第7章 随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第三册分层作业（人教A版）

7.1条件概率与全概率公式分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01条件概率的定义与计算 知识点02条件概率的性质 知识点03条件概率与独立性的关系辨析 知识点04条件概率的乘法公式 知识点05乘法公式的综合应用 知识点06全概率公式的基本形式 知识点07全概率公式的推导与理解 知识点08全概率公式的简单应用 知识点09全概率公式与条件概率的综合 知识点10贝叶斯公式（选学） 知识点11条件概率在实际问题中的应用 知识点12全概率公式在实际问题中的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 、A组巩固过关 知识点01条件概率的定义与计算 1.(25-26高二下·河南郑州·期末)已知某班共有50名学生，其中男生30名，女生20名。男生中 有12人喜欢篮球，女生中有4人喜欢篮球。现从该班随机抽取一名学生，已知抽到的是男生，则该 学生喜欢篮球的概率为（() 2 0.3 2.(25-26高二下·山东济南·阶段检测)掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“掷出的点数为偶 数”，事件B=“掷出的点数大于3”，则P(AB)=一一o 3.(25-26高二下·河北石家庄·期中)从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地依次抽取2个数 字，记事件A=“第一次抽到奇数”，事件B=“第二次抽到偶数”，则P(B引A)= 4.（24-25高二下·安徽合肥·期末)某校高一年级有男生400人，女生300人，男生中戴眼镜的有 120人，女生中戴眼镜的有90人。从该校高一年级随机选取一名学生，若已知选到的是男生，则他 戴眼镜的概率为 0 |知识点02条件概率的性质 1.(25-26高二下·江苏南京·阶段检测)设P(4)>0,则下列式子正确的是（) A.P(BIA)=P(AIB) B.0≤P(BA)≤1 C.P(BIA)+P(BIA)=0 D.P(BIA)=1-P(B) 2.(25-26高二下·浙江杭州·期中)已知P(A)=0.6,P(AB)=0.24,则P(BA)= 3.(25-26高二下·湖北武汉·期末)若P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是（) A.P(BA)=P(AB)恒成立 B.P(BIA)+P(BIA)=1 C.P(B|A)=P(B)恒成立 D.P(AB)=P(A)P(BA)不一定成立 42425高=下·湖南长沙·阶段检测已知P(A=了，P(BA个=子，则P(A8)= _二0 知识点03条件概率与独立性的关系辨析 1.(25-26高二下·广东广州·期中)对于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),则下列结论一 定正确的是() A.P(B|A)=P(B)(当P(A)>0时) B.P(AB)=P(A)(当P(B)>0时) C.A与B互斥 D.以上A、B均正确（在各自条件下） 2.(25-26高二下·福建厦门·阶段检测)已知事件A,B相互独立，且P(A)=0.5, P(B)=0.4,则P(AB)= 3.(25-26高二下·四川成都·期末)下列选项中，P(BA)=P(B)成立的是（) A.A与B互斥 B.A与B相互独立且P(A)>0 C.BCA D.ACB且P(A)>0 4.（24-25高二下·江西南昌·期中)判断：若P(BA)=P(B),则事件A与B相互独立。（填“正 确”或“错误”) |知识点04条件概率的乘法公式 1.2526高=下·辽宁大连·阶段检测已知P(A)=7P(8lA)-3则P(AB)=0 1 0今 2.（25-26高二下·陕西西安·期中)袋中有3个红球和2个白球，不放回地依次摸出2个球，则第一 次摸到红球且第二次摸到白球的概率为 3.(25-26高二下·重庆·期末)已知P(B)=0.5,P(AB)=0.6,则P(AB)= 4Q425高三下·山西太原·阶段检0已知P(A=号P(81A=圣P(1列=了求 P(AB)和P(AB)的值。 |知识点05乘法公式的综合应用 2 1.（25-26高二下·云南昆明·期中)甲、乙两人参加某项活动，甲通过的概率为 ,在甲通过的 3 条件下乙通过的概率为二，则甲、乙都通过的概率为() B.5 1 0.5 2.（25-26高二下·广西南宁·阶段检测)从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，则 第一张抽到红桃且第二张抽到黑桃的概率为 3.(25-26高二下·贵州贵阳·期末)某产品需经过两道工序，第一道工序合格率为0.9，在第一道 工序合格的条件下第二道工序合格率为08，则两道工序都合格的概率为 42425高三下·甘肃兰州·期中)已知PA=3,P(BA=子，P(8面=子：求P(B8. 1 知识点06全概率公式的基本形式 1.(25-26高二下·北京·期中)设B1,B2为互斥事件，且P(B1)+P(B2)=1,P(B1)>0, P(B2)>0,则对任意事件A,P(A)=（) A.P(AIB1)+P(AlB2) B.P(B1)P(AlB1)+P(B2)P(AlB2) C.P(B1)P(AlB2)+P(B2)P(AlB1) D.P(AIB1)P(B2)+P(AlB2)P(B1) 2.（25-26高二下·天津·阶段检测)某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产量占总产量的 60%,乙占40%。甲生产线的次品率为2%，乙生产线的次品率为3%。从总产品中任取一件，则取 到次品的概率为 3.（25-26高二下·吉林长春·期末)袋中有编号为1和2的两个盒子，1号盒中有2个红球1个白球， 2号盒中有1个红球2个白球。随机选一个盒子，再从该盒中随机取一球，则取到红球的概率为 4425高三下，果龙江哈尔滨，期中)设P(B)=3,P(B,)=子，P(AlB)= PAB)=,则PAE 知识点07全概率公式的推导与理解 n 1.(25-26高二下·江苏苏州·期中)全概率公式P(A)=∑P(B)P(AB)成立的条件是（) =1 A.B1,B2,,Bn两两互斥且UBi=,P(B)>0 j=1 B.B1,B2,,Bn相互独立 C.A与每个B都独立 D.P(A)>0 2.(25-26高二下·山东青岛·阶段检测)将样本空间D划分为两个互斥事件B和B,且P(B)>0 ,P(B)>0,则P(A)= (用条件概率表示)。 3.(25-26高二下·河南洛阳·期末)某学校有走读生和住校生两类，走读生占40%，住校生占 60%。走读生中近视率为20%，住校生中近视率为30%。从该校随机选一名学生，则他是近视的概 率为 4.(24-25高二下·安徽芜湖·期中)判断：全概率公式中，划分B1,B2,…,Bn必须满足 P(B)>0(i=1,2,…,n)。(填“正确”或“错误”) |知识点08全概率公式的简单应用 1.(25-26高二下·广东深圳·期中)某商场有三个品牌的家电，A品牌占50%，B品牌占30%，C 品牌占20%。A、B、C三个品牌的合格率分别为98%、95%、90%。从商场随机抽取一件家电，则 取到合格品的概率为() A.0.955 B.0.96 C.0.95 D.0.945 2.（25-26高二下·福建福州·阶段检测)甲袋中有3个红球2个白球，乙袋中有2个红球3个白球。 先从甲袋中随机取一球放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则从乙袋中取到红球的概率为 3.（25-26高二下·浙江宁波·期末)某地区气象台统计，该地区下雨的概率为0.3，刮风的概率为 0.4,既刮风又下雨的概率为0.15。则在下雨的天气中刮风的概率为 4.（24-25高二下·湖北宜昌·期中)某公司招聘，甲、乙、丙三人应聘，甲被录用的概率为0.5， 乙为0.4，丙为0.3，且三人是否被录用相互独立。则至少有一人被录用的概率为 知识点09全概率公式与条件概率的综合 1.Q2525高三下·湖南岳阳·期中)设P(B)=子P(B2)=子，P(4B)=3 2 P(AB)=亏，则P(B1IA)=() b.9 0.3 2.(25-26高二下·江西九江·阶段检测)某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量分别 为总产量的25%、35%、40%，次品率分别为5%、4%、2%。从总产品中任取一件，发现是次品， 则它来自甲车间的概率为 32526与下·四阳：期未)已知P(B)=子，P(B)=子PA8)=, 3 P(ABZ)=O,求P(A及P(B1IA)。 4.（24-25高二下·山西大同·期中)袋中装有5个球，其中3个红球2个白球。不放回地依次取2个 球，已知第二次取到红球，则第一次也取到红球的概率为 |知识点10贝叶斯公式（选学） 1.（25-26高二下·江苏常州·期中)设B1,B2为样本空间的一个划分，P(B1)>0, P(B2)>0,P(A)>0,则P(BA)=() A.P(B)P(AIB) P(A) B. P(AIBi) P(A) C P(Bi) P(A) P(A) D.P(B)P(AIB) 2.（25-26高二下·山东烟台·阶段检测)某地区居民患某疾病的概率为0.1%，检测方法的灵敏度 (患者检测呈阳性的概率)为99%，特异度（非患者检测呈阴性的概率）为98%。若某人检测呈阳 性，则他真正患病的概率约为 (保留三位有效数字)。 3.（25-26高二下·河北保定·期末)甲袋中有2个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球。随机 选一袋，从中取一球，若取到红球，则它来自甲袋的概率为 -0 4.(2425高二下·河南开封·期中)已知P(B1)=2P(B2)=2,P(AB1)=0.9, P(AB2)=0.2,则P(B1|A)= 知识点11条件概率在实际问题中的应用 1.（25-26高二下·广东珠海·期中)某班级有30名男生和20名女生，男生中有10人参加篮球队， 女生中有5人参加排球队。从该班随机选一名学生，已知选到的是男生，则他参加篮球队的概率为 () 1 B.2 05 2.（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测)某地区成年人吸烟率为30%，在吸烟者中患肺癌的概率 为2%，在不吸烟者中患肺癌的概率为0.5%。从该地区随机选一名成年人，则他患肺癌的概率为 -_0 3.（25-26高二下·云南大理·期末)某考生参加面试，考官提出一个问题，考生会答的概率为 0.7,在会答的情况下答对的概率为0.9，在不会答的情况下猜对的概率为0.25。则该考生答对的概 率为 4.（24-25高二下·甘肃天水·期中)某校高二年级共有学生500人，其中团员300人，非团员200 人。团员中成绩优秀的有120人，非团员中成绩优秀的有40人。从全年级随机选一名学生，已知该 生成绩优秀，则他是团员的概率为 _0 知识点12全概率公式在实际问题中的应用 1.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期中)某公司有两个部门，A部门有员工60人，B部门有员工 40人。A部门员工的平均绩效达标率为80%，B部门员工的平均绩效达标率为90%。从该公司随机选 一名员工，则他绩效达标的概率为（) A.0.84 B.0.85 C.0.86 D.0.83 2.(25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测)某地区有甲、乙两个小麦品种，种植面积分别占 60%和40%，甲品种的亩产量为500kg的概率为0.7，乙品种的亩产量为500kg的概率为0.5。从该地 区随机选一块麦田，则其亩产量为500kg的概率为 0 3.（25-26高二下·宁夏银川·期末)某快递公司有A、B、C三条分拣线，分别承担50%、30%、 20%的分拣任务，三条分拣线的出错率分别为1%、2%、3%。从该公司随机抽取一件快递，则它被 分拣出错的概率为 4.（24-25高二下·青海西宁·期中)某医院用甲、乙两种方法治疗某种疾病，甲方法治愈率为 0.8，乙方法治愈率为0.6。现有60%的病人用甲方法治疗，40%的病人用乙方法治疗。从该医院随 机选一名该病患者，则他被治愈的概率为 二、 B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高=下·江苏南通·期中)已知P(A)=P(8A=3,P(B个=，则 P(AB)=() 2 0.7 2.（25-26高二下·浙江温州·阶段检测)某袋中有大小相同的5个球，其中3个红球2个白球。不放 回地依次取2个球，则在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为() 0.0 3.(25-26高二下·山东潍坊·期末)设A,B为两个事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正 确的是（) A.P(BIA)=P(AIB) B.P(AB)=P(A)P(BIA) C.P(BIA)+P(BIA)=P(A) D.P(AIB)=P(BIA) 4.（25-26高二下·安徽安庆·期中)某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量之比为 3:2:1,次品率分别为2%、3%、4%。从总产品中任取一件，则取到次品的概率为（) 1 8.300 6 0.300 5.(25-26高二下·湖北荆州·阶段检测)已知事件A与B相互独立，P(A)= P倒=京则 P(AB)=() 1 & 6.（25-26高二下·湖南株洲·期末)从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，则在第一次取到 奇数的条件下，第二次取到偶数的概率为（) 1 0.5 7.（25-26高二下·福建莆田·期中)某地区气象台统计，下雨的概率为0.4，刮风的概率为0.3，既 刮风又下雨的概率为0.12。则在刮风的条件下下雨的概率为（) A.0.3 B.0.4 C.0.12 D.0.48 8.(2526高=下·江西领州阶段检测)设P(B)=京P(B)=子P(AB)=子 P(AB2)=2,则P(B14)=（) 1 2 A. 4 B.11 0.1 9.（25-26高二下·四川宜宾·期末)甲袋中有2个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球。从甲 袋中随机取一球放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则取到红球的概率为（) 1 6w 0.2 10.2526高二下·辽宁鞍山·期中)已知PA)=3,P(8)=京，P4B)=分，则 P(BA)=（) 1 b.8 0.2 11.(25-26高二下·广西桂林·阶段检测)某产品需经过两道检测，第一道检测通过的概率为 0.9,在第一道通过的条件下第二道通过的概率为0.8，则两道检测都通过的概率为（() A.0.72 B.0.68 C.0.75 D.0.8 12.(25-26高二下·陕西咸阳·期末)某学校有甲、乙两个食堂，甲食堂就餐人数占60%，乙食堂 占40%。甲食堂的满意率为85%，乙食堂的满意率为90%。从该校随机选一名学生，则他对食堂满 意的概率为（) A.0.87 B.0.88 C.0.86 D.0.89 18.Q526高=下·山西临汾·期中)已知P(4-看，P(8)=了，P(8可=3则 P(B)=() 1 b 7 0.5 丨二、多选题 1.（25-26高二下·河北唐山·期中)下列说法正确的是（) A若P(A)>O,则P(BLA=PAB) P(A) B.若P(A)>0,P(B)>0,则P(AB)=P(A)P(BA) C.若A与B相互独立，则P(BA)=P(B)(P(A)>0) D.P(BA)+P(BA)=1恒成立(P(A)>0) 2.（25-26高二下·山东泰安·阶段检测)设B1,B2为样本空间的一个划分，且P(B1)>0, P(B2)>0,则下列式子正确的是() A.P(A)=P(B1)P(AIB1)+P(B2)P(AIB2) B.P(BA)-P(B)P(AB)(P(A)>0) P(A) C.P(BIA)+P(B2IA)=1 (P(A)>0) D.P(AlB)+P(AIB2)=1 3。(25-26高二下·江苏扬州·期末)甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译的概率为5，乙破 译的概率为4，则() A两人都破译的概率为立 B.至少一人破译的概率为2 C在甲城泽的条行下Z险译的丰为 D.在乙破译的条件下甲破译的概率为了 4.（25-26高二下·广东汕头·期中)某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产量占60%，乙占 40%,次品率分别为2%和3%。则（) A.从总产品中任取一件是次品的概率为0.024 1 人丽，则它来自甲生产线的概名 C,若取到次品，则它来自乙生产线的概率为2 D.若取到正品，则它来自甲生产线的概率大于来自乙生产线的概率 三、填空题 1.(2526高=下·浙江嘉兴，阶酸检测已知P()=7,P(BlA)=子，P(B)=则 P(B)= _0 2.(25-26高二下·山东临沂·期中)某袋中有3个红球和2个白球，不放回地依次取2个球，则在第 一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为， 3.（25-26高二下·河南安阳·期末)某地区居民患某种疾病的概率为0.5%，检测的灵敏度为 95%,特异度为90%。若某人检测呈阳性，则他患病的概率约为】 (保留三位有效数字)。 4.（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测)甲袋中有2个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球。 随机选一袋，从中取一球，则取到红球的概率为 四、解答题 1.(25-26高二下·江苏镇江·期中)某工厂有甲、乙、丙三个车间，产量分别为总产量的25%、 35%、40%,次品率分别为5%、4%、2%。 (1)从总产品中任取一件，求它是次品的概率； (2)若取到一件次品，求它来自甲车间的概率。 2.(25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测)袋中有5个球，其中3个红球2个白球。不放回地依次取 2个球。 (1)求第一次取到红球且第二次取到白球的概率； (2）在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率。 3. (25-26高二下·湖南衡阳·期末)某考生参加面试，考官提出一个问题。考生会答的概率为 0.7,在会答的情况下答对的概率为0.9，在不会答的情况下猜对的概率为0.25。 (1)求该考生答对的概率； (2）若该考生答对了，求他确实会答的概率。 2 4。 (25-26高二下·福建龙岩·期中)甲、乙两人独立地解同一道题，甲解出的概率为 乙解出 的筑幸为 (1)求两人都解出的概率； (2)求至少一人解出的概率； (3)在甲解出的条件下，求乙也解出的概率。 5. (25-26高二下·江西上饶·阶段检测)某地区有甲、乙两个小麦品种，种植面积分别占60%和 40%,甲品种亩产量为500kg的概率为0.7，乙品种亩产量为500kg的概率为0.5。 (1)从该地区随机选一块麦田，求其亩产量为500kg的概率； (2)若选到的麦田亩产量为500kg,求它种的是甲品种的概率。 三、C组思维拔高 1.(25-26高二下·江苏南京·期中)已知P(A)=行，P(8lA=2,P(8A=,则 P(AB)=（) 1 p. 2.(25-26高二下·浙江杭州·阶段检测)某袋中有个球，其中3个红球，其余为白球。不放回地 依次取2个球，若在第一次取到红球的条件下第二次取到红球的概率为，则n=() A.6 B.7 C.8 D.9 3.（25-26高二下·山东青岛·期末)设A,B,C为三个事件，P(A)>0,P(B)>0, P(C)>0,且P(CAB)=P(CA)P(CB),则（) A.A与B独立 B.A与C独立 C.B与C独立 D.以上都不一定成立 4.（25-26高二下·广东广州·期中)甲袋中有3个红球2个白球，乙袋中有2个红球3个白球。先从 甲袋中随机取一球放入乙袋，再从乙袋中随机取一球。若从乙袋中取到的是红球，则从甲袋中取出 的是红球的概率为（() 3 0. 5.（25-26高二下·福建厦门·阶段检测)某地区居民患某疾病的概率为0.1%，检测方法的灵敏度 为99%，特异度为98%。若某人检测呈阳性，则他真正患病的概率约为（) A.0.047 B.0.052 C.0.099 D.0.15 6(526高下·四川成都·期末)已知P(8)=3,P(B)=有P(4B)=圣 P(4B)=3,则P(BIA=0 A.11 8 ℃. 0.11 7.(25-26高二下·辽宁沈阳·期中)将一枚均匀硬币连续抛掷3次，已知至少出现一次正面，则恰 好出现两次正面的概率为（) 3 A. 3 b 1 0.7 8.(25-26高二下·陕西西安·阶段检测)某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量之比为2：3：5 次品率分别为1%、2%、3%。从总产品中任取一件，发现是次品，则它来自丙生产线的概率为（ ) 3 A. 5 B. 0亏 925-26高=下·重庆·期末设P(4)=方P(8间=了，PCAB)=,则P8lA)=0 1 D.6 10.(25-26高二下·山西太原·期中)甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用三局两胜制。甲每局获胜 的概率为子乙怎局获脏的减率为了，各局比资结果相百独立。则甲联胜的感率为) 2 A 234 B. 9 C. 27 256高三下·云商昆阴·阶段检测日知P(川=子P8A=子PAB)=之则 P(B)=() 1 0 12.(25-26高二下·广西南宁·期末)某袋中有5个球，其中2个红球3个白球。有放回地依次取2个 球，则在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（) 1 D.2 13.（25-26高二下·贵州贵阳·期中)某地区下雨的概率为0.3，刮风的概率为0.4，既刮风又下雨 的概率为0.15。则在刮风的条件下下雨的概率为（) A.0.375 B.0.5 C.0.15 D.0.3 14.（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测)甲袋中有1个红球2个白球，乙袋中有2个红球1个白球。 随机选一袋，从中取一球，若取到红球，则它来自乙袋的概率为（) 1 0.3 15.2526高二下·内蒙古赤峰·期未)已知P(A)=号，P(8lA)=7P(8l可=子则 P(AB)=() 1 B. C 16.(25-26高二下·新疆喀什·期中)某产品需经过三道工序，第一道合格率为0.9，在第一道合 格的条件下第二道合格率为0.8，在第二道合格的条件下第三道合格率为0.9，则三道工序都合格的 概率为（) A.0.648 B.0.72 C.0.81 D.0.9 17.Q526高=下·宁夏吴忠·阶段检0设P(8)=子，P(B)=子，P(A8)=3 1 P(AB2)=2 则P(B1lA)=（) 4 A .75 C. 8 0. 1 18. (25-26高二下·青海海东·期末)甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译的概率为4，乙破 译的概率为亏。 已知密码被破译，则它是被甲破译的概率为（) 1 A B. 43-51 D. 四、拓展链接高考 1.(2022·全国·高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ 1 b.3 D.3 2.（2022·全国·高考真题)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。 已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,P2,P3,且P3>P2>p1>0。记该棋手连 胜两盘的概率为p,则() A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 3.(2023·全国·高考真题)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个 主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（) 5 0.3 4.(2021·全国·高考真题)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个 项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共 有() A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 5.(2020·全国·高考真题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单 位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 (X,y(i=1,2,..,20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10°℃至40°℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度的回归方程 类型的是（) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx 6.（2019·全国·高考真题)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从 下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一”和阴爻“一一”。在所有重卦中随机取一重卦，则该 重卦恰有3个阳爻的概率是（) 5 B. 7 D. 16 7.(2018·全国·高考真题)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现 翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收 入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 8.（2017·全国·高考真题)正方形ABCD的内切圆中，黑色部分和白色部分关于正方形的中心 成中心对称，且黑色部分为内切圆被一条经过圆心的水平直径分成的上半圆。在正方形内随机取一 点，则此点取自黑色部分的概率是（) 0.4 9.(2016·全国·高考真题)某公司的班车在7：30,8：0,830发车，小明在7：50至8：30之间到达 发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（) 1 0.4 10.(2015·全国·高考真题)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学 每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 11,(2014·全国·高考真题)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为（) 1 B. 87 0.8 12.(2013·全国·高考真题)从个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数 之和等于5的概率为14，则n= 13.（2012·全国·高考真题)某个部件由三个元件连接而成：元件1与元件2并联，再与元件3串 联。元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个元件的使用寿命（单 位：小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使 用寿命超过1000小时的概率为 14.(2011·全国·高考真题)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（) 1 0 15.(2010·全国·高考真题)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽 的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为() A.100 B.200 C.300 D.400 16.(2021·全国·高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地 随机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出 的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字 之和是7”，则（) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 17.(2020·全国·高考真题)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1,P2,P3, P4,且∑P;=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（) =1 A.P1=P4=0.1,p2=p3=0.4 B.P1=P4=0.4,P2=p3=0.1 C.p1=P4=0.2,P2=p3=0.3 D.P1=P4=0.3,p2=P3=0.2 18.(2018·全国·高考真题)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23。在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（) 1 A.2 8平 1 C.项 0.18 19.(2017·全国·高考真题)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随 机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（) 1 A.10 C.0 0.5 20.(2016·全国·高考真题)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个 花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（) 1 C. 五、解析 |A组巩固过关 知识点01条件概率的定义与计算 1.【答案】A 【解析】P(BA)= nAB)=12-2 n(A) 30= 2. 塔 P(AB)2/6 【解折1A={2,4,6},B={4,5,6,AB={4,6},P(AB)=PB 3/16 3 3 【答案】 1-2 【:标】第-次袖副商数后，梨余4个效中有2个偶数，放P(8=兰-子 答案 4. 10 1203 【解析】P(戴眼镜男生)=400=10° 知识点02条件概率的性质 1.【答案】B 【解析)由条件概率的定义，0≤P(BA)≤1恒成立。 2.【答案】0.6 【解析】P(A)=1-P(BA)=1-PAg=1-0.24 P(A) 0.6 =1-0.4=0.6。 3.【答案】B 【解析】P(BA)+P(BA)=1恒成立(P(A>0)。 塔剧立 4. 1.11 【解析】P(AB)=P(A)P(BA=3×4=12° 知识点03条件概率与独立性的关系辨析 1.【答案】D 解标1当PA>0时，P(BA)三F=P（AR(包=PB),A正确；同理B正确。 P(A) 2.【答案】0.5 【解析】A与B独立，P(AB)=P(A)=0.5。 3.【答案】B 【解析)A与B相互独立且P(A)>0时，P(BA)=P(B)。 4. 【答案】正确 【解析】由P(BA)= P(AB)=P(B)得P(AB)=P(AP(B,故独立。 P(A) 知识点04条件概率的乘法公式 1.【答案】A 【解析】P(AB)=P(A)P(BA=2×3= 1 11 2.【答案】 3 3 23 【解桥】P=亏×4=10° 3.【答案】0.3 【解析)P(AB)=P(B)P(AB)=0.5×0.6=0.3。 信图P4=:Pa-目 4. 2 3 3 解析P(AB)=P(AP(B1A)5×41O一 3.1 P(AB)=P(AP(B1A=5×3=5 知识点05乘法公式的综合应用 1.【答案】A 23_2 【解析】P=3×亏=5 2.【答案】 13 20 13 .131.1313 【解析】P=52×5=4×5=204 3.【答案】0.72 【解析)P=0.9×0.8=0.72。 3 4.【答案】 10 【解析】 2,1 P(AP(BA)+P(AP(B上 +号×好= 4 +=30+30 3 30=10 0 知识点06全概率公式的基本形式 1.【答案】B 【解析】由全概率公式P(A)=P(B1)P(AB1)+P(B2)P(AB2) 2 【答案】0.024 【解析】P=0.6×0.02+0.4×0.03=0.012+0.012=0.024。 【答案】 1 2 1 【答案】 7 4. 20 解桥P三X 1 +号×号=立 1 4 5 1621 7 +15=60+60= 60-20° 知识点07全概率公式的推导与理解 1.【答案】A 【解析】全概率公式要求B1,.,B为样本空间的一个划分，即两两互斥且并为全集，且每个 P(B)>0。 2.【答案】P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 【解析】由全概率公式即得。 3.【答案】0.26 【解析)P=0.4×0.2+0.6×0.3=0.08+0.18=0.26。 4.【答案】正确 【解析】全概率公式要求每个划分事件的概率大于0。 知识点08全概率公式的简单应用 1.【答案】A 【解析】 P=0.5×0.98+0.3×0.95+0.2×0.90=0.49+0.285+0.18=0.955。 答案 2. 25 【解标若从甲袋取球（概率，乙袋变为3红2白，取红概率若从甲袋取白球【（串 33,22，4 13 乙袋变为2红3白，取红概率写。P=亏×亏+5×5=25+25=25。 3.【答案】0.5 【解析】P(刮风，I下雨)= P(刮风且下雨)=0.15=0.5。 P(下雨) 0.3 4.【答案】0.79 【解析】 P=1-(1-0.5)(1-0.4)(1-0.3)=1-0.5×0.6×0.7=1-0.21=0.79。 知识点09全概率公式与条件概率的综合 5 1. 【答案】 23 5 1②3 【解折1PA=x:+x名= ,1823 PBPB_ 4 10一6O× 60=60 P(B1A)= 5 P(A) 23 ÷ 60 60 23° 2.【答案) 25 69 【解析】 P(次品)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0125+0.014+ 0.008=0.0345 P(甲次品)= 0.012512525 。 0.0345 345-69° 3. 答刻P=子：P(B,I网=方 1 醉标P(A专大 2 5+ 31 4。 【答案】 2 【解析】第一次取红球概率 3 3 3 第二次取红球概率 5 4 +10 10 =50 P(两次都红) P(第一次红第二次红)= 是× P(第二次红) 35 3035 2° 知识点10贝叶斯公式（选学） 1.【答案】A 【解析】贝叶斯公式P(BA)= P(B)P(AIB) P(A) 2.【答案】0.047 【解析) 0.001×0.99 0.00099 P(患病阳性)=0.001×0.99+0.999×0.02=0.00099+0.01998 0.00099 ≈0.047 0.02097 3.【答案】 2-3 P切=×号+×行-+-安P甲知= 。 4. 【答案】 9 11 【解析)P(A)=0.5×0.9+0.5×0.2=0.45+0.1=0.55。 0.459 P(B1IA)= 0.55=立0 知识点11条件概率在实际问题中的应用 1.【答案】A 【解析)P= 101 30=30 2.【答案】0.0095 【解析P=0.3×0.02+0.7×0.005=0.006+0.0035=0.0095。 3.【答案】0.705 【解析)P=0.7×0.9+0.3×0.25=0.63+0.075=0.705。 省案淘 4. 【解析】P(优秀)= 120+40=160=0.32。 500120 00 120/500 3 P(团员优秀)= 160/500 =160=40 知识点12全概率公式在实际问题中的应用 1.【答案】A 【解析)P=0.6×0.8+0.4×0.9=0.48+0.36=0.84。 2.【答案】0.62 【解析)P=0.6×0.7+0.4×0.5=0.42+0.2=0.62。 3.【答案】0.017 【解析】 P=0.5×0.01+0.3×0.02+0.2×0.03=0.005+0.006+0.006=0.017。 4. 【答案】0.72 【解析】P=0.6×0.8+0.4×0.6=0.48+0.24=0.72。 B组能力进阶 一、单选题 1.【答案)D 1 解析P(B)=)X+1 17 3 A 6 +8=240 P(AIB)= P(AB) P(B) 24 24 二7 2.【答案】A 折第一次取到红球后，剩球中2红2白，P2= 3.【答案】B 【解析】乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)恒成立(P(A)>O)。 4信案】房 【解析)产量比为3：2：1，即概率分别为 321 p= ×品+后×品+x0 3 2 3,1 44.16.2 600 600=75° 5.【答案】B 【解析】独立时P(AB)=P(A)= 6.【答案】A 保标们第-次取奇数后，秋个数中2省2偶。P=子=》 7.【答案】B 【解析】P=0.12 0.3 =0.4。 8.【答案】B 1. 3 1 1,3 4,9 13 【解析】P(A)= 3 2=6+8=24+24= = PBA=×登- 24° 4 ” 嘉 =13° 9 【答案】 5 取白概率 【解甲袋红白，取红概率专2放入乙袋后乙2空日，取红税率行=； 1 1 八+上女d增弛耳避 10.【答案】B 111 【解析】P(AB)=P(B)P(AB)=4×2=8P(BA= P(AB)1/83 P(A) =1/3=8° 11.【答案】A 【解析】P=0.9×0.8=0.72。 12.【答案】A 【解析)P=0.6×0.85+0.4×0.90=0.51+0.36=0.87。 13.【答案】 13 30 2.1,3.12,3 4,913 【解析】P(B)= 5×3+×2=5+0=30+0= 30° 二、多选题 1.【答案】ABCD 【解析】A、B、C显然正确；D中P(B引A)+P(BA)=1恒成立(P(A)>0),也正确。 2.【答案】ABC 【解析】A为全概率公式；B为贝叶斯公式；C中B1,B2为划分且P(A)>0, P(B1lA)+P(B2lA)=1正确；D不成立。 3.【答案】ABCD 懈制行×星=立正确：时1-子×登=1-名正编：c:数立， 1、 1 1 1 P(乙引甲)=P(乙)=4正确；D:P(甲乙)=P(甲)=专正确。 4.【答案】ABCD 【解析】A:0.6×0.02+0.4×0.03=0.012+0.012=0.024正确；B: 0.024 =2正确；C 0.0121 0.6×0.98 0.024=2正确；D:正品中甲占 0.0121 0.588 0.588 0.6×0.98+0.4×0.97=0.588+0.388=0.976 ≈0.602>0.5正确。 三、填空题 1.【答案】 11 24 1 .21 【解析】P(B)=2×行+ ×=+日员+ 311 24+24=24° 【答 2. 【解析)第一次取白后，剩4球中3红1白，P= 4° 3.【答案】0.0455 【解析】 0.005×0.95 0.00475 P= 0.00475 0.005×0.95+0.995×0.10=0.00475+0.0995= ≈0.0456 0.10425 4. 【答案】 【解析】P= ×号+×写-+- 1 四、解答题 1.【答案】 (1)0.0345;(2) 2 69 【解析】(1) P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0125+0.014+0.008= 0.0345 (2)P(甲次品)= 0.0125 12525 0.0345 345- 69° 【答案】(1) 【解析】(1)P= 3 2 ×4=0 5 0p-子-20 21 3. 【答案】(1①)0.705；(2) 42 47 【解析】(1)P=0.7×0.9+0.3×0.25=0.63+0.075=0.705。 0.6363042 (2)P(会答1答对)=0.705=705=47° 4. 2 3 1 【解析】（①）P=3×4=2° .1 )p=13×4=1-品=1 12=12 3)独立，P= 3 5. 【答案)(1)0.62；(2) 21 3 【解析)(1)P=0.6×0.7+0.4×0.5=0.42+0.2=0.62。 (2)P(甲1500)= 0,42=21 0.62 31° |C组思维拔高 1.【答案】C 1风-×+×-名+g-a8-0-学- P(B) 3 2. 【答案】B 2 【解析】 n-T= ,n-1=6,n=7。 1 3.【答案】D 【解析)条件不足以推出独立性。 4. 【答案】 13 【解析从甲袋取红球（率，乙袋变为3红3白 取红概率 6 从甲袋取白球（概率 2 ,乙袋变为2红4白，取红概率3=1 6 ×3 9 4 13 =0+5 30 30 30° 9/30 P(甲红忆红)=13730=13° 5.【答案】A 【解析】P= 0.001×0.99 0.00099 0.001×0.99+0.999×0.02 0.02097 ≈0.047。 8 6. 【答案) 17 9.8 【解析】P(A)= 1 3, 2. 11, 17 429 3=4+g 36+36= 36° P(B2IA)= 、8 嘉 =17 7. 【答案】A 【解析]至少-次正面概率1-日=了 3 8=日，恰好两次正面概率， 3/83 6,P=78今 7 8.【答案】C 【解析) P(次品)=0.2×0.01+0.3×0.02+0.5×0.03=0.002+0.006+0.015= 0.023 。P(丙次品)= 0.01515 0.023 23 9.【答案】A 擦标】PAB)=P(BPA=写×7-名P6A=9- 10.【答案)C 【解析】甲获胜情况：2：0概率 21 28 ，21概率2×3×3×3=27，总 4.812.820 g+27=27+27=270 11.【答案】B 【解析)P(AB)=P(A)P(B|A)= 1 P(AB)1/52 P(AB=172=50 12.【答案】B 【解析】有放回，独立，P=2。 ° 13.【答案】A 【解析】P= 0.15 0.4 =0.375。 14.【答案】B 制P知=×+×号=君+号P=提- 15.【答案】A 【解析】P(B)= 21 5×2+ 16.【答案】A 【解析】P=0.9×0.8×0.9=0.648。 17.【答案】A 2 解桥PA)三X .3 1 2. 3 4 913 P(B IA)= 4/30 5×2=5+0=30+30=30 4 13730=13° 18.【答案】C 拓展链接高考 1.【答案】D 【解析】从2至8中取2个数共有C子=21种，互质的有：(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,7)，(3,8)， 4,51,4,70.5,61,5,7).5,8,6,7,7,8共14种，P=1 2 21=30 2.【答案】D 【解析】设第二盘与甲比赛，p=pP2+p1P3一p1P2p3;与乙比赛， p=P1P2+P2P3-P1P2P3;与丙比赛，p=p1P3+p2p3-p1p2P3。与丙比赛时最 大。 3.【答案】A 【解析】P=1 65 36=6 4.【答案)】C 【解析】C号×A4=10×24=240。 5.【答案】D 【解析】散点图呈对数增长趋势。 6:【答案】A 【解析】6个爻中恰有3个阳爻的取法为C=20,每个爻有阳、阴两种可能，总重卦数为 26=64,P= 20 5 64=160 7.【答案】A 【解析)建设后种植收入为2×0.37=0.74，建设前为1×0.60=0.60，增加，A错误。 8.【答案】B 【解析】设正方形边长2，内切圆半径1，黑色部分为内切圆的一半，面积号，正方形面积4， P= π/2π 4 8° 9.【答案】B 【解析)等车不超过10分钟即7：50-8：0或8：20-8：30到达，共20分钟，总40分钟，P= 1 10.【答案】A 【解析】 P=C×0.62×0.4+0.63=3×0.144+0.216=0.432+0.216=0.648。 11.【答案】D 【解析】P=1- 27 16=8° 12.【答案】8 n(n-1) 2 1 【解析】C子= 2， 和为5的有(1,4)，(2,3)共2种， nn-1/2=14: n(n-1)=56,n=8。 13.【答案】 38 1 【解析】每个元件寿命超过1000小时的概率为2，元件1或2正常工作的概率为 1一司×号-星再与元件3申联，部件正常工作鼠率为是×方-骨 3 3.13 14.【答案】A 3 1 【解析】P= g=3° 15.【答案】B 【解析)不发芽种子数X~B(1000,0.1),E()=100,补种数2X,E(2)=200。 16.【答案】B 【解析】甲与丁：P(甲)= 6P(T)= 品-名P甲T)=元=P(甲)PT,独 1 立。 17.【答案】B 【解析)B组数据两极分化最大，标准差最大。 18.【答案】C 【解析)不超过30的素数有10个：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29。和为30的有(7,23)，(11,19)， (13,17)共3种，P= 3 3 C疏。=45=15· 19.【答案】D 【解析】P= 10-2 26 ° 20.【答案】C 【解桥】总分组C=6,红紫同组有2种（红紫在组或B组，不同组有4种，P=各=君 3°