第一章 安培力与洛伦兹力（重难点专练）物理人教版选择性必修第二册

第一章 安培力与洛伦兹力（重难点专练） 题型01 安培力的计算 题型02 洛伦兹力的计算 题型03 带电粒子在场中的运动 题型04与磁场相关的仪器 ▌题型01 安培力的计算 一.安培力的方向 1、安培力 通电导线在磁场中受的力。 2、左手定则 伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 二.安培力的大小 1、计算公式 当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F＝BILsinθ，这是一般情况下的安培力的表达式。 有两种特殊情况：磁场和电流垂直时：F＝BIL；磁场和电流平行时：F＝0。 【注意】磁场对磁铁一定有力的作用，而对电流不一定有力的作用。当电流方向和磁感线方向平行时，通电导体不受安培力作用。 2、适用范围 一般只适用于匀强磁场。 【注意】对于非匀强磁场，仅适用于电流元（把很短一段通电导线中的电流与导线长度的乘积称为电流元）。非匀强磁场的求解方法：如果导线各部分所处的位置B的大小、方向不相同，应将导体分成若干段，使每段导线所处的范围B的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力。 3、有效长度 弯曲通电导线的有效长度等于两端点所连直线的长度，相应的电流方向由始端指向末端，如下图所示。因为任意形状的闭合线圈，其有效长度L＝0，所以通电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和一定为零。 4、对公式F＝BILsinθ的理解 F＝BILsinθ中的B对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响；θ是B和I方向的夹角，当θ＝90°时sin θ＝1，公式变为F＝ILB；L指的是导线在磁场中的“有效长度”， 弯曲导线的有效长度。 当B与I垂直时，F最大，F＝ILB；当B与I平行时，F＝0。 公式中的B与L垂直；匀强磁场或通电导线所在区域的磁感应强度的大小和方向相同。 1．如图所示，在边长为L的立方体中沿放置一型导线，导线中通以大小为、方向由的电流。空间存在一垂直平面且方向由指向的匀强磁场，磁感应强度为，则该导线受到的安培力为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】计算非直导线的安培力大小 【详解】计算弯曲导线的安培力时，可等效为起点到终点的直导线所受的安培力；该型导线起点为，终点为，立方体边长为，与互相垂直，且 因此通电导线的有效长度 已知磁场垂直于导线所在平面，因此与等效电流方向垂直，根据安培力公式 解得导线受到的安培力为 故选D。 2．电子天平原理如图所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间磁感应强度的大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应。一匝数为n的正方形线圈套于中心磁极S上，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接。当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘、骨架和线圈一起向下运动（骨架与磁极不接触），随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，此时对应的供电电流为I。下列说法正确的是（     ） A．当秤盘和线圈恢复到未放重物的位置时，线圈受到的安培力方向竖直向下 B．线圈受到的安培力大小为nBIL C．若仅增大供电电流I，在秤盘和线圈恢复位置的过程中，弹簧的最大压缩量会减小 D．重物的质量m = 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】利用平衡推论求力大小或方向、通电导线在磁场中的作用力方向、安培力的计算式及初步应用 【详解】A．恢复至原位置时，安培力需向上以平衡重力，方向竖直向上，故A错误； B．线圈左右两边均受安培力，每边大小为，两边同向，合力为，故B错误； C．增大电流时，安培力增大，但放重物后弹簧的最大压缩量是在通电前由重物和秤盘重力共同决定的，与电流大小无关，故C错误； D．恢复至原位置时，弹簧弹力与未放重物时相同，因此安培力必须平衡重物的重力，即，得，故D正确。 故选D。 3．某款电磁推进装置的结构简图（俯视图）如图所示，内侧间距为d的两平行金属直导轨固定在水平面上，一质量为m的电枢垂直放置在两导轨间。回路中通入恒为的强电流，方向图中已标出，两导轨中强电流在导轨间产生的磁场视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为（k为常数），电枢由静止被推进距离L后弹出。不计一切摩擦，电枢始终和导轨垂直且接触良好，电枢中电流产生的磁场忽略不计，下列说法正确的是（　　 ） A．俯视看，导轨间磁场方向垂直于导轨平面向上 B．电枢受到安培力的大小为 C．电枢弹出时的速度大小为 D．若将强电流调整为，则电枢运动的加速度变为原来的3倍 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】电磁炮 【详解】A．根据右手螺旋定则，可知上方导轨电流向右，在导轨间产生的磁场垂直纸面向里；下方导轨电流向左，在导轨间产生的磁场也垂直纸面向里，合磁场方向垂直导轨平面向里（俯视向下），A错误； B．电枢受到安培力的大小为，B正确； C．安培力是恒力，不计摩擦，由动能定理有 代入安培力解得，C错误； D．当电流调整为后，磁感应强度为 此时安培力大小为 由牛顿第二定律可知加速度变为原来的9倍，D错误。故选B。 ▌题型02 洛伦兹力的计算 一.洛伦兹力的方向 1、洛伦兹力 磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2、方向 判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。如下图所示。 【注意】掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向。 3、特点 F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。洛仑兹力方向既重直于磁场方向，也垂直地粒子运动的速度方向，因此洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。 二.洛伦兹力的大小 1、表达式 F＝qvBsinθ，θ为v与B的夹角。 公式F＝qvB中的v是带电粒子相对于磁场的运动速度。 当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝qvB；当v=0时，洛伦兹力F＝0。 2、特点 洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关，当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 洛伦兹力一定不做功，因为洛伦兹力与速度方向如果始终垂直，则洛伦兹力对物体始终不做功。洛伦兹力对运动电荷永不做功，它不能改变运动电荷速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。洛伦兹力影响的是带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。 1．如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体（等量的正离子和电子）约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次实现了稳定运行100秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是（　　） A．离子在磁场中运动时，磁场对其做正功 B．离子在磁场中运动时，磁场对其做负功 C．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径增大 D．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】洛伦兹力的公式及初步应用 【详解】AB．离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，故磁场对离子一定不做功，A错误，B错误； CD．离子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力 解得，离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，磁感应强度变大，所以离子运动半径减小，故C错误，D正确。 故选D。 2．如图所示，足够长的固定粗糙倾斜绝缘管与水平方向夹角为，处于垂直纸面向外的匀强磁场中，一直径略小于绝缘管直径的带正电小球从静止开始沿管下滑。已知小球质量为m，电荷量为q，磁感应强度大小为B，绝缘管与小球间的动摩擦因数为。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球下滑过程中，摩擦力一直减小 B．小球下滑过程中，绝缘管对小球的支持力方向不变 C．小球下滑过程中，最大加速度为 D．小球下滑过程中，最大速度为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用平衡推论求力大小或方向、洛伦兹力的公式及初步应用 【详解】小球从静止开始沿管下滑，刚开始受到竖直向下的重力，垂直于管下壁向上的支持力，沿斜面向上的摩擦力。随着物体开始运动，根据左手定则，小球受到一个垂直于管下壁向上的洛伦兹力。洛伦兹力大小 随着速度逐渐增大，洛伦兹力逐渐增大，管对小球的支持力逐渐减小，小球对管的压力逐渐减小，由滑动摩擦力 可知滑动摩擦力逐渐减小，当，此时摩擦力等于0，有最大加速度 物体继续加速向下走，随着速度增大，洛伦兹力增大，小球会挤压管上壁，管上壁给小球一个向下的支持力，支持力逐渐增大，小球给管上壁的压力逐渐增大，滑动摩擦力逐渐增大，加速度逐渐减小，一直到 解得。此后小球将匀速下滑。 综上，摩擦力先减小后增大；支持力先垂直绝缘管向上，在垂直绝缘管向下。 故选D。 3．如图所示，关于O点对称放置两根足够长的平行通电直导线P、Q（垂直纸面），P、Q通以大小相等、方向相反的恒定电流。放在粗糙水平面上的两个完全相同的绝缘物块M、N中间用刚性杆连接，一起从A点以速度v0向右运动，O、A、B三点在一条直线上。已知物块M带正电，物块N带负电，qM>qN，均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．从A点到O点，磁感应强度逐渐增大 B．物块M、N通过O点的过程中，速度先增大后减小 C．物块M、N通过O点的过程中，加速度先增大后减小 D．物块M、N通过O点的过程中，刚性杆先有拉伸的趋势后有压缩的趋势 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】磁感应强度的矢量性与叠加、洛伦兹力的公式及初步应用 【详解】A．根据安培定则可得，两导线在AO之间磁场如图所示，根据平行四边形定则，将两磁场合成可知，合磁场方向水平向左，且由A点到O点合磁场逐渐增大，A正确； BC．由于AO之间磁场方向水平向左，过O点后磁场方向仍水平向左，均与物块的运动方向共线，所以物块不受洛伦兹力，物块在运动过程中受到恒定不变的摩擦力，根据牛顿第二定律可知，物块做匀减速直线运动，加速度不变，速度减小，BC错误； D．将物块MN看成一个整体，加速度，对物块M有，可得F库与F弹等大反向，刚性杆对物块M的弹力水平向右，有压缩趋势，而整个过程中a不变，F库不变，则F弹也不变，故刚性杆一直有压缩趋势，D错误。 故选A。 ▌题型03 带电粒子在场中的运动 一.带点粒子在匀强磁场中的运动 1、三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动； ②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 3、圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 4、圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 5、圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 6、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 1．如图所示，左下方为一粒子源，粒子通过加速电场加速后从L1边界M点进入右侧磁场区域，速度方向与L1边界夹角为60°，Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ内的磁感应强度大小为B1。一电荷量为+q、质量为m的粒子从粒子源进入加速电场，加速电压为，经区域Ⅰ后恰好从与M点同一水平高度处进入区域Ⅱ。（其中v0为已知量，粒子离开粒子源的初速度可视为零，粒子重力不计） (1)求带电粒子到达M点时的速度大小vM以及区域Ⅰ磁场的宽度L； (2)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值； (3)已知B2>B1，求带电粒子从边界L1进入磁场到出磁场的时间t与B2的关系。（数学规律补充，对于非特殊三角函数，若sinα=b，则α=arcsinb） 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.15 【知识点】带电粒子在匀强电场中做直线运动、带电粒子在直边界磁场中运动 【详解】（1）粒子在电场中加速过程，根据动能定理有 解得 粒子在Ⅰ磁场中轨迹如图（1）所示，其中θ=90°-60°=30° 由几何关系有2r1sin30°=L 解得 在磁场中由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 （2）设带电粒子在区域Ⅱ中的轨道半径为r2，要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，则轨道半径r2达到最大，对应的轨迹如图（2）所示 由几何关系有r2+r2sin30°=L 解得 在Ⅱ区磁场中有 解得 （3）粒子在磁场中的运动周期 由于 解得 ①若时，粒子的运动轨迹如图（3）所示 粒子将从左侧边界L1离开磁场，由图中几何关系可知，磁场Ⅰ中的总圆心角为θ1=2×60°=120° 磁场Ⅱ中的圆心角为θ2=240° 则粒子在磁场Ⅰ中的运动时间为 运动周期 解得 粒子在磁场Ⅱ中的运动时间为 周期为 解得 带电粒子从边界L1进入磁场到出磁场的时间为 ②若时，粒子的运动轨迹如图（4）所示 粒子将从右侧边界L3离开磁场，由图中几何关系可知r2sinα=L-r2sin30° 解得 则有 磁场Ⅰ中的圆心角为θ3=60° 磁场Ⅱ中的圆心角为θ4=30°+α 粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动时间分别为， 带电粒子从边界L1进入磁场到出磁场的时间为 2．某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。竖直平面的圆形区域内充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。水平放置的目标靶长为，靶左端M与磁场圆心O间的水平距离为，竖直距离为3L，从电子枪逸出的电子（质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略不计）经加速电场加速后，从磁场边界上的P点沿PO方向（PO与水平方向的夹角为53°）射入半径的匀强磁场，经过一段时间，电子离开磁场。已知，，不计电子重力。若调节加速电场的加速电压使电子恰好击中靶右端N点。求： (1)电子击中目标靶时电子速度大小的范围是多少； (2)电子击中靶右端N点时从P点运动到N点所用的时间是多少。 【答案】(1) (2) 【难度】0.35 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动 【详解】（1）电子击中靶右端N点时，作出示意图如图所示 电子离开磁场时速度沿ON方向，设ON与水平方向的夹角为，则有 解得 根据几何关系可知，电子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为 根据几何知识可知轨道半径为 电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 电子离开磁场时速度沿OM方向，设OM与竖直方向的夹角为，则有 解得 根据几何知识可知轨道半径为 电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 因此可得速度范围为 （2）电子在磁场中运动的周期 电子在磁场中运动的时间 电子射出磁场后，继续运动了 所用时间 可知从P点运动到N点所用的时间 3．在图示的xOy平面中，存在一匀强磁场，磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内，磁场方向垂直于xOy平面，一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子，t=0时刻，由原点O出发，以初速度v沿x轴正方向运动，一段时间后，粒子经过y轴上坐标为（0，a）的P点，忽略重力的影响。 （1）如果P点在该圆形磁场区域以内，要使该粒子经过P点，试求该匀强磁场磁感应强度B1的大小和方向以及该粒子经过P点的时刻； （2）如果P点在该圆形磁场区域以外，要使该粒子与y轴正方向成30°角斜向左上方经过P点，试求该圆形磁场的半径R以及磁感应强度B2的大小和方向。 【答案】（1），方向垂直xOy平面向里，；（2），，方向垂直xOy平面向里 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、根据粒子运动确定磁场区域的范围 【详解】（1）如图所示，该粒子在磁场中做圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 联立可得 磁场方向垂直xOy平面向里，该粒子做圆周运动的周期 该粒子经过P点的时刻 （2）如图所示，作出入射速度与出射速度角的平分线OC，交出射速度反向延长线PC于C点 则圆形磁场的半径 轨迹圆心O1，轨迹半径 由几何关系知 得 又 故 洛伦兹力做向心力，有 联立可得 磁场方向垂直xOy平面向里。 【点睛】带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供做匀速圆周运动，同时结合数学几何关系来构建长度关系，注意运动圆弧的半径与磁场半径的区别。 4．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）或 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子电性不确定形成的多解 【详解】（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立方程，解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可和，粒子在磁场中的偏转角为 所以运动时间为 联立解得 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为 α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为 5．在矩形区域中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中为边界上的一点,且重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入磁场,已知粒子的比荷为求： (1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开,则磁场的磁感应强度应为多大? (2)如果磁场的磁感应强度欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场,则磁场的变化周期应满足什么条件? (3)如果磁场的磁感应强度在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过垂直边离开磁场,再次进入磁场后经过从点离开磁场区域,则电场强度E以及粒子在电场中的路程分别为多大? 【答案】(1)； (2)；(3)； 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算、带电粒子在直边界磁场中运动、磁场方向的不确定形成的多解 【详解】（1）由题意作出粒子的运动轨迹，如图1所示， 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系，有 解得 由于 解得 ； （2）由可知，粒子运动的半径为 临界情况为粒子从t=0时刻射入，并且轨迹恰好与ad边相切，如图2所示 圆周运动的周期为 ； 由几何关系可知，内，粒子转过的圆心角为； 对应运动时间为 应满足 联立可得 （3）根据题意画出粒子的运动轨迹如图3所示 由题意有 得 在电场中有 往返一次用时为 ； 应有，可得 ，（n=0，1，2…）； 运动的路程为 ，（n=0，1，2，3…） 6．如图所示为一“太空粒子探测器”的简化图，两个同心扇形圆弧面PQ、MN之间存在辐射状的加速电场，方向由内弧面指向外弧面，圆心为O，两弧面间的电势差为U，右侧边长为L的正方形边界abcd内存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小B=kB0（k>0），k值可以调节，，O点为ad边界的中点，PO、QO与ad边界的夹角均为30°。假设太空中质量为m、电荷量为e的负电粒子，能均匀地吸附到外弧面PQ的右侧面上，由静止经电场加速后穿过内弧面均从O点进入磁场，不计粒子重力、粒子间的作用力及碰撞，求： （1）粒子到达O点时的速率v0； （2）若从O点垂直于ad边界射入磁场的粒子恰能从b点离开，求k的值； （3）若要求外弧面PQ上所有的粒子均从ab边射出磁场，求k值的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、临界状态的不唯一形成多解 【详解】（1）粒子加速过程，由动能定理可得 解得粒子到达O点时的速率为 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示 由几何关系可得 解得 由洛伦兹力作为向心力可得 解得 （3）磁场最小时，即k最小时，只要满足沿PO方向射入磁场的粒子，轨迹与bc边界相切即可，若图所示 则其它方向射入磁场的粒子均能从ab边界射出，由几何关系可得 解得 由洛伦兹力作为向心力可得 解得 磁场最大时，即k最大时，只要满足沿QO方向射入磁场的粒子，轨迹经过a点，则其它方向射入磁场的粒子均能从ab边界射出，由几何关系可得 由洛伦兹力作为向心力可得 解得 综上所示，要求外弧面PQ上所有的粒子均从ab边射出磁场，k值应满足 7．如图所示，粒子源S产生大量初速度为零，比荷不同的正电粒子。其中，比荷为的粒子先经过电压为的加速电场，再沿两极板间的中线，进入电压为的偏转电场；粒子从小孔离开电场后，从的中点垂直于进入三角形磁场区域，并最终垂直打在板上。已知该区域，，，且存在垂直纸面向外的匀强磁场。不计重力作用。 (1)求比荷为的粒子离开加速电场时速度的大小； (2)求比荷为的粒子经过小孔时的速度大小，及其与板的夹角； (3)要使粒子源S产生的粒子既能通过小孔，又能打在板上，求这些粒子比荷的范围。 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.41 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在三角形边界磁场中的运动 【详解】（1）粒子在加速电场中由动能定理，比荷定义 代入化简得粒子离开加速电场的速度 （2）方法一：分两段电场动能定理 ①偏转电场单独列动能方程 联立加速电场结论，代入化简得 ②速度夹角几何关系：水平分速度保持不变，合速度与竖直极板夹角满足 代入速度数值可得，解得 方法二：全程总动能定理 对粒子运动全过程应用动能定理 解得合速度 水平分速度保持不变，合速度与竖直极板夹角满足 代入速度数值可得，解得 （3）将上两问结论推广到任意比荷的粒子，则经过点的粒子速度均为，出射速度方向固定为，速度方向与比荷无关，全部垂直射入磁场。 结合题图可知，粒子从加速电场正极出发，在偏转电场中向负极偏转，因此粒子到达点，需满足粒子为正电荷，即 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供圆周运动向心力 将代入，解得，因此 由于过点的粒子全部垂直射入磁场，可画粒子轨迹示意图如下： 由几何关系易知，粒子能打在板上的临界条件为粒子轨迹与边相切，此时满足 解得 又，因此，此时为比荷最大值；当时，轨迹半径，即粒子在磁场中不偏转直接打在板上。故比荷取值范围 当比荷时，由题干可知，粒子垂直打在板上，粒子垂直射入垂直射出，此时半径 因此 解得 故比荷取值范围 8．如图所示，在直角坐标系中，在轴上方，的范围内存在垂直于纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ，在的范围内存在垂直于纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，区域Ⅰ、Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小相同。有一质量为、电荷量为的带正电粒子从原点以初速度沿轴射入，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求Ⅰ、Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若区域Ⅰ内匀强磁场的磁感应强度大小变为原来的，区域Ⅱ内匀强磁场保持不变，求粒子在磁场中运动的时间； (3)若区域Ⅰ内的磁场磁感应强度大小随均匀增大，即满足，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ，求值。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.45 【知识点】计算安培力的冲量、带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子在多个组合边界磁场中的运动 【详解】（1）设Ⅰ、Ⅱ区域匀强磁场磁感应强度大小为B，粒子恰不进入磁场区域Ⅱ，则粒子在磁场区域Ⅰ中轨道半径 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子在磁场区域Ⅰ中，轨道半径为 根据牛顿第二定律 解得 如图，由几何关系得，即 粒子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的周期 粒子在磁场区域Ⅰ中运动的时间为，则 解得 在磁场区域Ⅱ中，粒子做圆周运动的半径为 设粒子射出磁场区域Ⅱ时的半径与上边界的夹角为，由几何关系得 粒子在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的周期 在磁场区域Ⅱ中运动时间 粒子在磁场中运动的总时间 解得 （3） 粒子恰不进入磁场区域Ⅱ中，即当粒子运动至时，速度方向为水平向右，速度大小仍为 在x轴方向应用动量定理 其中 由题意知，所以为图像的面积，即 解得 ▌题型04 与磁场相关的仪器 一. 速度选择器 1、简介 平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直，这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。 2、图例 3、原理 粒子受力特点：同时受方向相反的电场力和磁场力作用。 电场力和洛伦兹力平衡：qE=qvB，解得v=。 4、作用 速度大小只有满足v=的粒子才能做匀速直线运动。 若v＜，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加。 若v＞，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少。 二.质谱仪 1、简介 质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。 2、图例 3、原理 速度选择器和偏转磁场组合：①加速阶段；②匀速阶段； ③偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。 加速电场和偏转磁场组合：①加速阶段；②偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。 4、作用 测量带电粒子质量和分离同位素。 三.回旋加速器 1、构造 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场B中，D形盒的缝隙处接交流电源。 2、图例 3、原理 两个半圆金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场B中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动。经过半个圆周之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再一次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次地反向，粒子的速度就能够增加到很大。 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。 当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm。若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和金属盒半径R决定，与加速电压无关。 粒子运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能，加速次数，粒子在磁场中运动的总时间。该式忽略粒子在狭缝中运动的时间。 不忽略加速时间的总时间：加速时间为（粒子加速时做匀加速直线运动，有，），则。 四.磁流体发电机 1、简介 磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能 2、图例 3、原理 将等离子气体垂直于磁场方向喷入匀强磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差。设平行金属板A、B的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速率为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当正、负离子受到的洛伦兹力和静电力大小相等时，匀速通过A、B板间，此时A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，大小即为电源的电动势E。 沿从S极向N极方向进行观察，如下图所示，则有，则电动势，电源内阻，由闭合电路欧姆定律知，通过的电流。 五.电磁流量计 1、简介 电磁流量计是应用电磁感应原理， 根据导电流体通过外加磁场时感生的电动势来测量导电流体流量的一种仪器。 2、图例 3、原理 流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。 导电液体的流速(v)的计算：一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由，可得。 流量的表达式：。 电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。 六.霍尔效应模型 1、简介 高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。 2、图例 3、原理 电势高低的判断：如图所示，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。 霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由，，，联立解得。霍尔系数：。 1．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（    ） A．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向下偏转 B．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向上偏转 C．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向上偏转 D．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向下偏转 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】速度选择器 【详解】AB．正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域，设正离子带电量为q，可知 解得，可知与粒子的带电量大小无关；若质子以相同的速率从左向右飞入，电场力向下，洛伦兹力向上，满足电场力与洛伦兹力平衡，所以质子也是沿直线运动，故AB错误； CD．若质子以相同的速率从右向左飞入，电场力向下，洛伦兹力向下，所以质子将向下偏转，故C错误，D正确。 故选D。 2．质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具，最初是由汤姆孙的学生阿斯顿设计的。他设计了多种质谱仪测量同位素的比荷，图示为其设计的一种质谱仪。现有大量甲、乙两种电荷量均为、质量分别为和的离子从的狭缝处以接近于零的速度进入电压为的加速电场中被加速，加速后由点垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场，最后打在照相底片上，形成、两条质谱线，不计离子重力及离子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．经过加速电场后甲离子的动能较大 B．到点时乙离子的速率较大 C．底片上谱线为乙离子的质谱线 D．甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】动能定理的初步应用、带电粒子在匀强电场中做直线运动、带电粒子在直边界磁场中运动、质谱仪、粒子由电场进入磁场 【详解】AB．离子在加速电场加速，根据动能定理可得， 解得， 故经过加速电场后两离子的动能相等，到点时甲离子的速率较大，故AB错误； C．在磁场区域，对于甲离子，根据洛伦兹力提供向心力 打在照相底片的点与点的距离为 同理可得，对于乙离子，打在照相底片的点与点的距离为 故底片上谱线为甲离子的质谱线，故C错误； D．甲离子在磁场中运动的时间 乙离子在磁场中运动的时间 故甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短，故D正确。 故选D。 3．如图所示，在两个半径均为的半圆形区域ACD和FGH中，分布有磁感应强度，垂直于纸面向里的匀强磁场；在相距为的AD和FH之间分布有电场强度为，方向随时间不断变化的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从的圆心点由静止释放，保证粒子每次经过电场区域均能加速，且粒子最终以的速度从A点向上射入半圆形区域ACD，恰好从D点射出，则下列说法正确的是（     ） A．电场变化的周期可表示为 B．该粒子的比荷为 C．粒子从开始加速到穿出磁场，共经电场加速10次 D．粒子第n次加速后，其在磁场中的运动半径变为第次加速后的倍 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式、回旋加速器中电场变化的周期、回旋加速器的综合计算 【详解】A．粒子在两个磁场区和中间电场区的运动路径如图所示。 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，由 得粒子做匀速圆周运动的周期 粒子每转半周交变电场方向改变一次，经过一整周改变两次，因此电场变化周期，故A错误； B．由洛伦兹力提供向心力得 所以，故B错误； C．粒子每次通过电场区，电场力做功为 从静止到速度，由动能定理得 代入，，和 整理得，所以粒子共经历10次电场加速，故C正确； D．设第次加速后的速度、半径分别为，，第次加速后的速度、半径分别为，。由动能定理得， 所以 由洛伦兹力提供向心力得 磁场和粒子电性不变时 而不是，故D错误。 故选C。 4．2023年1月《力学学报》发表了标题为《爆轰驱动惰性气体磁流体发电试验研究》的文章，文中论述了基于爆轰驱动激波管技术的惰性气体磁流体发电的可能性。发电原理示意图如图所示，平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将爆轰驱动获得的高速等离子体沿垂直于磁场的方向射入磁场，则金属板A、B间便产生强电压。已知A、B板间距为d，板间磁场可视为匀强磁场，磁感应强度为B，以速率v进入磁场的等离子流截面积为S，稳定工作时，进、出极板的离子流单位体积内正、负离子的个数均为n，正负离子电荷量均为q，外电路接电阻R形成闭合回路获得强电流，则（   ） A．所能形成的持续稳定的电流为2nqSv B．磁流体发电机的稳定输出功率为 C．极板间电离气体的电阻率为 D．发电通道两端的压强差 【答案】D 【难度】0.35 【知识点】磁流体发电机的相关计算 【详解】AB． 正、负离子在磁场中受到洛伦兹力的作用，分别向两极板偏移，稳定时等离子体所受的洛伦兹力与电场力恰好平衡，则有 即A、B两板间的电压 设t时间内喷入的正、负离子到达下、上两极板的个数均为N，则所能形成持续稳定的电流 磁流体发电机的稳定输出功率 故AB错误； C．设A、B板的正对面积为S0，根据闭合电路欧姆定律 得板间电离气体的电阻率，故C错误； D．等离子体在通道中稳定流动时，驱动力与磁场对电流的安培力相平衡。驱动力， 安培力 两者平衡 则 故，故D正确。 故选D。 5．电磁流量计常用来测量导电流体的流量Q（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。如图甲，在排污管a处安装一电磁流量计，排污管a处和b处的管道直径分别为100mm和200mm。当导电污水流过竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场时，a处管壁M、N两点间的电势差为U，如图乙所示。污水流量为280m3/h时，通过a处速度约为10m/s；若流量为70m3/h时，则（　　） A．M点电势始终高于N点电势 B．b处流量约为140m3/h C．通过b处速度约为0.62m/s D．U与B之比约为2.5m2/s 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】电磁流量计的相关计算 【详解】A．根据左手定则可知，正电荷进入竖直向下的磁场区域时会向右偏转，负电荷向左偏转，所以M点电势始终低于N点电势，故A错误； B．当流量为，因管内的污水流速稳定，即管道中各处的流量均为70m3/h，故B错误； C． b处的管道直径为，由流量为 可得通过b处速度约为，故C正确； D．若流量为70m3/h时，a处的流量计内污水的速度约为 当粒子在电磁流量计中受力平衡时，有 可得，故D错误。 故选C。 6．小明发现家里冰箱门忘记关闭时，会发出提示音，他研究得知，门框内部电路中有一载流子为负电荷的霍尔元件，工作时通有恒定电流I，方向与OC平行从左向右；冰箱门上元件对应位置有一N极朝外的磁铁，冰箱门关闭时会在霍尔元件中产生电压，检测到该电压小于某阈值时，装置会发出提示音。下列说法正确的是（　　） A．冰箱门关闭时，霍尔元件的下表面电势低于上表面 B．打开冰箱门的过程中，霍尔电压增大 C．冰箱门关闭时增大恒定电流I，则霍尔元件上、下表面间电势差增大 D．换用更薄（OA方向）的霍尔元件，发出提示音的冰箱门角度范围增大 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】霍尔效应的相关计算 【详解】A．电流方向由O到C向右，载流子为负电荷，则负电荷运动方向向左；磁场N极朝外，则磁场方向垂直霍尔元件向里；根据左手定则，负电荷所受洛伦兹力向上，负电荷在上表面积累，因此下表面电势高于上表面。故A错误； B．设霍尔元件沿OA方向的厚度为d，上下高度为h。由， 联立解得 打开冰箱门时，磁铁远离，磁感应强度B减小，可知U减小。故B错误； C．冰箱门关闭时B不变，增大恒定电流I，由 可知U增大，即上、下表面间电势差增大。故C正确； D．换用更薄（OA方向）的霍尔元件，即减小厚度d，由 可知，在相同B和I下，U增大，达到同一阈值电压时对应的B更小，即冰箱门要打开更大的角度才能发出提示音，而这个不发出提示音的角度增大，则发出提示音的角度范围减小。故D错误。 故选C。 28 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 安培力与洛伦兹力（重难点专练） 题型01 安培力的计算 题型02 洛伦兹力的计算 题型03 带电粒子在场中的运动 题型04与磁场相关的仪器 ▌题型01 安培力的计算 一.安培力的方向 1、安培力 通电导线在磁场中受的力。 2、左手定则 伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 二.安培力的大小 1、计算公式 当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F＝BILsinθ，这是一般情况下的安培力的表达式。 有两种特殊情况：磁场和电流垂直时：F＝BIL；磁场和电流平行时：F＝0。 【注意】磁场对磁铁一定有力的作用，而对电流不一定有力的作用。当电流方向和磁感线方向平行时，通电导体不受安培力作用。 2、适用范围 一般只适用于匀强磁场。 【注意】对于非匀强磁场，仅适用于电流元（把很短一段通电导线中的电流与导线长度的乘积称为电流元）。非匀强磁场的求解方法：如果导线各部分所处的位置B的大小、方向不相同，应将导体分成若干段，使每段导线所处的范围B的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力。 3、有效长度 弯曲通电导线的有效长度等于两端点所连直线的长度，相应的电流方向由始端指向末端，如下图所示。因为任意形状的闭合线圈，其有效长度L＝0，所以通电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和一定为零。 4、对公式F＝BILsinθ的理解 F＝BILsinθ中的B对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响；θ是B和I方向的夹角，当θ＝90°时sin θ＝1，公式变为F＝ILB；L指的是导线在磁场中的“有效长度”， 弯曲导线的有效长度。 当B与I垂直时，F最大，F＝ILB；当B与I平行时，F＝0。 公式中的B与L垂直；匀强磁场或通电导线所在区域的磁感应强度的大小和方向相同。 1．如图所示，在边长为L的立方体中沿放置一型导线，导线中通以大小为、方向由的电流。空间存在一垂直平面且方向由指向的匀强磁场，磁感应强度为，则该导线受到的安培力为（     ） A． B． C． D． 2．电子天平原理如图所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间磁感应强度的大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应。一匝数为n的正方形线圈套于中心磁极S上，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接。当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘、骨架和线圈一起向下运动（骨架与磁极不接触），随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，此时对应的供电电流为I。下列说法正确的是（     ） A．当秤盘和线圈恢复到未放重物的位置时，线圈受到的安培力方向竖直向下 B．线圈受到的安培力大小为nBIL C．若仅增大供电电流I，在秤盘和线圈恢复位置的过程中，弹簧的最大压缩量会减小 D．重物的质量m = 3．某款电磁推进装置的结构简图（俯视图）如图所示，内侧间距为d的两平行金属直导轨固定在水平面上，一质量为m的电枢垂直放置在两导轨间。回路中通入恒为的强电流，方向图中已标出，两导轨中强电流在导轨间产生的磁场视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为（k为常数），电枢由静止被推进距离L后弹出。不计一切摩擦，电枢始终和导轨垂直且接触良好，电枢中电流产生的磁场忽略不计，下列说法正确的是（　　 ） A．俯视看，导轨间磁场方向垂直于导轨平面向上 B．电枢受到安培力的大小为 C．电枢弹出时的速度大小为 D．若将强电流调整为，则电枢运动的加速度变为原来的3倍 ▌题型02 洛伦兹力的计算 一.洛伦兹力的方向 1、洛伦兹力 磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2、方向 判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。如下图所示。 【注意】掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向。 3、特点 F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。洛仑兹力方向既重直于磁场方向，也垂直地粒子运动的速度方向，因此洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。 二.洛伦兹力的大小 1、表达式 F＝qvBsinθ，θ为v与B的夹角。 公式F＝qvB中的v是带电粒子相对于磁场的运动速度。 当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝qvB；当v=0时，洛伦兹力F＝0。 2、特点 洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关，当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 洛伦兹力一定不做功，因为洛伦兹力与速度方向如果始终垂直，则洛伦兹力对物体始终不做功。洛伦兹力对运动电荷永不做功，它不能改变运动电荷速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。洛伦兹力影响的是带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。 1．如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体（等量的正离子和电子）约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次实现了稳定运行100秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是（　　） A．离子在磁场中运动时，磁场对其做正功 B．离子在磁场中运动时，磁场对其做负功 C．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径增大 D．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 2．如图所示，足够长的固定粗糙倾斜绝缘管与水平方向夹角为，处于垂直纸面向外的匀强磁场中，一直径略小于绝缘管直径的带正电小球从静止开始沿管下滑。已知小球质量为m，电荷量为q，磁感应强度大小为B，绝缘管与小球间的动摩擦因数为。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球下滑过程中，摩擦力一直减小 B．小球下滑过程中，绝缘管对小球的支持力方向不变 C．小球下滑过程中，最大加速度为 D．小球下滑过程中，最大速度为 3．如图所示，关于O点对称放置两根足够长的平行通电直导线P、Q（垂直纸面），P、Q通以大小相等、方向相反的恒定电流。放在粗糙水平面上的两个完全相同的绝缘物块M、N中间用刚性杆连接，一起从A点以速度v0向右运动，O、A、B三点在一条直线上。已知物块M带正电，物块N带负电，qM>qN，均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．从A点到O点，磁感应强度逐渐增大 B．物块M、N通过O点的过程中，速度先增大后减小 C．物块M、N通过O点的过程中，加速度先增大后减小 D．物块M、N通过O点的过程中，刚性杆先有拉伸的趋势后有压缩的趋势 ▌题型03 带电粒子在场中的运动 一.带点粒子在匀强磁场中的运动 1、三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动； ②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 3、圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 4、圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 5、圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 6、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 1．如图所示，左下方为一粒子源，粒子通过加速电场加速后从L1边界M点进入右侧磁场区域，速度方向与L1边界夹角为60°，Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ内的磁感应强度大小为B1。一电荷量为+q、质量为m的粒子从粒子源进入加速电场，加速电压为，经区域Ⅰ后恰好从与M点同一水平高度处进入区域Ⅱ。（其中v0为已知量，粒子离开粒子源的初速度可视为零，粒子重力不计） (1)求带电粒子到达M点时的速度大小vM以及区域Ⅰ磁场的宽度L； (2)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值； (3)已知B2>B1，求带电粒子从边界L1进入磁场到出磁场的时间t与B2的关系。（数学规律补充，对于非特殊三角函数，若sinα=b，则α=arcsinb） 2．某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。竖直平面的圆形区域内充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。水平放置的目标靶长为，靶左端M与磁场圆心O间的水平距离为，竖直距离为3L，从电子枪逸出的电子（质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略不计）经加速电场加速后，从磁场边界上的P点沿PO方向（PO与水平方向的夹角为53°）射入半径的匀强磁场，经过一段时间，电子离开磁场。已知，，不计电子重力。若调节加速电场的加速电压使电子恰好击中靶右端N点。求： (1)电子击中目标靶时电子速度大小的范围是多少； (2)电子击中靶右端N点时从P点运动到N点所用的时间是多少。 3．在图示的xOy平面中，存在一匀强磁场，磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内，磁场方向垂直于xOy平面，一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子，t=0时刻，由原点O出发，以初速度v沿x轴正方向运动，一段时间后，粒子经过y轴上坐标为（0，a）的P点，忽略重力的影响。 （1）如果P点在该圆形磁场区域以内，要使该粒子经过P点，试求该匀强磁场磁感应强度B1的大小和方向以及该粒子经过P点的时刻； （2）如果P点在该圆形磁场区域以外，要使该粒子与y轴正方向成30°角斜向左上方经过P点，试求该圆形磁场的半径R以及磁感应强度B2的大小和方向。 4．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 5．在矩形区域中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中为边界上的一点,且重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入磁场,已知粒子的比荷为求： (1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开,则磁场的磁感应强度应为多大? (2)如果磁场的磁感应强度欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场,则磁场的变化周期应满足什么条件? (3)如果磁场的磁感应强度在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过垂直边离开磁场,再次进入磁场后经过从点离开磁场区域,则电场强度E以及粒子在电场中的路程分别为多大? 6．如图所示为一“太空粒子探测器”的简化图，两个同心扇形圆弧面PQ、MN之间存在辐射状的加速电场，方向由内弧面指向外弧面，圆心为O，两弧面间的电势差为U，右侧边长为L的正方形边界abcd内存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小B=kB0（k>0），k值可以调节，，O点为ad边界的中点，PO、QO与ad边界的夹角均为30°。假设太空中质量为m、电荷量为e的负电粒子，能均匀地吸附到外弧面PQ的右侧面上，由静止经电场加速后穿过内弧面均从O点进入磁场，不计粒子重力、粒子间的作用力及碰撞，求： （1）粒子到达O点时的速率v0； （2）若从O点垂直于ad边界射入磁场的粒子恰能从b点离开，求k的值； （3）若要求外弧面PQ上所有的粒子均从ab边射出磁场，求k值的取值范围。 7．如图所示，粒子源S产生大量初速度为零，比荷不同的正电粒子。其中，比荷为的粒子先经过电压为的加速电场，再沿两极板间的中线，进入电压为的偏转电场；粒子从小孔离开电场后，从的中点垂直于进入三角形磁场区域，并最终垂直打在板上。已知该区域，，，且存在垂直纸面向外的匀强磁场。不计重力作用。 (1)求比荷为的粒子离开加速电场时速度的大小； (2)求比荷为的粒子经过小孔时的速度大小，及其与板的夹角； (3)要使粒子源S产生的粒子既能通过小孔，又能打在板上，求这些粒子比荷的范围。 8．如图所示，在直角坐标系中，在轴上方，的范围内存在垂直于纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ，在的范围内存在垂直于纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，区域Ⅰ、Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小相同。有一质量为、电荷量为的带正电粒子从原点以初速度沿轴射入，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求Ⅰ、Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若区域Ⅰ内匀强磁场的磁感应强度大小变为原来的，区域Ⅱ内匀强磁场保持不变，求粒子在磁场中运动的时间； (3)若区域Ⅰ内的磁场磁感应强度大小随均匀增大，即满足，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ，求值。 ▌题型04 与磁场相关的仪器 一. 速度选择器 1、简介 平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直，这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。 2、图例 3、原理 粒子受力特点：同时受方向相反的电场力和磁场力作用。 电场力和洛伦兹力平衡：qE=qvB，解得v=。 4、作用 速度大小只有满足v=的粒子才能做匀速直线运动。 若v＜，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加。 若v＞，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少。 二.质谱仪 1、简介 质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。 2、图例 3、原理 速度选择器和偏转磁场组合：①加速阶段；②匀速阶段； ③偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。 加速电场和偏转磁场组合：①加速阶段；②偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。 4、作用 测量带电粒子质量和分离同位素。 三.回旋加速器 1、构造 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场B中，D形盒的缝隙处接交流电源。 2、图例 3、原理 两个半圆金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场B中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动。经过半个圆周之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再一次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次地反向，粒子的速度就能够增加到很大。 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。 当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm。若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和金属盒半径R决定，与加速电压无关。 粒子运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能，加速次数，粒子在磁场中运动的总时间。该式忽略粒子在狭缝中运动的时间。 不忽略加速时间的总时间：加速时间为（粒子加速时做匀加速直线运动，有，），则。 四.磁流体发电机 1、简介 磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能 2、图例 3、原理 将等离子气体垂直于磁场方向喷入匀强磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差。设平行金属板A、B的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速率为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当正、负离子受到的洛伦兹力和静电力大小相等时，匀速通过A、B板间，此时A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，大小即为电源的电动势E。 沿从S极向N极方向进行观察，如下图所示，则有，则电动势，电源内阻，由闭合电路欧姆定律知，通过的电流。 五.电磁流量计 1、简介 电磁流量计是应用电磁感应原理， 根据导电流体通过外加磁场时感生的电动势来测量导电流体流量的一种仪器。 2、图例 3、原理 流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。 导电液体的流速(v)的计算：一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由，可得。 流量的表达式：。 电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。 六.霍尔效应模型 1、简介 高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。 2、图例 3、原理 电势高低的判断：如图所示，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。 霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由，，，联立解得。霍尔系数：。 1．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（    ） A．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向下偏转 B．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向上偏转 C．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向上偏转 D．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向下偏转 2．质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具，最初是由汤姆孙的学生阿斯顿设计的。他设计了多种质谱仪测量同位素的比荷，图示为其设计的一种质谱仪。现有大量甲、乙两种电荷量均为、质量分别为和的离子从的狭缝处以接近于零的速度进入电压为的加速电场中被加速，加速后由点垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场，最后打在照相底片上，形成、两条质谱线，不计离子重力及离子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．经过加速电场后甲离子的动能较大 B．到点时乙离子的速率较大 C．底片上谱线为乙离子的质谱线 D．甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短 3．如图所示，在两个半径均为的半圆形区域ACD和FGH中，分布有磁感应强度，垂直于纸面向里的匀强磁场；在相距为的AD和FH之间分布有电场强度为，方向随时间不断变化的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从的圆心点由静止释放，保证粒子每次经过电场区域均能加速，且粒子最终以的速度从A点向上射入半圆形区域ACD，恰好从D点射出，则下列说法正确的是（     ） A．电场变化的周期可表示为 B．该粒子的比荷为 C．粒子从开始加速到穿出磁场，共经电场加速10次 D．粒子第n次加速后，其在磁场中的运动半径变为第次加速后的倍 4．2023年1月《力学学报》发表了标题为《爆轰驱动惰性气体磁流体发电试验研究》的文章，文中论述了基于爆轰驱动激波管技术的惰性气体磁流体发电的可能性。发电原理示意图如图所示，平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将爆轰驱动获得的高速等离子体沿垂直于磁场的方向射入磁场，则金属板A、B间便产生强电压。已知A、B板间距为d，板间磁场可视为匀强磁场，磁感应强度为B，以速率v进入磁场的等离子流截面积为S，稳定工作时，进、出极板的离子流单位体积内正、负离子的个数均为n，正负离子电荷量均为q，外电路接电阻R形成闭合回路获得强电流，则（   ） A．所能形成的持续稳定的电流为2nqSv B．磁流体发电机的稳定输出功率为 C．极板间电离气体的电阻率为 D．发电通道两端的压强差 5．电磁流量计常用来测量导电流体的流量Q（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。如图甲，在排污管a处安装一电磁流量计，排污管a处和b处的管道直径分别为100mm和200mm。当导电污水流过竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场时，a处管壁M、N两点间的电势差为U，如图乙所示。污水流量为280m3/h时，通过a处速度约为10m/s；若流量为70m3/h时，则（　　） A．M点电势始终高于N点电势 B．b处流量约为140m3/h C．通过b处速度约为0.62m/s D．U与B之比约为2.5m2/s 6．小明发现家里冰箱门忘记关闭时，会发出提示音，他研究得知，门框内部电路中有一载流子为负电荷的霍尔元件，工作时通有恒定电流I，方向与OC平行从左向右；冰箱门上元件对应位置有一N极朝外的磁铁，冰箱门关闭时会在霍尔元件中产生电压，检测到该电压小于某阈值时，装置会发出提示音。下列说法正确的是（　　） A．冰箱门关闭时，霍尔元件的下表面电势低于上表面 B．打开冰箱门的过程中，霍尔电压增大 C．冰箱门关闭时增大恒定电流I，则霍尔元件上、下表面间电势差增大 D．换用更薄（OA方向）的霍尔元件，发出提示音的冰箱门角度范围增大 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $