8.2一元线性回归模型及其应用 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以问题式知识归纳为基础，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，适配新授课教学，培养数学建模与数据分析素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|模型参数、相关性判断|单选题1-4直接考查回归模型概念及正相关判断| |技能应用|残差计算、决定系数|填空题14-16结合残差与样本中心计算| |综合拓展|非线性回归转化、实际预测|解答题18-19通过实际情境（利润、宣传费）建模预测|

8.2　一元线性回归模型及其应用 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 【1】．一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的_____________. 其中，Y称为_________或__________，x称为_________或_________；a和b为模型的未知参数，a称为_________，b称为_________；e是Y与bx＋a之间的_________. 如果_________，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 【答案】 一元线性回归模型 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距参数 斜率参数 随机误差 e＝0 【2】一元线性回归模型参数的最小二乘估计 对于一组具有线性相关关系的成对样本数据，由最小二乘法得 将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做_______________，求得的，叫做b，a的___________．（此法使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小） 【答案】 最小二乘法 最小二乘估计 【3】回归分析 （1）观测值：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值． （2）预测值：通过经验回归方程得到的___________称为预测值． （3）残差：__________减去___________称为残差． 【答案】 观测值 预测值 （4）刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的________中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和________，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果________，R2越小，模型的拟合效果________. 【答案】 带状区域 越窄 越小 越好 越差 【4】经验回归方程的性质 （1）经验回归方程一定过点； （2）一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是________； （3）的实际意义：当x增大一个单位时，________个单位． 【答案】 平均增大 【5】在一元线性回归模型中，随机误差e产生的原因主要有哪几种？ 【答案】随机误差产生的原因主要有以下几种：第一、所用的确定函数不恰当引起的误差；第二、忽略了某些因素的影响；第三、存在观测误差. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若随机变量，之间存在回归方程，则（） A．，正相关 B．，负相关 C．一定有样本点 D．一定没有样本点 【答案】A 【详解】回归方程为，回归斜率，故，为正相关，A正确，B错误. 将代入回归方程，. 回归直线仅过样本中心点，不一定经过任意单个样本点，无法确定是否存在样本点，故C，D错误. 2．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 3．已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下： 1 2 3 4 5 2 3 6 若其线性回归方程，且满足，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出，再计算得到，得到与的另一个式子，联立可解 【详解】，代入回归方程得： ，联立得． 4．下列命题正确的是（    ） A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．线性回归直线必过样本数据的中心点； 【答案】D 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 5．根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．不变 【答案】A 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 6．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 7．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（   ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．相关系数 【答案】B 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项，代入样本中心点即可判断B，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项不正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 8．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 9．已知变量，线性相关，其一组样本数据 ，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据 相对于修正后的回归直线的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求修正前和修正后的样本点中心，再代入回归直线方程求解回归后的直线方程，再代入残差公式. 【详解】.因为，所以，因为经验回归方程过点， 所以，所以增加一个数据后的，， 设修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即 ， 所以， 解得，所以修正后的回归直线为 ， 所以数据 相对于修正后的回归直线的残差为 ． 二、多选题 10．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 【答案】ABD 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，， 因此，B正确； 对于C，，当时，（百台），C错误； 对于D，当时，，残差为，D正确. 11．如图所示，有一散点图在5个数据中去掉后，下列说法中错误的是（   ） A．残差平方和变大 B．相关系数变小 C．决定系数变小 D．解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】ABC 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差平方和的变化情况即可得. 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强， 且是正相关，所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故A、B、C错误，D正确. 12．下列关于回归分析的说法正确的是（   ） A．相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强 B．回归直线必过样本中心点 C．残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D．相关系数表示两个变量正相关，表示负相关 【答案】BCD 【详解】A：因为相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强，所以本选项说法不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，所以本选项说法正确； C：因为残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，所以本选项说法正确； D：因为相关系数表示两个变量正相关，表示负相关，所以本选项说法正确； 13．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 【答案】ABD 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，根据公式计算回归系数， ， 所以回归直线方程为，故B正确； 对于C，散点图如下所示， 由图可知，变量x和正相关，但相关系数越接近1，线性相关程度越强， 越接近0，相关程度越弱，故C错误； 对于D当时，预测值，实际值， 残差，故D正确． 三、填空题 14．如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 【答案】1 【分析】先通过对数变换将非线性回归转化为线性回归，求出变换后变量的样本中心点，再根据回归直线过样本中心点列出方程，解出回归系数. 【详解】由可得，由可得 ， 由回归方程必过样本中心点，即过点，所以，解得． 故答案为：. 15．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为________． 【答案】11 【分析】先求出自变量的样本均值，再根据回归直线过样本中心点求出回归系数，最后将预测时刻对应的自变量代入回归方程计算预测值. 【详解】由题意得，把代入， 得，解得，则， 当时，． 故答案为：. 16．已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差观测值预测值），则______．（保留两位小数） 【答案】 【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参. 【详解】因为y关于x的经验回归方程为， 所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 17．某人工智能公司从某年起5年的利润情况如下表所示. 第年 1 2 3 4 5 利润亿元 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 (1)求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，预测该人工智能公司第6年的利润. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】(1) (2)5.76亿元 【分析】（1）根据给定数表，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）由（1）的结论预测利润. 【详解】（1）依题意，，， 则，， 所以关于的回归方程为. （2）由（1）知，当时， 所以该人工智能公司第6年的利润约为5.76亿元. 18．某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表： 1 4 9 16 25 20 40 50 60 80 (1)判断与是正相关还是负相关； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程； (3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本） 附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 【答案】(1)与是正相关 (2) (3)最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 【分析】（1）根据正、负相关的概念求解； （2）利用线性回归方程的公式求解即可； （3）根据所求线性回归方程，利用函数单调性求最值即可. 【详解】（1）当逐渐增大时，逐渐增大，所以与是正相关. （2）设，则， ， 则， 故关于的回归方程为， （3）由题意得该产品的月成本， 则月利润为， 当，即时，该产品的月利润最大，且最大值为， 故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 19．电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 【答案】(1)的拟合程度更好. (2)经验回归方程为，预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量为6400个. 【分析】（1）分别计算两个模型的相关系数，再进行比较即可. （2）首先计算均值，求出经验回归方程，再代入计算即可. 【详解】（1）对于模型，令，代入公式得. 对于模型，令，代入公式得. 因为，所以的拟合程度更好. （2），. 根据最小二乘估计，. 因此关于的经验回归方程为. 当时，代入得. 因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为千个. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2　一元线性回归模型及其应用 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 【1】．一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的_____________. 其中，Y称为_________或__________，x称为_________或_________；a和b为模型的未知参数，a称为_________，b称为_________；e是Y与bx＋a之间的_________. 如果_________，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 【2】一元线性回归模型参数的最小二乘估计 对于一组具有线性相关关系的成对样本数据，由最小二乘法得 将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做_______________，求得的，叫做b，a的___________．（此法使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小） 【3】回归分析 （1）观测值：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值． （2）预测值：通过经验回归方程得到的___________称为预测值． （3）残差：__________减去___________称为残差． （4）刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的________中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和________，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果________，R2越小，模型的拟合效果________. 【4】经验回归方程的性质 （1）经验回归方程一定过点； （2）一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是________； （3）的实际意义：当x增大一个单位时，________个单位． 【5】在一元线性回归模型中，随机误差e产生的原因主要有哪几种？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若随机变量，之间存在回归方程，则（） A．，正相关 B．，负相关 C．一定有样本点 D．一定没有样本点 【答案】A 【详解】回归方程为，回归斜率，故，为正相关，A正确，B错误. 将代入回归方程，. 回归直线仅过样本中心点，不一定经过任意单个样本点，无法确定是否存在样本点，故C，D错误. 2．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 3．已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下： 1 2 3 4 5 2 3 6 若其线性回归方程，且满足，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出，再计算得到，得到与的另一个式子，联立可解 【详解】，代入回归方程得： ，联立得． 4．下列命题正确的是（    ） A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．线性回归直线必过样本数据的中心点； 【答案】D 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 5．根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．不变 【答案】A 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 6．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 7．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（   ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．相关系数 【答案】B 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项，代入样本中心点即可判断B，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项不正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 8．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 9．已知变量，线性相关，其一组样本数据 ，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据 相对于修正后的回归直线的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求修正前和修正后的样本点中心，再代入回归直线方程求解回归后的直线方程，再代入残差公式. 【详解】.因为，所以，因为经验回归方程过点， 所以，所以增加一个数据后的，， 设修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即 ， 所以， 解得，所以修正后的回归直线为 ， 所以数据 相对于修正后的回归直线的残差为 ． 二、多选题 10．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 【答案】ABD 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，， 因此，B正确； 对于C，，当时，（百台），C错误； 对于D，当时，，残差为，D正确. 11．如图所示，有一散点图在5个数据中去掉后，下列说法中错误的是（   ） A．残差平方和变大 B．相关系数变小 C．决定系数变小 D．解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】ABC 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差平方和的变化情况即可得. 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强， 且是正相关，所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故A、B、C错误，D正确. 12．下列关于回归分析的说法正确的是（   ） A．相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强 B．回归直线必过样本中心点 C．残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D．相关系数表示两个变量正相关，表示负相关 【答案】BCD 【详解】A：因为相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强，所以本选项说法不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，所以本选项说法正确； C：因为残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，所以本选项说法正确； D：因为相关系数表示两个变量正相关，表示负相关，所以本选项说法正确； 13．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 【答案】ABD 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，根据公式计算回归系数， ， 所以回归直线方程为，故B正确； 对于C，散点图如下所示， 由图可知，变量x和正相关，但相关系数越接近1，线性相关程度越强， 越接近0，相关程度越弱，故C错误； 对于D当时，预测值，实际值， 残差，故D正确． 三、填空题 14．如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 【答案】1 【分析】先通过对数变换将非线性回归转化为线性回归，求出变换后变量的样本中心点，再根据回归直线过样本中心点列出方程，解出回归系数. 【详解】由可得，由可得 ， 由回归方程必过样本中心点，即过点，所以，解得． 故答案为：. 15．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为________． 【答案】11 【分析】先求出自变量的样本均值，再根据回归直线过样本中心点求出回归系数，最后将预测时刻对应的自变量代入回归方程计算预测值. 【详解】由题意得，把代入， 得，解得，则， 当时，． 故答案为：. 16．已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差观测值预测值），则______．（保留两位小数） 【答案】 【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参. 【详解】因为y关于x的经验回归方程为， 所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 17．某人工智能公司从某年起5年的利润情况如下表所示. 第年 1 2 3 4 5 利润亿元 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 (1)求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，预测该人工智能公司第6年的利润. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】(1) (2)5.76亿元 【分析】（1）根据给定数表，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）由（1）的结论预测利润. 【详解】（1）依题意，，， 则，， 所以关于的回归方程为. （2）由（1）知，当时， 所以该人工智能公司第6年的利润约为5.76亿元. 18．某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表： 1 4 9 16 25 20 40 50 60 80 (1)判断与是正相关还是负相关； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程； (3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本） 附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 【答案】(1)与是正相关 (2) (3)最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 【分析】（1）根据正、负相关的概念求解； （2）利用线性回归方程的公式求解即可； （3）根据所求线性回归方程，利用函数单调性求最值即可. 【详解】（1）当逐渐增大时，逐渐增大，所以与是正相关. （2）设，则， ， 则， 故关于的回归方程为， （3）由题意得该产品的月成本， 则月利润为， 当，即时，该产品的月利润最大，且最大值为， 故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 19．电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 【答案】(1)的拟合程度更好. (2)经验回归方程为，预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量为6400个. 【分析】（1）分别计算两个模型的相关系数，再进行比较即可. （2）首先计算均值，求出经验回归方程，再代入计算即可. 【详解】（1）对于模型，令，代入公式得. 对于模型，令，代入公式得. 因为，所以的拟合程度更好. （2），. 根据最小二乘估计，. 因此关于的经验回归方程为. 当时，代入得. 因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为千个. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $