第02讲 等差数列（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和及性质等高考必考内容，以知识解构（3大知识点）和题型破译（7类典型题型）构建系统框架。通过考情分析、知识梳理、方法指导、真题溯源及分层练习的教学流程，帮助学生突破判定证明、最值求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如在等差数列判定中采用定义法与等差中项法训练逻辑推理，在前n项和最值问题中结合函数法与邻项变号法强化运算能力。设置基础演练与重难创新分层练习，配合真题溯源与课本典例挖掘，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第02讲 等差数列 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等差数列的有关概念及公式 知识点2 等差数列的常用性质 知识点3 等差数列的变形与推广 题型破译 题型1 等差数列的基本运算 【方法技巧】等差数列的基本运算 题型2 等差数列的判定与证明 【方法技巧】等差数列的判定与证明 题型3 等差数列的性质 【方法技巧】等差数列的性质 题型4 等差数列前n项和的性质及最值 【方法技巧】等差数列前n项和的性质及最值 题型5 关于奇偶项问题的讨论 【方法技巧】关于奇偶项问题的讨论 题型6 对于含绝对值的数列求和问题 【方法技巧】对于含绝对值的数列求和问题 题型7 等差数列中的范围与最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等差数列定义、通项公式 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 等差数列前 n 项和公式、性质 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 等差数列综合计算与实际应用 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（5 分） 考情分析 等差数列为天津高考必考重点，选择填空各 5 分，解答题第 18 题固定 6 分小问，整体难度中等。常考：①利用定义证明等差、求通项；②等差中项、片段和、奇偶项等性质；③结合不等式、函数求最值，是数列大题第一问必考载体，为等比数列综合题铺垫，属于必须满分模块。 复习目标 1. 熟记等差数列定义、通项、前 n 项和两套基础公式，能知三求二； 2. 熟练运用等差中项、下标和、连续片段和等核心性质快速解题； 3. 掌握等差数列前 n 项和的函数特征，会求最值、参数范围； 4. 能完成证明等差、求值、范围类综合题型，熟练应对大题第一小问。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等差数列的有关概念及公式 等差数列的有关概念：（1）等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．（2）等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有 等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是 ．（2）等差数列的前项和公式：设等差数列的公差为，其前项和 ．． 必记结论 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就是等差数列，这个常数叫做公差 d。通项公式为 aₙ=a₁+(n1) d，也可写成 aₙ=aₘ+(nm) d。前 n 项和公式有两个：Sₙ=n (a₁+aₙ)/2，Sₙ=na₁+n (n1) d/2。. 自主检测已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 知识点2 等差数列的常用性质 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为 ． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的 ． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 必记结论 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 自主检测已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，求． 知识点3 等差数列的变形与推广 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 等差数列的前n项和的最值 公差为 等差数列，有 ；公差为 等差数列，有 ；公差为 ． 特别地若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 必记结论 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； (3)若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 题●型●破●译 题型1 等差数列的基本运算 例1-1（2026·天津河西·三模）已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（     ） A．4049 B． C．4051 D． 例1-2（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 等差数列的基本运算 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【变式训练1-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式训练1-2】（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【变式训练1-3】（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 题型2 等差数列的判定与证明 例2-1已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中．记，． （i）证明：是等差数列； （ii）求． 例2-2在正项等比数列中，. (1)求的通项公式： (2)已知函数，数列满足：. （i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式 （ii）设，证明：， 方法技巧 等差数列的判定与证明 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 ⇔是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列 【变式训练2-1】已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【变式训练2-3】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明数列{}为等差数列； (3)设数列{cn}的通项公式为：cn=，其前n项和为Tn，求T2n. 题型3 等差数列的性质 例3-1（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 例3-2（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 例3-3已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 方法技巧 等差数列的性质 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 【变式训练3-1】在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________. 【变式训练3-2】已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 题型4 等差数列前n项和的性质及最值 例4-1设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 例4-2（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 方法技巧 等差数列前n项和的性质及最值 等差数列前 n 项和 Sₙ是不含常数项的二次函数。性质：若 m+n=p+q，则 Sₘ+Sₙ与 Sₚ+S_q 无直接等式；Sₖ，S₂ₖSₖ，S₃ₖS₂ₖ仍成等差数列。若数列项数为 2n，则 S 偶S 奇 = nd；项数为 2n1，则 S₂ₙ₋₁=(2n1) aₙ。 求 Sₙ最值有两种思路。一是看通项，d>0 数列递增，Sₙ最小值在首项；d<0 数列递减，找到 aₙ≥0，aₙ₊₁≤0 的正整数 n，此时 Sₙ取得最大值。二是利用二次函数，找对称轴，取离对称轴最近的正整数 n。注意 n 必须是正整数，算出结果要代入验证。 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值 【变式训练4-1】（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 【变式训练4-2·变载体】（2026·天津·二模）已知数列，，对任意的，都有，若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练4-3】（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 题型5 关于奇偶项问题的讨论 例5-1在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 例5-2等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 方法技巧 关于奇偶项问题的讨论 若项数为偶数，则；；． 若项数为奇数，则；；． 【变式训练5-1】等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 【变式训练5-2】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【变式训练5-3】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 题型6 对于含绝对值的数列求和问题 例6-1已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 例6-2已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 方法技巧 对于含绝对值的数列求和问题 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 【变式训练6-1】记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)当等于多少时，最大？最大值是多少？ (3)求数列的前项和． 【变式训练6-2】在等差数列中，，，设，则（   ） A．41 B．50 C．61 D．74 【变式训练6-3】在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 题型7 等差数列中的范围与最值问题 例7-1已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 例7-2已知等差数列的前项和为，其首项，公差，则当________时取最大值，的最大值为________. 【变式训练7-1】已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【变式训练7-2】等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【变式训练7-3】设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（    ）． A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m 2．在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 3．若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（    ） A．5，8，11 B．9，12，15 C．10，13，16 D．15，18，21 4．在等差数列{}中，，，则的值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 7．一凸边形（，且），各内角的度数成等差数列，公差是，最小内角，则边数______． 8．已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______． 9．一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m． (1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？ (2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？ 10．观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考对等差数列，重点考查通项公式、前 n 项和公式，熟练运用等差中项、下标性质快速运算。小题侧重基本量法运算，已知部分条件求首项、公差、项数；大题第一问常考查判定证明等差数列，求解通项与前 n 项和。会结合前 n 项和研究数列单调性、最值，注意 n 取正整数的限制。考题立足课本，注重基础运算，重点检验公式变形、性质活用以及基本量方程求解能力。 1．等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 3．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 4．已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为_________． 6．设，，若a与的等差中项是2，则的最大值是________． 7．已知数列的前项和为，若，，则的最大值为________. 8．已知数列中，，，且满足． (1)设，证明：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 9．设数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设数列，求数列的前项和. 10．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 重难·创新演练 设题创新:创新方向多体现在条件隐蔽化，不直接给出等差数列，需要通过递推式变形推导证明。常设置分段数列、子数列抽项问题，混淆项数下标；将等差数列与不等式、函数结合，考查范围、最值。部分题型结合新定义背景包装等差模型，需要剥离表象识别本质。易错集中在忽略公差为 0、n 正整数约束。训练强化变形推导、下标辨析，规避直接套用公式的思维定式，提升条件转化与分类讨论的应试能力。 1．（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 2．已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 3．已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 4．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 5．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 6．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则__________：__________. 7．已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，. （1）则___________；___________； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________； （3）设数列的通项公式为：，，则___________. 8．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 9．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 10．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等差数列 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等差数列的有关概念及公式 知识点2 等差数列的常用性质 知识点3 等差数列的变形与推广 题型破译 题型1 等差数列的基本运算 【方法技巧】等差数列的基本运算 题型2 等差数列的判定与证明 【方法技巧】等差数列的判定与证明 题型3 等差数列的性质 【方法技巧】等差数列的性质 题型4 等差数列前n项和的性质及最值 【方法技巧】等差数列前n项和的性质及最值 题型5 关于奇偶项问题的讨论 【方法技巧】关于奇偶项问题的讨论 题型6 对于含绝对值的数列求和问题 【方法技巧】对于含绝对值的数列求和问题 题型7 等差数列中的范围与最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等差数列定义、通项公式 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 等差数列前 n 项和公式、性质 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 等差数列综合计算与实际应用 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（5 分） 考情分析 等差数列为天津高考必考重点，选择填空各 5 分，解答题第 18 题固定 6 分小问，整体难度中等。常考：①利用定义证明等差、求通项；②等差中项、片段和、奇偶项等性质；③结合不等式、函数求最值，是数列大题第一问必考载体，为等比数列综合题铺垫，属于必须满分模块。 复习目标 1. 熟记等差数列定义、通项、前 n 项和两套基础公式，能知三求二； 2. 熟练运用等差中项、下标和、连续片段和等核心性质快速解题； 3. 掌握等差数列前 n 项和的函数特征，会求最值、参数范围； 4. 能完成证明等差、求值、范围类综合题型，熟练应对大题第一小问。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等差数列的有关概念及公式 等差数列的有关概念：（1）等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．（2）等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）等差数列的前项和公式：设等差数列的公差为，其前项和．． 必记结论 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就是等差数列，这个常数叫做公差 d。通项公式为 aₙ=a₁+(n1) d，也可写成 aₙ=aₘ+(nm) d。前 n 项和公式有两个：Sₙ=n (a₁+aₙ)/2，Sₙ=na₁+n (n1) d/2。. 自主检测已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：由题可知，则， ， ，解得， ． 知识点2 等差数列的常用性质 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 必记结论 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 自主检测已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）∵， ∴数列是公差为等差数列，且， ∴，解得， ∴； 设等比数列的公比为（）， ∵，， ，即， 解得（舍去）或， ∴ （2）由（1）得 ， （3）方法一： ∵， ① ② 两式相减得， ， ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 方法二： 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 知识点3 等差数列的变形与推广 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 必记结论 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； (3)若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，又，解得， 故，； （2）当时，， 当时，， 当时，， 故 ， 则 ， 令， 则， 故 ， 故， 当为奇数时，， 则； 当为偶数时，， 则； 综上可得：； （3）由，且， 故当时，，当时，， 又，故当时，，当时，， 当时，，，当时，，， 则 ， 由（2）得， 则， 即. 题●型●破●译 题型1 等差数列的基本运算 例1-1（2026·天津河西·三模）已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（     ） A．4049 B． C．4051 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， ，，解得或， 即或，此时可能小于1，不满足都有意义， 故，则. 例1-2（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则： 方法技巧 等差数列的基本运算 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【变式训练1-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 已知，且 ， ，所以， 解得，. 因此，. （2）当为奇数时，设（ ），则； 当为偶数时，设（ ），则. 故前项和为 . . 因此. 【变式训练1-2】（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由， 得，解得或（舍去）； 故，； （2）由（1）知，，，则 所以 则； （3）因为， 所以， ， ， 所以. 则①， 则②， 由①②得： ， 所以. 【变式训练1-3】（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ｉ）；（ⅱ）存在，满足条件的只有． 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，所以. （2）（ｉ）新数列， 可以看作是：第1组：，共1项， 第2组：，共2项， 第3组：，共3项， 第组：，共项， 因此前组共有项， 且第组的和为， 由于时，，因此前6组共有21项， 因此 . （ⅱ）由（ｉ）可知，到为止，数列的项数为, 此时和为 , ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意： 当时，，则是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项， 设，其中，则， 当时，，只能取2，， 即是数列中的项，符合题意； 当时，，只能取4或5，， 即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 若要使得为数列中的项，则，即， 当时，上式不成立；当时，，上式也不成立； 因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有． 题型2 等差数列的判定与证明 例2-1已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中．记，． （i）证明：是等差数列； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明：由（1）可知，又其中， 所以其中， 当为奇数时，， 所以， 所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且， 所以，解得， 所以； （2）（i）略 （ii）令， 而， ， 所以. 例2-2在正项等比数列中，. (1)求的通项公式： (2)已知函数，数列满足：. （i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式 （ii）设，证明：， 【答案】(1) (2)（i）因为， 所以，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. ； （ii）. 当时，左式，右式，左式＝右式. 当时， 下面先证明， ， 令，， ， ，，又， ，即，又， 所以. . 所以 . 即. 综上：当时， . 【详解】（1）因为正项等比数列中，，所以. 又因为，所以，进而公比，所以. （2）（i）所以，即. （ii）略 方法技巧 等差数列的判定与证明 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 ⇔是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列 【变式训练2-1】已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)因为，所以，， 两式相减可得，即 由可得， 两式相减可得 化简可得，所以， 所以数列为等差数列； (2)由可得，可得， 因为，所以， 因为数列满足， 所以，所以， 所以数列为等比数列， 因为，所以，， 所以， 所以，即， (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可得； 由已知 可得 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以， 当为奇数时，， 所以 当为偶数时，， 所以 由， 得， 即， 当为偶数时，对一切偶数成立，所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时， 故对一切恒成立，则. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) 由题设，，则， 所以， 整理得，则， 所以，即，， 所以，故数列为等差数列，得证. (2). 【详解】（1）略 （2）由，可得，又，结合（1）结论知：公差， 所以，故，则， 所以，且， 所以，即， 所以，在且上递减，则， 要使对任意恒成立，即， 所以. 【变式训练2-3】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明数列{}为等差数列； (3)设数列{cn}的通项公式为：cn=，其前n项和为Tn，求T2n. 【答案】(1) (2)数列{an}满足a2=4b1，解得b1=1， 由于nbn+1-（n+1）bn=n2+n， 所以（常数）. 所以数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列. (3). 【详解】（1）由于等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2=2a2-2，S3=a4-2， 所以S3-S2=a4-2a2=a3， 整理得， 由于a2≠0， 所以q2-q-2=0，由于q>0， 解得q=2. 由于a1+a2=2a2-2，解得a1=2， 所以. （2）略 （3）由于数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列. 所以，解得 由于数列{cn}的通项公式为：cn=， 所以令==（4n-1）4n-1. 所以①， 4②， ①-②得：-（4n-1）4n， 整理得， 故：. 题型3 等差数列的性质 例3-1（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以. 例3-2（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 例3-3已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，， 所以. 故选：C 方法技巧 等差数列的性质 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 【变式训练3-1】在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________. 【答案】 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 【变式训练3-2】已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 题型4 等差数列前n项和的性质及最值 例4-1设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， ，得， 所以 . 例4-2（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 方法技巧 等差数列前n项和的性质及最值 等差数列前 n 项和 Sₙ是不含常数项的二次函数。性质：若 m+n=p+q，则 Sₘ+Sₙ与 Sₚ+S_q 无直接等式；Sₖ，S₂ₖSₖ，S₃ₖS₂ₖ仍成等差数列。若数列项数为 2n，则 S 偶S 奇 = nd；项数为 2n1，则 S₂ₙ₋₁=(2n1) aₙ。 求 Sₙ最值有两种思路。一是看通项，d>0 数列递增，Sₙ最小值在首项；d<0 数列递减，找到 aₙ≥0，aₙ₊₁≤0 的正整数 n，此时 Sₙ取得最大值。二是利用二次函数，找对称轴，取离对称轴最近的正整数 n。注意 n 必须是正整数，算出结果要代入验证。 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值 【变式训练4-1】（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 【答案】B 【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为 由等差数列性质，，故平均数为 A正确. 选项B，取，数列为项数3的等比数列， 设，，数列的平均数为 B错误. 选项C，由，，等差数列的中位数为， 等比数列的中位数为. 由均值不等式，（），故，C正确. 选项D，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确． 【变式训练4-2·变载体】（2026·天津·二模）已知数列，，对任意的，都有，若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】令，，则， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为. 所以， 所以，解得. 【变式训练4-3】（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误. 题型5 关于奇偶项问题的讨论 例5-1在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 例5-2等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 方法技巧 关于奇偶项问题的讨论 若项数为偶数，则；；． 若项数为奇数，则；；． 【变式训练5-1】等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 【答案】10 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 【变式训练5-2】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 【变式训练5-3】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 题型6 对于含绝对值的数列求和问题 例6-1已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 例6-2已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 方法技巧 对于含绝对值的数列求和问题 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 【变式训练6-1】记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)当等于多少时，最大？最大值是多少？ (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当时，最大，最大值是 (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以的通项公式为； （2）由（1）知，. 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以当时，最大，最大值是. （3）令，得，所以 . 因为，所以. 所以当时，； 当时，. 所以. 【变式训练6-2】在等差数列中，，，设，则（   ） A．41 B．50 C．61 D．74 【答案】B 【详解】因为为等差数列，， 所以设公差为，则由得. 所以. 当时，，当时，， 记等差数列的前项和为， 所以. 由于. 所以. 故选：B. 【变式训练6-3】在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 题型7 等差数列中的范围与最值问题 例7-1已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 例7-2已知等差数列的前项和为，其首项，公差，则当________时取最大值，的最大值为________. 【答案】 13 169 【详解】因为等差数列的前项和为，其首项，公差， 所以. 当时，取最大值，最大值为169. 故答案为：①13；②169. 【变式训练7-1】已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【答案】B 【详解】由等差数列可知：， 联立解得：，所以， 由， 即当时，，当时，， 所以当取得最大值时的值为4或5， 故选：B 【变式训练7-2】等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【答案】C 【详解】因为等差数列中，， 则. 故，. 故使前项和成立的最大自然数. 故选：C. 【变式训练7-3】设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)36； (3)； 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； （3）令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上，； 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明如下： 由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)，前项和为. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2) 因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； (3) 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）略 （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（    ）． A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m 【答案】C 【详解】山顶与山脚的温度差为， 因为每升高100m，气温降低， 所以山顶相对于山脚的高度为（m）. 故选：C. 2．在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项， 设该数列的公差为d，则. 故选：B. 3．若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（    ） A．5，8，11 B．9，12，15 C．10，13，16 D．15，18，21 【答案】B 【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列， 设可三边长为 ，则， 解得 ，（舍去）， 故三边长为9，12，15 , 故选：B. 4．在等差数列{}中，，，则的值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以. 故选：B 5．数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9， 由等差数列的通项公式可得. 故选：B 6．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 【答案】 5 【详解】若a，b，c三个数成等差数列. 所以. 若a，b，c三个数成等比数列. 所以 故答案为：5，. 7．一凸边形（，且），各内角的度数成等差数列，公差是，最小内角，则边数______． 【答案】 【详解】由题意可得：， 整理得，解得或， 当时，该多边形最大角为，符合题意； 当时，该多边形最大角为，不符合题意； 所以. 故答案为： 8．已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______． 【答案】2 【详解】因为是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列 所以，即，化简得，又因为 所以 故答案为：2 9．一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m． (1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？ (2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列， 设该等差数列为，前项和为，则，公差， 所以， 故这山的高度是. （2）由（1）可得，，解得（负值舍去）， 所以要经过落地. 10．观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 【答案】第20行最左边的数是，所有数的和是. 【详解】由题设，第19行最右边的数是，故第20行最左边的数是， 又第20行最右边的数是，该行共有39个数， 故第20行所有数的和是. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考对等差数列，重点考查通项公式、前 n 项和公式，熟练运用等差中项、下标性质快速运算。小题侧重基本量法运算，已知部分条件求首项、公差、项数；大题第一问常考查判定证明等差数列，求解通项与前 n 项和。会结合前 n 项和研究数列单调性、最值，注意 n 取正整数的限制。考题立足课本，注重基础运算，重点检验公式变形、性质活用以及基本量方程求解能力。 1．等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设公差为，则， 解得， 故， 所以， 所以的前10项和为. 故选：A 2．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【详解】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 3．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 4．已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 5．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为_________． 【答案】60 【详解】设数列的公差为，则，解得， 所以． 故答案为：60． 6．设，，若a与的等差中项是2，则的最大值是________． 【答案】 【详解】因为a与的等差中项是2， 所以， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 7．已知数列的前项和为，若，，则的最大值为________. 【答案】57 【详解】因为，， 所以， 所以数列为等差数列， 令，解得. 所以 则的最大值为. 故答案为：57. 8．已知数列中，，，且满足． (1)设，证明：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) 证明：， ，所以，，即， 又 所以数列是以为首项，公差的等差数列； (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，所以， 整理可得，所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以，则， 所以① ② ①－②得． ． 9．设数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由 因为， 所以当时，， 得：，所以， 当时，也适合，因此； （2）因为， 所以当时，， 两式相减得：， 由（1）可知：，所以， 当时，，也适合上式， 故； （3）因为， 所以， 因此 . 10．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，解得或（舍），故. 又，故，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 重难·创新演练 设题创新:创新方向多体现在条件隐蔽化，不直接给出等差数列，需要通过递推式变形推导证明。常设置分段数列、子数列抽项问题，混淆项数下标；将等差数列与不等式、函数结合，考查范围、最值。部分题型结合新定义背景包装等差模型，需要剥离表象识别本质。易错集中在忽略公差为 0、n 正整数约束。训练强化变形推导、下标辨析，规避直接套用公式的思维定式，提升条件转化与分类讨论的应试能力。 1．（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，可得，则等比数列公比， 且首项，所以. 2．已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为b是a，1的等差中项，所以，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为， 故选：B. 3．已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【详解】当时，，可得， 因①， 可知时，②， 用①-②得：， 等式两边同乘，得到，即， 即当时，数列是公差为3的等差数列， 所以，又，所以， 又因为，则 整理得，即， 因为数列是正项数列，所以， 所以，所以 故选：A 4．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 5．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 6．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则__________：__________. 【答案】 【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为：； 7．已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，. （1）则___________；___________； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________； （3）设数列的通项公式为：，，则___________. 【答案】 【详解】（1）由题，，，两式作差可得，即， 因为，则，又，解得， 所以，解得，所以. 因为，故数列为等差数列，设该数列的公差为， 由于，可得，，所以， 所以； （2）当时，，当时，， 所以数列的前项中，有项，有项， 所以； （3）由（1），，， 设，即， 则， 则， 则， 两式作差可得 即， 故. 8．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 9．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1) 设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【详解】（1）略 （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 10．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，； (2)8； (3) 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $