数列的综合应用及数学归纳法-午练半小时-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 该同步练习按A级（6题）、B级（3题）、C级（2题）分层，覆盖数列综合应用及数学归纳法，从基础概念到综合探究，适配新授课分层教学，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|等比数列求和、数列前n项和、数学归纳法基础|选择填空为主，巩固单一知识点，强化运算能力| |B级|函数与数列结合、错位相减求和、递推关系证明|填空与证明题，综合应用知识，发展推理能力| |C级|通项公式推导与不等式证明、归纳法猜想证明|解答题，高阶探究，培养创新意识与模型观念|

午练半小时　数列的综合应用及数学归纳法 A级 必备知识基础练 1.设等比数列{an}的各项均为正数,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(　　) A. B. C.15 D.30 2.数列{an}的前n项和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S27=(　　) A.-13 B.13 C.14 D.-14 3.若数列{an}的通项公式是an=其前n项和为Sn,则S30=(　　) A.120 B.180 C.240 D.360 4.若数列{an}满足an=,则S8=(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开　　　　　.  6.数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n,则{an}的通项公式为　　　　　.  B级 关键能力提升练 7.设函数f(x)=+lg,则f+f+…+f=　　　　　.  8.计算1×+2×+3×+…+9×=　　　　　.  9.已知数列{an}的前n项和Sn满足4an-2Sn+n2-3n-4=0,n∈N*.求证:数列{an-n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式. C级 学科素养创新练 10.已知数列{an}满足,且a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<4. 11.设正项数列{an}的首项为4,满足=an+1+3nan-3. (1)求a2,a3,并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 参考答案 1.C　2.C　3.C　4.A 5.(k+3)3　6.an=2n　7.　 8.　令S=1×+2×+3×+…+9×, ① 则S=1×+2×+3×+…+9×, ② 由①-②,得S=+…+-9×-9×=1--9×=1-,所以S=. 9.证明当n=1时,4a1-2S1+12-3-4=0,即a1=3,当n≥2时,4an-2Sn+n2-3n-4=0,4an-1-2Sn-1+(n-1)2-3(n-1)-4=0,所以4(an-an-1)-2an+2n-4=0,整理得an=2an-1-n+2,所以an-n=2[an-1-(n-1)],又a1-1=2≠0,故an-n≠0,所以{an-n}为首项是2,公比是2的等比数列,所以an-n=2n,即an=2n+n. 10.解 (1)由题意得an+1-an=2n+1,则an-an-1=2(n-1)+1,…,a2-a1=2+1,n≥2, 将这n项相加,可得an+1-1=2(n+n-1+…+1)+n⇒an+1=2×+n+1=(n+1)2, 所以an=n2,经检验a1=1成立,所以an=n2. (2)由题可得,bn=,当n=1时,T1=2, 又因为当n≥2时,=2×, 所以Tn=2+21-+…+=2+2<4. 11.(1)解∵=an+1+3nan-3, ∴an+1=-3nan+3.∵正项数列{an}的首项为4,∴a2=-3a1+3=7,a3=-6a2+3=10,∴a2=7,a3=10,猜想an=3n+1. (2)证明①当n=1时,猜想显然成立; ②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时猜想成立,即ak=3k+1, 当n=k+1时,ak+1=-3kak+3=(3k+1)2-3k(3k+1)+3=3k+4=3(k+1)+1,所以当n=k+1时,猜想成立. 由①②可得,对于任意n∈N*,猜想成立.故an=3n+1. 学科网（北京）股份有限公司 $