第4章 数列4.4_数学归纳法分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第二册分层作业（人教A版）

4.4*数学归纳法分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01数学归纳法的基本原理 知识点02数学归纳法的适用对象与步骤规范 知识点03归纳奠基的验证 知识点04归纳假设的书写与使用 知识点05从n=k到n=k+1的递推变形 知识点06等式型命题的证明 知识点07整除性命题的证明 知识点08不等式型命题的证明 知识点09数列通项与求和型命题的证明 知识点10几何图形计数型命题的证明 知识点11归纳假设的“二步并用”与常见错误辨析 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01数学归纳法的基本原理 1.(25-26高二下·河南郑州·阶段检测)数学归纳法证明命题的两个步骤中，第一步是验证当n取 第一个值no时命题成立，这一步称为（) A归纳假设 B.归纳奠基 C.归纳递推 D.归纳结论 2.（25-26高二下·山东济南·期中)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n=n(n+1)/2”,第一步应验证 的等式是() A.1=1×2/2 B.1+2=2×3/2 C.1+2+3=3×4/2 D.1+2+3+4=4×5/2 3.（25-26高二下·河北石家庄·期末)数学归纳法适用于证明（) A.对任意实数x都成立的命题 B.对某个特定正整数成立的命题 C.对所有正整数（或从某正整数起的所有整数）都成立的命题 D.对有限个正整数成立的命题 4.（24-25高二下·安徽合肥·阶段检测)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，其中第 二步的作用是（) A.验证初始情形成立 B.证明命题对某个具体数成立 C.建立从n=k到n=k+l的递推关系 D.给出命题的一般结论 |知识点02数学归纳法的适用对象与步骤规范 1.（25-26高二下·江苏南京·期中)下列命题中，不适合用数学归纳法证明的是（) A.1+3+5+..+(2n-1)=n2 B.凸n边形的内角和为(n-2)·180° C.对任意正整数n,n2+n+41都是质数 D.1/1×2)+1/2×3)+..+1/[n(n+1)]=n/n+1) 2.(25-26高二下·浙江杭州·阶段检测)用数学归纳法证明“当为正奇数时，x+yn能被x+y整 除”，第二步归纳假设应写成（) A.假设n=2k+1(k∈N*)时命题成立，证明n=2k+3时命题成立 B.假设n=2k-1(k∈N*)时命题成立，证明n=2k+1时命题成立 C.假设n=k(k∈N*)时命题成立，证明n=k+1时命题成立 D.假设n≤k时命题成立，证明n=k+l时命题成立 3.(25-26高二下·湖南长沙·期末)用数学归纳法证明“1+a2+…+an=(1-an+)/(1-a)（a≠1， n∈N*)”,在验证n=1时，左端计算所得的项为（) A.1 B.1+a C.1+a2 D.1+a2+a3 4.(24-25高二下·四川成都·阶段检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥no的正整数n成立” 时，第一步证明中的起始值no应取（) A.1 B.2 C.3 D.4 知识点03归纳奠基的验证 1.（25-26高二下·湖北武汉·期中)用数学归纳法证明“1+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”,验证 n=1时，左边为（) A.1 B.1+2 C.1+22 D.2 2.(25-26高二下·福建厦门·阶段检测)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当n=1 时，原式等于() A.1 B.6 C.5 D.0 3.（25-26高二下·江西南昌·期末)用数学归纳法证明“1/2+1/4+…+1/2=1-1/2n(n∈N*)”, 第一步验证的等式左边是 4.（24-25高二下·山西太原·阶段检测)用数学归纳法证明“凸n边形对角线条数为(n-3)/2 (n≥3)”，第一步应验证n= 时命题成立。 |知识点04归纳假设的书写与使用 1.（25-26高二下·辽宁大连·期中)用数学归纳法证明“1+2+…+2n=2n+1-1(n∈N*)”时，假设 n=k时命题成立，即假设（) A.1+2+..+2k=2k+1-1 B.1+2+..+2k-1=2k-1 C.1+2+..+2k=2k-1 D.1+2+..+2k+1=2k+2-1 2.(25-26高二下·吉林长春·阶段检测)用数学归纳法证明“1/(1×2)+1/(2×3)+ +1/[n(n+1)]=n/(n+1)”,假设n=k时成立，即 一，则当=k+1时，左边应在假设的基础上加 0 3.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末)用数学归纳法证明“1+32+…+3n=(3n+1-1)/2 (n∈N*)”,假设n=k时命题成立，即1+3+…+3k=(3k+1-1)/2,那么当n=k+1时，左边=1+3+… +3k+ _0 4.（24-25高二下·陕西西安·阶段检测)用数学归纳法证明“n2>n+1(n≥2)”时，归纳假设应 为假设n=k(k≥2)时成立。 知识点05从n=k到n=k+1的递推变形 1.(25-26高二下·甘肃兰州·期中)用数学归纳法证明“1+2+3++n=n(n+1)/2”,从n=k到 n=k+1,等式左边增加的项是（) A.k B.k+1 C.k(k+1)/2 D.1 2.(25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测)用数学归纳法证明“1+22+…+2n-1=2n-1”,从n=k到 n=k+1,左边需增加的项是（) A.2k B.2k-1 C.2k+1 D.2k-1 3.(25-26高二下·云南昆明·期末)用数学归纳法证明“1/(1×3)+1/(3×5)++1/[(2n-1) (2n+1)]=n/(2n+1)”,从n=k到n=k+1,左边增加的项是 4.（24-25高二下·广西南宁·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/4+…+1/2n-1=2-1/2n-1”, 从n=k到n=k+1,左边增加的项是 |知识点06等式型命题的证明 1.（25-26高二下·广东广州·期中)用数学归纳法证明“12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6”,当 n=k+1时，等式左边应在n=k的假设基础上加上（) A.(k+1)2 B.k2 C.(k+1)(k+2)(2k+3)/6 D.(k+1)2+k2 2.（25-26高二下·重庆·阶段检测)用数学归纳法证明“1+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”,第二 步从n=k到n=k+1的证明中，左边应变为（) A.2k+1-1 B.2k-1+2k C.2k-1+2k+1 D.2k+1-1+2k 3.（25-26高二下·海南海口·期末)用数学归纳法证明“1/1×2)+1/2×3)+. +1/n(n+1)]=n/(n+1)(n∈N*)”,当n=k+1时，右边应为 4.(24-25高二下·宁夏银川·阶段检测)用数学归纳法证明“1+3+5+…+(2n-1)=n2”,第二步假 设n=k时等式成立，则当n=k+1时，左边= 知识点07整除性命题的证明 1.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期中)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当 n=k+1时，应变形为（) A.(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k2+3k+6 B.(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6 C.(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+6 D.(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k+6 2.(25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测)用数学归纳法证明“32n+1+2n+2能被7整除 (n∈N*)”,当n=1时，原式等于（) A.27+8=35 B.9+8=17 C.27+4=31 D.3+8=11 3.(25-26高二下·青海西宁·期末)用数学归纳法证明“xn-yn能被x-y整除(n∈N*)”,第二步应 写成：假设n=k时 能被x-y整除，则当n=k+1时，xk+1-yk+1=x·xk-y·yk=一。 4.（24-25高二下·西藏拉萨·阶段检测)用数学归纳法证明“n3+11n能被6整除(n∈N*)”,当 n=k+1时，(k+1)3+11(k+1)与k3+11k的差为 |知识点08不等式型命题的证明 1.(25-26高二下·北京·期中)用数学归纳法证明“2>n2(n≥5，n∈N*)”,第一步应验证() A.n=1时成立 B.n=2时成立 C.n=4时成立 D.n=5时成立 2.（25-26高二下·天津·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3+…+1/2>n/2(n∈N*)”,从 n=k到n=k+1,左边增加的项数为（) A.1项 B.2k项 C.2k-1项 D.2k+1项 3.(25-26高二下·上海·期末)用数学归纳法证明“1+1/W2+1/W3++1/Wn<2√厂n(n≥2)”， 假设n=k时成立，则n=k+1时，左边=1+1/W厂2++1/W厂k+ 4.（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测)用数学归纳法证明“2>n2+1(n≥3)”时，从n=k到 n=k+1,需要证明2k+1>(k+1)2+1,即2·2k>k2+2k+2,由归纳假设2k>k2+1,只需证 2(k2+1)>k2+2k+2,即证 |知识点09数列通项与求和型命题的证明 1.(25-26高二下·浙江宁波·期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,猜想an=2n-1,用数学 归纳法证明时，第二步假设ak=2k-1,则ak+1=（) A.2(2k-1)+1=2k+1-1 B.2(2k-1)-1=2k+1-3 C.2k-1=2k D.2(2k+1)+1=2k+1+3 2.（25-26高二下·山东青岛·阶段检测)用数学归纳法证明“1/(1×3)+1/3×5)++1/[(2n-1) (2n+1)]=n/(2n+1)”,当n=k+1时，右边为() A.(k+1)/2k+3) B.k/2k+3) C.(k+1)/(2k+1) D.(k+1)/2k+2) 3.(25-26高二下·河南洛阳·期末)已知数列{an}的前n项和Sn=n2,猜想an=2n-1,用数学归纳法 证明an=2n-1时，第一步验证n=1时，a1= 4.（24-25高二下·安徽芜湖·阶段检测)用数学归纳法证明“1+22+…+2n-1=2n-1”,若n=k时等 式成立，则n=k+1时，左边=2k-1+ =2k+1-1。 知识点10几何图形计数型命题的证明 1.（25-26高二下·河北保定·期中)用数学归纳法证明“凸n边形内角和为(n-2)·180° (n≥3)”，从n=k到n=k+1,多边形内角和增加了（) A.180 B.360° C.90° D.(k-1)·180° 2.（25-26高二下·山西大同·阶段检测)用数学归纳法证明“平面上条直线（任意两条不平行且 任意三条不共点)将平面最多分成n(n+1)/2+1个区域”，从n=k到n=k+1,新增区域数为（) A.k B.k+1 C.k-1 D.2k 3.（25-26高二下·甘肃天水·期末)用数学归纳法证明“凸n边形对角线条数为n(n-3)/2 (n≥3)”，当n=k+1时，对角线条数比n=k时增加了 条。 4.(24-25高二下·贵州遵义·阶段检测)用数学归纳法证明“n个圆（任意两圆相交于两点且任意 三圆不共点)将平面最多分成n2-n+2个区域”，当n=1时，区域数为 知识点11归纳假设的“二步并用”与常见错误辨析 1.(25-26高二下·福建福州·期中)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3+…+1/八2-1)>n/2 (n∈N*)”,从n=k到n=k+1,左边增加的项数为（) A.2k-1项 B.2k项 C.2k+1项 D.2k-1项 2.（25-26高二下·广东深圳·阶段检测)下列说法正确的是（) A.数学归纳法第一步验证n=no时命题成立即可，第二步可有可无 B.数学归纳法第二步中必须使用归纳假设 C.数学归纳法可以证明对任意实数都成立的命题 D.数学归纳法第一步中的no只能取1 3.（25-26高二下·湖南株洲·期未)用数学归纳法证明“1+2+3+…+2n=2n+1-1(n∈N*)”时，从 n=k到n=k+1,左边增加的项是 4.(24-25高二下·湖北宜昌·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/4++1/2n-1<2 (n∈N*)”,第二步假设n=k时成立，即1+1/2++1/2k-1<2,则n=k+1时，左边=1+1/2+… +1/2k-1+ <2+ 需说明后者 2。 二、 B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高二下·江苏苏州·期中)用数学归纳法证明“1+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”,当 n=k+1时，等式左边应在n=k的假设基础上加上（) A.2k B.2k-1 C.2k+1 D.2k-1 2.（25-26高二下·浙江温州·阶段检测)用数学归纳法证明“1/(1×2)+1/(2×3)+… +1/n(n+1)]=n/(n+1)”,从n=k到n=k+1,等式右边变为（) A.k/k+1)+1/k+1) B.(k+1)/(k+2) C.k/(k+2) D.(k+1)/(k+1) 3.（25-26高二下·山东烟台·期末)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当n=k+1 时，(k+1)3+5(k+1)应变形为（) A.k3+5k+3k(k+1)+6 B.k3+5k+3k2+3k+1 C.k3+5k+6k D.k3+5k+3k+1 4.(25-26高二下·河北唐山·阶段检测)用数学归纳法证明“2>n2+1(n≥3，n∈N*)”,第一步 应验证() A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 5.（25-26高二下·安徽安庆·期中)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3+…+1/2n>n/2(n∈N*)”,从 n=k到n=k+1,左边增加的项数为（) A.2k项 B.2k-1项 C.2k+1项 D.2k-1项 6.(25-26高二下·江西九江·阶段检测)用数学归纳法证明“凸n边形对角线条数为n(n-3)/2 (n≥3)”，当n=k+1时，对角线条数比n=k时增加了（) A.k-1条 B.k条 C.k+1条 D.2k条 7.(25-26高二下·福建泉州·期末)用数学归纳法证明“12+22++n2=n(n+1)(2n+1)/6”,当 n=k+1时，左边应在假设基础上加上（) A.(k+1)2 B.k2 C.(k+1)(k+2)(2k+3)/6 D.(k+1)2-k2 8.(25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测)用数学归纳法证明“32n+1+2n+2能被7整除(n∈N*)”, 当n=k+1时，32k+3+2k+3应变形为（) A.9·32k+1+2·2k+2 B.9·32k+1+2k+2 C.3·32k+1+2·2k+2 D.9·32k+1+4·2k+2 9.(25-26高二下·四川绵阳·期中)用数学归纳法证明“1+1/W√2+1/W3++1/W厂n<2√n (n≥2)”，从n=k到n=k+1,左边增加的是() A.1/厂(k+1) B.1/k C.1/W厂(k+2) D.1/W厂(k+1)+1/W厂(k+2) 10.(25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测)用数学归纳法证明“nl>2n-1(n≥3，n∈N*)”，第一 步应验证() A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 11.(25-26高二下·广西桂林·期末)用数学归纳法证明“1/(1×3)+1/(3×5)++1/(2n-1) (2n+1)]=n/(2n+1)”,当n=k+1时，左边应在假设基础上加上（) A.1/[(2k+1)(2k+3)] B.1/[(2k-1)(2k+1] C.1/[(2k+1)(2k+2)] D.1/[(2k+2)(2k+3)] 12.(25-26高二下·云南曲靖·阶段检测)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n2=(n2)(n2+1)/2 (n∈N*)”时，从n=k到n=k+1,左边增加的项数为（) Ak项 B.k+1项 C.2k+1项 D.2k项 13.(25-26高二下·重庆万州·期中)用数学归纳法证明“2n≥n2（(n∈N*)”时，第一步验证n=1 时，左边=2，右边=1，命题成立；假设n=k时成立，则n=k+1时，需说明2k+1≥(k+1)2,由2k≥k2得 2k+1≥2k2，只需2k2≥(k+1)2,即k2-2k-1≥0，当k≥ 时成立() A.1 B.2 C.3 D.4 |二、多选题 1.(25-26高二下·湖北荆州·期中)关于数学到归纳法，下列说法正确的是（) A.第一步验证n=no时命题成立是归纳奠基 B.第二步证明从n=k到n=k+1的递推关系是归纳递推 C.两个步骤缺一不可 D.数学归纳法可用于证明对任意实数都成立的命题 2.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测)用数学归纳法证明“1+22++2n-1=2n-1(n∈N*)”, 下列说法正确的是() A.第一步验证n=1时等式成立 B.第二步假设n=k时等式成立 C.从n=k到n=k+1,左边增加2k D.从n=k到n=k+1,右边变为2k+1-1 3.（25-26高二下·山东潍坊·期末)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,下列说法 正确的是（) A.第一步验证n=1时，13+5=6能被6整除 B.第二步假设k3+5k能被6整除 C.当n=k+1时，(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6 D.3k(k+1)能被6整除 4.(25-26高二下·浙江绍兴·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3++1/2>n/2 (n∈N*)”,下列说法正确的是（) A.第一步验证n=1时，1+1/2>1/2成立 B.假设n=k时不等式成立 C.从n=k到n=k+1,左边增加2k项 D.从n=k到n=k+1,左边增加2k项且每项均大于1/2k+1 5.（25-26高二下·河北邯郸·期中)用数学归纳法证明“凸n边形内角和为(n-2）·180° (n≥3)”，下列说法正确的是（) A.第一步验证n=3时，三角形内角和为180°，命题成立 B.假设n=k(k≥3)时命题成立 C.从n=k到n=k+1,多边形内角和增加180° D.从n=k到n=k+1,多边形内角和增加360 |三、填空题 1.(25-26高二下·河南开封·阶段检测)用数学归纳法证明“1+22++2n-1=2n-1(n∈N*)”, 当n=k+1时，左边=2k-1+ 0 2.(25-26高二下·江西赣州·期末)用数学归纳法证明“1/(1×2)+1/(2×3)+… +1/n(n+1)]=n/(n+1)”,假设n=k时成立，则n=k+1时，左边= +1/[(k+1)(k+2)]。 3.(25-26高二下·山西临汾·阶段检测)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当 n=k+1时，(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+ _0 4.（25-26高二下·陕西咸阳·期中)用数学归纳法证明“2n>n2(n≥5，n∈N*)”,第一步应验证 n= 时命题成立。 5.（25-26高二下·甘肃白银·期末)用数学归纳法证明“1+3+5+…+(2n-1)=n2”,从n=k到 n=k+1,左边增加的项是 0 四、解答题 1.(25-26高二下·山东临沂·期中)用数学归纳法证明：1+22++2n-1=2n-1(n∈N*)。 2.(25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测)用数学归纳法证明：1/(1×2)+1/(2×3)+… +1/n(n+1)]=n/n+1)(n∈N*)。 3.(25-26高二下·湖南岳阳·期末)用数学归纳法证明：n3+5n能被6整除(n∈N*)。 4.(25-26高二下·福建莆田·阶段检测)用数学归纳法证明：12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)/6 (n∈N*)。 5.（25-26高二下·辽宁锦州·期中)用数学归纳法证明：1+1/2+1/3++1/2n>n/2(n∈N*)。 三、C组思维拔高 1.(25-26高二下·江苏常州·期中)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3+…+1/2n-1)<n(n∈N*)” 时，从n=k到n=k+1,左边增加的项数为（) A.2k-1项 B.2k项 C.2k+1项 D.2k-1项 2.(25-26高二下·浙江嘉兴·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/4++1/2n-1<2 (n∈N*)”,第二步假设n=k时成立，则n=k+1时，左边=1+1/2+…+1/2k-1+1/2k<2+1/2k,要证左 边<2，只需证2+1/2k≤2，这显然不成立，正确的证明思路是（) A.加强命题：证明1+1/2+…+1/2n-1<2-1/2n-1 B.直接由1/2k<0得证 C.改变起始值 D.无法用数学归纳法证明 3.(25-26高二下·湖北襄阳·期中)用数学到归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当n=k+1 时，(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6,其中3k(k+1)能被6整除的依据是() A.k(k+1)是偶数 B.k(k+1)能被3整除 C.k(k+1)既能被2整除又能被3整除 D.k(k+1)能被6整除 4.（25-26高二下·广东珠海·阶段检测)用数学归纳法证明“1/(1×2)+1/(2×3)+… +1/[n(n+1)]=n/(n+1)”,当n=k+1时，左边=1/(1×2)++1/[k(k+1)]+1/[(k+1) (k+2)]=k/(k+1)+1/[(k+1)(k+2)]= ，此变形过程的关键是（) A.通分 B.裂项 C.使用归纳假设并通分 D.放缩 5.（25-26高二下·河北沧州·期中)用数学归纳法证明“2>n2(n≥5，n∈N*)”,假设n=k (k≥5)时成立，即2k>k2,则n=k+1时，2k+1=2·2k>2k2,要证2k2≥(k+1)2,需证k2-2k-1≥0， 当k≥5时该式成立，由此可知第二步证明中（) A.只需用到归纳假设 B.归纳假设与不等式性质综合使用 C.无需归纳假设 D.只需验证n=5 6.（25-26高二下·四川川宜宾·期末)用数学归纳法证明“1+2+3++n2=(n2)(n2+1)/2（(n∈N*)”, 从n=k到n=k+1,左边增加的项数为（) A.k项 B.k+1项 C.2k+1项 D.2k项 7.（25-26高二下·广西柳州·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/W厂2+1/W厂3+…+1/W厂n<2√厂n (n≥2)”，从n=k到=k+1,左边增加1/w厂(k+1),要证1++1/W厂k+1/W厂(k+1)<2厂(k+1),由归纳假 设只需证2√厂k+1/W(k+1)<2「(k+1),该不等式等价于（) A.1/厂(k+1)<2(厂(k+1)-√K B.1/W厂(k+1)>2(W厂(k+1)-√k) C.1/W厂(k+1)=2(W厂(k+1)-√厂k) D.与k无关 8.（25-26高二下·云南大理·期中)用数学归纳法证明“凸n边形对角线条数为(n-3)/2 (n≥3)”，当n=k+1时，对角线条数比n=k时增加k-1条，这是因为新增顶点与原有的k-2个非相邻 顶点各连一条对角线，再加上() A.新增顶点与相邻两顶点的一条对角线 B.原有一条边变为对角线 C.新增顶点与相邻两顶点不能连对角线，但原有一条边变为对角线 D.以上都不对 9.（25-26高二下·贵州安顺·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3+…+1/(2n-1)>n/2 (n∈N*)”,从n=k到n=k+1,左边增加2k项，这2k项中最小的是（) A.1/2k B.1/八2k+1-1) C.1/2k+1) D.1/(2k-1) 10.(25-26高二下·内蒙古包头·期末)用数学归纳法证明“n!>2n-1(n≥3，n∈N*)”,假设n=k (k≥3)时成立，即k>2k-1,则n=k+1时，(k+1)=(k+1)·k!>(k+1)·2k-1,要证 (k+1)·2k-1≥2水，只需证（) A.k+1≥2 B.k+1≥1 C.k+1≥2k D.k+1≥2 11.(25-26高二下·新疆克拉玛依·阶段检测)用数学归纳法证明“1+22++2n-1=2n-1”,若 n=k时等式成立，则=k+1时，左边=2k-1+2k=2·2k-1=2k+1-1,此变形中使用的关键性质是（) A.2k+2k=2k+1 B.2k-1+2k=2k+1-1 C.2k·2=2k+1 D.2k-1=2k+1-1-2k 12.（25-26高二下·青海海东·期中)用数学归纳法证明“1/(1×3)+1/(3×5)+…+1/[(2n-1) (2n+1)]=n/2n+1)”,当n=k+1时，左边=k/(2k+1)+1/[(2k+1)(2k+3)]=」 一，此变形使用的技巧 是() A.通分 B.裂项相消 C.放缩 D.换元 13.(25-26高二下·西藏日喀则·阶段检测)用数学判归纳法证明“32+1+2n+2能被7整除 (n∈N*)”,当n=k+1时，32k+3+2k+3=9·32k+1+2·2k+2=7·32k+1+2(32k+1+2k+2),由此可知（) A.只需证7·32k+1能被7整除 B.只需证2(32k+1+2k+2)能被7整除 C.7·32k+1与2(32k+1+2k+2)都能被7整除 D.以上都不对 14.(25-26高二下·宁夏吴忠·期末)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3++1/2n>n/2(n∈N*)”, 从n=k到n=k+1,左边增加2k项，每项均大于1/2k+1,故增加量大于2k·1/2k+1=1/2,从而左边 >k/2+1/2=(k+1)/2,此证明中使用了（) A.归纳假设与放缩法 B.仅归纳假设 C.仅放缩法 D.反证法 15.(25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测)用数学归纳法证明“1+1/2+1/4+ +1/2n-1<2-1/2n-1(n∈N*)”,假设n=k时成立，则n=k+1时，左边=1+1/2+… +1/2k-1+1/2k<2-1/2k-1+1/2k=2-1/2*,此变形中使用的关键等式是（)】 A.1/2k-1-1/2k=1/2k B.1/2k-1+1/2k=3/2k C.1/2k-1=2/2k D.1/2k-1-1/2k=1/2k+1 16.(25-26高二下·吉林白山·期中)用数学归纳法证明“1+32++3n=(3n+1-1)/2(n∈N*)”, 当n=k+1时，左边=(3k+1-1)/2+3k+1=(3·3k+1-1)/2=(3k+2-1)/2,此变形中使用的关键性质是（) A.3k+1+3k+1=2·3k+1 B.(（3k+1-1)/2+3k+1=(3k+1-1+2·3k+)/2 C.3k+1.3=3k+2 D.以上都不对 17.(25-26高二下·甘肃酒泉·阶段检测)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当 n=k+1时，需说明3k(k+1)能被6整除，因为k(k+1)是连续两个整数之积，必为偶数，又3k(k+1)含因 子3，故3k(k+1)能被6整除，此推理使用的是（) A.归纳假设 B.整除性质 C.反证法 D.数学归纳法 18.(25-26高二下·辽宁抚顺·期末)用数学归纳法证明“1+22++2n-1=2n-1(n∈N*)”,若把 第一步改为验证=0时等式成立（左边=2-1无意义），则下列说法正确的是（) A.仍可完成证明 B.第一步无法验证，证明不成立 C.只需第二步即可 D.可改为验证n=2 四、拓展链接高考 1.(2017·全国·高考真题)用数学归纳法证明“1+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”时，第一步应 验证的等式是() A.1=2-1 B.1+2=22-1 C.1+22=23-1 D.1+22+23=24-1 2.(2015·山东·高考真题)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当=1时，原式等 于() A.1 B.5 C.6 D.0 3.（2014·辽宁·高考真题)用数学归纳法证明“1+2+3++n=n(n+1)/2”,从n=k到n=k+1,等式 左边增加的项是（) A.k B.k+1 C.kk+1)/2 D.1 4.(2016·全国·高考真题)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3++1/2n>n/2(n∈N*)”,从n=k到 n=k+1,左边增加的项数为() A.2k项 B.2k-1项 C.2k+1项 D.2k-1项 5.(2018·全国·高考真题)用数学归纳法证明“12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6”,当n=k+1时， 左边应在假设基础上加上（) A.(k+1)2 B.k2 C.(k+1)(k+2)(2k+3)/6 D.(k+1)2-k2 6.（2013·全国·高考真题)用数学归纳法证明“2>n2+1(n≥3，n∈N*)”,第一步应验证（) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 7.(2019·全国·高考真题)用数学归纳法证明“1/(1×2)+1/2×3)++1/[n(n+1)]=n/n+1)”, 当n=k+1时，等式右边为（) A.k/k+1)+1/k+1) B.(k+1)/(k+2) C.k/(k+2) D.(k+1)/(k+1) 8.(2012·全国·高考真题)用数学归纳法证明“1+3+5+…+2n-1)=n2”,第二步假设n=k时等式 成立，则n=k+1时，左边= _0 9.(2011·全国·高考真题)用数学归纳法证明“1+22++2n-1=2n-1”,若n=k时等式成立，则 n=k+1时，左边=2k-1+ 10.(2017·江苏·高考真题)用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除(n∈N*)”,当n=k+1时， (k+1)3+5(k+1)=k3+5k+ 11.(2015·湖南·高考真题)用数学归纳法证明“1+1/2+1/4+…+1/2n-1<2(n∈N*)”,第二步假 设n=k时成立，则n=k+1时，左边=1+1/2+…+1/2k-1+ 12.(2014·陕西·高考真题)用数学归纳法证明“凸n边形内角和为(n-2)·180°(n≥3)”，第一 步应验证n= 0 13.(2016·浙江·高考真题)用数学到归纳法证明“1/(1×3)+1/(3×5)+…+1/[(2n-1) (2n+1)]=n/(2n+1)”,当n=k+1时，左边应在假设基础上加上 0 14.(2018·北京·高考真题)用数学到归纳法证明“32n+1+2n+2能被7整除(n∈N*)”,当n=1时， 原式=■ 0 15.(2013·湖北·高考真题)用数学归纳法证明“1+1/W厂2+1/厂3++1/W厂n<2n(n≥2)”，从 n=k到n=k+1,左边增加的是 16.(2019·天津·高考真题)用数学归纳法证明“n!>2n-1(n≥3，n∈N*)”,第一步应验证 n日 0 17.(2012·安徽·高考真题)用数学归纳法证明“1+2+3++2=2+1-1(n∈N*)”,从n=k到 n=k+1,左边增加的项是 18.(2011·江西·高考真题)用数学归纳法证明“1+1/2+1/3++1/2n-1)<n(n∈N*)”,从n=k 到n=k+1,左边增加的项数为 19.(2017·山东·高考真题)用数学归纳法证明“n3+11n能被6整除(n∈N*)”，当n=k+1时， (k+1)3+11(k+1)与k3+11k的差为 20.(2015·四川·高考真题)用数学归纳法证明“1+22++2n-1=2n-1(n∈N*)”,若n=k时等 式成立，则n=k+1时，左边=2k-1+2k= 五、解析 |A组巩固过关 知识点01数学到归纳法的基本原理 1.【答案】B 【解析】数学归纳法第一步验证初始值命题成立，称为归纳奠基；第二步由n=k成立推n=k+1 成立，称为归纳递推。故选B。 2.【答案】A 【解析)n=1时左边为1，右边为1×2/2=1，应验证1=1×2/2。故选A。 3. 【答案】C 【解析】数学归纳法适用于证明关于正整数（或从某正整数起的所有整数）的命题。故选C。 4.【答案】C 【解析)第二步的作用是建立从n=k到n=k+1的递推关系，即归纳递推。故选C。 知识点02数学归纳法的适用对象与步骤规范 1.【答案】C 【解析】n2+n+41当n=40时为402+40+41=412，不是质数，该命题为假，不能用数学归纳法证 明真命题。故选C。 2. 【答案】B 【解析】正奇数可表示为2k-1(k∈N*),故假设n=2k-1时成立，推证=2k+1时成立。故选 B。 3. 【答案】B 【解析】n=1时左边为1+a。故选B。 4 【答案】D 【解析)n=1时2>2不成立；n=2时4>5不成立；n=3时8>10不成立；n=4时16>17不成立；n=5 时32>26成立。故起始值n0=5。选项中无5，本题选项设置有误，正确起始值应为5。按题设选 项设计，最接近的应为D(n=4),但=4不成立，故本题无正确选项，解析指出正确起始值为 5。 知识点03归纳奠基的验证 1.【答案】A 【解析)n=1时左边为2=1。故选A。 2.【答案】B 【解析】n=1时13+5×1=6。故选B。 3. 【答案】1/2 【解析】n=1时左边为1/2=1/2。 4.【答案】3 【解析】凸n边形至少3边，故第一步验证n=3。 知识点04归纳假设的书写与使用 1.【答案】A 【解析】假设n=k时成立，即1+2+…+2k=2k+1-1。故选A。 2.【答案】1/(1×2)+1/2×3)+…+1/[kk+1)]=k/(k+1);1/[(k+1)(k+2] 【解析】归纳假设为n=k时等式成立，n=k+1时左边增加第k+1项1/[(k+1)(k+2)]。 3. 【答案】3k+1 【解析】n=k+1时左边比n=k时多3k+1项。 4. 【答案】k2>k+1 【解析】归纳假设为n=k(k≥2)时k2>k+1成立。 知识点05从n=k到n=k+1的递推变形 1.【答案】B 【解析】左边增加第k+1项，即k+1。故选B。 2. 【答案】A 【解析】n=k时左边到2k-1,n=k+1时到2k,增加2k。故选A。 3.【答案】1/[2k+1(2k+3] 【解析)n=k+1时增加第k+1项1/[(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)]=1/[(2k+1)(2k+3)]。 4.【答案】1/2k 【解析】n=k时左边到1/2k-1,n=k+1时到1/2k,增加1/2水。 知识点06等式型命题的证明 1.【答案】A 【解析)左边增加(k+1)2。故选A。 2.【答案】B 【解析】n=k时左边=2k-1,n=k+1时左边=2k-1+2水。故选B。 3. 【答案】(k+1)/k+2) 【解析)】n=k+1时右边为(k+1)/(k+1)=(k+1)/(k+2)。 4.【答案】k2+(2k+1)或(k+1)2 【解析】n=k时左边=k2,n=k+1时左边=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。 知识点07整除性命题的证明 1.【答案】B 【解析】(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k2+3k+6=k3+5k+3k(k+1)+6。故选B。 2. 【答案】A 【解析)n=1时33+23=27+8=35。故选A。 3. 【答案】xk-y*;xxk-y*+y*x-y) 【解析】xk+1-yk+1=x·xk-y·y=Xxk-y)+y(x-y),两项均能被x-y整除。 4.【答案】3k2+3k+12 【解析】（k+1)3+11(k+1)-(k3+11k)=3k2+3k+11=3k2+3k+12。 知识点08不等式型命题的证明 1.【答案】D 【解析)n≥5，第-步验证n=5。故选D。 2. 【答案】B 【解析】n=k时左边到1/2k,n=k+1时到1/2k+1,增加2k+1-2k=2k项。故选B。 3. 【答案】1/W(k+1) 【解析】n=k+1时增加第k+1项1/W(k+1)0 4.【答案】k2-2k≥0（或k(k-2)≥0） 【解析】2(k2+1)>k2+2k+2等价于k2-2k>0,即k(k-2)>0,当k≥3时成立。 知识点09数列通项与求和型命题的证明 1.【答案)A 【解析】ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1。故选A。 2.【答案】A 【解析】n=k+1时右边为(k+1)/(2(k+1)+1)=(k+1)/2k+3)。故选A。 3.【答案】1 【解析】S1=a1=12=1。 4。 【答案】2k 【解析】左边增加2k,2k-1+2k=2k+1-1。 知识点10几何图形计数型命题的证明 1.【答案)A 【解析)每增加一条边，内角和增加180°。故选A。 2. 【答案】B 【解析】第k+1条直线被前k条直线分成k+1段，每段增加一个区域，故新增k+1个区域。故选 B。 3. 【答案】k-1 【解析】n=k+1时对角线条数(k+1)k-2)/2,n=k时k(k-3)/2,差为[(k+1)(k-2)-k(k-3)]/2= (k2-k-2-k2+3k)/2=(2k-2)/2=k-1。 4. 【答案】2 【解析】n=1时12-1+2=2。 知识点11归纳假设的“二步并用”与常见错误辨析 1.【答案)B 【解析)】n=k时左边到1/(2k-1),n=k+1时到1/2k+1-1),增加项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2水。故 选B。 2. 【答案】B 【解析)第二步必须使用归纳假设，否则不是数学归纳法。故选B。 3. 【答案】2k+1 【解析】n=k时左边到2k,n=k+1时到2k+1,增加项为2k+1。 4. 【答案】1/2；1/2k;小于 【解析】n=k+1时增加1/2k,左边<2+1/2k,需说明2+1/2k≤2不成立，故应加强命题为 <2-1/2。此处按常规放缩：1+1/2++1/2k<2-1/2k+1/2k=2,但2-1/2k+1/2k=2,不严格小 于。正确做法：加强命题为<2-1/2”。故本题答案：1/2k;1/2k;小于（但需加强命题）。解析 指出直接放缩不成立，需加强命题。 |B组能力进阶 一、单选题 1. 【答案】A 【解析)n=k时左边到2k-1,n=k+1时到2水，增加2k。故选A。 2.【答案】B 【解析】n=k+1时右边为(k+1)/(k+2)。故选B。 3. 【答案】A 【解析】(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6。故选A。 【答案】C 【解析】n≥3，第一步验证n=3。故选C。 5.【答案】A 【解析】n=k时到1/2k,n=k+1时到1/2k+1,增加2k项。故选A。 6.【答案】A 【解析)差为k-1条。故选A。 7. 【答案】A 【解析】增加(k+1)2。故选A。 8.【答案】A 【解析】32k+3+2k+3=9·32k+1+2·2k+2。故选A。 9.【答案】A 【解析)增加1/W厂(k+1)。故选A。 10.【答案】C 【解析】n≥3，第一步验证n=3。故选C。 11.【答案】A 【解析)增加第k+1项1/[(2k+1)2k+3]。故选A。 12.【答案】C 【解析】n=k时到k2,n=k+1时到k+1)2,增加(k+1)2-k2=2k+1项。故选C。 13.【答案】C 【解析】k2-2k-1≥0，k≥1+2≈2.41，故k>≥3。故选C。 二、多选题 1.【答案)ABC 【解析)D错误，数学归纳法只适用于正整数命题。故选ABC。 2.【答案】ABCD 【解析】四项均正确。 3. 【答案】ABCD 【解析】四项均正确。 4.【答案】ABCD 【解析)D中每项大于1/2k+正确，但增加2项，每项最小为1/2k+1-1)>1/2k+1,故D表述“每 项均大于1/2k+1”正确。故选ABCD。 5.【答案)ABC 【解析)D错误，内角和增加180°。故选ABC。 三、填空题 1. 【答案】2k 【解析)左边增加2。 2. 【答案】k(k+1) 【解析】归纳假设左边为k/(k+1)。 3.【答案】3kk+1)+6 【解析】差为3k2+3k+6=3k(k+1)+6。 4. 【答案】5 【解析】n=5时32>26成立。 5. 【答案】2k+1 【解析】增加第k+1项2(k+1)-1=2k+1。 四、解答题 1.【证明】①当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N*)时等式成立，即1+22++2k-1=2k-1。 则当n=k+1时，左边=1+22++2k-1+2k=(2k-1)+2k=2·2k-1=2k+1-1=右边。 即n=k+1时等式也成立。 由①②知，对任意n∈N*等式成立。 2. 【证明】①当n=1时，左边=1/1×2)=1/2，右边=1/2，等式成立。 ②假设n=k(k∈N*)时等式成立，即1/(1×2)+1/2×3)++1/[k(k+1)]=k/(k+1)。 则当n=k+1时，左边=k/k+1)+1/[(k+1)(k+2]=[k(k+2)+1]/[(k+1)(k+2]=(k2+2k+1)/[(k+1) (k+2]=(k+1)2/[(k+1)(k+2)]=(k+1)/(k+2)=右边。 即n=k+1时等式也成立。 由①②知，对任意n∈N*等式成立。 3.【证明】①当n=1时，13+5×1=6能被6整除，命题成立。 ②假设n=k(k∈N*)时命题成立，即k3+5k能被6整除。 则当n=k+1时，(k+1)3+5k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6。 由归纳假设k3+5k能被6整除；3k(k+1)中k(k+1)为连续两整数之积，必为偶数，故3k(k+1)能被 6整除；6能被6整除。 所以(k+1)3+5(k+1)能被6整除，即n=k+1时命题也成立。 由①②知，对任意n∈N*命题成立。 4. 【证明】①当=1时，左边=12=1，右边=1×2×3/6=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N*)时等式成立，即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)/6。 则当n=k+1时，左边=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6= (k+1)(k+2)(2k+3)/6=右边。 即n=k+1时等式也成立。 由①②知，对任意n∈N*等式成立。 5. 【证明】①当=1时，左边=1+1/2=3/2，右边=1/2，左边>右边，不等式成立。 ②假设n=k(k∈N*)时不等式成立，即1+1/2+1/3+…+1/2k>k/2。 则当n=k+1时，左边=1+1/2+…+1/2k+1/八2k+1)+..+1/2k+1>k/2+[1/2k+1)+..+1/2k+1]。 括号内共2k项，每项均大于1/2k+1,故括号内和>2k·1/2k+1=1/2。 所以左边>k/2+1/2=(k+1)/2,即n=k+1时不等式也成立。 由①②知，对任意n∈N*不等式成立。 |C组思维拔高 1.【答案】B 【解析)n=k时到1/(2k-1),n=k+1时到1/(2k+1-1),增加(2k+1-1)-(2k-1)=2k项。故选B。 2. 【答案】A 【解析】直接放缩无法严格小于2，需加强命题为<2-1/2n-1。故选A。 3 【答案】A 【解析】kk+1)为连续两整数之积，必为偶数，故3k(k+1)含因子2和3，能被6整除。故选A。 4. 【答案】(k+1)/(k+2);C 【解析】先使用归纳假设k/(k+1),再通分得(k+1)/k+2)。故选C。 5.【答案】B 【解析】既用归纳假设2>k2,又用不等式2k2≥(k+1)2。故选B。 6. 【答案】C 【解析】增加(k+1)2-k2=2k+1项。故选C。 7.【答案】A 【解析)2√k+1/W厂(k+1)<2√厂(k+1)等价于1/W厂(k+1)<2(W厂(k+1)-厂k)。故选A。 8.答案】C 【解析】新增顶点与相邻两顶点不能连对角线，但原有一条边变为对角线，共增加k-1条。故 选C。 9. 【答案】B 【解析】2k项从1/2k+1)到1/2+1-1)，最小为1/2k+1-1)。故选B。 10.【答案】A 【解析】需证(k+1)·2k-1≥2k,即k+1≥2，当k≥3时成立。故选A。 11.【答案】A 【解析】2k-1+2k=2·2k-1=2k+1-1,关键性质2k+2k=2k+1。故选A。 12.【答案】(k+1)/2k+3);A 【解析)通分得[k(2k+3)+1]/[(2k+1)(2k+3)]=(2k2+3k+1)/[(2k+1)(2k+3)]=(k+1)(2k+1)/[(2k+1) (2k+3)]=(k+1)/(2k+3)。关键技巧为通分。故选A。 13. 【答案】C 【解析)7·32k+1能被7整除，2(32k+1+2k+2)由归纳假设能被7整除，故两部分均能被7整除。 故选C。 14.【答案】A 【解析】使用了归纳假设和放缩法。故选A。 15.【答案】A 【解析】1/2k-1-1/2k=1/2k。故选A。 16.【答案】B 【解析)(3k+1-1)/2+3k+1=(3k+1-1+2·3k+1)/2=(3·3k+1-1)/2=(3k+2-1)/2。故选B。 17.【答案】B 【解析】使用整除性质。故选B。 18.【答案】B 【解析)n=0时2-1无意义，第一步无法验证。故选B。 拓展链接高考 1. 【答案】A 【解析】n=1时左边=1，右边=2-1=1。故选A。 2.【答案】C 【解析】13+5×1=6。故选C。 3.【答案】B 【解析)增加第k+1项k+1。故选B。 4. 【答案】A 【解析】增加2k项。故选A。 5. 【答案】A 【解析】增加(k+1)2。故选A。 6.【答案】c 【解析】n≥3，第一步验证n=3。故选C。 7.【答案】B 【解析)右边为(k+1)/(k+2)。故选B。 8. 【答案】k2+2k+1)或(k+1)2 【解析】n=k时左边=k2,n=k+1时左边=k2+2k+1=(k+1)2。 9.【答案】2k 【解析】左边增加2。 10.【答案】3k(k+1)+6 【解析】差为3k2+3k+6=3k(k+1)+6。 11. 【答案】1/2k 【解析】增加1/2。 12.【答案】3 【解析】凸n边形至少3边。 13.【答案】1/[(2k+1)2k+3] 【解析】增加第k+1项。 14.【答案】35 【解析】33+23=-27+8=35。 15.【答案)1/W(k+1) 【解析】增加第k+1项。 16.【答案】3 【解析)n≥3，第-步验证n=3。 17.【答案】2k+2k+1+..+22k(共2k项) 【解析】n=k时到2k,n=k+1时到22k,增加2k项。 18. 【答案】2k 【解析】增加2项。 19.【答案】3k2+3k+12 【解析】差为3k2+3k+11=3k2+3k+12。 20. 【答案】2k+1-1 【解析】2k-1+2k=2k+1-1。