6.1第1课时两个计数原理及其简单应用课后训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦“分类加法与分步乘法计数原理”，开学场景下通过基础认知、灵活应用、综合拓展三层设计，实现从单一原理到复杂情境的递进巩固，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一原理直接应用|如乘客下车（题1）、楼梯走法（题3），通过简单情境强化原理辨析| |灵活应用|原理综合与情境迁移|如多面体与旋转体选取（题6）、手机尾号组合（题5），结合多选题（题8-9）提升辨析能力| |综合拓展|复杂问题建模与多原理融合|如跳格游戏（题13）、平面点集计数（题14），通过实际问题培养数学建模与逻辑推理|

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 一．选择题 1.汽车上有6名乘客,沿途有3个车站,每名乘客可任选1个车站下车,则6名乘客不同的下车方法种数为(　　) A.63 B.36 C.9 D.18 2.如图,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.如果A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况的种数为(　　) A.9 B.11 C.13 D.15 3.某校教学大楼共有四层,每层均有三个楼梯,小李由一层到四层的走法有(　　) A.9种 B.18种 C.27种 D.81种 4.一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有(　　) A.6种 B.8种 C.36种 D.48种 5.某人的手机号码为139××××××××,若前七位已定好,最后四位数字是由6或8组成的,则这样的手机号码一共有(　　) A.8个 B.16个 C.20个 D.32个 6.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中任取多面体和旋转体各1个,则不同取法的种数是(　　) A.14 B.23 C.48 D.120 7.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A.24 B.18 C.36 D.10 8.(多选题)如图,从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则(　　) A.从A地到D地不同走法有6种 B.从C地到B地不同走法有6种 C.从A地到B地不同走法有9种 D.从A地到B地不同走法有24种 9.(多选题)如图,标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递消息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,则单位时间内传递的信息量可以为(　　) A.18 B.19 C.24 D.26 二．填空题 10.小汪有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,则有　　　　　种不同的带法;  (2)若带外语、数学、物理参考书各1本去图书馆,则有　　　　　种不同的带法.  11.有5名乒乓球队员,其中2名是老队员,其他3名是新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有　　　　　种.  12.某比赛分小组赛和淘汰赛两个阶段.小组赛将会分为16个小组,每个小组3支球队,采用单循环赛制(即3支队伍两两交手),小组前两名晋级32强赛,第三名被淘汰,淘汰赛阶段:1/16决赛:32强分成16组对阵,获胜的16个队进入1/8决赛,即所谓“16强”,负者被淘汰.1/8决赛:16强分成8组对阵,获胜的8个队进入1/4决赛,即所谓“8强”,负者被淘汰.1/4决赛:8强分成4组对阵,获胜的4个队进入半决赛,即所谓“4强”,负者被淘汰.半决赛:4强分成2组对阵.决赛:半决赛获胜两队进入决赛,失利的两队争夺第三名.如按此规则,则共需举办比赛的场数为　　　　　.  三．解答题 13. 跳格游戏:如图,人从格外只能跳入第1格,在格内每次可向前跳1格或2格.那么人从格外跳到第6格的不同的跳法种数是多少？ 14.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M). (1)P可以表示平面上的多少个不同点? (2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点? (3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点? 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 一．选择题 1. B 根据题意,汽车上有6名乘客,沿途有3个车站,每名乘客可以在任意一个车站下车,即每名乘客都有3种下车方式,则6名乘客不同的下车方法种数为36. 2. C 根据焊接点可能脱落的个数分类讨论. 脱落1个 1或4脱落,共有2种情况 脱落2个 1,2或1,3或1,4或2,3或2,4或3,4脱落,共6种情况 脱落3个 1,2,3或1,2,4或2,3,4或1,3,4脱落,共4种情况 脱落4个 1,2,3,4同时脱落,共1种情况 综上,不同情况的种数为2+6+4+1=13. 3. C 由题意得,从一层到二层有3种走法,同理从二层到三层有3种走法,从三层到四层有3种走法,所以小李由一层到四层的走法有3×3×3=27种. 4.D 由题意知在A点可先参观区域1,也可先参观区域2或3(如图),选定一个区域后可以按逆时针参观,也可以按顺时针参观,所以第一步可以从6个路口任选一个,有6种结果,参观完第一个区域后,选择下一步走法,有4种结果,又参观完第二个区域,只剩下最后一个区域,有2种走法,根据分步乘法计数原理知,共有6×4×2=48种不同的参观路线. 5.B 采用分步乘法计数原理,最后四位数字由6或8组成,可分四步完成,每一步有两种方法,共有2×2×2×2=24=16(个). 6. C 分两步:第1步,取多面体,从棱柱或棱锥中取1个,不同的取法有5+3=8(种);第2步,取旋转体,从圆台或球中取1个,不同的取法有4+2=6(种).根据分步乘法计数原理知,不同取法的种数是8×6=48. 7. A 由题意可知,E—F有6种满足题意的走法,F—G有4种满足题意的走法,由分步乘法计数原理知,小明可以选择的最短路径条数为6×4=24. 8.AD 根据分步乘法计数原理得,从A地到D地不同走法有3×2=6(种),从C地到B地不同走法有2×4=8(种),从A地到B地不同走法有3×2×4=24(种).故选AD. 9 AB 由结点A向结点B传递信息,共有4条不同线路(线路自上而下按从小到大排序).第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3;第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4;第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6;第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3+4+6+6=19,故选AB. 二．填空题 10.(1)12　(2)60 (1)小汪从这些课外参考书中带1本去图书馆阅读,有三类方案:第1类,从外语参考书中带1本,有5种带法;第2类,从数学参考书中带1本,有4种带法;第3类,从物理参考书中带1本,有3种带法,根据分类加法计数原理,不同带法的种数为5+4+3=12. (2)小汪带外语、数学、物理参考书各1本去图书馆阅读,可分为三步: 第1步,小汪带1本外语参考书,有5种不同的带法; 第2步,小汪带1本数学参考书,有4种不同的带法; 第3步,小汪带1本物理参考书,有3种不同的带法. 由分步乘法计数原理可得,共有5×4×3=60种不同带法. 11.9 分为两类:第1类,入选的3名队员,有2名老队员、1名新队员,有3种选法;第2类,入选的3名队员,有2名新队员、1名老队员,有2×3=6种选法. 依据分类加法计数原理,共有6+3=9种不同选法. 12.80 小组赛16×3=48场,1/16决赛16场,1/8决赛8场,1/4决赛4场,半决赛2场,决赛2场,共48+16+8+4+2+2=80场比赛. 三．解答题 13. 8 人从格外跳入第1格后,有3类方案: 第1类,每次向前跳1格,共跳5次,有1种跳法; 第2类,仅有1次向前跳2格,其余每次向前跳1格,共跳4次,有4种跳法; 第3类,有2次向前跳2格,其余每次向前跳1格,共跳3次,有3种跳法. 根据分类加法计数原理,不同的跳法种数为1+4+3=8. 14. (1)完成这件事分两个步骤:第1步,确定横坐标a有6种;第2步,确定纵坐标b有6种.由分步乘法计数原理知,P可以表示平面上的6×6=36个不同点. (2)根据条件需满足a<0,b>0.完成这件事分两个步骤:第1步,确定小于0的横坐标a有3种;第2步,确定大于0的纵坐标b有2种.由分步乘法计数原理知,P可以表示平面上的3×2=6个第二象限的点. (3)因为点P不在直线y=x上,完成这件事分两个步骤:第一步,确定横坐标a有6种;第二步,确定纵坐标b有5种.根据分步乘法计数原理可知,P可以表示6×5=30个不在直线y=x上的点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $