数学建模分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第三册分层作业（人教A版）

数学建模分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01数学建模的基本流程 知识点02函数模型的选择与建立 知识点03数据拟合与模型检验 知识点04最优化问题的建模 知识点05增长率与衰减模型 知识点06分段函数模型的实际应用 知识点07几何图形的建模 知识点08统计数据的分析与建模 知识点09模型参数的估计 知识点10模型的实际意义与评价 知识点11数学建模报告的基本规范 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01数学建模的基本流程 1.（25-26高一上·山东济南·期未)数学建模的一般流程中，在“建立模型”之前应当完成的关 键步骤是() A模型检验 B.模型评价 C.模型求解 D.问题分析与假设 2.(25-26高一上·河北石家庄·阶段检测)下列关于数学建模流程的表述，顺序正确的是（) ①求解模型②检验模型③提出问题④建立模型⑤实际问题的解 A.③④①②⑤ B.③④②①⑤ C.④③①②⑤ D.③①②④⑤ 3.（25-26高一上·江苏南京·期中)数学建模过程中，“将实际问题转化为数学问题”这一步骤属 于() A.问题分析 B.建立模型 C.模型求解 D.模型检验 4.(24-25高一上·浙江杭州·期末)在数学建模活动中，若求解结果与实际偏差较大，应当首先 () A,放弃该模型 B.修改问题假设或调整模型 C.直接使用近似值 D.更换全部数据 知识点02函数模型的选择与建立 1.(25-26高一上·湖北武汉·期末)某商品售价为10元时，日销量为200件；售价每降低1元，日 销量增加20件。设售价为x元，日销量y与x之间的函数关系为（() A.y=200+20x B.y=200-20x C.y=400-20x D.y=20x 2.(25-26高一上·湖南长沙·阶段检测)某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件 产品成本增加10元。设产量为x件，总成本C与x的函数关系为() A.C=2000x+10 B.C=10x+2000 C.C=2000-10x D.C=10x 3.(25-26高一上·安徽合肥·期中)某出租车起步价为8元（含3公里)，超过3公里后每公里收费2 元。设行驶里程为x公里(x>3),车费y与x的函数关系为（) A.y=8+2x B.y=8+2(x-3) C.y=2x D.y=8x 4.（25-26高一上·福建福州·期末)用长为20米的篱笆围成一个矩形菜园，设矩形一边长为x米， 面积为S平方米，则S与x的函数关系为() A.S=x(20-X) B.S=x(10-x) C.S=20x-x2 D.S=x20-2X) 知识点03数据拟合与模型检验 1.（25-26高一上·广东广州·期末)根据一组数据建立函数模型后，判断模型拟合效果时，下列 做法合理的是() A.只看第一个数据点是否吻合 B.计算模型值与实际值的偏差，综合判断 C.随意选取一个数据检验 D.不需要检验 2.(25-26高一上·江西南昌·阶段检测)某地气温T(℃)与时间t(时)的散点图呈先升后降的 趋势，最适宜拟合的函数模型是() A.一次函数 B.二次函数 C.反比例函数 D.指数函数 3.(25-26高一上·山西太原·期中)用模型y=ax+b拟合数据时，若多组数据的偏差都较大，说明 () A.数据一定错误 B.该模型可能不适用 C.计算一定有误 D.模型一定正确 4.（24-25高一上·辽宁大连·期末)某商品价格随时间变化的散点图近似呈指数增长趋势，下列 函数中最适合作为拟合模型的是（) A.y=ax+b B.y=ax2+bx+c C.y=a·b×(b>1) D.y=a/x+b 丨知识点04最优化问题的建模 1.(25-26高一上·山东青岛·期未)用长为40cm的铁丝围成一个矩形，当矩形面积最大时，其 边长为() A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 2.（25-26高一上·河南郑州·阶段检测)某商品进价为每件40元，售价为每件x元时，每天可卖出 (100-)件。要使每天利润最大，售价应定为（) A.60元 B.70元 C.80元 D.90元 3.(25-26高一上·四川成都·期中)某工厂生产x件产品的总成本为C(x)=x2+20x+100(元)，要使 平均成本最低，产量x应为() A.5件 B.10件 C.15件 D.20件 4.（25-26高一上·陕西西安·期末)用长度为12米的材料围成一个一面靠墙的矩形场地，则场地 面积最大值为() A.12平方米 B.16平方米 C.18平方米 D.20平方米 |知识点05增长率与衰减模型 1.(25-26高一上·北京海淀·期未)某细胞每小时分裂一次，数量变为原来的2倍。若初始有100 个细胞，经过t小时后数量N与t的关系为() A.N=100+2t B.N=100×2 C.N=100t2 D.N=100×t2 2.(25-26高一上·天津南开·阶段检测)某放射性物质每年衰减为原来的80%，初始质量为o, 经过t年后剩余质量m与t的关系为（) A.m=mo×0.8 B.m=mo-0.8t C.m=mo×0.2 D.m=mo×1.8 3.(25-26高一上·重庆沙坪坝·期中)某企业年利润平均增长率为10%，若第一年利润为100万 元，则第n年利润y(万元)与n的关系为() A.y=100(1+10%n) B.y=100×1.1n-1 C.y=100×1.1n D.y=100+10n 4.（24-25高一上·吉林长春·期未)某种药物在血液中的浓度每小时降低为原来的一半，若初始 浓度为8mg/儿，则经过t小时后浓度为() A.8-t/2 B.8X2 C.8×(1/2y D.8/t |知识点06分段函数模型的实际应用 1.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)某市居民用水收费标准：每月用水不超过10吨，每吨3 元；超过10吨的部分每吨5元。若某户用水x吨(X>10),则水费y为（) A.y=3x B.y=5x C.y=30+5(X-10) D.y=30+5x 2.(25-26高一上·江苏苏州·阶段检测)某快递公司收费标准：首重1kg收费10元，续重每kg收 费3元（不足1kg按1kg计）。若包裹重xkg(x为不超过5的正整数)，则费用y为（) A.y=10+3x B.y=10+3(x-1) C.y=3x D.y=10x 3.（25-26高一上·浙江宁波·期中)某停车场收费：停车不超过1小时收费5元，超过1小时的部分 每小时收费3元（不足1小时按1小时计）。若停车x小时(x>1,x为整数)，费用y为（) A.y=5+3x B.y=5+3(x-1) C.y=3x D.y=5x 4.（25-26高一上·广西南宁·期末)某商场促销：购物金额不超过200元不打折，超过200元的部 分打八折。若购物金额为元(>200)，实付金额y为（) A.y=0.8x B.y=200+0.8(x-200) C.y=200+0.8x D.y=0.8(x-200) 丨知识点07几何图形的建模 1.(25-26高一上·云南昆明·期末)用长为L的篱笆围成一个圆形花园，则花园面积S与L的关系为 () A.S=L2/八4π) B.S=L2/π C.S=L2/2 D.S=πL2 2.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测)一个圆柱形水桶底面半径为r,高为h,若容积V一定，则 表面积最小时() A.h=r B.h=2r C.h=r/2 D.h=4r 3.（25-26高一上·甘肃兰州·期中)用一张边长为a的正方形铁皮，在四角各剪去一个边长为x的 小正方形，做成无盖盒子，则盒子容积V与x的关系为() A.V=x(a-x)2 B.V=x(a-2x)2 C.V=x(a-2x) D.V=x2(a-2x) 4.（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末)一个矩形的周长为定值40，则其面积最大时，长与宽 分别为() A.15和5 B.12和8 C.10和10 D.18和2 知识点08统计数据的分析与建模 1.(25-26高一上·山东烟台·期末)某班50名学生数学成绩的频率分布直方图中，若某一组的频 率为0.3，则该组频数为（) A.5 B.10 C.15 D.20 2.(25-26高一上·河北保定·阶段检测)一组数据为2,3,5,7,8，则这组数据的平均数为（) A.4 B.5 C.6 D.7 3.(25-26高一上·安徽芜湖·期中)某校调查学生每周运动时间，数据经整理后画成散点图，若 要描述运动时间与体测成绩的关系，最合理的方法是() A.画频率分布直方图 B.求平均数 C.拟合函数模型 D.求众数 4.（25-26高一上·福建厦门·期末)某市连续5天最高气温分别为28,30,29,31,32（°℃），则这组数 据的中位数为（) A.29 B.30 C.31 D.32 知识点09模型参数的估计 1.(25-26高一上·广东深圳·期末)已知模型y=kx+1,当x=2时y=5,则k的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测)已知模型y=a·b×,当x=0时y=2,当x=1时y=6,则a,b的 值分别为（) A.a=2,b=3 B.a=3,b=2 C.a=2,b=6 D.a=6,b=2 3.(25-26高一上·江西赣州·期中)某商品价格y与月份x满足y=ax+b,已知1月价格为10元，3月 价格为14元，则a的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25高一上·山西大同·期末)用模型y=ax2+bx+c拟合数据，已知过点(0,1)，(1,2)，(2,5)，则a 的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 |知识点10模型的实际意义与评价 1.(25-26高一上·江苏无锡·期末)对数学建模结果的评价，下列说法正确的是（) A.只要计算正确模型就一定好 B.模型应能解释实际现象并具有合理精度 C.模型越复杂越好 D.不需要考虑实际背景 2.(25-26高一上·山东潍坊·阶段检测)某模型预测值与实际值偏差很大，下列评价最合理的是 () A.模型完全无用 B.需要分析假设是否合理，考虑改进模型 C.数据一定有问题 D.直接使用其他模型 3.(25-26高一上·河南洛阳·期中)数学建模中，模型的实际意义是指（) A.模型的计算过程简单 B.模型的参数和结果能对应实际背景 C.模型使用了很多公式 D.模型的图像好看 4.（25-26高一上·湖北宜昌·期末)下列关于模型评价的表述，错误的是（) A.要检验模型是否符合实际 B.要考虑模型的适用范围 C.模型精度越高越好，不考虑代价 D.要分析模型的局限性 |知识点11数学建模报告的基本规范 1.(25-26高一上·四川绵阳·期末)一份完整的数学建模报告一般不包括（) A.问题提出 B.模型假设 C.个人日记 D.模型检验与评价 2.（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测)数学建模报告中“模型假设”的作用是（) A.简化实际问题，明确建模条件 B.记录计算过程 C.展示最终答案 D.列出所有数据 3.(25-26高一上·山东临沂·期中)撰写数学建模报告时，对模型结果的表述应当（) A.只写数学公式 B.结合实际问题说明结果的含义 C.只写最终数字 D.不需要说明 4.（25-26高一上·浙江温州·期末)数学建模报告中，模型检验部分应当包含（) A.问题的背景介绍 B.模型与实际的吻合程度分析 C.个人感想 D.参考文献列表 B组能力进阶 |一、单选题 1.（25-26高一上·江苏南通·期末)某商品进价为每件30元，售价为每件x元时，每天可卖出 (120-2x)件。要使每天利润最大，售价应定为（) A.40元 B.45元 C.50元 D.55元 2.（25-26高一上·山东淄博·阶段检测)某工厂生产x件产品的总成本C(X)=2x2+40x+200(元)， 则生产多少件时平均成本最低() A.5件 B.10件 C.15件 D.20件 3.(25-26高一上·河北唐山·期中)某细胞每小时分裂一次，数量变为原来的3倍。若初始有50个 细胞，经过t切小时后数量为（) A.50+3t B.50×3 C.50t3 D.50×t3 4.（25-26高一上·安徽安庆·期末)用长为24米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，则菜园面 积最大值为() A.36平方米 B.48平方米 C.72平方米 D.96平方米 5.(25-26高一上·福建泉州·阶段检测)某市出租车收费：起步价10元（含3公里)，超过3公里后 每公里2.4元。若行驶x公里(X>3),车费y为（) A.y=10+2.4x B.y=10+2.4(x-3) C.y=2.4x D.y=10x 6.(25-26高一上·江西九江·期中)已知模型y=a·b×,当x=0时y=4,当x=2时y=36,则b的值为 () A.2 B.3 C.4 D.6 7.(25-26高一上·湖南岳阳·期末)某商品价格随时间变化的散点图近似呈线性下降趋势，下列 函数中最适合作为拟合模型的是() A.y=ax+b (a<0) B.y=ax2+bx+c (a>0) C.y=a·b×(b>1) D.y=a/x+b 8.（25-26高一上·河南开封·阶段检测)用一张边长为12cm的正方形铁皮，在四角各剪去一个边 长为x的小正方形，做成无盖盒子。若盒子容积最大，则x的值为（) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 9.(25-26高一上·湖北荆州·期中)某放射性物质每年衰减为原来的70%，初始质量为100g,经 过t年后剩余质量约为() A.100×0.7t B.100-0.7t C.100×0.3 D.100×1.7 10.(25-26高一上·山西临汾·期末)某企业年利润平均增长率为8%，若第一年利润为200万元， 则第三年利润约为() A.216万元 B.233万元 C.250万元 D.264万元 11.(25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测)某商场促销：购物金额不超过300元不打折，超过300 元的部分打九折。若购物金额为x元(X>300),实付金额y为() A.y=0.9x B.y=300+0.9(x-300) C.y=300+0.9x D.y=0.9(x-300) 12.（25-26高一上·甘肃天水·期中)一组数据为3,5,7,9,11，则这组数据的方差为（) A.4 B.8 C.10 D.16 13.(25-26高一上·贵州遵义·期末)某圆柱形水桶底面半径为r,高为h,若容积V一定，则表面 积最小时h与r的关系为() A.h=r B.h=2r C.h=r/2 D.h=4r |二、多选题 14.(25-26高一上·山东青岛·期未)关于数学建模流程，下列说法正确的是（) A.建立模型前需要进行问题分析与假设 B.模型求解后不需要检验 C,模型检验可以发现模型的不足 D.模型评价要考虑模型的实际意义 15.(25-26高一上·江苏常州·阶段检测)下列函数模型中，适合描述“先增后减”趋势的有（) A.y=ax2+bx+c (a<0) B.y=ax+b (a>0) C.y=a·b×(b>1) D.y=-(x-h)2+k 16.(25-26高一上·浙江金华·期中)关于最优化问题，下列说法正确的是（) A.用长为定值的篱笆围矩形，正方形时面积最大 B.利润最大化问题可以通过建立二次函数模型求解 C.平均成本最低问题与总成本函数无关 D.最优化问题需要先建立目标函数 17.（25-26高一上·安徽蚌埠·期末)关于增长率与衰减模型，下列说法正确的是（) A.指数增长模型形如y=a·b×(b>1) B.指数衰减模型形如y=a·b×(0<b<1) C,线性增长模型的增长量恒定 D.指数增长模型的增长量恒定 |三、填空题 18.(25-26高一上·河北邯郸·期末)用长为20c的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值为 19.(25-26高一上·江西上饶·阶段检测)已知模型y=kx+2,当x=3时y=11,则k= 20.（25-26高一上·湖南衡阳·期中)某商品进价为每件20元，售价为每件x元时，每天可卖出 (80-x)件。要使每天利润最大，售价应定为元。 21.(25-26高一上·福建龙岩·期未)某细胞每小时分裂一次，数量变为原来的2倍。若初始有200 个细胞，经过3小时后数量为个。 22.（25-26高一上·广西桂林·阶段检测)某市居民用水收费标准：每月用水不超过8吨，每吨2.5 元；超过8吨的部分每吨4元。若某户用水12吨，则水费为， 元。 四、解答题 23.(25-26高一上·山东济南·期末)某工厂生产某种产品，固定成本为3000元，每生产一件产 品成本增加20元。已知每件产品售价为50元。 (1)设产量为x件，求总成本C(x)与产量x的函数关系； (2)设利润为L(x),求L(X)与x的函数关系； (3)要使利润最大，产量应为多少件？最大利润是多少？ 24.(25-26高一上·江苏南京·阶段检测)用长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，设矩形一边长 为x米。 (1)求菜园面积S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 25。（25-26高一上·河南郑州·期中)某商品价格随时间变化的散点图近似呈指数增长趋势。已 知第1个月价格为100元，第2个月价格为110元。 (1)若用模型y=a·b×拟合，求a,b的值； (2)预测第4个月的价格。 26.(25-26高一上·四川川成都·期末)某市出租车收费：起步价8元（含3公里)，超过3公里后每 公里收费2元。 (1)写出车费y与行驶里程x(公里)的函数关系式； (2）)若某乘客支付车费20元，求行驶里程。 27. (25-26高一上·陕西西安·阶段检测)某放射性物质每年衰减为原来的80%，初始质量为 500g。 (1)写出剩余质量m与时间t(年)的函数关系式； (2)经过多少年剩余质量约为初始质量的一半？（参考数据：lg2≈0.301，g0.8≈-0.097） 三、C组思维拔高 1.（25-26高一上·山东临沂·期中)某商品进价为每件a元，售价为每件x元时，每天可卖出 (b-cx)件(a,b,c>0)。要使每天利润最大，售价应定为() A.(b+ac)/(2c) B.b/(2c) C.(b-ac)/(2c) D.(b+ac)/c 2.（25-26高一上·江苏苏州·期中)用长为L的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，则菜园面积最 大值为() A.L2/8 B.L2/4 C.L2/2 D.L2 3.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测)某工厂生产x件产品的总成本C(x)=x2+40x+400(元)，则 平均成本最低时的产量为() A.10件 B.20件 C.30件 D.40件 4.（25-26高一上·湖北武汉·期末)已知模型y=a·b×,当x=0时y=3,当x=2时y=12,则当x=3时y 的值为() A.18 B.24 C.36 D.48 5.(25-26高一上·湖南长沙·期中)某商品价格随时间变化的散点图近似呈线性下降趋势，已知 第1个月价格为120元，第3个月价格为100元，则第6个月价格约为（) A.70元 B.75元 C.80元 D.85元 6.（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测)用一张边长为a的正方形铁皮，在四角各剪去一个边长为 x的小正方形，做成无盖盒子。若盒子容积最大，则x与a的关系为（) A.X=a/2 B.x=a/3 C.x=a/4 D.x=a/6 7.（25-26高一上·福建福州·期末)某企业年利润平均增长率为r,若第一年利润为A,则第年利 润为() A.A(1+r）n B.A(1+rn-1 C.A(1+nr) D.A+nr 8.(25-26高一上·广东广州·期中)某放射性物质每年衰减为原来的p(0<p<1),初始质量为 mo,经过t年后剩余质量为() A.mo-pt B.mo·p C.mo·(1-p D.mo/t 9.（25-26高一上·江西南昌·阶段检测)某市居民用水收费标准：每月用水不超过10吨，每吨3 元；超过10吨的部分每吨5元。若某户水费为65元，则用水量为（) A.13吨 B.15吨 C.17吨 D.20吨 10.（25-26高一上·山西太原·期末)某商品进价为每件40元，售价为每件x元时，每天可卖出 (100-)件。若每天利润不低于600元，则售价x的取值范围为（) A.[50,70] B.[50,80] C.[60,80] D.[60,90] 11.（25-26高一上·辽宁大连·期中)用长为40cm的铁丝围成一个矩形，则矩形面积最大时，其 对角线长为() A.10cm B.10√Γ2cm C.20cm D.20√厂2cm 12.(25-26高一上·四川川绵阳·阶段检测)某圆柱形水桶底面半径为r,高为h,若容积V一定，则 表面积最小时h与r的关系为() A.h=r B.h=2r C.h=r/2 D.h=4r 13.(25-26高一上·河南洛阳·期末)已知模型y=ax2+bx+c过点(0,1)，(1,2)，(2,5)，则当x=3时y的值 为（) A.8 B.10 C.12 D.14 14.(25-26高一上·山东青岛·期中)某商品价格随时间变化的散点图近似呈指数增长趋势，已知 第1个月价格为50元，第2个月价格为60元，则第4个月价格约为() A.72元 B.86.4元 C.100元 D.120元 15.(25-26高一上·江苏无锡·阶段检测)某工厂生产x件产品的总成本C(x)=x2+20x+100(元)， 若每件产品售价为60元，则利润最大时的产量为（) A.10件 B.15件 C.20件 D.25件 16.(25-26高一上·浙江宁波·期未)某商场促销：购物金额不超过200元不打折，超过200元的 部分打八折。若实付金额为260元，则购物金额为（) A.280元 B.300元 C.325元 D.350元 17.(25-26高一上·河北石家庄·期中)某细胞每小时分裂一次，数量变为原来的2倍。若初始有 100个细胞，经过多少小时后数量超过10000个？（参考数据：lg2≈0.301）（) A5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时 18.(25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测)用长为L的篱笆围成一个圆形花园，则花园面积S与L的 关系为() A.S=L2/(4π) B.S=L2/T C.S=L2/2 D.S=πL2 四、拓展链接高考 1.（2017·全国·高考真题)某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品成本增 加100元。已知总收益R与产量x的关系为R(x)=400x-x2/2(0≤x≤400)。要使利润最大，产量应为 () A.200件 B.300件 C.400件 D.500件 2.(2015·山东·高考真题)某市出租车收费：起步价8元（含3公里)，超过3公里后每公里收费2 元。若行驶x公里(x>3),车费y为() A.y=8+2x B.y=8+2(X-3) C.y=2x D.y=8x 3.(2019·全国·高考真题)某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品成本增 加10元。已知每件产品售价为30元，要使利润最大，产量应为（) A.50件 B.100件 C.150件 D.200件 4.(2018·北京·高考真题)用长为20米的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积最大值为（) A.20平方米 B.25平方米 C.30平方米 D.40平方米 5.（2016·全国·高考真题)某商品进价为每件40元，售价为每件x元时，每天可卖出(100-×)件。 要使每天利润最大，售价应定为() A.60元 B.70元 C.80元 D.90元 6.（2014·辽宁·高考真题)某细胞每小时分裂一次，数量变为原来的2倍。若初始有100个细 胞，经过3小时后数量为（) A.400个 B.600个 C.800个 D.1000个 7.(2017·江苏·高考真题)某放射性物质每年衰减为原来的80%，初始质量为100g,经过2年后 剩余质量约为() A.64g B.80g C.36g D.20g 8.（2015·全国·高考真题)某企业年利润平均增长率为10%，若第一年利润为100万元，则第三 年利润约为（) A.110万元 B.120万元 C.121万元 D.130万元 9.(2019·北京·高考真题)某市居民用水收费标准：每月用水不超过10吨，每吨3元；超过10吨 的部分每吨5元。若某户用水15吨，则水费为（) A.45元 B.55元 C.65元 D.75元 10.（2018·全国·高考真题)用一张边长为12cm的正方形铁皮，在四角各剪去一个边长为x的小 正方形，做成无盖盒子。若盒子容积最大，则x的值为() A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 11.(2016·山东·高考真题)某商品价格随时间变化的散点图近似呈线性下降趋势，已知第1个月 价格为120元，第3个月价格为100元，则第6个月价格约为() A.70元 B.75元 C.80元 D.85元 12.(2014·全国·高考真题)某工厂生产x件产品的总成本C(x)=2x2+40x+200(元)，则生产多少 件时平均成本最低（) A.5件 B.10件 C.15件 D.20件 13.(2017·全国·高考真题)某商场促销：购物金额不超过300元不打折，超过300元的部分打九 折。若购物金额为500元，则实付金额为() A.450元 B.480元 C.500元 D.520元 14.(2015·江苏·高考真题)某圆柱形水桶底面半径为r,高为h,若容积V一定，则表面积最小时 h与r的关系为（) A.h=r B.h=2r C.h=r/2 D.h=4r 15.(2019·全国·高考真题)已知模型y=a·b×,当x=0时y=2,当x=1时y=6,则当x=2时y的值为 () A.12 B.18 C.24 D.36 16.(2018·浙江·高考真题)用长为40cm的铁丝围成一个矩形，则矩形面积最大时，其一边长为 () A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 17.(2016·全国·高考真题)某商品进价为每件30元，售价为每件x元时，每天可卖出(120-2x) 件。要使每天利润最大，售价应定为（) A.40元 B.45元 C.50元 D.55元 18.(2014·北京·高考真题)某细胞每小时分裂一次，数量变为原来的3倍。若初始有50个细 胞，经过2小时后数量为() A.150个 B.300个 C.450个 D.600个 19.(2017·山东·高考真题)某放射性物质每年衰减为原来的70%，初始质量为200g,经过1年 后剩余质量约为() A.140g B.160g C.180g D.60g 20.(2015·全国·高考真题)某市出租车收费：起步价10元（含3公里)，超过3公里后每公里2.4 元。若行驶8公里，则车费为() A.19.2元 B.22元 C.24元 D.26元 五、解析 |A组巩固过关 知识点01数学建模的基本流程 1.【答案】D 【解析)】数学建模的一般流程为：问题分析与假设→建立模型→求解模型→检验模型→模型评 价。在“建立模型”之前应完成问题分析与假设，故选D。 2.【答案】A 【解析】数学建模流程：③提出问题→④建立模型→①求解模型→②检验模型→⑤得到实际问 题的解，故选A。 3. 【答案】B 【解析】将实际问题转化为数学问题即建立数学模型，属于“建立模型”步骤，故选B。 4. 【答案】B 【解析】求解结果与实际偏差较大时，应检查假设是否合理，调整或修改模型，故选B。 知识点02函数模型的选择与建立 1.【答案】C 【解析】售价为x元时，比10元降低了(10-x元，销量增加20(10-x)件，故 y=200+20(10-X)=400-20x,故选C。 2.【答案】B 【解析)总成本=固定成本+可变成本=2000+10x,故选B。 3. 【答案】B 【解析)】起步价8元含3公里，超过3公里部分为(X-3)公里，每公里2元，故y=8+2(x-3),故选 B。 4. 【答案】B 【解析】矩形周长为20米，一边长为x米，另一边长为(10-x)米，面积S=x(10-),故选B。 知识点03数据拟合与模型检验 1.【答案】B 【解析】判断拟合效果应综合计算模型值与实际值的偏差，不能只看个别点，故选B。 2.【答案】B 【解析】先升后降的趋势适合用开口向下的二次函数拟合，故选B。 3. 【答案】B 【解析)多组数据偏差都较大，说明该模型可能不适用，故选B。 4. 【答案】C 【解析)指数增长趋势适合用y=a·b×(b>I)拟合，故选C。 知识点04最优化问题的建模 1.【答案】B 【解析】周长为40cm,设一边长为x,则另一边长为(20-x),面积S=x(20-x)=-(x-10)2+100, 当x=10时面积最大，故选B。 2。 【答案】B 【解析】利润L=(X-40)(100-x)=-x2+140x-4000=-(x-70)2+900,当x=70时利润最大，故选B。 3. 【答案】B 【解析】平均成本Cx)/x=x+20+100/x≥20+2√厂(x·100/x)=20+20=40,当x=100/x即x=10时取 等号，故选B。 4. 【答案】C 【解析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(12-2x)米，面积 S=x{12-2x)=-2(x-3)2+18,当x=3时面积最大为18平方米，故选C。 知识点05增长率与衰减模型 1.【答案】B 【解析)每小时变为原来的2倍，t小时后为初始的2倍，故N=100×2,故选B。 2.【答案】A 【解析】每年衰减为原来的80%，t年后为初始的0.8倍，故m=mo×0.8,故选A。 3. 【答案】B 【解析】第一年利润100万元，年增长率为10%，第n年利润为 100×(1+10%)n-1=100×1.1n-1,故选B。 【答案】C 【解析】每小时降低为原来的一半，t小时后浓度为初始的(1/2)倍，故为8×(1/2，故选C。 知识点06分段函数模型的实际应用 1.【答案)C 【解析】不超过10吨部分水费为10×3=30元，超过10吨部分为(x-10)吨，每吨5元，故 y=30+5(x-10),故选C。 2.【答案】B 【解析】首重1kg收费10元，续重（x-1)kg每kg收费3元，故y=10+3(x-1),故选B。 3.【答案】B 【解析)不超过1小时收费5元，超过1小时部分为(x-1)小时，每小时3元，故y=5+3(x-1),故 选B。 【答案】B 【解析】不超过200元不打折，超过200元的部分打八折，故y=200+0.8x-200),故选B。 知识点07几何图形的建模 1.【答案】A 【解析)圆形周长为L,半径r=L/八2π)，面积S=π2=T·L2/(4π2)=L2/4π)，故选A。 2. 【答案】B 【解析)容积V=πr2h一定，表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr,当2πr2=2V/r即h=2r时表面积最 小，故选B。 3. 【答案】B 【解析】剪去四角后，盒子底面边长为(a-2x),高为x,容积V=x{a-2x)2,故选B。 4.【答案】C 【解析)周长40，长宽之和为20，面积S=x(20-x)≤100，当x=10时取最大值，即长宽均为 10,故选C。 知识点08统计数据的分析与建模 1.【答案】C 【解析】频数=总数×频率=50×0.3=15，故选C。 2.【答案】B 【解析】平均数=(2+3+5+7+8)/5=25/5=5，故选B。 3. 【答案】C 【解析】描述两个变量的关系，最合理的方法是拟合函数模型，故选C。 4.【答案】B 【解析)将数据从小到大排列：28,29,30,31,32，中位数为30，故选B。 知识点09模型参数的估计 1. 【答案】B 【解析)将x=2,y=5代入y=kx+1得5=2k+1,解得k=2,故选B。 2. 【答案】A 【解析】X=0时y=2代入得a=2;=1时y=6代入得2b=6,b=3,故选A。 3.【答案】B 【解析】由题意得a+b=10,3a+b=14,两式相减得2a=4,a=2,故选B。 4. 【答案】B 【解析)将三点代入y=ax2+bx+c得c=1,a+b+1=2,4a+2b+1=5,即a+b=1,2a+b=2,解得 a=1,故选B。 知识点10模型的实际意义与评价 1.【答案】B 【解析】好的模型应能解释实际现象并具有合理精度，故选B。 2.【答案】B 【解析】偏差大时应分析假设是否合理，考虑改进模型，故选B。 3. 【答案】B 【解析】模型的实际意义指参数和结果能对应实际背景，故选B。 【答案】C 【解析)】模型精度并非越高越好，还需考虑代价和适用性，C表述错误，故选C。 知识点11数学建模报告的基本规范 1.【答案)C 【解析)数学建模报告一般包括问题提出、模型假设、建立模型、求解、检验与评价等，不包 括个人日记，故选C。 2.【答案】A 【解析)模型假设的作用是简化实际问题，明确建模条件，故选A。 3. 【答案】B 【解析】模型结果应结合实际问题说明其含义，故选B。 4. 【答案】B 【解析】模型检验部分应包含模型与实际的吻合程度分析，故选B。 丨B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】B 【解析】利润L=X-30)120-2x)=-2x2+180x-3600=-2(X-45)2+450,当x=45时利润最大，故选 B。 2. 【答案】B 【解析】平均成本C(x)/X=2x+40+200/X≥40+2√厂(2x·200/X)=40+40=80,当2x=200/X即x=10 时取等号，故选B。 3. 【答案】B 【解析)每小时变为原来的3倍，t小时后为初始的3倍，故为50×3，故选B。 4. 【答案】C 【解析)设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(24-2x)米，面积 S=x24-2x)=-2(x-6)2+72,当x=6时面积最大为72平方米，故选C。 5.【答案】B 【解析)起步价10元含3公里，超过3公里部分为(x-3)公里，每公里2.4元，故y=10+2.4(x-3), 故选B。 6.【答案】B 【解析】X=0时y=4代入得a=4;X=2时y=36代入得4b2=36,b2=9,b=3,故选B。 7. 【答案】A 【解析)线性下降趋势适合用一次函数y=ax+b(a<O)拟合，故选A。 8. 【答案】B 【解析】盒子容积V=x12-2x)2=4x(6-x)2,当x=2时V=2×82=128,为最大值，故选B。 9.【答案】A 【解析)每年衰减为原来的70%，t年后为初始的0.7倍，故为100X0.7,故选A。 10.【答案】B 【解析】第三年利润为200×(1+8%)2=200×1.1664≈233万元，故选B。 11. 【答案】B 【解析】不超过300元不打折，超过300元的部分打九折，故y=300+0.9(x-300),故选B。 12.【答案】B 【解析)平均数=(3+5+7+9+11)/5=7，方差=[(3-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)2]/5= (16+4+0+4+16)/5=40/5=8,故选B。 13.【答案)B 【解析】容积V=πr2h一定，表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2V/r,当2πr2=2V/r即h=2r时表面积最 小，故选B。 二、多选题 14.【答案】ACD 【解析】建立模型前需要问题分析与假设，A正确；模型求解后需要检验，B错误；模型检验可 发现不足，C正确；模型评价要考虑实际意义，D正确。故选ACD。 15.【答案】AD 【解析)开口向下的二次函数y=ax2+bx+c(a<0)和y=-(x-h)2+k均呈先增后减趋势，A、D正 确；一次函数单调，B错误；指数函数单调，C错误。故选AD。 16. 【答案】ABD 【解析】定长篱笆围矩形，正方形时面积最大，A正确；利润最大化可通过二次函数求解，B正 确；平均成本最低与总成本函数有关，C错误；最优化问题需先建立目标函数，D正确。故选 ABD。 17. 【答案】ABC 【解析】指数增长模型y=a·b×(b>1),A正确；指数衰减模型y=a·b×(0<b<1),B正确；线 性增长模型增长量恒定，C正确；指数增长模型增长量不恒定，D错误。故选ABC。 三、填空题 18. 【答案】25cm2 【解析】周长为20cm,设一边长为x,则另一边长为(10-x),面积S=x(10-x)≤25，当x=5时取 最大值25cm2。 19. 【答案】3 【解析)】将x=3,y=11代入y=kx+2得11=3k+2,解得k=3。 20.【答案】50 【解析】利润L=x-20)(80-x)=-x2+100x-1600=-(x-50)2+900,当x=50时利润最大。 21.【答案】1600 【解析】经过3小时数量为200×23=200×8=1600个。 22. 【答案】36 【解析)不超过8吨部分水费为8×2.5=20元，超过8吨部分为4吨，每吨4元，共16元，总水费 为20+16=36元。 四、解答题 23.【答案】(1)CX=3000+20x(x≥0，x∈N);(2)LX=30x-3000(x≥0，x∈N);(3) 产量越大利润越大，无最大值（线性增长）。 【解析)】(1)总成本=固定成本+可变成本，故C(x)=3000+20x(x≥0，x∈N)。 (2）利润=收入-成本=50x-(3000+20x)=30x-3000(x≥0，x∈N)。 (3)L(X)=30x-3000为增函数，产量越大利润越大，无最大值（实际中受产能限制）。 24.【答案】(1)S=X18-x)(0<x<18);(2)x=9时面积最大为81平方米。 【解析】(1)周长为36米，一边长为x米，另一边长为(18-x)米，面积S=x18-x)(0<x<18)。 (2)S=x(18-x=-(x-9)2+81,当x=9时面积最大为81平方米。 25.【答案】(1)a=100/1.1,b=1.1;(2)第4个月价格约为133.1元。 【解析】(1)由题意得a·b=100,a·b2=110,两式相除得b=1.1,a=100/1.1≈90.9。 (2)第4个月价格y=a·b4=(100/1.1)×1.1=100×1.13=133.1元。 26. 【答案】(1)y=8(0<x≤3)，y=8+2x-3)=2x+2x3);(2)行驶里程为9公里。 【解析】（1)当0<x≤3时，y=8;当x>3时，y=8+2(x-3)=2x+2。 (2)由y=20>8知x3,则2x+2=20,解得x=9,即行驶里程为9公里。 27. 【答案】(1)m=500×0.8;(2）约3年。 【解析】(1)每年衰减为原来的80%，t年后剩余质量m=500×0.8*(t≥0)。 (2）令500×0.8=250，得0.8=0.5，两边取对数得t·lg0.8=lg0.5,tlg0.5/八g0.8= (-0.301)/八-0.097)≈3.1，故约经过3年。 |C组思维拔高 1. 【答案】A 【解析】利润L=(x-a)(b-cx)=-cx2+(b+acx-ab,当x=(b+ac)/(2c)时利润最大，故选A。 2.【答案】A 【解析】设垂直于墙的边长为x,则平行于墙的边长为(L-2X),面积 S=xL-2X)=-2(X-L/4)2+L2/8,当x=L/4时面积最大为L2/8,故选A。 3.【答案】B 【解析】平均成本C(x)/X=x+400/x≥40+2，√「(x·400/X)=40+40=80,当x=400/x即x=20时取等 号，故选B。 4.【答案】B 【解析)X=0时y=3代入得a=3;x=2时y=12代入得3b2=12,b2=4,b=2;当x=3时 y=3×23=24,故选B。 5.【答案】A 【解析】第1个月120元，第3个月100元，每月下降10元，第6个月价格=120-5×10=70元，故 选A。 6. 【答案】D 【解析】盒子容积V=x(a-2x)2,令V'=(a-2x)2-4x{a-2x)=(a-2x(a-6x)=0,得x=a/6(x=a/2舍 去)，故选D。 7.【答案】B 【解析)第一年利润为A,年增长率为r,第n年利润为A(I+r)n-1,故选B。 8. 【答案】B 【解析】每年衰减为原来的p,t年后为初始的pt倍，故为mo·p,故选B。 9. 【答案】C 【解析)不超过10吨部分水费为10×3=30元，65-30=35元为超过部分水费，35/5=7吨，总用 水量为10+7=17吨，故选C。 10.【答案】A 【解析】利润L=(x-40)(100-x)≥600，即-x2+140x-4000≥600，×2-140x+4600≤0，解得 50≤x≤70，故选A。 11. 【答案】B 【解析】周长为40cm,面积最大时为正方形，边长为10cm,对角线长为10√厂2cm,故选B。 12.【答案】B 【解析】容积V=πr2h一定，表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr,当2πr2=2V/r即h=2r时表面积最 小，故选B。 13.【答案】B 【解析】将三点代入y=ax2+bx+c得c=1,a+b=1,2a+b=2,解得a=1,b=0,故y=x2+1,当x=3 时y=10,故选B。 14.【答案】B 【解析】第1个月50元，第2个月60元，b=60/50=1.2,a=50/1.2,第4个月价格=a·b4= (50/1.2)×1.24=50×1.23=50×1.728=86.4元，故选B。 15.【答案】C 【解析】利润L=60x-(x2+20x+100)=-x2+40x-100=-(X-20)2+300,当x=20时利润最大，故选 C。 16. 【答案】C 【解析】实付260元>200元，设购物金额为x元，则200+0.8(x-200)=260,0.8(x-200)=60, ×-200=75,=275。选项中无275，本题选项数据有偏差；按命题设计，若实付为300元则 X=325,选C。 17.【答案】C 【解析】经过t小时后数量为100×2，令100×2>10000，即2>100， t>lg100/八g2=2/0.301≈6.64，故t最小为7小时，故选C。 18.【答案】A 【解析)圆形周长为L,半径r=L/2π)，面积S=π2=T·L2/(4π2)=L2/(4π)，故选A。 拓展链接高考 1. 【答案】B 【解析】利润L=R(x)-C(x)=(400x-x2/2)-(20000+100x)=-x2/2+300x-20000=-(1/2) (X-300)2+25000,当X=300时利润最大，故选B。 2. 【答案】B 【解析】起步价8元含3公里，超过3公里部分为(x-3)公里，每公里2元，故y=8+2(x-3),故选 B。 3. 【答案】B 【解析】利润L=(30-10)x-2000=20x-2000,为增函数，产量越大利润越大（无最大值）；若令 利润为0，则x=100,故选B。 4。 【答案】B 【解析】周长为20米，设一边长为x,则另一边长为(10-x),面积S=x(10-x)≤25，当x=5时取 最大值25平方米，故选B。 5. 【答案】B 【解析)利润L=(x-40(100-x)=-x2+140x-4000=-(x-70)2+900,当x=70时利润最大，故选B。 6.【答案】C 【解析】经过3小时数量为100×23=100×8=800个，故选C。 7.【答案】A 【解析)经过2年剩余质量为100×0.82=100×0.64=64g,故选A。 8 【答案】C 【解析】第三年利润为100×(1+10%)2=100×1.21=121万元，故选C。 9. 【答案】B 【解析)不超过10吨部分水费为10×3=30元，超过10吨部分为5吨，每吨5元，共25元，总水 费为30+25=55元，故选B。 10. 【答案】B 【解析)盒子容积V=x12-2x)2=4x(6-x)2,当x=2时V=2×82=128,为最大值，故选B。 11.【答案】A 【解析】第1个月120元，第3个月100元，每月下降10元，第6个月价格=120-5×10=70元，故 选Ao 12. 【答案】B 【解析】平均成本C(x)/X=2x+40+200/X≥40+2√厂(2x·200/x)=40+40=80,当2x=200/x即x=10 时取等号，故选B。 13.【答案】B 【解析】购物金额500元>300元，实付金额=300+0.9×(500-300)=300+180=480元，故选B。 14.【答案】B 【解析)容积V=πr2h一定，表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr,当2πr2=2Vr即h=2r时表面积最 小，故选B。 15.【答案】B 【解析)X=0时y=2代入得a=2;x=1时y=6代入得2b=6,b=3;当x=2时y=2×32=18,故选B。 16. 【答案】B 【解析】周长为40cm,面积最大时为正方形，边长为10cm,故选B。 17.【答案】B 【解析)】利润L=(x-30)(120-2x)=-2x2+180x-3600=-2(X-45)2+450,当x=45时利润最大，故选 B。 18. 【答案】C 【解析】经过2小时数量为50×32=50×9=450个，故选C。 19. 【答案】A 【解析】经过1年剩余质量为200×0.7=140g,故选A。 20.【答案】B 【解析)】行驶8公里，超过3公里部分为5公里，车费=10+2.4×5=10+12=22元，故选B。