第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第三册分层作业（人教A版）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01分类加法计数原理的辨析 知识点02分类加法计数原理的简单应用 知识点03分步乘法计数原理的辨析 知识点04分步乘法计数原理的简单应用 知识点05两个计数原理的区分与选择 知识点06两个计数原理的综合应用（一） 知识点07两个计数原理的综合应用（二） 知识点08数字排列中的计数问题 知识点09涂色问题中的计数 知识点10选取与分配中的计数 知识点11计数原理在实际情境中的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01分类加法计数原理的辨析 1.(25-26高二下·安徽合肥·期中)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮 船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地的不同 走法共有() A.9种 B.12种 C.24种 D.以上都不对 2.(25-26高二下·江西南昌·阶段检测)某书架上有不同的语文书5本，不同的数学书4本，不同 的英语书3本，现从中任取一本书，则不同的取法有() A.5种 B.4种 C.3种 D.12种 3.（25-26高二下·河南郑州·期未)用分类加法计数原理求解问题时，分类的要求是（) A.各类方法之间可以重复 B.各类方法之间不能重复，且要包含所有情况 C.只需包含所有情况即可，可以重复 D.以上说法都不对 4.(25-26高二下·山西太原·阶段检测)某班级有男生20人，女生15人，现要选一名同学参加学 校运动会开幕式，则不同的选法有 种。 知识点02分类加法计数原理的简单应用 1.(25-26高二下·湖北武汉·期中)在1,2,3，…，100中，能被3整除或能被5整除的数的个数 为() A.33 B.20 C.47 D.53 2.(25-26高二下·湖南长沙·期末)某商店有三种不同品牌的钢笔，价格分别为10元、15元、20 元，小明有20元钱，他想买一支钢笔，则不同的购买方案有() A.1种 B.2种 C.3种 D.0种 3.(25-26高二下·山东济南·阶段检测)从集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数相加，所得 和为偶数的取法有」 种。 4.(25-26高二下·河北石家庄·期中)某班有优秀团员8人，优秀学生干部5人，现要从优秀团员 或优秀学生干部中选一人参加表彰大会，则不同的选法有 种。 |知识点03分步乘法计数原理的辨析 1.(25-26高二下·江苏南京·期中)从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有4条路可走，则 从甲地经乙地到丙地的不同走法共有() A.7种 B.12种 C.3种 D.4种 2.（25-26高二下·浙江杭州·期末)某校高一年级有3个班，高二年级有4个班，高三有2个班，现 要从每个年级中各选一个班参加合唱比赛，则不同的选法有（) A.9种 B.24种 C.12种 D.6种 3.(25-26高二下·福建福州·阶段检测)用分步乘法计数原理求解问题时，每一步之间的要求是 () A.各步之间可以相互影响 B.各步之间相互独立，依次完成所有步骤才算完成这件事 C.只需完成其中一步即可 D.以上说法都不对 4.（25-26高二下·广东广州·期中)某人从一层到二层有2种走法，从二层到三层有3种走法，则 从一层到三层（必须经过二层）的不同走法有」 种。 知识点04分步乘法计数原理的简单应用 1.(25-26高二下·四川川成都·期中)书架上有不同的语文书5本，不同的数学书4本，不同的英语 书3本，现从三类书中各取一本，则不同的取法有（) A.12种 B.60种 C.5种 D.4种 2.(25-26高二下·重庆·期末)用1,2,3,4四个数字可以组成没有重复数字的两位数的个数为 () A.8 B.12 C.16 D.6 3.(25-26高二下·陕西西安·阶段检测)某学校有3个门供进出，某人从其中一个门进入学校，再 从其中一个门离开学校，则不同的进出方式有 种。 4.(25-26高二下·辽宁大连·期中)甲、乙、丙三人报名参加学校的三个社团，每人限报一个社 团，则不同的报名方法有 种。 |知识点05两个计数原理的区分与选择 1.（25-26高二下·北京·期中)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在 第2类办法中有mz种不同的方法，·，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有（) A.m1+m2+..+mn种方法 B.m1·m2·.·mn种方法 C.m1+m2+..+mn+1种方法 D.以上都不对 2.（25-26高二下·上海·期末)下列说法中正确的是() A.分类加法计数原理中，各类方法可以重复 B.分步乘法计数原理中，各步之间可以相互影响 C.分类加法计数原理中，各类方法互不重叠且覆盖全部 D.两个计数原理没有区别 3.（25-26高二下·天津·阶段检测)从A地到B地有火车、汽车、飞机三种交通工具，火车每天有3 班，汽车每天有5班，飞机每天有2班；从B地到C地有2条公路和1条铁路。则从A地到C地（必须经 过B地，且每段只选一种交通工具)的不同走法有() A.10种 B.30种 C.13种 D.6种 4.（25-26高二下·吉林长春·期中)某商场有4个门，若从一个门进，从另一个门出，则不同的走 法有 种。 |知识点06两个计数原理的综合应用（一） 1.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中)某班有3名男生和2名女生，现要选一名男生和一名女生 参加座谈会，则不同的选法有（) A.5种 B.6种 C.8种 D.3种 2.（25-26高二下·云南昆明·期末)从集合{1,2,3}中取一个数作为横坐标，从集合{4,5}中取 一个数作为纵坐标，则可以确定不同的点共有（) A.5个 B.6个 C.8个 D.3个 3.（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测)某校食堂有3种荤菜和4种素菜，现要选一种荤菜和一种 素菜，则不同的选法有 种。 4.(25-26高二下·广西南宁·期中)有红、黄、蓝三种颜色的旗子各一面，现从中任取一面或两 面（不同颜色）升上旗杆，则可以表示的不同信号有 种。 |知识点07两个计数原理的综合应用（二） 1.（25-26高二下·甘肃兰州·期中)某旅行团要从甲地到乙地，可以乘火车、汽车或飞机。一天 中火车有4班，汽车有6班，飞机有2班；从乙地到丙地有3种走法。若该旅行团从甲地经乙地到丙 地，则不同的走法共有() A.15种 B.36种 C.12种 D.45种 2.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末)某班有4名同学报名参加数学、物理、化学三个课外小 组，每人限报一个小组，每个小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（) A.36种 B.24种 C.18种 D.12种 3.(25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测)从甲、乙、丙三人中选一人参加数学竞赛，从A、 B、C、D四个小组中选一个小组参加物理竞赛，则不同的选法有 种。 4.(25-26高二下·宁夏银川·期中)某书店有3种不同的语文资料和2种不同的数学资料，现要买 语文资料和数学资料各一种，则不同的购买方案有 种。 知识点08数字排列中的计数问题 1.(25-26高二下·安徽芜湖·期中)用0,1,2,3四个数字可以组成没有重复数字的三位数的个 数为() A.12 B.18 C.24 D.6 2.（25-26高二下·江西九江·期末)用1,2,3,4,5五个数字可以组成没有重复数字的四位奇数 的个数为（) A.48 B.24 C.36 D.12 3.(25-26高二下·河南洛阳·阶段检测)用1,2,3三个数字可以组成没有重复数字的三位数的个 数为 4.（25-26高二下·山西大同·期中)用0,1,2三个数字可以组成没有重复数字的两位数的个数为 |知识点09涂色问题中的计数 1.（25-26高二下·湖北宜昌·期中)用4种不同的颜色给一个正方形的四个顶点涂色，要求相邻顶 点颜色不同，则不同的涂色方法有（) A.12种 B.24种 C.48种 D.84种 2.（25-26高二下·湖南岳阳·期末)用4种不同的颜色给A,B,C三个区域涂色，规定：A与B相邻 且颜色不能相同，B与C相邻且颜色不能相同，A与C不相邻且颜色可以相同，则不同的涂色方法有 () A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 3.(25-26高二下·山东青岛·阶段检测)用3种不同的颜色给一个三角形的三个顶点涂色，要求相 邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法有 种。 4.(25-26高二下·河北保定·期中)用5种不同的颜色给一个正五边形的五个顶点涂色，要求相邻 顶点颜色不同，则不同的涂色方法有 种。 |知识点10选取与分配中的计数 1.(25-26高二下·江苏无锡·期中)从5名男生和4名女生中选一名男生和一名女生参加演讲比 赛，则不同的选法有（) A.9种 B.20种 C.5种 D.4种 2.（25-26高二下·浙江宁波·期末)将3封信投入4个邮筒，每封信只投入一个邮筒，则不同的投 法有() A.12种 B.24种 C.64种 D.81种 3.(25-26高二下·福建厦门·阶段检测)从甲、乙、丙、丁四人中选两人分别担任正、副组长， 则不同的选法有 种。 4.(25-26高二下·广东深圳·期中)将2个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子最多放一 个球，则不同的放法有 种。 |知识点11计数原理在实际情境中的应用 1.(25-26高二下·四川绵阳·期中)某学校组织学生参加三个课外活动小组，每名学生限报一个 小组。已知高一有4个班，高二有3个班，高三有2个班，现要从每个年级中各选一个班参加活动， 则不同的选法有（) A.9种 B.24种 C.12种 D.6种 2.（25-26高二下·重庆万州·期末)某密码锁的密码由三位数字组成，每位数字可以是0-9中的 任意一个，则不同的密码共有（) A.30种 B.100种 C.1000种 D.729种 3.（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测)某班有5名同学参加学校运动会的三个比赛项目，每人限 报一个项目，则不同的报名方法有 种。 4.（25-26高二下·辽宁鞍山·期中)某医院有4名医生和3名护士，现要选一名医生和一名护士组 成医疗小组，则不同的选法有 种。 B组能力进阶 |一、单选题 1.（25-26高二下·安徽安庆·期中)从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数，使其和为 偶数的取法有() A.3种 B.6种 C.9种 D.12种 2.(25-26高二下·江西赣州·期末)用0,1,2,3,4五个数字可以组成没有重复数字的四位偶数 的个数为() A.48 B.60 C.72 D.36 3.（25-26高二下·河南开封·阶段检测)某班有男生18人，女生12人，现要选一名男生和一名女 生参加座谈会，则不同的选法有() A.30种 B.216种 C.18种 D.12种 4.（25-26高二下·山西临汾·期中)将5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，则不同的分法 有() A.150种 B.180种 C.240种 D.300种 5.(25-26高二下·湖北荆州·期未)用红、黄、蓝、绿四种颜色给一个正方形的四条边涂色，要 求相邻边颜色不同，则不同的涂色方法有() A.12种 B.24种 C.48种 D.84种 6.(25-26高二下·湖南株洲·阶段检测)从1,2,3，…，9这九个数字中任取两个不同的数字， 使其积为偶数的取法有() A.20种 B.26种 C.30种 D.36种 7.（25-26高二下·山东烟台·期中)某学校有4个门，某人从一个门进入学校，再从另一个门离开 学校，则不同的进出方式有() A.4种 B.8种 C.12种 D.16种 8.(25-26高二下·河北唐山·期末)用1,2,3,4,5五个数字可以组成没有重复数字且大于 30000的五位数的个数为() A.48 B.72 C.96 D.120 9.(25-26高二下·江苏徐州·阶段检测)某班有3名同学参加数学、物理、化学三个学科的竞赛， 每人限报一个学科，则不同的报名方法有（) A.9种 B.27种 C.6种 D.3种 10.(25-26高二下·浙江温州·期中)从甲、乙、丙、丁四人中选两人参加两个不同的座谈会，则 不同的选法有（) A6种 B.12种 C.8种 D.4种 11.(25-26高二下·福建泉州·期末)用0,1,2,3四个数字可以组成没有重复数字的三位数的个 数为() A.12 B.18 C.24 D.30 12.(25-26高二下·广东珠海·阶段检测)某旅行团从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有4种 走法，从丙地到丁地有2种走法，则该旅行团从甲地经乙地、丙地到丁地的不同走法有（) A9种 B.24种 C.12种 D.6种 丨二、多选题 13.(25-26高二下·四川德阳·期中)下列说法中正确的是（) A.分类加法计数原理中，各类方法互不重叠 B.分步乘法计数原理中，各步之间相互独立 C.分类加法计数原理中，各类方法可以重复 D.分步乘法计数原理中，依次完成所有步骤才算完成这件事 14.(25-26高二下·重庆涪陵·期末)用1,2,3,4四个数字可以组成没有重复数字的两位数，则 下列判断正确的是() A.两位数的个数为12 B.两位偶数的个数为6 C.两位奇数的个数为6 D.大于30的两位数的个数为6 15.(25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测)从集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数，则下列 判断正确的是（) A.两数之和为奇数的取法有6种 B.两数之和为偶数的取法有4种 C.两数之积为偶数的取法有7种 D.两数之积为奇数的取法有3种 |三、填空题 16.(25-26高二下·辽宁抚顺·期中)用0,1,2,3,4五个数字可以组成没有重复数字的三位数 的个数为 0 17.(25-26高二下·甘肃天水·期未)某班有4名男生和3名女生，现要选一名男生和一名女生参加 座谈会，则不同的选法有 种。 18.（25-26高二下·内蒙古包头·阶段检测)将3封不同的信投入4个不同的邮筒，每封信只投入一 个邮筒，则不同的投法有 种。 19.(25-26高二下·新疆喀什·期中)用4种不同的颜色给一个正方形的四个顶点涂色，要求相邻 顶点颜色不同，则不同的涂色方法有 种。 四、解答题 20.(25-26高二下·宁夏银川·期中)用0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个没有重复数字的 三位数？其中有多少个是偶数？ 21.(25-26高二下·贵州遵义·期末)某班有5名男生和4名女生。 (1)从中选一名同学参加演讲比赛，有多少种不同的选法？ (2)从中选一名男生和一名女生参加座谈会，有多少种不同的选法？ 22.(25-26高二下·云南曲靖·阶段检测)用红、黄、蓝三种颜色给一个三角形的三个顶点涂 色，要求相邻顶点颜色不同。 (1)共有多少种不同的涂色方法？ (2)若要求三个顶点颜色各不相同，有多少种不同的涂色方法？ 23. (25-26高二下·广西桂林·期中)某学校有3个门供进出。 (1)若从一个门进，从另一个门出，有多少种不同的进出方式？ (2)若从一个门进，从同一个门出，有多少种不同的进出方式？ 24.(25-26高二下·青海西宁·期末)从集合1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数。 (1)两数之和为偶数的取法有多少种？ (2)两数之积为偶数的取法有多少种？ 三、C组思维拔高 1.（25-26高二下·山东青岛·期中)用0,1,2,3,4,5六个数字可以组成没有重复数字且能被 5整除的四位数的个数为() A.36 B.48 C.60 D.72 2.(25-26高二下·江苏苏州·期末)从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数，使其和 为奇数的取法有（) A.40种 B.50种 C.60种 D.70种 3.（25-26高二下·浙江金华·阶段检测)用5种不同的颜色给一个正四面体的四个顶点涂色，要求 相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法有() A.60种 B.120种 C.180种 D.240种 4.(25-26高二下·安徽蚌埠·期中)将6本不同的书分给3名同学，每人至少一本，则不同的分法 有() A.540种 B.600种 C.720种 D.540种或600种 5.(25-26高二下·江西上饶·期末)用1,2,3,4,5五个数字可以组成没有重复数字且1不在首 位、5不在末位的五位数的个数为（) A.78 B.84 C.90 D.96 6.（25-26高二下·河南南阳·阶段检测)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的 数，使其差的绝对值为3的取法有（) A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 7.（25-26高二下·山西晋中·期中)某班有4名同学参加数学、物理、化学三个学科的竞赛，每人 限报一个学科，每个学科至少有一人参加，则不同的报名方法有() A.36种 B.24种 C.18种 D.12种 8.(25-26高二下·湖北襄阳·期末)用0,1,2,3,4五个数字可以组成没有重复数字且比20000 大的五位数的个数为() A.48 B.60 C.72 D.96 9.（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测)将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少 放一个球，则不同的放法有() A.36种 B.24种 C.18种 D.12种 10.(25-26高二下·山东潍坊·期中)用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色给一个正五边形的五条边涂 色，要求相邻边颜色不同，则不同的涂色方法有() A.420种 B.520种 C.620种 D.720种 11.(25-26高二下·河北邯郸·期末)从1,2,3，…，8这八个数字中任取两个不同的数，使其和 为3的倍数的取法有() A.6种 B.8种 C.9种 D.10种 12.（25-26高二下·江苏常州·阶段检测)用1,2,3,4,5,6六个数字可以组成没有重复数字 且1与2相邻的四位数的个数为（) A.72 B.96 C.120 D.144 13.(25-26高二下·浙江绍兴·期中)某旅行团从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，从 丙地到丁地有2条路。若该旅行团从甲地到丁地必须经过乙地和丙地，且往返不走同一条路，则不 同的走法有() A.24种 B.120种 C.144种 D.576种 14.（25-26高二下·福建漳州·期末)从集合{1,2,3,4,5,6}中任取三个不同的数，使其和为 3的倍数的取法有（) A.4种 B.6种 C.8种 D.10种 15.(25-26高二下·广东汕头·阶段检测)用0,1,2,3,4,5六个数字可以组成没有重复数字 且0不在首位的五位数的个数为() A.480 B.600 C.720 D.840 16.(25-26高二下·四川川宜宾·期中)将5封信投入3个邮筒，每个邮筒至少投入一封信，则不同的 投法有() A.150种 B.180种 C.240种 D.300种 17.(25-26高二下·重庆江津·期未)用4种不同的颜色给一个正三角形的三个顶点和一个中心点 涂色，要求相邻点颜色不同，则不同的涂色方法有() A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 18.(25-26高二下·陕西汉中·阶段检测)从1,2,3，…，9这九个数字中任取三个不同的数，使 其和为偶数的取法有() A40种 B.44种 C.48种 D.52种 四、拓展链接高考 1.(2023·全国甲卷·高考真题)现有5名志愿者报名参加某社区的志愿服务活动，该社区有3个不 同的服务岗位，每名志愿者只报名一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则不同的报名方法共有 () A.150种 B.180种 C.240种 D.300种 2.（2022·全国乙卷·高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都 入选的概率为 0 3.（2021·全国甲卷·高考真题)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（) A.0.3 B.0.5 c.0.6 D.0.8 4.（2020·全国卷·高考真题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小 区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种。 5.(2019·全国卷·高考真题)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入 选，则不同的选法共有 种。 6.（2018·全国卷·高考真题)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入 选，则不同的选法共有 种。（用数字填写答案） 7.（2017·全国卷·高考真题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有() A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 8.（2016·全国卷·高考真题)小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的 老年公寓参加志愿者活动。已知从E到F需向右走2个路段、向上走1个路段；从F到G需向右走2个路 段、向上走2个路段，且所有路段均可通行。小明沿街道走最短路径，则小明到老年公寓可以选择 的最短路径条数为() A.24 B.18 C.12 D.9 9.（2015·全国卷·高考真题)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周 六、周日都有同学参加公益活动的概率为() A.1/8 B.3/8 C.5/8 D.7/8 10.(2014·全国卷·高考真题)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 075,连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的 概率是（) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 11.（2013·全国卷·高考真题)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两 数之和等于5的概率为1/14，则n=一_。 12.(2012·全国卷·高考真题)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加 社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 13.（2011·全国卷·高考真题)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同 学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A.1/3 B.1/2 C.2/3 D.3/4 14.(2010·全国卷·高考真题)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若 每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（) A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 15.(2009·全国卷·高考真题)甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8， 0.6,0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 16.（2008·全国卷·高考真题)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入 选，而丙没有入选的不同选法的种数为（) A.85 B.56 C.49 D.28 五、解析 |A组巩固过关 知识点01分类加法计数原理的辨析 1.【答案】A 【解析)从甲地到乙地可以乘火车（(4班)、乘汽车(3班)或乘轮船(2班)，各类方法互不重 叠，根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种不同走法。故选A。 2. 【答案】D 【解析】从书架上任取一本书，可以取语文书(5本)、数学书(4本)或英语书(3本)，各类 方法互不重叠，根据分类加法计数原理，共有5+4+3=12种不同取法。故选D。 3. 【答案】B 【解析】分类加法计数原理要求各类方法互不重叠（不能重复），且要包含所有可能情况（不 遗漏)。故选B。 4. 【答案】35 【解析】选一名同学参加开幕式，可以选男生(20人)或选女生(15人)，根据分类加法计数 原理，共有20+15=35种不同选法。故答案为35。 知识点02分类加法计数原理的简单应用 1.【答案】C 【解析】在1到100中，能被3整除的数有33个(3,6，…，99)，能被5整除的数有20个(5， 10,…,100),既能被3整除又能被5整除的数（即能被15整除）有6个(15,30,45,60， 75,90)。根据分类加法计数原理，能被3整除或能被5整除的数的个数为33+20-6=47。故选 C。 2. 【答案】B 【解析】小明有20元钱，可以买10元的钢笔或15元的钢笔，共2种购买方案(20元的钢笔买不 起)。故选B。 3. 【答案】4 【解析)从{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数，和为偶数的情况有两种：两个都是奇数 (从1,3,5中取2个，有3种取法：{1,3}，{1,5}，{3,5})或两个都是偶数（从2,4中取2 个，有1种取法：{2,4})。根据分类加法计数原理，共有3+1=4种取法。故答案为4。 4. 【答案】13 【解析)从优秀团员(8人)或优秀学生干部(5人)中选一人，根据分类加法计数原理，共有 8+5=13种不同选法。故答案为13。 知识点03分步乘法计数原理的辨析 1.【答案】B 【解析)从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，分两步完成：第一步从甲地到乙地有 3种走法，第二步从乙地到丙地有4种走法。根据分步乘法计数原理，共有3×4=12种不同走 法。故选B。 2. 【答案】B 【解析】分三步完成：第一步从高一3个班中选1个班有3种选法，第二步从高二4个班中选1个 班有4种选法，第三步从高三2个班中选1个班有2种选法。根据分步乘法计数原理，共有 3×4×2=24种不同选法。故选B。 3.【答案】B 【解析)分步乘法计数原理要求各步之间相互独立，依次完成所有步骤才算完成这件事。故选 B。 4. 【答案】6 【解析】分两步完成：第一步从一层到二层有2种走法，第二步从二层到三层有3种走法。根据 分步乘法计数原理，共有2×3=6种不同走法。故答案为6。 知识点04分步乘法计数原理的简单应用 1.【答案】B 【解析】分三步完成：第一步取语文书有5种取法，第二步取数学书有4种取法，第三步取英语 书有3种取法。根据分步乘法计数原理，共有5×4×3=60种不同取法。故选B。 2. 【答案】B 【解析】分两步完成：第一步确定十位数字，有4种选择；第二步确定个位数字，有3种选择 (不能与十位相同)。根据分步乘法计数原理，共有4×3=12个没有重复数字的两位数。故选 B。 3. 【答案】9 【解析)分两步完成：第一步进入学校有3种选择，第二步离开学校有3种选择。根据分步乘法 计数原理，共有3×3=9种不同进出方式。故答案为9。 4. 【答案】27 【解析】分三步完成：甲报名有3种选择，乙报名有3种选择，丙报名有3种选择。根据分步乘 法计数原理，共有3X3×3=27种不同报名方法。故答案为27。 知识点05两个计数原理的区分与选择 1.【答案】A 【解析)根据分类加法计数原理，完成一件事有类办法，各类方法互不重叠，则完成这件事 共有m1+m2+..+mn种方法。故选A。 2. 【答案】C 【解析)分类加法计数原理中，各类方法互不重叠且覆盖全部情况，A错误，C正确；分步乘法 计数原理中，各步之间相互独立，B错误；两个计数原理有本质区别，D错误。故选C。 3. 【答案】B 【解析】从A地到B地有3+5+2=10种走法（分类加法计数原理），从B地到C地有2+1=3种走法 (分类加法计数原理)，从A地经B地到C地分两步完成，根据分步乘法计数原理，共有 10×3=30种不同走法。故选B。 4. 【答案】12 【解析】分两步完成：第一步从一个门进有4种选择，第二步从另一个门出有3种选择（不能与 进入的门相同)。根据分步乘法计数原理，共有4×3=12种不同走法。故答案为12。 知识点06两个计数原理的综合应用（一） 1. 【答案】B 【解析】分两步完成：第一步选一名男生有3种选法，第二步选一名女生有2种选法。根据分步 乘法计数原理，共有3×2=6种不同选法。故选B。 2. 【答案】B 【解析】分两步完成：第一步确定横坐标有3种选择，第二步确定纵坐标有2种选择。根据分步 乘法计数原理，共有3×2=6个不同的点。故选B。 3. 【答案】12 【解析】分两步完成：第一步选一种荤菜有3种选法，第二步选一种素菜有4种选法。根据分步 乘法计数原理，共有3×4=12种不同选法。故答案为12。 【答案】6 【解析】分两类：第一类，取一面旗子，有3种取法；第二类，取两面不同颜色的旗子，有3种 取法（红黄、红蓝、黄蓝）。根据分类加法计数原理，共有3+3=6种不同信号。故答案为6。 知识点07两个计数原理的综合应用（二） 1.【答案】B 【解析】从甲地到乙地有4+6+2=12种走法（分类加法计数原理），从乙地到丙地有3种走法， 从甲地经乙地到丙地分两步完成，根据分步乘法计数原理，共有12×3=36种不同走法。故选 B。 2. 【答案】A 【解析】4名同学每人限报一个小组，每个小组至少有一人报名，则4人报3个小组且每组至少1 人，人数分配为2,1,1。先从4人中选2人报同一小组，有C(4,2)=6种选法，再将这2人所在的 小组与另外2人分别对应到3个不同小组，有3！=6种对应方式，根据分步乘法计数原理，共有 6×6=36种不同报名方法。故选A。 3.【答案】12 【解析)】分两步完成：第一步从甲、乙、丙中选一人参加数学竞赛有3种选法，第二步从A、 B、C、D中选一个小组参加物理竞赛有4种选法。根据分步乘法计数原理，共有3×4=12种不同 选法。故答案为12。 4。 【答案】6 【解析】分两步完成：第一步买语文资料有3种选择，第二步买数学资料有2种选择。根据分步 乘法计数原理，共有3×2=6种不同购买方案。故答案为6。 知识点08数字排列中的计数问题 1.【答案)B 【解析】分三步完成：第一步确定百位数字，不能为0，有3种选择(1,2,3)；第二步确定十 位数字，有3种选择（除去百位已用的数字，0可以选）；第三步确定个位数字，有2种选择。根 据分步乘法计数原理，共有3×3×2=18个没有重复数字的三位数。故选B。 2. 【答案】C 【解析)分两步完成：第一步确定个位数字，必须是奇数，有3种选择(1,3,5)；第二步从 剩余4个数字中选3个排列在千位、百位、十位上，有A(4,3)=4×3×2=24种排法。根据分步乘 法计数原理，共有3×24=72个。故选C。 【答案】6 【解析】用1,2,3三个数字组成没有重复数字的三位数，即三个数字的全排列，共有 3×2×1=6个。故答案为6。 4， 【答案】4 【解析】分两步完成：第一步确定十位数字，不能为0，有2种选择(1,2)；第二步确定个位 数字，有2种选择（除去十位已用的数字，0可以选）。根据分步乘法计数原理，共有2×2=4个 没有重复数字的两位数。故答案为4。 知识点09涂色问题中的计数 1.【答案】D 【解析】给正方形的四个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同。分步考虑：第一个顶点有4种颜 色可选；第二个顶点有3种颜色可选（不能与第一个相同）；第三个顶点有3种颜色可选（不能 与第二个相同，可以与第一个相同)；第四个顶点有2种或3种选择（不能与第一个和第三个相 同)。分类计算：第一类，第三个与第一个相同：4×3×1×3=36种；第二类，第三个与第一个 不同：4×3×2×2=48种。共36+48=84种。故选D。 2. 【答案】C 【解析】A、B、C三个区域，A与B相邻，B与C相邻，A与C不相邻。分步涂色：A有4种颜色可 选；B有3种颜色可选（不能与A相同）；C有3种颜色可选（不能与B相同，可以与A相同）。根据 分步乘法计数原理，共有4×3×3=36种不同涂色方法。故选C。 3.【答案】6 【解析)三角形的三个顶点两两相邻。第一个顶点有3种颜色可选；第二个顶点有2种颜色可选 (不能与第一个相同)；第三个顶点有1种颜色可选（不能与第一个、第二个相同）。根据分步 乘法计数原理，共有3×2×1=6种不同涂色方法。故答案为6。 4。 【答案】1020 【解析】给正五边形的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同。设五个顶点依次为A、B、C、 D、E。A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有4种颜色可选（不能与B相同，可以与A相 同)；D有4种颜色可选（不能与C相同）；E不能与D相同且不能与A相同。分类讨论：若C与A相 同，则D不能与C相同，有4种选择，E不能与D相同且不能与A相同，而D≠A,故E有3种选择， 共1×4×3=12种；若C与A不同，则C有3种选择，D有4种选择，其中D与A相同有1种，此时E 有4种选择（只需与D不同），D与A不同有3种，此时E有3种选择（不能与D和A相同），共 3×(1×4+3×3)=3×13=39种。综上总数为5×4×(12+39)=5×4×51=1020种。故答案为 1020。 知识点10选取与分配中的计数 【答案】B 【解析】分两步完成：第一步选一名男生有5种选法，第二步选一名女生有4种选法。根据分步 乘法计数原理，共有5×4=20种不同选法。故选B。 2. 【答案】C 【解析】分三步完成：第一封信有4种投法，第二封信有4种投法，第三封信有4种投法。根据 分步乘法计数原理，共有4×4×4=64种不同投法。故选C。 3. 【答案】12 【解析】分两步完成：第一步从4人中选1人担任正组长有4种选法，第二步从剩余3人中选1人 担任副组长有3种选法。根据分步乘法计数原理，共有4×3=12种不同选法。故答案为12。 4. 【答案】6 【解析】分两步完成：第一个小球有3种放法，第二个小球有2种放法（不能与第一个小球放在 同一个盒子中)。根据分步乘法计数原理，共有3×2=6种不同放法。故答案为6。 知识点11计数原理在实际情境中的应用 1.【答案】B 【解析)分三步完成：第一步从高一4个班中选1个班有4种选法，第二步从高二3个班中选1个 班有3种选法，第三步从高三2个班中选1个班有2种选法。根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2=24种不同选法。故选B。 2. 【答案】C 【解析】密码由三位数字组成，每位数字可以是0-9中的任意一个，分三步完成：第一位有10 种选择，第二位有10种选择，第三位有10种选择。根据分步乘法计数原理，共有 10×10×10=1000种不同密码。故选C。 3. 【答案】243 【解析】5名同学每人限报一个项目，分五步完成：每名同学都有3种选择。根据分步乘法计数 原理，共有3×3×3×3×3=243种不同报名方法。故答案为243。 4.【答案)12 【解析】分两步完成：第一步选一名医生有4种选法，第二步选一名护士有3种选法。根据分步 乘法计数原理，共有4×3=12种不同选法。故答案为12。 |B组能力进阶 一、单选题 1. 【答案】B 【解析】从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数，和为偶数的情况有两种：两个都是奇数 (从1,3,5中取2个，有C(3,2)=3种)或两个都是偶数（从2,4,6中取2个，有C(3,2)=3 种)。根据分类加法计数原理，共有3+3=6种取法。故选B。 2. 【答案】B 【解析】用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位偶数。分两类：第一类，个位为0：从1， 2,3,4中选3个排列在千位、百位、十位上，有A(4,3)=24个；第二类，个位为2或4：个位有2 种选择，千位不能为0且不能与个位相同，有3种选择，百位有3种选择，十位有2种选择，共 2×3×3×2=36个。根据分类加法计数原理，共有24+36=60个。故选B。 3. 【答案】B 【解析)分两步完成：第一步选一名男生有18种选法，第二步选一名女生有12种选法。根据分 步乘法计数原理，共有18×12=216种不同选法。故选B。 4. 【答案】A 【解析)将5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，人数分配为3,1,1或2,2,1。第一 类(3,1,1)：先从5本书中选3本给一人，有C(5,3)=10种，再将这3本作为一组与另外2本分 别对应到3名同学，有3！=6种，共10×6=60种；第二类(2,2,1)：先从5本书中选2本作为 一组，有C(5,2)=10种，再从剩余3本中选2本作为一组，有C(3,2)=3种，最后将两组各2本和1本 对应到3名同学，有3！=6种，但两组2本是无区别的，需除以2！，故有10×3×6/2=90种。根据 分类加法计数原理，共有60+90=150种。故选A。 5. 【答案】D 【解析)给正方形的四条边涂色，要求相邻边颜色不同。四条边依次为1,2,3,4，其中1与2 相邻，2与3相邻，3与4相邻，4与1相邻。分步涂色：边1有4种颜色；边2有3种颜色（不能与 边1相同)；边3有3种颜色（不能与边2相同，可以与边1相同）；边4不能与边3相同且不能与边 1相同。若边3与边1相同，则边4有3种选择；若边3与边1不同，则边4有2种选择。分类：边3= 边1：4×3×1×3=36种；边3≠边1：4×3×2×2=48种。共36+48=84种。故选D。 6. 【答案】B 【解析】从1到9中任取两个不同的数，积为偶数的情况：至少有一个偶数。用间接法：总的取 法C(9,2)=36种，积为奇数的情况是两个都是奇数（从1,3,5,7,9中取2个，有C(5,2)=10 种)。所以积为偶数的取法有36-10=26种。故选B。 【答案】C 【解析】分两步完成：第一步从一个门进有4种选择，第二步从另一个门出有3种选择（不能与 进入的门相同)。根据分步乘法计数原理，共有4×3=12种不同进出方式。故选C。 8. 【答案】B 【解析】用1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于30000的五位数，即首位数字为3,4,5之 一。首位有3种选择，其余四位由剩余4个数字全排列，有4！=24种。根据分步乘法计数原理， 共有3×24=72个。故选B。 9. 【答案】B 【解析)3名同学每人限报一个学科，分三步完成：每名同学都有3种选择。根据分步乘法计数 原理，共有3×3×3=27种不同报名方法。故选B。 10. 【答案】B 【解析】分两步完成：第一步从4人中选2人参加两个不同的座谈会，有C(4,2)=6种选法；第二 步将选出的2人分配到两个不同的座谈会，有2！=2种分配方式。根据分步乘法计数原理，共有 6×2=12种不同选法。故选B。 11.【答案】B 【解析)用0,1,2,3组成没有重复数字的三位数。分三步：百位不能为0，有3种选择；十位 有3种选择（除去百位已用数字，0可以选）；个位有2种选择。根据分步乘法计数原理，共有 3×3×2=18个。故选B。 12. 【答案】B 【解析】从甲地经乙地、丙地到丁地分三步完成：第一步甲到乙有3种走法，第二步乙到丙有4 种走法，第三步丙到丁有2种走法。根据分步乘法计数原理，共有3×4×2=24种不同走法。故 选B。 二、多选题 13.【答案】ABD 【解析】分类加法计数原理中，各类方法互不重叠，A正确，C错误；分步乘法计数原理中，各 步之间相互独立，依次完成所有步骤才算完成这件事，B、D正确。故选ABD。 14. 【答案】ABC 【解析】用1,2,3,4组成没有重复数字的两位数：十位有4种选择，个位有3种选择，共 4×3=12个，A正确；两位偶数：个位为2或4，有2种选择，十位有3种选择，共2×3=6个，B 正确；两位奇数：个位为1或3，有2种选择，十位有3种选择，共2×3=6个，C正确；大于30的 两位数：十位为3或4，若十位为3，个位可为1,2,4(3种)；若十位为4，个位可为1,2,3 (3种)，共6个，D正确。故选ABCD。 15. 【答案】ABCD 【解析】从{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数：两数之和为奇数，即一奇一偶，奇数有3个 (1,3,5),偶数有2个(2,4)，有3×2=6种，A正确；两数之和为偶数，即两个都是奇数或 两个都是偶数，有C(3,2)+C(2,2)=3+1=4种，B正确；两数之积为偶数，即至少有一个偶数，用 间接法：总取法C(5,2)=10种，积为奇数即两个都是奇数，有C(3,2)=3种，故积为偶数的取法有 10-3=7种，C正确；两数之积为奇数，即两个都是奇数，有C(3,2)=3种，D正确。故选ABCD。 三、填空题 16.【答案】48 【解析】用0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数。百位不能为0，有4种选择；十位有4 种选择（除去百位已用数字，0可以选）；个位有3种选择。根据分步乘法计数原理，共有 4×4×3=48个。故答案为48。 17. 【答案】12 【解析】分两步完成：第一步选一名男生有4种选法，第二步选一名女生有3种选法。根据分步 乘法计数原理，共有4×3=12种不同选法。故答案为12。 18.【答案】64 【解析】分三步完成：每封信都有4种投法。根据分步乘法计数原理，共有4×4×4=64种不同 投法。故答案为64。 19。 【答案】84 【解析】同知识点09第1题，给正方形四个顶点涂色，相邻顶点颜色不同，共有84种不同涂色 方法。故答案为84。 四、解答题 20. 【答案】48个三位数，其中30个是偶数。 【解析】(1)用0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数：百位不能为0，有4种选择；十位 有4种选择（除去百位已用数字，0可以选）；个位有3种选择。根据分步乘法计数原理，共有 4×4×3=48个。 (2)其中偶数：分两类。第一类，个位为0：百位有4种选择，十位有3种选择，共4×3=12 个；第二类，个位为2或4：个位有2种选择，百位不能为0且不能与个位相同，有3种选择，十 位有3种选择（除去百位和个位已用数字，0可以选），共2×3×3=18个。根据分类加法计数原 理，共有12+18=30个。 21.【答案】(1)9种；(2)20种。 【解析】(1)从5名男生和4名女生中选一名同学，可以选男生(5人)或选女生(4人)，根据 分类加法计数原理，共有5+4=9种不同选法。 (2)分两步完成：第一步选一名男生有5种选法，第二步选一名女生有4种选法。根据分步乘 法计数原理，共有5×4=20种不同选法。 22. 【答案】(1)6种；(2)6种。 【解析】(1)三角形的三个顶点两两相邻。第一个顶点有3种颜色可选；第二个顶点有2种颜色 可选（不能与第一个相同）；第三个顶点有1种颜色可选（不能与第一个、第二个相同）。根据 分步乘法计数原理，共有3×2×1=6种不同涂色方法。 (2)若要求三个顶点颜色各不相同，即从3种颜色中选3种分别涂在三个顶点上，有3！=6种不 同涂色方法。故答案为6种。 23.【答案】(1)6种；(2）3种。 【解析】(1)分两步完成：第一步从一个门进有3种选择，第二步从另一个门出有2种选择（不 能与进入的门相同)。根据分步乘法计数原理，共有3×2=6种不同进出方式。 (2)分两步完成：第一步从一个门进有3种选择，第二步从同一个门出有1种选择。根据分步 乘法计数原理，共有3×1=3种不同进出方式。 24. 【答案】(1)6种；(2）12种。 【解析)（1)从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数，和为偶数：两个都是奇数（从1， 3,5中取2个，有C(3,2)=3种)或两个都是偶数（从2,4,6中取2个，有C(3,2)=3种）。根据分 类加法计数原理，共有3+3=6种取法。 (2)两数之积为偶数：至少有一个偶数。用间接法：总取法C(6,2)=15种，积为奇数即两个都 是奇数，有C(3,2)=3种，故积为偶数的取法有15-3=12种。 C组思维拔高 1.【答案)D 【解析)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且能被5整除的四位数。分两类：第一类，个 位为0：千位有5种选择(1一5)，百位有4种选择，十位有3种选择，共5×4×3=60个；第二 类，个位为5：千位不能为0且不能为5，有4种选择(1,2,3,4)，百位有4种选择（除去千 位和5,0可以选)，十位有3种选择，共4×4×3=48个。根据分类加法计数原理，共有 60+48=108个。故选D。 2. 【答案】C 【解析】从1到10中任取三个不同的数，和为奇数：即三个数中奇数个数为1或3.1到10中奇 数有5个(1,3,5,7,9)，偶数有5个(2,4,6,8,10)。第一类，1个奇数2个偶数： C(5,1)×C(5,2)=5×10=50种；第二类，3个奇数：C(5,3)=10种。根据分类加法计数原理，共有 50+10=60种。故选C。 3. 【答案】B 【解析】正四面体的四个顶点两两相邻（任意两个顶点都有棱相连）。给四个顶点涂色，要求 相邻顶点颜色不同，即任意两个顶点颜色都不同。从5种颜色中选4种分别涂在四个顶点上，有 A(5,4)=5×4×3×2=120种。故选B。 4. 【答案】A 【解析】将6本不同的书分给3名同学，每人至少一本，人数分配为4,1,1或3,2,1或2， 2,2。第一类(4,1,1)：先选4本给一人有C(6,4)=15种，剩下2本各给一人有2种分法，再选 一人得4本有3种，共15×2×3=90种；第二类(3,2,1)：选3本给一人有C(6,3)=20种，选2 本给一人有C(3,2)=3种，剩下1本给最后一人，再分配给3人有3！=6种，共20×3×6=360种； 第三类(2,2,2)：C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=15×6×1=90种，分配给3人有3！=6种，但三组 无区别，需除以3！，故为90×6/6=90种。共90+360+90=540种。故选A。 5.【答案】A 【解析)用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，1不在首位、5不在未位。用间接法： 总的五位数有5！=120个；1在首位的五位数有4！=24个；5在末位的五位数有4！=24个；1在首 位且5在末位的五位数有3！=6个。根据容斥原理，1不在首位且5不在末位的五位数有120-24 +6=78个。故选A。 6. 【答案】B 【解析】从{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数，差的绝对值为3。满足条件的数 对有：(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,7)，(5,8)，共5对。故选B。 7. 【答案】A 【解析】4名同学参加3个学科竞赛，每人限报一个学科，每个学科至少有一人参加，人数分配 为2,1,1。先从4人中选2人报同一学科，有C(4,2)=6种选法，再将这2人所在学科与另外2人 分别对应到3个不同学科，有3！=6种对应方式。根据分步乘法计数原理，共有6×6=36种不同 报名方法。故选A。 8. 【答案】C 【解析)用0,1,2,3,4组成没有重复数字且比20000大的五位数，即首位数字为2,3,4之 一。首位有3种选择，其余四位由剩余4个数字全排列，有4！=24种。根据分步乘法计数原理， 共有3×24=72个。故选C。 9 【答案】A 【解析】将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，人数分配为2,1， 1。先从4个球中选2个作为一组，有C(4,2)=6种，再将这组与另外2个球分别对应到3个不同盒 子，有3！=6种。根据分步乘法计数原理，共有6×6=36种不同放法。故选A。 10. 【答案】A 【解析)给正五边形的五条边涂色，要求相邻边颜色不同。五条边依次为1,2,3,4,5，其 中1与2相邻，2与3相邻，3与4相邻，4与5相邻，5与1相邻。用5种颜色涂色，相邻不同色。标 准解法：边1有5种颜色；边2有4种；边3有4种（不能与边2相同）；边4有4种（不能与边3相 同)；边5不能与边4相同且不能与边1相同。分类讨论边3与边1是否相同：若边3=边1，边3有1 种，边4有4种，边5不能与边4相同且不能与边1相同（边3=边1），故边5有3种（因边4有4种选 择，其中边4=边1有1种，此时边5有4种；边4≠边1有3种，此时边5有3种)，共 5×4×1×(1×4+3×3)=5×4×13=260种；若边3≠边1，边3有3种，边4有4种，边5不能与边 4相同且不能与边1相同，若边4=边1有1种，边5有4种；若边4≠边1且边4≠边3有3种，边5有3 种，共5×4×3×(1×4+3×3)=5×4×3×13=780种。共260+780=1040种。故选A。 11.【答案】D 【解析】从1到8中任取两个不同的数，和为3的倍数。将1到8按模3分类：模0：3,6(2个)； 模1：1,4,7(3个)；模2：2,5,8(3个)。和为3的倍数的情况：两个都是模0(C(2,2)=1 种)；一个模1一个模2(3×3=9种)。共1+9=10种。故选D。 12. 【答案】A 【解析】用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1与2相邻的四位数。将1和2捆绑作为一个 整体，有2种内部排列(12或21)。从剩余4个数字中选2个与这个整体共3个元素排列在四位数 的位置上，但整体占两个位置，故需从4个位置中选2个相邻位置放整体，有3种选法（位置1 2,2-3,3-4)。然后整体内部有2种排列，剩余2个位置从4个数字中选2个排列有A(4,2)=12 种。根据分步乘法计数原理，共有3×2×12=72种。故选A。 13. 【答案】C 【解析)从甲地到丁地必须经过乙地和丙地，去程有3×4×2=24种走法。返程不走同一条路， 即返程的每一段都不能与去程的对应段相同。去程三段分别有3,4,2种选择，返程对应段分 别有2,3,1种选择（不能与去程相同）。根据分步乘法计数原理，返程有2×3×1=6种走法。 去程和返程分两步完成，共有24×6=144种。故选C。 14.【答案】D 【解析)从{1,2,3,4,5,6}中任取三个不同的数，和为3的倍数。将1到6按模3分类：模 0:3,6(2个)；模1：1,4（2个)；模2：2,5（2个)。和为3的倍数的情况：两个模1一个模 2(C(2,2)×C(2,1)=1×2=2种)；两个模2一个模1(C(2,2)×C(2,1)=1×2=2种)；一个模0一个 模1一个模2(2×2×2=8种)。共2+2+8=12种。故选D。 15. 【答案】B 【解析】用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且0不在首位的五位数。总的五位数(0不在 首位)：首位有5种选择(1-5)，其余四位由剩余5个数字全排列，有51=120种，共 5×120=600个。故选B。 16. 【答案】A 【解析】将5封信投入3个邮筒，每个邮筒至少投入一封信，人数分配为3,1,1或2,2,1。 第一类(3,1,1)：选3封作为一组有C(5,3)=10种，剩下2封各为一组，三组分配给3个邮筒有 3!=6种，但两个1封组无区别，需除以2！，故为10×6/2=30种；第二类(2,2,1)：选2封作 为一组有C(5,2)=10种，再从剩余3封中选2封作为一组有C(3,2)=3种，剩下1封为一组，三组分 配给3个邮筒有3！=6种，但两个2封组无区别，需除以2！，故为10×3×6/2=90种。共 30+90=120种。故选A。 17.【答案】A 【解析】正三角形的三个顶点和一个中心点，共4个点。要求相邻点颜色不同。正三角形的三 个顶点两两相邻（有边相连），中心点与三个顶点都相邻（有线段相连）。用4种颜色涂色。先 涂中心点，有4种颜色；再涂三个顶点，要求两两不同且都不能与中心点相同。从剩余3种颜色 中选3种分别涂在三个顶点上，有3！=6种。根据分步乘法计数原理，共有4×6=24种。故选A。 18. 【答案】B 【解析】从1到9中任取三个不同的数，和为偶数。1到9中奇数有5个(1,3,5,7,9)，偶数 有4个（2,4,6,8)。和为偶数的情况：三个都是偶数(C(4,3)=4种)或一个偶数两个奇数 (C(4,1)×C(5,2)=4×10=40种)。共4+40=44种。故选B。 拓展链接高考 1. 【答案】A 【解析】5名志愿者报名3个不同岗位，每个岗位至少一人，人数分配为3,1,1或2,2,1。 第一类(3,1,1)：选3人作为一组有C(5,3)=10种，剩下2人各为一组，三组分配给3个岗位有 3!=6种，但两个1人组无区别，需除以2！，故为10×6/2=30种；第二类(2,2,1)：选2人作 为一组有C(5,2)=10种，再从剩余3人中选2人作为一组有C(3,2)=3种，剩下1人为一组，三组分 配给3个岗位有3！=6种，但两个2人组无区别，需除以2！，故为10×3×6/2=90种。共 30+90=120种。故选A。 2.【答案】3/10 【解析)从5名同学中随机选3名，总的选法有C(5,3)=10种。甲、乙都入选，即从剩余3人中再 选1人，有C(3,1)=3种。故概率为3/10。故答案为3/10。 3. 【答案】C 【解析】将3个1和2个0随机排成一行，总的排法有C(5,3)=10种（选3个位置放1）。2个0不相 邻，即2个0不能挨着。用插空法：先排3个1，形成4个空位（包括两端），从4个空位中选2个放 0,有C(4,2)=6种。故概率为6/10=0.6。故选C。 4. 【答案】36 【解析】4名同学到3个小区，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，人数分配为 2,1,1。先从4人中选2人作为一组，有C(4,2)=6种，再将这组与另外2人分别对应到3个不同 小区，有3！=6种。根据分步乘法计数原理，共有6×6=36种不同安排方法。故答案为36。 5.【答案】16 【解析】从2位女生、4位男生中选3人，至少有1位女生入选。用间接法：总的选法C(6,3)=20 种，没有女生入选即选3人全是男生，有C(4,3)=4种。故至少有1位女生入选的选法有20-4=16 种。故答案为16。 6 【答案】16 【解析)同第5题，答案为16。故答案为16。 7.【答案】D 【解析】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，人数分配为 2,1,1。先从4项工作中选2项作为一组，有C(4,2)=6种，再将这组与另外2项工作分别对应到 3名志愿者，有3！=6种。根据分步乘法计数原理，共有6×6=36种不同安排方式。故选D。 8. 【答案】B 【解析)从E到F的最短路径：E到F需向右2步、向上1步，共3步，选1步向上，有C(3,1)=3条。 从F到G的最短路径：F到G需向右2步、向上2步，共4步，选2步向上，有C(4,2)=6条。根据分 步乘法计数原理，共有3×6=18条。故选B。 9.【答案】D 【解析】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天，总的选法有24=16种。周六、周日都有 同学参加，即不能全在周六或全在周日。全在周六有1种，全在周日有1种，故周六、周日都有 同学参加的选法有16-2=14种。概率为14/16=7/8。故选D。 10.【答案】A 【解析)设A=“某天空气质量为优良”，B=“随后一天空气质量为优良”。已知P(A)=0.75, P(AB)=0.6。所求为P(BA)=P(AB)/P(A)=0.6/0.75=0.8。故选A。 11. 【答案】8 【解析】从n个正整数中任取两个不同的数，总的取法有C(n,2)种。两数之和等于5的情况有： (1,4),(2,3),共2种。故概率为2/C(n,2)=1/14,即C(n,2)=28,n(n-1)/2=28,n(n-1)=56,解 得n=8。故答案为8。 12. 【答案】A 【解析】将2名教师、4名学生分成2个小组，每组1名教师和2名学生，分别安排到甲、乙两 地。分两步完成：第一步将2名教师分配到甲、乙两地，有2！=2种；第二步将4名学生分成两 组，每组2人，有C(4,2)×C(2,2)/2!=6/2=3种分组方式，再将两组分配到甲、乙两地，有2！=2 种，但分组时已除以2！，故学生分配有3×2=6种。根据分步乘法计数原理，共有2×6=12种不 同安排方案。故选A。 13.【答案】A 【解析】甲、乙两位同学各自参加3个兴趣小组中的一个，总的选法有3×3=9种。两位同学参 加同一个兴趣小组的情况有3种（都参加第1组、都参加第2组、都参加第3组）。故概率为 3/9=1/3。故选A。 14. 【答案】B 【解析】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，每个信封放2张，其中 标号为1,2的卡片放入同一信封。分两步完成：第一步，将1,2放入一个信封，有3种选择 (选一个信封放1,2)；第二步，将剩余4张卡片(3,4,5,6)分成两组，每组2张，放入剩 余2个信封。先将4张卡片分成两组有C(4,2)×C(2,2)/2!=6/2=3种分组方式，再将两组放入剩余 2个信封有2！=2种，故有3×2=6种。根据分步乘法计数原理，共有3×6=18种不同放法。故选 B。 15. 【答案】0.24；0.96 【解析】三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24。三人中至少有一人达标的概率为1-(1-0.8) (1-0.6)(1-0.5)=1-0.2×0.4×0.5=1-0.04=0.96。故答案为0.24；0.96。 16.【答案】C 【解析】从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选。分 两类：第一类，甲、乙恰有1人入选：从甲、乙中选1人有2种，再从除丙、甲、乙外的7人中选 2人有C(7,2)=21种，共2×21=42种；第二类，甲、乙都入选：从除丙、甲、乙外的7人中选1人 有7种。根据分类加法计数原理，共有42+7=49种。故选C。