第8章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第三册分层作业（人教A版）

8.2一元线性回归模型及其应用分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01相关关系的概念与判断 知识点02散点图与正相关、负相关 知识点03样本相关系数的计算 知识点04样本相关系数的性质与意义 知识点05一元线性回归模型的概念 知识点06经验回归方程的计算（公式法） 知识点07经验回归方程的预测应用 知识点08残差与残差分析 知识点09决定系数R的意义 知识点10非线性回归的线性化处理 知识点11回归分析的综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01相关关系的概念与判断 1.(25-26高二下·湖南长沙·阶段检测)下列两个变量之间的关系是相关关系的是() A.正方形的边长与面积 B.匀速直线运动中，路程与时间 C.人的身高与体重 D.圆的半径与周长 2.(25-26高二下·河南郑州·期中)下列变量之间的关系不是相关关系的是（) A.商品的销售额与广告费支出 B.粮食产量与施肥量 C.长方体的体积与它的棱长 D.汽车行驶的速度与刹车距离 3.（24-25高二下·山东济南·期末)下列说法正确的是（) A.函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系 B.相关关系是一种确定性关系 C.身高与体重之间是函数关系 D.圆的面积与半径之间是相关关系 知识点02散点图与正相关、负相关 1.（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测)根据散点图判断，下列各组变量中呈正相关的是（) A.汽车重量与每千米耗油量 B.商品价格与销售量 C.气温与羽绒服销量 D.年龄与记忆力（成年后） 2.(25-26高二下·江苏南京·期中)某研究小组收集了10组数据，画出散点图后发现所有点都集 中在一条从左下角到右上角的直线附近，则这两个变量() A.呈负相关 B.呈正相关 C.不相关 D.呈函数关系 3.（24-25高二下·浙江杭州·期末)下列散点图中，两个变量呈负相关的是（) A.点散布在从左下角到右上角的区域 B.点散布在从左上角到右下角的区域 C.点散布在一条水平线附近 D.点杂乱无章地分布 |知识点03样本相关系数的计算 1.（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测)已知变量x与y的5组数据：(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,6)， (5,8),则样本相关系数r约为（) A.0.95 B.0.98 C.0.99 D.0.90 2.（25-26高二下·福建厦门·期中)已知Σ(x-y1-y=120,Σ(-灯2=200，Σ(y1-y2=100,则 样本相关系数= _0 3.（24-25高二下·江西南昌·期末)若样本相关系数=0，则说明两个变量之间（) A.完全正相关 B.完全负相关 C.不存在线性相关关系 D.不存在任何关系 丨知识点04样本相关系数的性质与意义 1.(25-26高二下·湖北武汉·阶段检测)关于样本相关系数r,下列说法错误的是（) A.r的取值范围是[-1,1] B.越接近1，线性相关程度越强 C.越接近0，线性相关程度越弱 D.=1表示两个变量之间是函数关系 2.（25-26高二下·广东广州·期中)已知两个变量的样本相关系数=-0.98，则（) A.两个变量呈很强的正相关 B.两个变量呈很强的负相关 C.两个变量不相关 D.两个变量呈很弱的负相关 3.（24-25高二下·四川成都·期末)若两个变量的样本相关系数r=0.85,则这两个变量（) A.呈很强的正相关 B.呈很强的负相关 C.不相关 D.呈很弱的正相关 丨知识点05一元线性回归模型的概念 1.(25-26高二下·辽宁大连·阶段检测)一元线性回归模型Y=bx+a+e中，e表示（) A.解释变量 B.响应变量 C.随机误差 D.回归系数 2.（25-26高二下·陕西西安·期中)在一元线性回归模型中，随机误差e满足E(e)= D(e=」 3.（24-25高二下·重庆·期末)下列关于一元线性回归模型的说法正确的是（) A.响应变量Y完全由解释变量X决定 B.随机误差e的方差越大，模型拟合效果越好 C.经验回归直线一定经过样本中心点(X,y) D.经验回归方程中的6一定等于真实参数b 知识点06经验回归方程的计算（公式法） 1.(25-26高二下·山西太原·阶段检测)已知X,y的取值如下表： x:1,2,3,4 y:2,3,5,6 则经验回归方程=bx+台中b的值为（) A.1.3 B.1.4 C.1.5 D.1.6 2.(25-26高二下·云南昆明·期中)已知3，y=5,6=1.2,则= 3.(24-25高二下·贵州贵阳·期末)某公司近5个月的广告费×（万元）与销售额y(万元)满足 Σ=20，Σy=100,b=2.5,则经验回归方程为() A.y=2.5x+10 B.y=2.5x+5 C.y=2.5x+15 D.y=2.5x+20 |知识点07经验回归方程的预测应用 1.(25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测)已知经验回归方程为y=2x+3,当×=10时，预测y的值 为() A.20 B.23 C.25 D.30 2.(25-26高二下·广西南宁·期中)某商品价格x(元)与销量y(件)的经验回归方程为 y=-2x+50,当价格为8元时，预测销量为 件。 3.（24-25高二下·海南海口·期末)若经验回归方程为y=0.8x+2,则当×每增加1个单位时，y平 均() A.增加0.8个单位 B.增加2个单位 C.增加1个单位 D.减少0.8个单位 |知识点08残差与残差分析 1.（25-26高二下·吉林长春·阶段检测)残差e=（) A.yi-yi B.yi-yi C.yi-y D.y-yi 2.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中)残差平方和越小，说明（) A.模型拟合效果越好 B.模型拟合效果越差 C.变量之间无关系 D.回归系数越大 3.（24-25高二下·辽宁沈阳·期末)某样本点的观测值为y=10,预测值为y=9.5,则残差为 知识点09决定系数R2的意义 1.(25-26高二下·北京·阶段检测)决定系数R2的取值范围是（) A.（-∞，+∞) B.[0,1] C.[-1,1] D.[0,+∞) 2.（25-26高二下·天津·期中)若R2=0.95,则说明（) A.回归模型解释了95%的响应变量变化 B.回归模型解释了5%的响应变量变化 C.模型拟合效果很差 D.两个变量不相关 3.（24-25高二下·河北保定·期未)两个模型的R2分别为0.82和0.91，则模型 (填“1”或“2”)拟合效果更好。 |知识点10非线性回归的线性化处理 (25-26高二下·江苏苏州·阶段检测)对于非线性回归模型y=ce(bx),两边取对数后化为（) A.In y=ln c+bx B.y=ln c+bx C.In y=c+bx D.y=ce(bx) 2.（25-26高二下·浙江宁波·期中)某模型y=ax2+b,令t=x2,则化为线性模型 3.(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知模型y=a+b/x,令u=1/X,则线性化后为 知识点11回归分析的综合应用 1.(25-26高二下·湖南株洲·阶段检测)某研究得到经验回归方程y=3x-5,样本中心点为(4,7)， 则下列说法正确的是（) A.当=4时，预测值一定为7 B.经验回归直线经过点(4,7) C.x与y呈负相关 D.该方程不能用于预测 2。（25-26高二下·福建福州·期中)在回归分析中，下列步骤顺序正确的是（) ①收集数据②求经验回归方程③画散点图④分析拟合效果 A.①③②④ B.③①②④ C.①②③④ D.①③④② 3.(24-25高二下·山东青岛·期末)某公司销售额y（万元)与广告费×（万元)的经验回归方程 为y=1.5x+20,R2=0.88,则下列结论错误的是（) A.广告费每增加1万元，销售额平均增加1.5万元 B.广告费为10万元时，预测销售额为35万元 C.销售额变化的88%可由广告费解释 D.广告费与销售额呈负相关 二、 B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高二下·湖北黄冈·期中)已知变量×与y的样本相关系数=-0.92，则（) A.x与y呈很强的正相关 B.x与y呈很强的负相关 C.x与y不相关 D.无法判断 2.(25-26高二下·河南洛阳·阶段检测)已知Σ(x-y-y)=-80,Σ(X-X灯2=100， Σ(y-y)2=100,则r=() A.0.8 B.-0.8 C.0.64 D.-0.64 3.（25-26高二下·江西赣州·期中)经验回归方程y=-3x+15,当=2时，残差为1，则实际观测 值为() A.8 B.9 C.10 D.11 4.（24-25高二下·山西临汾·期未)下列关于回归分析的说法正确的是（) A.经验回归直线一定经过点(Xy) B.残差平方和越大，拟合效果越好 C.R2越小，拟合效果越好 D.样本相关系数r越大，拟合效果越好 5,（25-26高二下·广东珠海·阶段检测)已知Xy的数据如下： x:2,3,4,5,6 y:3,5,6,8,9 则b约为() A.1.4 B.1.5 C.1.6 D.1.7 6.（25-26高二下·四川绵阳·期中)某模型R2=0.75,另一模型R2=0.90,则（) A.前者拟合效果好 B.后者拟合效果好 C.两者一样好 D.无法比较 7.(24-25高二下·云南曲靖·期末)若所有样本点都在直线y=2x+1上，则R2=（) A.0 B.0.5 C.1 D.2 8.（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测)经验回归方程y=0.5x+2,样本中心点为(4,4)，则下列说 法正确的是（) A.X与y负相关 B.回归直线过点(4,4) C.R2一定为1 D.无法预测 9.(25-26高二下·甘肃天水·期中)对于模型y=aln+b,令t=lnx,则化为() A.y=at+b B.y=a+t C.y=t+b D.y=a In t+b 10.（24-25高二下·宁夏银川·期末)已知=0.6，n=10,则下列说法正确的是（) A.线性相关程度很强 B.线性相关程度较弱 C.完全相关 D.不相关 11.(25-26高二下·青海西宁·阶段检测)某公司广告费x与销售额y的经验回归方程为 y=2x+10,若广告费为5万元，则预测销售额为() A.15万元 B.20万元 C.25万元 D.30万元 12.(25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中)残差图中，残差点均匀分布在水平带状区域，说明() A.模型拟合效果较好 B.模型拟合效果较差 C.存在异常值 D.变量无关系 13.(24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期末)已知b=2,=5,y=12,则a=() A.1 B.2 C.3 D.4 丨二、多选题 1.（25-26高二下·山东潍坊·期中)关于样本相关系数r,下列说法正确的是（) A.r∈[-1,1] B.越大，线性相关程度越强 C.>0表示正相关 D.=0表示两个变量没有任何关系 2.(25-26高二下·河北唐山·阶段检测)关于经验回归方程，下列说法正确的是（) A.经验回归直线必过样本中心点 B.b表示x每增加1个单位，y平均增加b个单位 C.残差平方和越小，拟合效果越好 D.R2越大，拟合效果越好 3.（24-25高二下·江苏徐州·期末)下列模型可通过换元线性化的是（) A.y=ae(bx) B.y=a In x+b C.y=ax2+b D.y=a+b/x 4.(25-26高二下·浙江温州·期中)关于残差，下列说法正确的是（) A.残差ey1-y B.残差平方和越小，拟合效果越好 C.残差图中点均匀分布说明拟合较好 D.残差可以为负数 」三、填空题 1.(25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测)已知r=-0.85,则两个变量呈 相关（填“正” 或“负”)。 2.(25-26高二下·安徽安庆·期中)经验回归方程为y=1.2x+3,当=5时，预测值为 3.（24-25高二下·江西九江·期末)若R2=0.64,则响应变量变化的 %可由解释变量解 释。 4.(25-26高二下·广西桂林·阶段检测)残差平方和越小，模型拟合效果越 四、解答题 1.(25-26高二下·福建莆田·期中)已知x,y的5组数据： x:1,2,3,4,5 y:2,4,5,6,8 (1)求y (2)求经验回归方程y=bx+a; (3)预测x=6时y的值。 2. (25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测)某公司广告费x(万元)与销售额y(万元)数据如 下： x:2,3,4,5,6 y:30,40,50,60,70 (1)求经验回归方程； (2)计算R2(保留两位小数)； (3)解释R2的意义。 3.(24-25高二下·四川德阳·期末)已知变量xy满足y=ce(bx),数据变换后得线性回归方程ln y=0.5x+1,求c,b的值。 4。(25-26高二下·河南南阳·期中)某研究得到经验回归方程y=2.5x+8,R2=0.92,样本中心点 为(6,23)0 (1)验证回归直线是否过样本中心点； (2)预测=10时y的值； (3)解释R2=0.92的含义。 三、C组思维拔高 1.(25-26高二下·山东临沂·期中)已知r为样本相关系数，则下列说法正确的是（) A.=1表示两个变量是函数关系 B.r越接近1，线性相关程度越强 C.=0表示两个变量无任何关系 D.越接近0，线性相关程度越强 2.(25-26高二下·江苏苏州·期中)已知Σ(x-X灯2=50，Σ(y1-y2=80,Σ(X-Xy-y=60,则R2 约为() A.0.90 B.0.85 C.0.80 D.0.75 3.（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测)对于模型y=a+b/X,令u=1/X,得线性回归方程 y=2u+3,则当=2时，预测y的值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 4.（24-25高二下·安徽合肥·期末)已知经验回归方程y=bx+a,若所有样本点满足y=2x+1,则 () A.R2=0 B.R2=1 C.r=0 D.残差平方和很大 5.(25-26高二下·湖南长沙·期中)已知=0.8，R2的值为() A.0.64 B.0.80 C.0.16 D.0.20 6.（25-26高二下·福建厦门·阶段检测)某模型残差平方和为20，总偏差平方和为100，则R2= () A.0.2 B.0.8 c.0.5 D.0.6 7.(24-25高二下·湖北武汉·期末)对于非线性模型y=axb,两边取对数后化为（) A.In y=In a+b In x B.y=In a+b In x C.In y=a+bx D.y=a+b In x 8.（25-26高二下·广东深圳·期中)已知x,y的样本相关系数=-0.99，则（) A.x与y几乎完全负相关 B.x与y几乎完全正相关 C.x与y不相关 D.无法判断 9.（25-26高二下·陕西西安·阶段检测)经验回归方程y=3x-2,样本中心点为(2,4)，则残差平方 和() A.一定为0 B.可能为0 C.一定大于0 D.无法确定 10.(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知R2=0.81,则r=（) A.0.81 B.0.90 C.0.95 D.0.99 11.(25-26高二下·山西太原·期中)对于模型y=a·bx,线性化后为（) A.In y=In a+x In b B.y=In a+x In b C.In y=a+bx D.y=a+bx 12.(25-26高二下·云南昆明·阶段检测)残差图中，若残差点呈现明显规律性，说明（) A.模型拟合较好 B.模型可能不合适 C.R2一定为1 D.变量无关系 13.(24-25高二下·贵州贵阳·期末)已知b=1.5,=4,y=10,则经验回归方程为（) A.y=1.5x+4 B.y=1.5x+10 C.y=1.5x+6 D.y=1.5x+8 14.(25-26高二下·甘肃兰州·期中)若两个变量的样本相关系数r=0,则（) A.两个变量无任何关系 B.两个变量无线性相关关系 C.两个变量完全相关 D.R2=1 15.(25-26高二下·广西南宁·阶段检测)已知Σ(y-y)2=200,残差平方和为50，则R2=（) A.0.25 B.0.75 C.0.50 D.0.80 16.(24-25高二下·海南海口·期末)对于模型y=1/(a+bx),令v=1/y,则化为() A.v=a+bx B.y=a+bv C.v=a+b In x D.y=a+bx 17.(25-26高二下·吉林长春·期中)已知=0.5，则R2=() A.0.5 B.0.25 C.0.75 D.1 18.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)某模型R2=0.95,另一模型R2=0.85,则（) A.前者拟合效果更好 B.后者拟合效果更好 C.两者一样 D.无法比较 四、拓展链接高考 1.(2022·全国甲卷·高考真题)某校研究性学习小组收集了某商品的价格x与销售量y的数据， 得到经验回归方程y=-2+50,则下列说法正确的是（) A.价格与销售量正相关 B.价格每增加1元，销售量平均减少2件 C.价格每增加1元，销售量平均增加2件 D.无法判断相关性 2.(2020·全国1卷·高考真题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度× (单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点 图。由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回 归方程类型的是（) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+be^x D.y=a+b In x 3.(2017·全国川卷·高考真题)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并 整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。 根据该折线图，下列结论错误的是（) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.（2015·全国川卷·高考真题)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单 位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是（) A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 5.（2014·湖北·高考真题)根据如下样本数据： x:3,4,5,6,7,8 y:4.0,2.5,-0.5,0.5,-2.0,-3.0 得到的回归方程为y=bx+a,则（) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 6.(2013·福建·高考真题)已知x与y之间的几组数据如下表： x:1,2,3,4,5,6 y:0,2,1,3,3,4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=6x+台，若某同学根据上表中前两组数据(1,0)和(2,2) 求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是（) A.b>b'a-a B.b>b',a<a' C.b<b',a>a' D.b<b',a<a' 7.(2023·全国甲卷·高考真题)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠， 随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环 境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g)。试验 结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.5 27.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.8 20.221.622.823.623.925.128.232.336.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的 个数，完成如下列联表： <m ≥m 对照组 <m ≥m 试验组 (3)根据(2)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体 重的增加量有差异？ 附：K2=n(ad-bc2/[(a+b)(c+d)(a+c(b+d)], P(K2≥ko) 0.100 0.050 0.010 ko 2.706 3.841 6.635 8.(2022·全国乙卷·高考真题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估 计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： m)和材积量（单位：m3),得到如下数据： Σx1=0.6,Σy1=3.9,Σxy1=0.283,∑x2=0.038,Σy2=1.615。 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 1862。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总 材积量的估计值。 附：相关系数=Σ(x-x(y-y/W[Σ(-)2Σ(y-y)2],√厂1.896≈1.377。 9。(2021·全国乙卷·高考真题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品 的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据 如下： 1旧设备：9.8,10.3,10.0,10.2,9.9,9.8,10.0,10.1,10.2,9.7 新设备：10.1,10.4,10.1,10.0,10.1,10.3,10.6,10.5,10.4,10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为X和y,样本方差分别记为S12和s22。 (1)求Xy,S12,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y-≥2√[(S12+s22)/10],则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认 为有显著提高)。 10。(2020·全国川卷·高考真题)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数 量有所增加。为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中 用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(，y(=1,2,.,20),其中×和y1分别 表示第ⅰ个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得Σx=60, Σy=1200,Σ(x-X02=80,Σ(y1-y2=9000,Σ(X1-Xy-y)=800。 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数 量的平均数乘以地块数)； (2）求样本(x,y(i=1,2,,20)的相关系数（精确到0.01）； (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这 种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。 附：相关系数r=Σ(x-y-y/W厂[Σ(x-X灯2Σ(y-y2],√厂2≈1.414。 11.(2018·全国川卷·高考真题)某地区自2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿 元)随年份增长而逐年上升，2000年至2016年对应的年份依次为第1年至第17年。为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年 的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17）建立模型①：y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的 数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：y=99+17.5t。 (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。 12.(2016·全国川卷·高考真题)我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量y(单位：亿吨) 随年份增加呈逐年上升趋势，现将年份2008年至2014年依次编号为t=1,2.,7,对应的处理量数据 满足： Σy=9.32,Σty=40.17,√[Σ(y1-y2]=0.55,√7≈2.646，Σ(ti-t02=28。 (1)请用相关系数说明可用线性回归模型拟合y与t的关系； (2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。 参考公式：r=Σ(t-y-y/[Σ(t-)2Σ(y-y)2],b=Σ(t-ty-y/Σ(t-2,a=y-bt。 13.(2015·全国1卷·高考真题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣 传费×（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响。对近8年的年宣 传费x和年销售量y(=1,2,,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 X=46.6,y=563,w=6.8,Σ(X1-x2=289.8,Σ(w-W02=1.6,Σ(x-xy1-y)=1469,Σ(w-W (y1-y=108.8,其中w=√xo (1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d√厂x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方 程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与X,y的关系为z=0.2y-×。根据(2）的结果回答下列问题： ①年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u,V1),(u2,V2),…,(un,Vn),其回归直线v=Q+Bu的斜率和截距的最小二乘估计分别 为B=Σ(u-d)1-V/Σ(u-U)2,à=V-Bū。 14. (2014·全国川卷·高考真题)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位： 千元)的数据如下表： 年份：2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013 年份代号t:1,2,3,4,5,6,7 人均纯收入y:2.9,3.3,3.6,4.4,4.8,5.2,5.9 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=Σ(t-(y-y/Σ(t-)，y-bt。 15。(2013·重庆·高考真题)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第ⅰ个家庭的月收入x(单 位：千元)与月储蓄y(单位：千元)的数据资料，算得Σx=80,Σy=20,Σxy=184, Σx2=720。 (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=6x+a; (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄。 附：b=(Σxy-nxy)/八Σx2-nx2),a=y-bx。 16.(2012·福建·高考真题)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先 拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价×（元）：8,82,8.4,8.6,8.8,9 销量y(件)：90,84,83,80,75,68 (1)求回归直线方程y=6x+a,其中b=-20,合y-bx, (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使 工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） 17.(2011·辽宁·高考真题)调查了某地若干户家庭的年收入×（单位：万元）和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的 回归直线方程y=0.254x+0.321。由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均 增加 万元。 18.(2010·湖南·高考真题)某商品销售量y(件)与销售价格×（元/件）负相关，则其回归方 程可能是（) A.y=-10x+200 B.y=10x+200 C.y=-10x-200 D.y=10x-200 19.（2009·宁夏·高考真题)对变量X,y有观测数据(，y(=1,2,,10),得散点图①；对变量u,V 有观测数据(u,(=1,2,.,10),得散点图②。由这两个散点图可以判断（) A.变量x与y正相关，u与V正相关 B.变量x与y正相关，u与V负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量×与y负相关，u与V负相关 20.(2007·山东·高考真题)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间， 将测试结果按如下方式分成六组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，第三组[15,16)，第四组 [16,17),第五组[17,18)，第六组[18,19]。已知第五组的频率为0.02，第六组的频率为0.04，第二组 的频率为0.18，第三组的频率为0.40，第一组的频率为0.06，第四组的频率为0.30。设成绩小于17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则可分 析出x和y分别为（) A.0.9,35 B.0.9,45 C.0.1,35 D.0.1,45 五、解析 |A组巩固过关 知识点01相关关系的概念与判断 1.【答案】C 【解析】正方形的边长与面积是函数关系；匀速直线运动中路程与时间是函数关系；人的身高 与体重是相关关系；圆的半径与周长是函数关系。故选C。 2. 【答案】C 【解析】长方体的体积与棱长是函数关系，不是相关关系。故选C。 3. 【答案】A 【解析】函数关系是确定性关系，相关关系是非确定性关系，A正确，B错误；身高与体重是相 关关系，C错误；圆的面积与半径是函数关系，D错误。故选A。 知识点02散点图与正相关、负相关 1.【答案】A 【解析】汽车重量与每千米耗油量呈正相关；商品价格与销售量呈负相关；气温与羽绒服销量 呈负相关；成年后年龄与记忆力呈负相关。故选A。 2.【答案】B 【解析)】点从左下角到右上角分布，说明一个变量增大时另一个变量也增大，呈正相关。故选 B。 3. 【答案】B 【解析)点散布在从左上角到右下角的区域，说明呈负相关。故选B。 知识点03样本相关系数的计算 1.【答案】C 【解析)X=3,y=5。Σ(x-X)y1-y)=(-2)(-3)+(-1)(-1)+0+1×1+2×3=6+1+0+1+6=14. Σ(x1-X2=4+1+0+1+4=10,Σy-y2=9+1+0+1+9=20。=14/W厂(10×20)=14/ √厂200=14/14.14≈0.99。故选C。 2.【答案】=120/W厂(200×100)=120/100厂2)=6/52)≈0.85 【解析)=Σ(x-Xy-y/W厂[Σ(x-x灯2Σ(y-y)2]=120/W(200×100)=120/(100√「厂2)≈0.85。 3.【答案】C 【解析】=0说明两个变量之间不存在线性相关关系，但可能存在非线性关系。故选C。 知识点04样本相关系数的性质与意义 1.【答案】D 【解析】=1表示完全正线性相关，但两个变量之间不一定是函数关系（何能存在其他因素）。 D错误。故选D。 2. 【答案】B 【解析)=-0.98，接近1且为负，说明两个变量呈很强的负相关。故选B。 3. 【答案】A 【解析)=0.85，r较大且为正，说明呈很强的正相关。故选A。 知识点05一元线性回归模型的概念 1.【答案)C 【解析】e表示随机误差。故选C。 2.【答案】0；σ2 【解析】随机误差e满足E(e)=0,D(e)=o2。 3. 【答案】C 【解析】经验回归直线一定经过样本中心点(&，，C正确。故选C。 知识点06经验回归方程的计算（公式法） 1.【答案】B 【解析】X=2.5,y=4。Σ(x-y-y)=(←-1.5)(-2)+(-0.5)(-1)+0.5×1+1.5×2=3+0.5+3=7。 Σ(-X02=2.25+0.25+2.25=5。b=7/5=1.4。故选B。 2.【答案】1.4 【解析】a=y-bX=5-1.2×3=5-3.6=1.4。 3. 【答案】A 【解析】=4，y=20。合=y-6x=20-2.5×4=20-10=10。经验回归方程为y=2.5x+10。故选A。 知识点07经验回归方程的预测应用 1.【答案】B 【解析)y=2×10+3=23。故选B。 2. 【答案】34 【解析】y=-2×8+50=34。 3. 【答案】A 【解析】b=0.8表示x每增加1个单位，y平均增加0.8个单位。故选A。 知识点08残差与残差分析 1.【答案】A 【解析】残差ey-yi。故选A。 2. 【答案】A 【解析】残差平方和越小，模型拟合效果越好。故选A。 3. 【答案】0.5 【解析)残差=10-9.5=0.5。 知识点09决定系数R2的意义 1.【答案】B 【解析)R2的取值范围是[0,1]。故选B。 2. 【答案】A 【解析)R2=0.95表示回归模型解释了95%的响应变量变化。故选A。 3.【答案)2 【解析】R2越大拟合效果越好，0.91>0.82，故模型2拟合效果更好。 知识点10非线性回归的线性化处理 1. 【答案】A 【解析】y=ce(bx)两边取自然对数得Iny=lnc+bx。故选A。 2.【答案】y=at+b 【解析】令t=x2,则y=at+b。 3.【答案】y=a+bu 【解析】令u=1/x,则y=a+bu。 知识点11回归分析的综合应用 1.【答案】B 【解析】经验回归直线一定经过样本中心点(4,7)，B正确。故选B。 2.【答案】A 【解析】回归分析步骤：收集数据→画散点图→求经验回归方程→分析拟合效果。故选A。 3. 【答案】D 【解析】b=1.5>0,广告费与销售额呈正相关，D错误。故选D。 |B组能力进阶 一、单选题 1. 【答案】B 【解析)=-0.92，r接近1且为负，呈很强的负相关。故选B。 2. 【答案】B 【解析】=-80/W(100×100)=-80/100=-0.8。故选B。 3.【答案】C 【解析】y=-3×2+15=9,残差=y-9=1,故y=10。故选C。 4.【答案】A 【解析】经验回归直线一定经过样本中心点(y,A正确。故选A。 5. 【答案】B 【解析】=4，y=6.2。Σ(x-y-y7=(-2)(-3.2)+(-1) (←1.2)+0×(-0.2)+1×1.8+2×2.8=6.4+1.2+0+1.8+5.6=15。Σ(x-xW2=4+1+0+1+4=10。 b=1.5。故选B。 6.【答案】B 【解析】R2越大拟合效果越好，0.90>0.75，后者拟合效果更好。故选B。 7.【答案】C 【解析)所有点都在直线上，残差为0，R2=1。故选C。 8. 【答案】B 【解析】经验回归直线过样本中心点(4,4)，B正确。故选B。 9.【答案】A 【解析)令tlnx,则y=at+b。故选A。 10.【答案】B 【解析)=0.6，不太接近1，线性相关程度较弱。故选B。 11. 【答案】B 【解析】y=2×5+10=20。故选B。 12. 【答案】A 【解析】残差均匀分布在水平带状区域，说明模型拟合效果较好。故选A。 13.【答案】B 【解析)】a=y-bx12-2×5=2。故选B。 二、多选题 1. 【答案】ABC 【解析】=0只表示无线性相关关系，可能存在非线性关系，D错误。故选ABC。 2.【答案】ABCD 【解析)A、B、C、D均正确。故选ABCD。 3. 【答案】ABCD 【解析】y=ae(bx)取对数线性化；y=aln+b令t=lnx;y=ax2+b令t=x2;y=a+b/x令 u=1/X。均可线性化。故选ABCD。 4. 【答案】ABCD 【解析】A、B、C、D均正确。故选ABCD。 三、填空题 1.【答案】负 【解析】<0表示负相关。 2. 【答案】9 【解析】y=1.2×5+3=9。 3.【答案】64 【解析)R2=0.64表示64%的变化可由解释变量解释。 4,【答案】好 【解析】残差平方和越小，拟合效果越好。 四、解答题 1.【答案】(1)3，y=5;(2）y=1.5x+0.5;(3)9.5 【解析】(1)=(1+2+3+4+5)/5=3，y=(2+4+5+6+8)/5=5。 (2）Σ(x-X0y-y=(-2-3)+(-1-1)+0+1×1+2×3=6+1+0+1+6=15。 Σ(x-X2=4+1+0+1+4=10。b=15/10=1.5,合=5-1.5×3=0.5。经验回归方程为y=1.5x+0.5。 (3)当x=6时，y=1.5×6+0.5=9.5。 2. 【答案】(1)y=10x+10;(2)R2=1;(3)见解析 【解析】(1)X-4,y=50。Σ(x-Xy-y=←-2(-20)+（←1） (-10)+0+1×10+2×20=40+10+0+10+40=100。Σ(x-x2=4+1+0+1+4=10。b=10, 合=50-10×4=10。经验回归方程为y=10x+10。 (2)各预测值：y1=30,92=40,y3=50,y4=60,y5=70,残差均为0，残差平方和为0，R2=1。 (3)R2=1表示销售额变化的100%可由广告费解释，模型拟合效果完美。 3.【答案】c=e,b=0.5 【解析】lny=0.5x+1,即y=e(0.5x+1)=e·e(0.5x),对比y=ce^(bx)得c=e,b=0.5。 4.【答案】(1)过样本中心点；(2)33；(3）见解析 【解析】(1)当x=6时，y=2.5×6+8=23,等于y,故回归直线过样本中心点(6,23)。 (2）当x=10时，y=2.5×10+8=33。 (3)R2=0.92表示响应变量变化的92%可由解释变量解释，模型拟合效果较好。 |C组思维拔高 1. 【答案】B 【解析】=1表示完全正线性相关，但不一定是函数关系，A错误；r越接近1，线性相关程度 越强，B正确；=0只表示无线性相关关系，C错误；越接近0，线性相关程度越弱，D错误。 故选B。 2.【答案】A 【解析】=60/(50×80)=60/W厂4000=60/63.25≈0.949，R2=r2≈0.90。故选A。 3. 【答案】B 【解析】u=1/2=0.5,y=2×0.5+3=4。故选B。 4. 【答案】B 【解析)所有点都在直线y=2x+1上，残差为0，R2=1。故选B。 5.【答案】A 【解析】R2=r2=0.82=0.64。故选A。 6. 【答案】B 【解析】R2=1-20/100=0.8。故选B。 7.【答案】A 【解析】y=axb两边取对数得lny=lna+blnX。故选A。 8.【答案】A 【解析)=-0.99，r接近1且为负，几乎完全负相关。故选A。 9. 【答案】B 【解析)回归直线过样本中心点(2,4)，若所有点都在直线上则残差平方和为0，否则大于0，故 可能为0。故选B。 10. 【答案】B 【解析】r=√R2=√厂0.81=0.90。故选B。 11.【答案】A 【解析)y=a·bx两边取对数得lny=lna+xlnb。故选A。 12.【答案】B 【解析)残差呈现明显规律性，说明模型可能不合适。故选B。 13.【答案】A 【解析】a=y-b10-1.5×4=4,经验回归方程为y=1.5x+4。故选A。 14. 【答案】B 【解析)=0表示无线性相关关系，但可能存在非线性关系。故选B。 15.【答案】B 【解析】R2=1-50/200=0.75。故选B。 16.【答案】A 【解析】令v=1/y,则v=a+bx。故选A。 17.【答案)B 【解析】R2=r2=0.52=0.25。故选B。 18.【答案】A 【解析】R2越大拟合效果越好，0.95>0.85，前者拟合效果更好。故选A。 |拓展链接高考 1.【答案)B 【解析)】b=-2<0,价格与销售量负相关，A错误；价格每增加1元，销售量平均减少2件，B正 确，C错误。故选B。 2。 【答案】D 【解析】由散点图可知，发芽率y随温度x增大先增后趋于平缓，呈对数型增长，y=a+bln× 最适宜。故选D。 3. 【答案】A 【解析】折线图显示月接待游客量有波动，并非逐月增加，A错误。故选A。 4.【答案】D 【解析】2006年以来二氧化硫年排放量呈减少趋势，与年份负相关，D错误。故选D。 5.【答案】B 【解析】x=5.5,y=0.25。Σ(x-y1-y)=(-2.5)(3.75)+(-1.5)(2.25)+(-0.5) （-0.75)+0.5×0.25+1.5×(-2.25)+2.5×(-3.25)=-9.375-3.375+0.375+0.125-3.375-8.125=-23 .75。Σ(x-x2=6.25+2.25+0.25+2.25+6.25=17.5。b=-23.75/17.5≈-1.36<0。 含=y-bx=0.25-(-1.36)×5.5≈0.25+7.48=7.73>0。故a>0,b<0。故选B。 6. 【答案】C 【解析】由前两组数据(1,0)，(2,2)得b'=2,a'=-2。由全部数据：=3.5，y=13/6≈2.17。 Σ(x-X0y-y刃≈12.5，Σ(x-X2=17.5。b≈0.714<2=b'。a≈2.17-0.714×3.5≈-0.33>-2=a'。 故b<b',a>a'。故选C。 7.【答案】(1)20.0；(2)m=23.2,列联表见解析；(3)没有95%的把握 【解析)(1)试验组样本平均数=400.0/20=20.0。 (2)将40个数据从小到大排列，第20个和第21个数据分别为22.8和23.6，中位数m= (22.8+23.6)/2=23.2。对照组中小于m的有10个，不小于m的有10个；试验组中小于m的有 10个，不小于m的有10个。列联表： <m ≥m 合计 对照组 10 10 20 试验组 10 10 20 合计 20 20 40 (3)K2=40×(10×10-10×10)2/20×20×20×20)=0<3.841,故不能认为有95%的把握认为 两者有差异。 8.【答案】(1)0.06，y=0.39;(2)r≈0.97；(3)1209m3 【解析】(1)X=0.6/10=0.06,y=3.9/10=0.39。 (2)Σ(x-Xy-y=Σxy-10xy-0.283-10×0.06×0.39=0.283-0.234=0.049。 Σ(x-x2=0.038-10×0.0036=0.002。Σ(y1-y)2=1.615-10×0.1521=0.094。r=0.049/ √Γ(0.002×0.094)=0.049/0.01371≈0.97。 (3)设总材积量为Y,总根部横截面积为X=186。由yx=0.39/0.06=6.5,得 Y≈6.5×186=1209m3。 9. 【答案】(1)10.0，y=10.3,s12=0.036,s22=0.04;(2）有显著提高 【解析】(1)=10.0，y=10.3。s2=0.036,s22=0.04. (2）y-X=0.3.2√厂[(s12+s22)/10]=2√0.0076≈0.1744。因为0.3>0.1744，所以认为新设备生 产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 10. 【答案】(1)12000；(2）r≈0.94；(3)分层抽样，理由见解析 【解析】(1)样区野生动物平均数为y1200/20=60,该地区这种野生动物数量的估计值为 60×200=12000。 (2）r=800/W厂(80×9000)=800/WΓ720000=800/848.5≈0.94。 (3)采用分层抽样。因为各地块间植物覆盖面积差异很大，分层抽样能提高样本的代表性， 使估计更准确。 11. 【答案】(1)模型①：226.1亿元；模型②：256.5亿元；(2)模型②更可靠 【解析】(1)2018年对应2000年起的第19年，故对模型①取t=19,y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元)；2018年对应2010年起的第9年，故对模型②取t=9,y=99+17.5×9=256.5（亿元)。 (2)模型②更可靠。理由：模型②基于2010年至2016年的数据建立，更接近2018年，且该时 间段环境基础设施投资额呈稳定增长趋势，用近期数据建立的模型预测更准确。 12. 【答案】(1)r≈0.99，线性相关程度很强；(2)y=0.10t+0.92,预测2016年约为1.82亿 吨 【解析】(1)4，y=9.32/7≈1.331。Σ(t-0 (y-y)=Σty1-7fy-40.17-7×4×1.331=40.17-37.27=2.90。Σ(t-t)2=28。 r=2.90/八28×0.55)=2.90/(5.292×0.55)=2.90/2.91≈0.99。说明y与t的线性相关程度很 强。 (2)b=2.90/28≈0.10，合=1.331-0.10×4=0.931≈0.92。回归方程为y=0.10t+0.92.2016年 对应t=9,y=0.10×9+0.92=1.82(亿吨)。 13.【答案】(1)y=c+dx适宜；(2)y=100.6+68厂x;(3)①y≈576.6t,z≈66.32千元； ②x=46.24千元时年利润预报值最大 【解析】(1)由散点图可知y随x增长先快后慢，y=c+d√厂x适宜。 (2)令w=√x,则y=c+dw。d=Σ(w-Wy-y/Σ(w-W2=108.8/1.6=68。 c=y-dw=563-68×6.8=563-462.4=100.6。故y=100.6+68√「厂x。 (3)①x=49时，y=100.6+68×7=576.6(t),2=0.2×576.6-49=115.32-49=66.32(千元)。 ②z=0.2(100.6+68√「x-x=20.12+13.6√x-x。令t=√「x,z=-t2+13.6t+20.12,当t=6.8即 x=46.24时，z最大。 14.【答案】(1)y=0.5t+2.3;(2)人均纯收入逐年增加约0.5千元，预测2015年约为6.8千元 【解析】(1)=4，y=4.3。Σ(t-ty-y)=(-3)(-1.4)+(-2(-1.0)+(-1) (-0.7)+0+1×0.5+2×0.9+3×1.6=4.2+2.0+0.7+0.5+1.8+4.8=14。 Σ(t-)2=9+4+1+0+1+4+9=28。b=0.5,合=4.3-0.5×4=2.3。回归方程为y=0.5t+2.3。 (2)b=0.5>0,人均纯收入逐年增加约0.5千元。2015年对应t=9,y=0.5×9+2.3=6.8(千 元)。 15.【答案】(1)y=0.3x-0.4;(2)正相关；(3)1.7千元 【解析)(1)x=8,y=2。b=(184-10×8×2)/(720-10×64)= (184-160)/(720-640)=24/80=0.3。含=2-0.3×8=-0.4。回归方程为y=0.3x-0.4。 (2)b=0.3>0,正相关。 (3）x=7时，y=0.3×7-0.4=1.7(千元)。 16. 【答案】(1)y=-20x+250;(2)8.25元 【解析】(1)=8.5，y-80。a=80-(-20)×8.5=80+170=250。回归方程为y=-20x+250。 (2)利润L=(x-4)(-20x+250)=-20x2+330x-1000。当X=330/40=8.25时，L最大。故单价定 为8.25元0 17. 【答案】0.254 【解析】6=0.254表示年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元。 18.【答案)A 【解析)负相关要求b<0,A中b=-10<0。故选A。 19.【答案】C 【解析)】图①中x增大y减小，负相关；图②中u增大V增大，正相关。故选C。 20. 【答案】A 【解析】由各组频率之和为1可验证：0.06+0.18+0.40+0.30+0.02+0.04=1。成绩小于17秒的频 率为前四组频率之和×=0.06+0.18+0.40+0.30=0.94。成绩大于等于15秒且小于17秒的频率为 第三组与第四组频率之和0.40+0.30=0.70，对应人数y=50×0.70=35。故×=0.94，y=35。选 项中与y=35相符且百分比最接近的为A(0.9,35),按题目给定选项选A。