第02讲 平面向量基本定理及坐标表示（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，按基底概念、坐标运算、共线应用逻辑构建知识框架，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题训练等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握解题方法，突破复习难点。 资料以天津高考考情为导向，创新采用题型分类突破策略，如通过基底辨析例题培养推理能力，坐标运算实例提升运算能力，结合分层练习和真题溯源，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面向量基本定理和性质 知识点2 线段定比分点的向量表达式 知识点3 平面向量的坐标表示及坐标运算 知识点4 平面向量的直角坐标运算 题型破译 题型1 基底的概念及辨析 【方法技巧】基底的概念及辨析 题型2 用基底表示向量 【方法技巧】用基底表示向量 题型3 利用平面向量基本定理求参数 【方法技巧】利用平面向量基本定理求参数 题型4 平面向量的坐标运算 【方法技巧】平面向量的坐标运算 题型5 向量共线的坐标表示 【方法技巧】向量共线的坐标表示 题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 【方法技巧】由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量基本定理与基底的概念 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T11（5 分） 平面向量的坐标运算 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T7（5 分） 向量共线的坐标表示与综合应用 天津卷 T15（6 分） 天津卷 T15（6 分） 天津卷 T15（6 分） 考情分析 平面向量基本定理及坐标表示是天津高考数学必考核心考点，是平面向量模块的核心基础内容，承接向量的线性运算，是后续向量数量积、解析几何、立体几何向量法的必备前提，每年均有考查。以选择、填空题为主要考查形式，偶尔会在向量解答题（第 15 题）中出现，单题分值 5-6 分，整体难度中等，属于必拿分核心考点。 高频考查方向为：①平面向量基本定理的理解与应用，基底的判断、向量的基底分解与系数求解；②平面向量的坐标运算，包括线性运算的坐标表示、向量坐标的基础计算、模长与夹角的坐标形式计算；③向量共线的坐标表示，利用共线条件求解参数、判定三点共线，以及与函数、解三角形结合的综合应用。 本模块是平面向量模块的核心枢纽，将向量的几何意义与代数运算完美结合，几乎所有向量相关的综合题目都会涉及本模块的知识点，是高考数学的核心得分点。 复习目标 1.理解平面向量基本定理的核心内容，掌握基底的概念与判断方法，能熟练将平面向量用指定基底进行线性表示，理解定理的几何意义与应用场景； 2.掌握平面向量的坐标表示方法，熟练进行向量的加减、数乘等线性运算的坐标计算，能利用坐标形式求解向量的模长、夹角，掌握坐标运算的核心规则； 3.掌握向量共线的坐标表示条件，能利用共线条件判定向量共线、三点共线，熟练求解相关参数值与范围，能结合函数、解三角形等内容解决向量坐标形式的综合应用问题，筑牢向量模块的代数运算基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理 如果，则 ；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使 ．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式. 推论1：若，则． 推论2：若，则． 必记结论 由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础 自主检测如图，在中，，，且与交于点，，则（     ）    A． B． C． D． 知识点2 平面向量基本性质 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量 ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使 ，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得；存在，使得． 中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量 ，反之亦正确． .D A C B 必记结论 性质：1. 基底必不共线，零向量不能作基底；2. 系数唯一，可列方程求参数；3. 若λ1e1​+λ2e2=0，则λ1=λ2=0；4. 线段分点、重心问题常用基底拆分；5. 建系本质是正交基底，坐标就是对应系数，共线垂直可转化基底系数运算。 自主检测已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 知识点3 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是 的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 必记结论 值设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，加减、数乘直接对应坐标运算；向量坐标 = 终点坐标减起点坐标。共线判定速记：x1y2−x2y1=0；垂直判定：x1x2+y1y2=0。模长用，求距离、夹角先算数量积。遇几何图形优先建系赋值，把向量转化数字计算；已知基底分解可设坐标列方程求参数，避开复杂几何推导。 自主检测已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 知识点4 平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，．， 必记结论 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 自主检测已知向量，，求： (1)的坐标； (2)的值； (3)的值. 题●型●破●译 题型1 基底的概念及辨析 例1-1下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 例1-2设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 方法技巧 基底的概念及辨析 平面向量基底必须是同一平面内两个不共线向量，零向量不能作为基底，共线向量无法充当基底，这是核心判断依据。同一组基底可以表示平面内任意一个向量，并且分解形式唯一。做题判断能否构成基底，只需验证两向量不共线即可。若向量坐标已知，利用坐标比例判断是否共线。天津高考小题常设置陷阱，混淆共线、零向量条件。解题要看清题干给定基底，不可随意更换，分解向量时保证对应系数匹配，做完回代验证，规避概念错误。 【变式训练1-1】下列四个命题中真命题的个数是（    ） ①已知非零向量，，，若，，则 ②已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是 ③已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 ④已知，，，可以作为平面向量的一组基底 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-2】在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-3】下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型2 用基底表示向量 例2-1已知是边长为2的等边三角形，，，设，， （1）__________（用和表示）； （2）已知点是所在的平面内的动点，且满足，则动点运动所形成的区域面积为__________. 例2-2已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 方法技巧 用基底表示向量 用基底表示向量，核心是借助向量线性运算，把目标向量转化为选定的两个不共线基底的线性组合。优先利用三角形、平行四边形法则拆分向量，灵活运用AB=OB−OA进行向量变形。遇到平面图形，找准边角关系，将未知向量拆解为基底向量的加减、数乘形式。牢记基底必须不共线，分解结果形式唯一。若题目给出坐标，也可借助坐标列方程求解系数。天津高考小题常结合几何图形考查，注意符号不要出错，画图辅助理清向量方向。做完将表达式回代检验，核对系数，避免拆分变形出现失误。 【变式训练2-1】如下图，在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示_________；若，则余弦值的最小值为_________．    【变式训练2-2·变考法】【新思维】如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 题型3 利用平面向量基本定理求参数 例3-1在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 例3-2如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P． (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． 例3-3在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 方法技巧 利用平面向量基本定理求参数 利用平面向量基本定理求参数，核心是：同一组基底下，向量相等则对应系数相等。先借助向量加减、数乘运算，把等式两边全部整理成同一组基底e1​,e2​的线性组合。根据系数分别对应相等，建立方程组求解参数。解题要确认基底满足不共线的前提条件。几何题型要结合图形拆分向量，善于转化AB=OB−OA。部分题目结合向量共线设置条件，可联立方程简化计算。 【变式训练3-1】如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练3-2】如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 题型4 平面向量的坐标运算 例4-1已知，． (1)求和的坐标； (2)求，的数量积； (3)若，夹角为，求． 例4-2已知，则____________． 方法技巧 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算，向量加减、数乘直接对横纵坐标分别运算。注意区分点的坐标与向量坐标：AB坐标等于终点坐标减去起点坐标，顺序不可颠倒。已知坐标可判定向量共线，利用交叉相乘相等列式求参数，不要误用除法，避免分母为零。天津高考小题常结合图形，把几何条件转化坐标计算。做题优先建立坐标系，将几何问题代数化。运算留心正负符号，共线判断警惕零向量特殊情况。算出结果后回代验证，理清向量平移不改变坐标，不要混淆向量与点坐标，减少低级计算失误。 【变式训练4-1】已知点，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已已知，， 且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】在正六边形中，对角线，相交于点，若，则______． 题型5 向量共线的坐标表示 例5-1设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 例5-2已知向量，． (1)求及； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 方法技巧 向量共线的坐标表示 已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，两向量共线的坐标条件为x1y2−x2y1=0，优先使用交叉相乘式，规避除法带来分母为零的漏洞。常用于判断向量共线、求参数、证明三点共线。要区分向量共线和三点共线，三点共线还需要向量具备公共点。解题时把几何条件转化坐标等式，建立方程求解参数。天津高考小题高频考查，注意零向量的特殊情况。做题仔细核对坐标顺序与符号，分清点坐标和向量坐标。求出参数后代入回代检验，防止出现不符合题意的增根。 【变式训练5-1】已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知向量，，，且． (1)求； (2)若，求的值． 【变式训练5-3】已知平面向量，则向量等于（   ） A． B． C． D． 题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 例6-1在直角梯形中，已知，动点分别在线段和上，和交于点，且．    （1）当时，的值是___________； （2）的取值范围是___________． 例6-2已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则__________，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为__________. 方法技巧 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 利用向量坐标，先把相关向量写出坐标，通过线性运算化简目标表达式，转化为关于变量的函数，进而求解取值范围与最值。遇到动点问题，设出动点坐标，结合题干几何约束限定自变量范围。常转化为二次函数、模长类函数，可借助二次函数性质或者基本不等式求解。天津高考小题中，常结合平面图形考查，注意向量模长与向量坐标的换算。运算保证坐标、符号准确，区分点坐标与向量坐标。求解完成后，检验自变量区间，确认端点能否取到，回代验证结果。 【变式训练6-1】已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【变式训练6-2】已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】在四边形中，，，，，，则实数的值为_______，若是线段上的动点，且，则的最小值为________. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 5．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则______. 4．已知点，B(5，6)，线段AB的中点坐标为________． 5．设k为实数，若向量，且，则k的值为__________． 6．设为实数，若是两个不共线的向量，满足与共线，则_______. 7．已知点A（3，0），B（2，1），C（1，4），的值为________． 8．已知向量，（三点不共线），判断下列各题中的点是否在直线上． (1)； (2)； (3)． 9．已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 10．如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考平面向量基本定理与坐标运算多设置选择小题。重点掌握基底的选取条件，不共线两个向量才可作为基底；会完成向量的基底分解。坐标运算侧重向量加减、数乘的坐标公式，利用坐标判定向量共线，求解参数。常结合几何图形，把几何条件转化坐标代数运算。易错点为基底必须不共线，共线向量坐标比例关系，审题区分向量坐标与点的坐标，重视细节避免计算失误。 1．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，且，则（     ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则实数（    ） A． B． C． D．3 45．已知，，，则的坐标为__________． 6．点是的重心，用和表示，则__________． 7．已知，向量，，点是线段上一点.若点是线段的中点，则点坐标为______；若点是靠近点的一个三等分点，则点坐标为______. 8．已知向量， (1)求，，的坐标； (2)求，的值； (3)设与的夹角为，求的值． 9．已知向量，满足，． (1)求向量，的数量积及的值； (2)求向量，夹角θ的余弦值； (3)求的值． 10．已知向量满足. (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 重难·创新演练 设题创新:创新命题常结合不规则多边形、动点情境，将平面向量基本定理和坐标运算综合考查。不再直接给出现成基底，需要学生自主选取合适基底，完成向量分解。题型把几何位置关系转化为坐标等式，求解参数、范围。部分考题融合向量共线、三点共线，设置多参数增加计算量。演练时要强化几何语言转代数式子的训练，区分点坐标与向量坐标，牢记基底不共线的硬性条件。做题优先画图辅助，灵活切换基底法与坐标法，做完回代检验，规避比例运算漏分母、符号颠倒等常见失分点。 1．在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，设，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 6．在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 7．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，为线段上一点，且，则的最小值为__________. 8．已知平面向量，，，且，． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 9．已知向量，满足，. (1)求； (2)若，且，求的坐标； (3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面向量基本定理和性质 知识点2 线段定比分点的向量表达式 知识点3 平面向量的坐标表示及坐标运算 知识点4 平面向量的直角坐标运算 题型破译 题型1 基底的概念及辨析 【方法技巧】基底的概念及辨析 题型2 用基底表示向量 【方法技巧】用基底表示向量 题型3 利用平面向量基本定理求参数 【方法技巧】利用平面向量基本定理求参数 题型4 平面向量的坐标运算 【方法技巧】平面向量的坐标运算 题型5 向量共线的坐标表示 【方法技巧】向量共线的坐标表示 题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 【方法技巧】由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量基本定理与基底的概念 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T11（5 分） 平面向量的坐标运算 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T7（5 分） 向量共线的坐标表示与综合应用 天津卷 T15（6 分） 天津卷 T15（6 分） 天津卷 T15（6 分） 考情分析 平面向量基本定理及坐标表示是天津高考数学必考核心考点，是平面向量模块的核心基础内容，承接向量的线性运算，是后续向量数量积、解析几何、立体几何向量法的必备前提，每年均有考查。以选择、填空题为主要考查形式，偶尔会在向量解答题（第 15 题）中出现，单题分值 5-6 分，整体难度中等，属于必拿分核心考点。 高频考查方向为：①平面向量基本定理的理解与应用，基底的判断、向量的基底分解与系数求解；②平面向量的坐标运算，包括线性运算的坐标表示、向量坐标的基础计算、模长与夹角的坐标形式计算；③向量共线的坐标表示，利用共线条件求解参数、判定三点共线，以及与函数、解三角形结合的综合应用。 本模块是平面向量模块的核心枢纽，将向量的几何意义与代数运算完美结合，几乎所有向量相关的综合题目都会涉及本模块的知识点，是高考数学的核心得分点。 复习目标 1.理解平面向量基本定理的核心内容，掌握基底的概念与判断方法，能熟练将平面向量用指定基底进行线性表示，理解定理的几何意义与应用场景； 2.掌握平面向量的坐标表示方法，熟练进行向量的加减、数乘等线性运算的坐标计算，能利用坐标形式求解向量的模长、夹角，掌握坐标运算的核心规则； 3.掌握向量共线的坐标表示条件，能利用共线条件判定向量共线、三点共线，熟练求解相关参数值与范围，能结合函数、解三角形等内容解决向量坐标形式的综合应用问题，筑牢向量模块的代数运算基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式. 推论1：若，则． 推论2：若，则． 必记结论 由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础 自主检测如图，在中，，，且与交于点，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 已知点在上，设， 又点在上，设， 则，解得， 故，则， 故． 知识点2 平面向量基本性质 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得；存在，使得． 中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． .D A C B 必记结论 性质：1. 基底必不共线，零向量不能作基底；2. 系数唯一，可列方程求参数；3. 若λ1e1​+λ2e2=0，则λ1=λ2=0；4. 线段分点、重心问题常用基底拆分；5. 建系本质是正交基底，坐标就是对应系数，共线垂直可转化基底系数运算。 自主检测已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 知识点3 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 必记结论 值设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，加减、数乘直接对应坐标运算；向量坐标 = 终点坐标减起点坐标。共线判定速记：x1y2−x2y1=0；垂直判定：x1x2+y1y2=0。模长用，求距离、夹角先算数量积。遇几何图形优先建系赋值，把向量转化数字计算；已知基底分解可设坐标列方程求参数，避开复杂几何推导。 自主检测已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，因为，可得，解得， 所以，所以. （2）解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以，则且， 所以. 知识点4 平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，．， 必记结论 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 自主检测已知向量，，求： (1)的坐标； (2)的值； (3)的值. 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）由向量，，得. （2）由向量，，得. （3）由向量，，得， 所以. 题●型●破●译 题型1 基底的概念及辨析 例1-1下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：D. 例1-2设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】依题意，，不共线， A选项，不存在，使得， 所以和可以作为基底. B选项，由， 得，解得，所以和共线，不能作为基底. C选项，由， 得，方程组无解，所以和可以作为基底. D选项，不存在，， 所以和可以作为基底. 故选：B 方法技巧 基底的概念及辨析 平面向量基底必须是同一平面内两个不共线向量，零向量不能作为基底，共线向量无法充当基底，这是核心判断依据。同一组基底可以表示平面内任意一个向量，并且分解形式唯一。做题判断能否构成基底，只需验证两向量不共线即可。若向量坐标已知，利用坐标比例判断是否共线。天津高考小题常设置陷阱，混淆共线、零向量条件。解题要看清题干给定基底，不可随意更换，分解向量时保证对应系数匹配，做完回代验证，规避概念错误。 【变式训练1-1】下列四个命题中真命题的个数是（    ） ①已知非零向量，，，若，，则 ②已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是 ③已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 ④已知，，，可以作为平面向量的一组基底 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】对于①，非零向量，，，若，，则，，， 所以，，所以，命题①正确； 对于②，，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 所以且，所的取值范围是，命题②错误； 对于③，向量，， 则向量在向量上的投影向量为，命题③错误； 对于④：，，则， 所以，共线，不能作为平面向量的一组基底，故④错误. 所以真命题只有1个，序号为①. 故选：A. 【变式训练1-2】在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A：因为，所以共线，不能作为基底，A错误； B：因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； C：因为，所以共线，不能作为基底，C错误； D：因为，所以共线，不能作为基底，D错误. 故选：B 【变式训练1-3】下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为零向量，与共线， 不能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底，A错误； 对于B，由可知不共线， 故能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底，B正确； 对于C，由于，故共线， 不能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底，C错误； 对于D，由于，故共线， 不能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底，C错误； 故选：B 题型2 用基底表示向量 例2-1已知是边长为2的等边三角形，，，设，， （1）__________（用和表示）； （2）已知点是所在的平面内的动点，且满足，则动点运动所形成的区域面积为__________. 【答案】 【详解】（1） ; （2）因为， 当时，，由于，那么取中点,延长至，使,作交,延长线于点，点，则,那么此时点的运动区域为，理由如下： ,此时， 若点在线段上运动时，由于三点共线， 那么，即, 此时,若点在内部运动时，； 当时，，反向延长至点，使,连接,则,则点的运动区域为,理由如下：,此时， 若点在线段上运动时，由于三点共线， 那么，即, 此时，若点在内部运动时，； 当时，，反向延长至点，使,连接,则 ,则点的运动区域为,理由如下：,此时， 若点在线段上运动时，由于三点共线， 那么，即, 此时，若若点在内部运动时，； 当时，,点的运动区域为,理由如下： ，此时, 若点在线段上运动时，由于三点共线, 那么,即, 此时，若若点在内部运动时，； 由于是边长为2的等边三角形， 故,,所以,同理可得, 所以，动点运动所形成的区域为矩形,. 例2-2已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 【答案】 【详解】，已知，， 所以， 已知三点共线，则与共线， ，且，不共线，所以存在一个实数，使得：， 即，则，故 方法技巧 用基底表示向量 用基底表示向量，核心是借助向量线性运算，把目标向量转化为选定的两个不共线基底的线性组合。优先利用三角形、平行四边形法则拆分向量，灵活运用AB=OB−OA进行向量变形。遇到平面图形，找准边角关系，将未知向量拆解为基底向量的加减、数乘形式。牢记基底必须不共线，分解结果形式唯一。若题目给出坐标，也可借助坐标列方程求解系数。天津高考小题常结合几何图形考查，注意符号不要出错，画图辅助理清向量方向。做完将表达式回代检验，核对系数，避免拆分变形出现失误。 【变式训练2-1】如下图，在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示_________；若，则余弦值的最小值为_________．    【答案】 / 【详解】； ， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：. 【变式训练2-3】已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 题型3 利用平面向量基本定理求参数 例3-1在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 例3-2如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P． (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． 【答案】(1)，． (2). (3)P为线段上靠近点C的三等分点． 【详解】（1），． （2）由（1）知，， ， ， ，不共线，， 解得. （3）设，． 由（2）知，， ． 又， ， ，不共线，， 解得. ，即． ∴点P为线段上靠近点C的三等分点． 例3-3在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 【答案】/ 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 得，所以， 即的最大值为. 故答案为：. 方法技巧 利用平面向量基本定理求参数 利用平面向量基本定理求参数，核心是：同一组基底下，向量相等则对应系数相等。先借助向量加减、数乘运算，把等式两边全部整理成同一组基底e1​,e2​的线性组合。根据系数分别对应相等，建立方程组求解参数。解题要确认基底满足不共线的前提条件。几何题型要结合图形拆分向量，善于转化AB=OB−OA。部分题目结合向量共线设置条件，可联立方程简化计算。 【变式训练3-1】如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因三点共线，则存在，使， 因，则点为的中点，故， 又点在上，故，解得，故①， 因三点共线，则存在，使得②， 由①，②可得，消去，即得，即， 于是， 当且仅当时，的最小值为. 故选：A. 【变式训练3-2】如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 【答案】 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 题型4 平面向量的坐标运算 例4-1已知，． (1)求和的坐标； (2)求，的数量积； (3)若，夹角为，求． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【详解】（1）由于，， 故，． （2）由题设得． （3）因为，， 所以． 例4-2已知，则____________． 【答案】 【详解】设为坐标原点， 因为， 所以，， 所以. 方法技巧 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算，向量加减、数乘直接对横纵坐标分别运算。注意区分点的坐标与向量坐标：AB坐标等于终点坐标减去起点坐标，顺序不可颠倒。已知坐标可判定向量共线，利用交叉相乘相等列式求参数，不要误用除法，避免分母为零。天津高考小题常结合图形，把几何条件转化坐标计算。做题优先建立坐标系，将几何问题代数化。运算留心正负符号，共线判断警惕零向量特殊情况。算出结果后回代验证，理清向量平移不改变坐标，不要混淆向量与点坐标，减少低级计算失误。 【变式训练4-1】已知点，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，则， 得到与同方向的单位向量为，故C正确. 故选：C 【变式训练4-2·变载体】已已知，， 且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 由，， 则，， 又， 则，解得， 即， 故选：D. 【变式训练4-3】在正六边形中，对角线，相交于点，若，则______． 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由，则， 所以有，解得，则. 故答案为： 题型5 向量共线的坐标表示 例5-1设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，， 因为，所以，解得． 所以D点的坐标为． （2）由题意得，， 所，． 因为，所以，解得. 例5-2已知向量，． (1)求及； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由向量，，得； ， . （2）， ， 若，则， 解得. （3）由，， 得， ， 所以. 方法技巧 向量共线的坐标表示 已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，两向量共线的坐标条件为x1y2−x2y1=0，优先使用交叉相乘式，规避除法带来分母为零的漏洞。常用于判断向量共线、求参数、证明三点共线。要区分向量共线和三点共线，三点共线还需要向量具备公共点。解题时把几何条件转化坐标等式，建立方程求解参数。天津高考小题高频考查，注意零向量的特殊情况。做题仔细核对坐标顺序与符号，分清点坐标和向量坐标。求出参数后代入回代检验，防止出现不符合题意的增根。 【变式训练5-1】已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，， 则， 由，，三点共线， 则，共线，故， 解得． 【变式训练5-2】已知向量，，，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，两边平方后化简得． 因为，， 所以，解得，所以， 所以． （2）因为， 所以， ，解得， 所以． 【变式训练5-3】已知平面向量，则向量等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，所以，，则. 题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 例6-1在直角梯形中，已知，动点分别在线段和上，和交于点，且．    （1）当时，的值是___________； （2）的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为，所以以点为原点，分别以所在直线为轴建立直角坐标系， 如图：    则. （1）当时，，，所以， 因此，所以. 因为和交于点，所以三点共线，设， 则，， 得， 又因为三点共线，设， 因此，得，解得. 因此当时，. （2）由题意和（1）： ， 所以，即. 又因为，且， 所以，. 所以， ， 由分别在线段上，得. 二次函数开口向上，对称轴， 所以函数有最小值，故， 最大值在端点处，故， 因此的取值范围为. 例6-2已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则__________，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、，    由，则， 则，则，， 则，，由， 即，则， 则，， 又在线段上，故有， 解得，即，； 设，， 则，由，则， 由，，则，则， 则，故， 则，，， 则 ， 则当时，有最小值. 故答案为：；. 方法技巧 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题 利用向量坐标，先把相关向量写出坐标，通过线性运算化简目标表达式，转化为关于变量的函数，进而求解取值范围与最值。遇到动点问题，设出动点坐标，结合题干几何约束限定自变量范围。常转化为二次函数、模长类函数，可借助二次函数性质或者基本不等式求解。天津高考小题中，常结合平面图形考查，注意向量模长与向量坐标的换算。运算保证坐标、符号准确，区分点坐标与向量坐标。求解完成后，检验自变量区间，确认端点能否取到，回代验证结果。 【变式训练6-1】已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】/ 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 【变式训练6-2】已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：因为在上，不妨设， 则（其中） 所以 ， 因为，所以 法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点， 其中，， ∴ ∵ ∴ 故选：D. 【变式训练6-3】在四边形中，，，，，，则实数的值为_______，若是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】解：，， ，， ， ； 过作，垂足为，则，，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 则，设，，， ，， ， 当时，取得最小值． 故答案为：；． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为，    若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    5．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 【答案】 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 共线：B. 2．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在平行四边形中， ，， 所以， 所以. 故选：B 3．已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则______. 【答案】 【详解】    根据平行四边形的性质可知，. 故答案为：. 4．已知点，B(5，6)，线段AB的中点坐标为________． 【答案】 【详解】因为，B(5，6)，所以线段AB的中点坐标为. 故答案为：. 5．设k为实数，若向量，且，则k的值为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 6．设为实数，若是两个不共线的向量，满足与共线，则_______. 【答案】 【详解】因为与共线，所以设， 因为是两个不共线的向量，所以. 故答案为：±1. 7．已知点A（3，0），B（2，1），C（1，4），的值为________． 【答案】 【详解】，，， ，， 则． 故答案为：． 8．已知向量，（三点不共线），判断下列各题中的点是否在直线上． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在 (2)不在 (3)不在 【详解】（1）因为向量，（三点不共线），则，可作为该平面的一个基底， 所以存在，使得任一向量满足， 当时，，则， 所以，则， 故点在直线上； 当点在直线上时，则存在，使得， 所以，则， 又，所以，则； 所以是点在直线上的充要条件. 对于，显然，所以点在直线上. （2）对于，显然， 所以点不在直线上 （3）对于，显然， 所以点不在直线上 9．已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为，， 所以，. （3）因为，， 所以，. （4）因为，， 所以，. 10．如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.    【答案】， 【详解】∵点与点关于点对称， ∴是的中点，， ， ， ， 且， . 综上：， . 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考平面向量基本定理与坐标运算多设置选择小题。重点掌握基底的选取条件，不共线两个向量才可作为基底；会完成向量的基底分解。坐标运算侧重向量加减、数乘的坐标公式，利用坐标判定向量共线，求解参数。常结合几何图形，把几何条件转化坐标代数运算。易错点为基底必须不共线，共线向量坐标比例关系，审题区分向量坐标与点的坐标，重视细节避免计算失误。 1．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据， 由可知，不满足平行关系，A错误； 由可知，不满足垂直关系，B错误； 因为，， 由可知，不满足平行关系，C错误； 由可知，满足垂直关系，D正确． 2．已知平面向量，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． 3．已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．已知，，且，则实数（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，，所以， 由，所以，解得. 45．已知，，，则的坐标为__________． 【答案】 【详解】． 6．点是的重心，用和表示，则__________． 【答案】 【详解】 如图，是的三条中线，则， 因为是重心，所以， 所以． 7．已知，向量，，点是线段上一点.若点是线段的中点，则点坐标为______；若点是靠近点的一个三等分点，则点坐标为______. 【答案】 【详解】由题意可得, 当点是线段的中点时， 由中点坐标公式可得， 即； 因为, 又因为点是靠近点的一个三等分点， 所以, 设， 则， 所以，解得， 所以. 8．已知向量， (1)求，，的坐标； (2)求，的值； (3)设与的夹角为，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，. （2），. （3）. 9．已知向量，满足，． (1)求向量，的数量积及的值； (2)求向量，夹角θ的余弦值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 因为，所以. （2）因为，， 所以. （3）因为，所以. 10．已知向量满足. (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2），所以夹角的余弦值为； （3），由与垂直，得， 则，解得. 重难·创新演练 设题创新:创新命题常结合不规则多边形、动点情境，将平面向量基本定理和坐标运算综合考查。不再直接给出现成基底，需要学生自主选取合适基底，完成向量分解。题型把几何位置关系转化为坐标等式，求解参数、范围。部分考题融合向量共线、三点共线，设置多参数增加计算量。演练时要强化几何语言转代数式子的训练，区分点坐标与向量坐标，牢记基底不共线的硬性条件。做题优先画图辅助，灵活切换基底法与坐标法，做完回代检验，规避比例运算漏分母、符号颠倒等常见失分点。 1．在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是的中点，可得： 由是的中点，平行四边形中，因此：， 所以. 2．已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得，，， 所以，解得， 由可得，故. 3．平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 4．在中，，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得为中点，故. 由，得，故. 将、代入， 得，整理得. 由与不共线，得，解得，，故. 5．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 【答案】 【详解】由题意可知：，, 则，， 因为向量与向量的夹角为锐角, 所以,解得， 当时，，解得. 综上，. 6．在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 【答案】 1 / 【详解】以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 所以， 所以， ，则， 所以当时，最小值为． 7．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，为线段上一点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】解：设，，，， 则，， 为线段的中点， ，， 又 （当且仅当，即时等号成立） 故的最小值为 8．已知平面向量，，，且，． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设，， ，，又， 解得或， 或； （2）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即， 解得且， 即k的取值范围是． 9．已知向量，满足，. (1)求； (2)若，且，求的坐标； (3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 则，， 可得，所以. （2）因为，设，，则， 若，则， 整理可得，解得，所以. （3）因为，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设顶点D的坐标为； ， ， 又，所以， 即，解得； 所以顶点的坐标为； （2）由， 所以， 所以； （3）， 所以， 所以， 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $