为 所以，随机变量的数学期望. 【变式训练7-3】近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性， (1)为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了下列数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 70 30 不频繁使用 50 50 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)按照分层抽样的方式从该校抽取对高满意度的6人，低满意度的4人．若从选定的10人中随机抽取2人做进一步调查，求所选2人中对高满意度的人数的分布列和期望． 参考公式：，其中．． 【答案】(1)能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)的分布列为： 0 1 2 【详解】（1）由题意得， 所以，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2. 可得，，， 的分布列为： 0 1 2 可得数学期望为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 2．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 3．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 4．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 5．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（    ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型， 根据对应的残差图，残差的均值可能成立， 但明显残差的随着的增大偏差增大，不满足一元线性回归模型的假设，正确的只有C. 故选：C. 2．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】C 【详解】由表可知当时，， 因为，所以分类变量与相互独立， 因为， 所以分类变量与相互独立，这个结论犯错误的概率不超过， 故选：C 3．变量x与y的观测数据的散点图如图所示，据此可以判断变量x与y之间（    ） A．很可能存在负相关 B．一定存在正相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关 【答案】C 【详解】由散点图知，以后的函数值，随着x的变大而变大，所以呈正相关性； 而的函数值增加缓慢，或者数据不足以说明一定是增加的， 故x与y的关系是很可能存在正相关. 故选：C 4．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和指数型函数的图象类似，所以选项B最能反映之间的函数关系. 故选：B. 5．已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是 A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 【答案】A 【详解】试题分析：由题意得，变量和满足关系知；，所以与负相关，又变量与正相关，可得与负相关，故选A． 考点：回归直线方程． 6．对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 【答案】C 【详解】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关． 7．已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 【答案】 【详解】由表格中的数据可得，， 将点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 8．某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①；②；③．其中正确的是______．（填序号） 【答案】① 【详解】由已知数据，， 代入，只有①满足， 故答案为：① 9．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验后得到如下数据．经过计算得，根据临界值表，可以认为该种药物对预防疾病有效果的把握为______． 患病 未患病 合计 服用药 10 46 56 未服用药 22 32 54 合计 32 78 110 【答案】/0.99 【详解】∵， ∴有的把握认为该种药物对预防疾病有效果. 故答案为：. 10．为了了解高中生数学考试成绩是否和吃早点有关，调查者随机调查了50名高中生的情况，调查结果如下（单位：人）： 考试成绩吃早点情况 及格 不及格 吃早点 17 10 不吃早点 15 8 试问：高中生的数学考试成绩是否和吃早点有关?（） 【答案】高中生的数学考试成绩与吃早点无关 【详解】依题意，列联表如下： 考试成绩吃早点情况 及格 不及格 合计 吃早点 17 10 27 不吃早点 15 8 23 合计 32 18 50 则的观测值为， 所以没有90%的把握判定高中生的数学考试成绩与吃早点有关，可以认为高中生的数学考试成绩与吃早点无关. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考成对数据的统计分析基础演练，核心考查变量间相关关系、回归分析、独立性检验的基本概念与基础运算。重点包括散点图识别、相关系数的意义判断；一元线性回归方程求解、非线性回归的换元转化；残差含义、2×2 列联表、卡方独立性检验计算。常结合实际背景、数据表格命题，题型以选择题、填空题、解答小题为主。同时注重区分相关关系与函数关系、相关系数正负与强弱判断、回归预测不能随意外推、卡方结论表述规范等易错点考查，题目难度中等，侧重基础概念理解与运算熟练度，是统计板块应用性题型，要求审题细致、运算准确。 1．（2026·天津河西·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．随机变量，，且，，则 C．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 D．根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5% 【答案】B 【详解】对于A选项，线性回归方程必过样本点中心，将样本中心代入，得，解得，故A表述正确； 对于B选项，正态分布关于对称，故， 由得，即，二项分布的期望为，因为，所以， 由得，解得，所以B表述错误； 对于C选项，该组数据共8个，上四分位数即分位数，， 所以上四分位数为排序后第6个和第7个数据的平均值，即，所以C表述正确； 对于D选项，独立性检验中，当时，对应， 因此拒绝“两个分类变量独立”的原假设，该推断犯错误的概率不超过，所以D表述正确. 2．（2026·天津武清·模拟预测）下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（     ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4， 则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确； 对于命题②，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以命题②错误； 对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确； 对于命题④，将数据从小到大排序为， 因为，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误. 3．（2026·天津北辰·三模）下列说法正确的有（   ） ①数据1，3，5，7，9，11的第50百分位数为5，中位数为6； ②若一组数据的方差为0，则这组数据中的所有数值均相等； ③若随机变量满足，则，； ④在回归模型中，残差平方和越大，则回归拟合的效果越好； A．3个 B．2个 C．4个 D．1个 【答案】B 【详解】对于①，该组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，由， 可知第50百分位数为第三项与第四项的平均数，为， 而中位数也是第三项与第四项的平均数，即6，故①错误； 对于②，因一组数据的方差为， 若，则，即这组数据中的所有数值均相等，故②正确； 对于③，根据随机变量的期望与方差的性质：（） ，因，可得，，故③ 正确； 对于④ ，在回归模型中，根据残差的意义可知，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，残差平方和越大，则拟合的效果越差，故④错误. 4．（2026·天津·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．若事件相互独立，则 B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联” D．样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】C 【详解】对于A，若事件A，B相互独立，则，故A正确； 对于B.，残差的散点图分布的区域越窄，说明预测值与观测值的偏离越小，拟合效果越好，故B正确； 对于C，零假设：与相互独立，即与没有关联.因为， 依据的独立性检验，拒绝零假设，所以有的把握认为“与有关联”，故C错误； 对于D.，当的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确. 5．（2026·天津·模拟预测）下列说法中，错误的个数为（ ） ①一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17； ②根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ③若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ④用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好. ⑤随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】判断①：这组数据共个，从小到大已排序，计算， 则第80百分位数为第8项与第项的平均数，即，①错误； 判断②：已知，且， 因此认为两个分类变量不独立，推断犯错误的概率不超过，②正确； 判断③：相关系数的绝对值越接近，线性相关性越强，， 因此甲组数据线性相关性更强，③错误； 判断④：决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好， 因此越小，拟合效果越差，④错误； 判断⑤：正态分布关于对称， 由得； 二项分布的期望， 由得，解得，⑤错误. 综上，错误的个数为个. 6．（2026·天津河西·三模）为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是（     ） A．变量与呈正相关关系 B．经验回归直线必过样本中心点，且 C．若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D．若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 【答案】D 【详解】选项 A：回归方程中的系数为 ，所以变量与呈正相关关系，A正确. 选项 B：经验回归直线必过样本中心点 ， 将样本中心代入回归方程 进行验证， 可得 ，满足回归直线性质，B正确. 选项 C：当时，预测值 ， 残差 ，C 正确. 选项 D：残差平方和越小，决定系数越大，说明模型拟合效果越好，D 错误. 7．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为___________________. x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 【答案】 【详解】，， 线性回归方程恒过， 所以，解得：. 故答案为：. 8．随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 【答案】(1)认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联 (2)数学期望，方差 (3) 【详解】（1）假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联， ， 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立， 即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联． （2）用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率， 抽取名市民中喜欢户外运动的人数X服从二项分布． 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：． （3）设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3）， 则， ， 所以，解得， 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为． 9．某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2) 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 及格与专项整治行动有关 【详解】（1）由题意，得专项整治行动后评分及格的人数为人， 所以这1000名游客中评分及格的人数为人， 所以从这1000名游客中随机抽取1人，此游客的评分及格的概率为． （2）列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设：评分是否及格与专项整治行动无关． 由题意，得，     由查表可得， 因为，所以统计假设不成立，根据小概率值的独立性检验， 可以认为评分是否及格与专项整治行动有关． 10．随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】(1) (2)使用工具与数学成绩有关 【详解】（1）由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为．     所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． （2）零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得．     因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 重难·创新演练 设题创新：天津高考成对数据的统计分析重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合频率分布、抽样、概率等内容，核心考查非线性回归换元转化、独立性检验与统计量综合。难点集中在换元后还原表达式、卡方计算的数据提取、统计结论严谨表述等问题。题目跳出简单套公式计算，侧重逻辑推理与建模思想。 1．（2026·天津南开·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 【答案】B 【详解】对于A，因为，且，故， 则，A错误； 对于B，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度越高，拟合效果越好，B正确； 对于C，举例，抛两次硬币，设“第一次正面向上”，“第二次正面向上”，“两次向上结果相同”， 则，, 满足, 即，，三个事件两两独立，而，即C错误； 对于D，将原数据从小到大排序：2，3，3，4，7，8，10，18， 因为，因此第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，即，D错误. 2．（2026·天津和平·三模）以下说法不正确的是（     ） A．样本数据1，1，1，3，3，3的极差为2，标准差为1 B．对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值为2 C．对一个容量为的总体，抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，三种方法的总体中每个个体被抽中的概率均相等 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与无关联” 【答案】D 【详解】对于A，在样本数据1，1，1，3，3，3中，最大值是3，最小值是1，所以极差为. 样本数据的平均数为，则标准差，所以选项A正确. 对于B，已知经验回归方程为，样本数据的中心点为， 因为样本数据的中心点为一定在经验回归方程上，所以，则，所以选项B正确. 对于C，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，即总体中每个个体被抽中的概率均为，所以选项C正确. 对于D，已知，依据的独立性检验， 当时，我们有的把握认为“与有关联”，所以选项D错误. 3．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确. 对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误. 对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误. 对于④，且，，又，，得，④错误. 综上，错误的个数为3个. 4．（2026·天津北辰·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 5．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 【答案】B 【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误； 对于B，依题意，，B正确； 对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误； 对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误. 6．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 C．的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大 D．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 【答案】B 【详解】对于选项A：，故根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系，即A正确： 对于选项B，回归直线方程中，当变量等于200时，的值平均是15，不能说一定是15，故B错误； 对于选项C：越大，“与有关系”可信程度越大，即相关性的可能性就越大，即C正确； 对于选项D：在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即D正确. 7．下列说法正确的是（   ） A．样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 【答案】B 【详解】对于选项A：样本数据点的中心一定在线性回归直线上，故A错误； 对于选项B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 对于选项C：线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故C错误； 对于选项D：如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误； 故选：B. 8．下列说法正确的个数是（   ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由题意可得，所以关于的经验回归直线必过点，故①正确； 对于②，残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越好，故②错误； 对于③，样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有线性关系，但可能存在其它关系，故③错误； 对于④，对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关，故④正确. 故选：B. 9．2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 (1)由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； (2)若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 【答案】(1)，13百元 (2) 0 1 2 ． 【详解】（1）由数据可得，，， 则， ， 所以，， 因此，y关于x的线性回归方程为：， 当时，(百元)， 因此，预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额约为13百元. （2）由题意可知，“热门场次”共有3场，即的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列为 0 1 2 ． 10．下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (2)计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） (3)请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 【答案】(1) (2)，（1）中线性回归模型的拟合效果良好 (3)当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元 【详解】（1）由题意可知，，， ，， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为. （2），， 所以， 因此（1）中线性回归模型的拟合效果良好. （3）当时，， 因此估计当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $