第8章 成对数据的统计分析（拔高练）-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

P(Tt1-t2)=1-P(T≤t1-t2)=1-G(t1-t2)=41,所以P(T>41IT> t2)=P(Tl1-t2) 第八章成对数据的统计分析 8.1成对数据的统计相关性+ 8.2一元线性回归模型及其应用 解：(1)令z=lny,则z=lny=lne+c4=C3x+C4,所以z与x呈线性相关 盈云（司 关系，由题知x=27.43,z=3.55, =0.29,所以C3= %到 盈e4, -=0.29,故C4=z-C3x=3.55-0.29×27.43=-4.4047≈ 昌(2 -4.40,所以2=0.29x-4.40,故=c2=029-440,所以模型②下y关于x 的回归方程为y=e=e029-440.当x=30时，经模型①计算估计产卵数为 y1=0.37×302-205.03=127.97,经模型②计算估计产卵数为y2= e0.29x30-440=e430≈73.70. (2)因为模型①，②的决定系数分别为R=0.8124,3=0.988,故R< R?,所以模型②的拟合效果更好. (3)①由题得f(p)=C2p2(1-p)-2(0<p<1,n≥3，neN*), 所以f'(p)=2C2p(1-p)-2-(n-2)C2p2(1-p)-3=C2p(1-p)m-3。 [2(1-p)-(n-2)p]=C2p(1-p)m-3(2-p), 令f(p)-0得异，所以当pe(0,名）时f(o)>0,当pe[层 1)时p)0,所以o)在(0，只)上单调递增，在[只，1)上单调 递减，所以爪p)取得最大值时对应的概率%子(a≥3，eN~)。 ②由Q蜘，当p,=2（n≥3，neN")时fp)取最大值，所以当n=5时，= 则由题意可知每年需要人工防治的概率为p=号，且X~B(5,号）， 2 所以0=p=5x号2.0=p1p=5x号x(1号）-号 8.3列联表与独立性检验 (1)解：设d∈(200,400]组的频率为t,则d∈(400,600]组的频率为1- 0.2-0.15-t=0.65-t,估计学生与最近食堂间的平均距离d=100×0.2+ 300t+500(0.65-t)+700×0.15=450-200t=370,解得t=0.4,故可补全频 率分布表如下： 学生与最近食 在食堂 堂间的距离d/m 点外卖 合计 就餐 (0,200] 0.15 0.05 0.2 (200,400] 0.2 0.2 0.4 (400,600] 0.1 0.15 0.25 (600,800] 0.05 0.1 0.15 合计 0.5 0.5 1 据此结合样本容量为2000可列出2×2列联表如下： 学生距最近 学生距最近 合计 食堂较近 食堂较远 在食堂 700 300 1000 就餐 点外卖 500 500 1000 合计 1200 800 2000 参考答案 假设H。:学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近无关 X2.200x(700x50-300x50)2250 1000×1000×1200×8003 10.828=x0.001 据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即有99.9%的把 握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关， (2)(1)证明：证法一：由题意得P(AID)>P(AID),P(A1D)>P(AI D)P(AID)+P(AID)=P(AID)+P(AID)=1.P(AID)>0.5> P(AD).结合条件概率公式知P4D,P(AD_P(M-P(AD,即 P(D) P(D) 1-P(D) P(AD)>P(A)P(D). P(DIA)-P(D=P(AD)P(AD) P(A)P(A) -P(AD)[1-P(A)1-IP(D)-P(AD)JP(A)-P(AD)-P(A)P(D)0 P(A)[1-P(A)] P(A)[1-P(A)] 即P(DIA)>P(DA)成立. 证法二：由题意得P(A1D)>P(A1D),P(A1D)>P(A1D),所以AD), P(D) P(AD) P(D) 台P(AD)>P(AD),同理，P(AD)>P(AD),于是P(AD)· P(AD)>P(AD)P(AD) P(AD)P(AD) 故P(DIA)-P(DIA)= P(A)P(A) P(AD)[P(AD)+P(A D)]-P(AD)[P(AD)+P(AD)] P(A)P(A) P(AD)P(AD)-P(AD)P(AD0,即P(DIA)>P(DIA)成立 P(A)P(A) (ⅱ)解：设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为专，若选择“传统型” 优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为 Y元，则专~B(7,p),X=a,对0≤k≤7，有P(Y=kb)= P(专=0)+P(=1),k=0, 0,k=1, E (X)=E (a=aE (7pa,E (Y= P(传=k),2≤k≤7. bP(Y=b)=bkP(传=k)=b[P(5=k)-P(5=1)]=b[E(专)- 2 k=2 k=0 P(=1)]=7pb[1-(1-p)6], 6 令E(X0=5(n,结合a<6得p=1-√1号，记为心 若pop<1,则E(Y)-E(xX)=7p{b[1-(1-p)6]-a>0,E(Y)>E(X),此 时李明应选择“饥饿型”优惠方案；若0<p<Po,则E(Y)-E(X)= 7pb[1-(1-p)6]-a<0,E(Y)<E(X),此时李明应选择“传统型”优惠 方案 若p=po,则(1-p)6=1-6,E(X)=E(0. 注意到D(X)=D(a吃)=a2D()=7pa2(1-p),D(Y)=E(P2)- [E(Y)]2=(b)2P(Y=kb)-[E(X)]2=b2,2P(传=k)-49p2a2= k=2 k=2 b2[2p(5=k)-P5=1)]-49p2a2=b2[E()-P(5=1)]-49p2a2= b2{[E(5)]2+D(5)-P(5=1)}-49p2a2=b2[49p2+7p(1-p)-7p(1- p)6]-49p2a2=7p62[6p+1-(1-p)6]-7pa2}.因此D(Y)-D(X)= 7p{b2[6p+1-(1-p)6]-7pa2-(1-p)a2}=7p{6pb2+ab-(6p+1)a2}= 7p(b-a)·[6p(b+a)+a]>0,即D(Y)>D(X).此时李明选择获得的优 惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方 案综上所述，当0<p<p0时，李明应选择“传统型”优惠方案；当po≤p<1 时，李明应选择“饥饿型”优惠方案. 黑白题41进阶 突破 第八章成对数据的统计分析 8.1成对数据的统计相关性+ 8.2一元线性回归模型及其应用 (2024·山西长治高二期中)蝗虫能对农作物 造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y(单 位：个)和平均温度x(单位：℃)有关，根据以 往在某地收集到的7组数据作出如图所示的 散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关 系，现分别用模型①y=C1x2+C2与模型②y= ecr+C4作为平均产卵数y和平均温度x的回归 方程来建立两个变量之间的关系 y/个 202224262830323436x/℃ y t=x2 z=In y 21 J 441 1.61 23 9 529 2.20 25 22 625 3.09 27 25 729 3.22 29 65 841 4.17 32 118 1024 4.77 35 324 1225 5.78 y z 27.43 773.43 81.14 3.55 三列 含（-0-列 名() 含（6- 20.03 0.37 高（红-）(-) 高(-0(，-0 名(-)2 客- 0.29 0.0052 17 17 其中=，=7，=lny,2=7名 (1)根据表中数据，经计算得出模型①y= 0.37x2-205.03,请建立模型②下y关于 x的经验回归方程：并在两个模型下分别 估计温度为30℃时的产卵数.(C3,C4与 估计值均精确到小数点后两位)（参考数 据：e425≈70.11，e430≈73.70，e435≈77.48) (2)模型①，②的决定系数分别为R= 0.8124,R2=0.988,请根据决定系数判断 哪个模型的拟合效果更好 (3)根据以往统计，该地每年平均温度达到 30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤 害，需要人工防治，其他情况均不需要人 工防治.设该地每年平均温度达到30℃以 上的概率为p(0<p<1),该地今后n(n≥3， n∈N*)年恰好需要2次人工防治的概率 为f(p) ①求f(p)取得最大值时对应的概率Po; ②当f(p)取最大值时，设该地今后5年需 要人工防治的次数为X,求X的均值和 方差 附：对于一组数据（山1,1)，(u2,2),…,（un, vn),其经验回归方程ù=Bu+a的斜率和截距 盒%-四(e-可 的最小二乘估计分别为B= 含(4-)2 a=v-Bu. 进阶突破·拔高练15 8.3列联表与独立性检验 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点 外卖)与最近食堂间的距离的关系，某大学于 某日中午随机调查了2000名学生，获得了如 下频率分布表（不完整）： 学生与最近 在食堂 食堂间的距 点外卖 合计 就餐 离d/m (0,200] 0.15 0.2 (200,400 0.2 (400,600 0.1 (600,800] 0.15 合计 0.5 0.5 1 并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂 间的平均距离为370m(同一组数据以该组数 据所在区间的中点值作为代表). (1)补全频率分布表，并判断是否有99.9%的 把握认为学生中午的用餐方式与学生距 最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂 间的距离不超过400m时，认为较近，否则 认为较远). (2)已知该校李明同学家附近有两家学生食 堂甲和乙，且他每天中午都选择甲食堂或 乙食堂就餐 ()一般情况下，学生更愿意去饭菜更美 味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂 就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件 A,他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味 为事件D,且D,A均为随机事件，证明：P (DIA)>P(DIA). (ⅱ)为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出 了如下两种优惠活动方案，顾客可任选 其一 ①“传统型”优惠方案：校庆期间，顾客任 16黑白题数学|选择性必修第三册·RJ 意一天中午去甲食堂就餐均可获得a元 优惠； ②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾 客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中 午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天）， 第二天中午获得2b元优惠，以后每天中午 均获得b元优惠（其中a,b为已知数且b> a>0) 校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就 餐的概率均为p(0<p<1),且每天的选择 相互独立.又知李明是一名“激进型”消费 者，如果两种方案获得的优惠期望不一 样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的 方案，如果两种方案获得的优惠期望一 样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方 案（即获得的优惠方差更大的方案）.请你 据此帮他作出选择，并说明理由 附驸：X2= n(ad-bc)2 ,其中n=a+ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) b+c+d. 0.10 0.010 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828