6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

正文参 第六章 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 白题基础过关 1.B解析：任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的 是警匪片，第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片，由分类加法 计数原理可得不同的选法共有3+4+3+2=12（种）.故选B. 2.D解析：由题意可知进入商场的不同方式共有4+4+3+3=14（种） 故选D. 3.9解析：当A=⑦时，B={1,2},当A={1时，B={1,2}或{2}，当A= {2时，B={1,2或{1}，当A={1,2}时，B={1,2}或{2或{1}或0 故共有9组，故答案为9. 4.A解析：第一步，先从3名老师中任选1名，有3种选法：第二步，再 从10名学生中任选1名，有10种选法.由分步乘法计数原理知，不同 的选法种数为3×10=30.故选A」 5.D解析：每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的 RNA分子的种数为420.故选D. 6.ABD解析：若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由 分步乘法计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法 有3种，下山走法有9种，由分步乘法计数原理可得共有27种走法； 若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步乘法计 数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山 走法有8种，由分步乘法计数原理可得共有32种走法.故选ABD. 7.294解析：y=ax2+bx+c是二次函数，故a≠0.由集合元素的互异性 知a,b,c互不相等，故符合条件的函数解析式有7×7×6=294（个）.故 答案为294. 四易错提醒 计数 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 原理 相同点都涉及完成一件事情的不同方法的种数，都是计数的方法 与分类有关，各种方法相互 与分步有关，各个步骤相互依 不同点独立，各类方法中的每一种 存，每步中的每种方法都只能 做这件事的一步，不能独立完 都能独立完成一件事 成这件事 分类标准要统一，不能遗漏； 分步要有先后顺序；各步中的 操作 方法互相依存，缺一不可，只 完成这件事的每一种方法必 原则 有各个步骤都完成，这件事才 须属于某一类，不能重复 能完成 做一件事的n类方法中分别做一件事的n个步骤中，各步 运算 有m1,m2,…,mn种方法，完分别有m1,m2,…,mn种方 模式成这件率共有方法N=法，完成这件事共有方法N= (m1+m2+…+mn)种 (m1×m2×…×mn)种 8.D解析：由题意，选一本语文书、一本数学书有9×7=63（种），选 本数学书、一本英语书有5×7=35（种），选一本语文书、一本英语书 有9×5=45（种），.共有63+35+45=143（种）选法.故选D. 9.C解析：分两类情况讨论：第一类，从M中取的元素作为横坐标 从N中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有3×2= 6(个)；第二类，从M中取的元素作为纵坐标，从N中取的元素作为 横坐标，则第一、二象限内的点共有2×4=8（个）.由分类加法计数原 理可得所求个数为6+8=14.故选C, 10.84解析：由题意可知，四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜 色，所以分以下三类：当涂两种颜色时：A和C相同，B和D相同，共 有A2=12(种)涂色方法：当涂三种颜色时：分A和C相同和A,C不 同两种情况，此时共有C(CA子+A子)=48（种）涂色方法；当涂四种 颜色时：四个区域各涂一种，此时共有A4=24(种)涂色方法 综上，不同的涂色方法有12+48+24=84（种）.故答案为84. 参考答案 考答案 计数原理 黑题 应用提优 1.B解析：根据题意，起点有4种可能性，终点有3种可能性，所以由 分步乘法计数原理可得不同的行车路线共有4×3=12（条），故选B. 2.D解析：由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单 位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6.由分类加法计 数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.故选D. 3.A解析：由题意得，既会英语又会日语的有7+3-9=1（人），则6人 只会英语，2人只会日语. 第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时选会日语的 有2+1=3（种）方法，由分步乘法计数原理得共有6×3=18（种）选法： 第二类：选既会英语又会日语的那1人讲英语，此时选会日语的有 2种方法，由分步乘法计数原理得共有1×2=2（种）选法 综上，由分类加法计数原理可知，不同的选法共有18+2=20（种）.故 选A 4,BCD解析：两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费 3元，此时两人下地铁的方案有3×3=9（种），同理小明花费3元，小 华花费2元时，两人下地铁的方案也是9种，所以共有18种，A不正 确，B正确. 两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人 下地铁的方案有3×3=9（种）；小明花费3元，小华花费3元，此时两 人下地铁的方案有3×3=9（种）：小明花费4元，小华花费2元，此时 两人下地铁的方案有3×3=9（种），共有27种，C正确. 小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两 人下地铁的方案有9种： 小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共 有12种方案，D正确.故选BCD 5,B解析：如图，依次涂色，底面ABCD的涂色 有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧 面PBC的涂色有2种选择. ①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则 侧面PAD的涂色有2种选择； ②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则 侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择. 综上，不同的涂法种数为4×3×2×(1×2+1×1)=72.故选B. 四方法总结 求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析」 (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法 计数原理分析. (3)对于空间涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题 6.A解析：由题意可知1080=23×5×33，则1080的正因数p=2'×5× 3'(r,5,teN*),因为r可取0,1,2,3,5可取0,1，t可取0,1,2,3，所 以1080中不同的正因数个数为4×2×4=32.故选A. 7.13解析：由题意知4个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有24= 16(种)，其中A,B之间线路通的情况只有：1,2,4不脱落3脱落，1， 3,4不脱落2脱落，1,2,3,4都不脱落，共3种情况，故A,B之间线路 不通，则焊接点脱落的不同情况有16-3=13（种），故答案为13. 8.48解析：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的螺丝，有6种方 法：再随意拧第三个螺丝和其对角线上的螺丝，有4种方法：然后随 意拧第五个螺丝和其对角线上的螺丝，有2种方法.所以由分步乘法 计数原理可得不同的固定方式有6×4×2=48（种）.故答案为48. 压轴挑战 8解析：每次向前跳1格，共跳5次，有唯一的跳法：仅有一次跳2格 其余每次向前跳1格，共跳4次，有4种跳法；有两次跳2格，其余每次 向前跳1格，共跳3次，有3种跳法.则共有1+4+3=8（种）.故答案为8. 黑白题01第六章 计数原理 61分类加法计数原理与分步乘法计数原理 白题 基础过关 限时：25min 题组1分类加法计数原理的简单应用 6.（多选)(2024·重庆万州区高二月考)设从 1.(2024·江苏连云港高二月考)某影城有一些 东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3， 电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、 3,4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任 3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部 意一面下山，则下列结论正确的是( 电影观看，不同的选法共有 ( A.从东面上山有20种走法 A.9种 B.12种 B.从西面上山有27种走法 C.24种 D.72种 C.从南面上山有30种走法 2.(2024·吉林白山高二期中)某商场东面和西 D.从北面上山有32种走法 面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某 7.若{a,b,c}C{-3,-2,-1,0,1,2,3,4},则符 人从其中的任意一个门进入商场，则进人商场 合条件的二次函数y=ax2+bx+c的解析式有 的不同方式共有 个 A.12种 B.24种 题组3 两个计数原理的综合应用 C.7种 D.14种 8.(2024·河南周口高二月考)有不同的语文书 3.满足AUB={1,2}的集合A、B共有 9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本， 从中选出2本不属于同一学科的书，则不同的 组. 选法有 题组2分步乘法计数原理的简单应用 A.21种 B.315种C.153种D.143种 4.(2024·山西大同高二月考)现有3名老师、 9.(2024·山东枣庄高二月考)已知集合M= 6名男同学和4名女同学共13人.若需1名老 {1,-2,3},N={-4,5,6,-7},若从这两个集 师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种 合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标， 数为 则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同 A.30 B.18 点的个数是 C.12 D.13 A.18 B.16 C.14 D.10 5.(2024·四川雅安高二期中)参与形成核糖核 10.(2024·山西吕梁高二月考) 酸(RNA)的碱基有4种，分别用A,C,G,U表 给如图所示的圆环涂色，将圆 示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意 环平均分成A,B,C,D四个区 次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组 域，现有红，黄、蓝、绿四种颜 成，则不同的RNA分子的种数为 色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且 A.24 B.80 相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有 C.204 D.420 种 第六章黑白题01 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·江苏宿迁高二月考)十字路口来往的 5.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P-ABCD 车辆，如果不允许掉头，那么不同的行车路线有 的各个面涂颜色时，要求相邻面（含公共棱的 ( 平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供 A.16条B.12条 C.4条 D.3条 选择，那么不同的涂法有 2.(2024·四川成都高二月 考)如图，小圆圈表示网络 A.36种 B.72种 的结点，结点之间的连线表 C.48种 D.24种 示它们有网络联系，连线上 6.(2024·山东青岛高二期中)1080中不同 标注的数字表示该段网线单位时间内可以通 的正因数个数为 过的最大信息量，现从结点A向结点B传递 A.32 B.36 信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则 C.48 D.50 单位时间内传递的最大信息量为 ( A.26 7.(2024·江苏扬州高二月 B.24 C.20 D.19 3.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的 考)如图所示，在A,B间有 一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会 4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路 英语和日语的各一人，则不同的选法有( 不通，现发现A,B之间线路不通，则焊接点脱 A.20种 B.21种 C.8种 D.10种 落的不同情况有 种 4.(多选)(2024·广东东莞高二月考)某市地铁 8.(2024·广东广州高二月考)工人在悬挂如图 不超过9站的地铁票价如表： 所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个 站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着 票价/元 2 3 4 拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第 现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同 三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第 辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且 四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同 他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下 的固定方式有 种 列结论正确的是 ( A.若小明、小华两人共花费5元，则小明、小 华下地铁的方案共有9种 B.若小明、小华两人共花费5元，则小明、小 压轴挑战 华下地铁的方案共有18种 跳格游戏：如图，人从格外只能 C.若小明、小华两人共花费6元，则小明、小 进入第1格，在格中每次可向 34s6 华下地铁的方案共有27种 前跳1格或2格，那么人从格外跳 D.若小明、小华两人共花费6元，则小明比小 到第6格可以有 种跳法 华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站 出站不分先后) 进阶突破拔高练P01 选择性必修第三册·RJ黑白题02