4.3.1等比数列的概念（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.3.1等比数列的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等比数列的定义与判断 题型02 等比数列的判定与证明 题型03 等比数列通项公式的基本量计算 题型04 等比数列的通项公式及应用 题型05 利用等比数列通项公式求数列中的项 题型06 等比中项及其应用 题型07 等比数列的性质及应用 题型08 等比数列的函数特性 题型09 正项等比数列的对数成等差数列的应用 B组 能力进阶 题型01 等比数列的单调性 题型02 求等比数列中的最大（小）项 题型03 等比数列的实际应用 C组 思维拔高 题型 新定义问题 等比数列的定义与判断题型01 1．已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝___． 5．（26-27高三上·福建福州·适应性考试）已知数列的通项公式为.若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________. 等比数列的判定与证明题型02 1．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 2．数列{an}中，， （1）求证：数列{an+n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期末）已知数列中，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明： 4．已知数列的前项和. (1)证明：是等比数列； (2)若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 5．已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，求的值． 等比数列通项公式的基本量计算题型03 1．已知数列为等比数列，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．正项等比数列中，，，则其公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知是等比数列，，则公比_____. 5．（26-27高三·浙江·适应性考试）已知数列是等比数列，若，，则_______． 等比数列的通项公式及应用题型04 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知为等比数列，若，公比，则等于（   ） A． B． C． D． 2．设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（    ） A．64 B．96 C．128 D．192 3．若数列满足，则数列的通项公式为________． 4．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 5．设，数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)证明：对于一切正整数，． 利用等比数列通项公式求数列中的项题型05 1．等比数列，，，，的项数为（    ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，则16是中的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 3．（25-26高二·江苏如皋·期末）已知等比数列的公比大于0，，，若，则正整数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（26-27高三上·北京·月考）为公差不为0的等差数列，为公比不为1的等比数列．①存在，使得有无穷多项是中的项；②存在，使得有无穷多项是中的项．则（     ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 5．在数列中，，，若（其中），则______. 等比中项及其应用题型06 1．（25-26高二下·江西·期中）3与27的等比中项为（   ） A．9 B． C．15 D． 2．已知等比数列，其中，，则（   ） A．-8 B．8 C． D．64 3．（24-25高二下·贵州·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______． ______． 5．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 等比数列的性质及应用题型07 1．已知等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列为递增数列，若，，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．在等比数列中，，，则________ 4．（25-26高一·上海·期末）设等比数列的公比为q，为前n项积，且满足，，，则下列结论正确的是________（填序号） ①  ②  ③的最大值为  ④若，则 5．（24-25高三下·河南五·联考）已知等比数列的前n项和为，且． (1)若，求数列的通项公式； (2)若．求b． 等比数列的函数特性题型08 1．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京·学业水平）若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·上海·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 正项等比数列的对数成等差数列的应用题型09 1．在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 4．已知数列是等比数列，且，则______；设函数，记，则_______. 5．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 等比数列的单调性题型01 1．（25-26高三上·陕西榆林·联考）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 3．已知等比数列的首项为－2，公比为q．试写出一个实数q＝______，使得an＜an＋1． 4．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______． 5．已知数列满足，. (1)设，证明：数列为等比数列； (2)若为等比数列，求的值； (3)若，，求的取值范围. 求等比数列中的最大（小）项题型02 1．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 4．等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 5．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 等比数列的实际应用题型03 1．（25-26高三上·广西梧州·期末）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．（25-26高二上·河北·期末）用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为（    ）（参考数据：） A．元 B．元 C．元 D．元 3．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 4．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______． 5．某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备. (1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由； (2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，） 新定义问题题型 1．（24-25高二上·天津·期末）定义，已知数列为等比数列，且，，则（   ） A．3 B．±3 C．9 D．±9 2．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 3．（24-25高三下·安徽·联考）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 4．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二下·北京·期中）若实数数列满足，则称数列为数列. (1)请简要说明理由，并写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零； (2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值； (3)已知为数列，求证：为数列且为数列的充要条件是“是单调数列”. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3.1等比数列的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等比数列的定义与判断 题型02 等比数列的判定与证明 题型03 等比数列通项公式的基本量计算 题型04 等比数列的通项公式及应用 题型05 利用等比数列通项公式求数列中的项 题型06 等比中项及其应用 题型07 等比数列的性质及应用 题型08 等比数列的函数特性 题型09 正项等比数列的对数成等差数列的应用 B组 能力进阶 题型01 等比数列的单调性 题型02 求等比数列中的最大（小）项 题型03 等比数列的实际应用 C组 思维拔高 题型 新定义问题 等比数列的定义与判断题型01 1．已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 【答案】B 【详解】，因为是正项等比数列，所以. 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 3．非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为为非零数列，由，可得，对任意且都成立， 则是等比数列，充分性成立； 若是等比数列，则，即，对任意且都成立，必要性成立， 所以非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的充要条件. 故选：C 4．已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝___． 【答案】2 【分析】由定义直接求出公比. 【详解】因为在等比数列{}中，， 所以{}的公比q＝. 故答案为：2 5．（26-27高三上·福建福州·适应性考试）已知数列的通项公式为.若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________. 【答案】12 【分析】设数列中的构成公比为的等比数列，列出对应的方程，根据都是质数，求出,再将代入验证. 【详解】假设数列中的构成公比为的等比数列， 所以, 又, 所以, 所以, 因为都是质数，所以能被整除， 所以,即, 所以正整数的最小值为， 验证：当时，由得， 所以, 取，则,符合题意， 所以正整数的最小值为. 等比数列的判定与证明题型02 1．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， (2) 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以． 2．数列{an}中，， （1）求证：数列{an+n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 【答案】（1）证明:根据题意，，则 ∴且 故数列{}是首项与公比都为2的等比数列. （2） 【分析】(1)由递推式可得到，即可证数列{an+n}为等比数列； (2)由(1)的结论可知，即可知{an}的通项公式. 【详解】（1）略； （2）由（1）结论可知： ∴ 【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，并求数列的通项公式，属于简单题 3．（24-25高二上·山东菏泽·期末）已知数列中，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明： 【答案】(1)证明：因为，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. (2) (3)证明：， 因为，故. 而， 所以数列为递增数列，所以. 所以成立. 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列. （2）根据（1）的结论可求数列的通项公式. （3）分析数列的单调性，即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，所以. （3）略 4．已知数列的前项和. (1)证明：是等比数列； (2)若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【答案】(1) 数列的前项和，当时，， 即，而，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）的结论求出，进而求出并求出公差. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，则，， 所以等差数列的公差. 5．已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，求的值． 【答案】(1)， (2)证明：设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立，消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上，即有， 所以，因为， 则， 由（1）知，所以数列为为首项，的公比的等比数列； (3) 【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得； （2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证； （3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算出即可得. 【详解】（1）由题知，所以双曲线， 又过点，斜率为的直线方程为， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为的直线方程为，即， 由，解得或，当时，， 所以，所以； （2）略 （3）由（2）知，得到， 由，即， 即， 则， ， 故，， ，， 故， ， 即，则， 则 ， ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到后，结合，从而可得与，再利用面积公式计算即可得. 等比数列通项公式的基本量计算题型03 1．已知数列为等比数列，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式直接求解即可. 【详解】设数列的公比为，则，，. 故选：B. 2．正项等比数列中，，，则其公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】可根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出关于的方程，进而求解公比. 【详解】，，， ，，相除可得：， 展开式子得，解得或，因为数列是正项等比数列，所以，故舍去， 得到. 3．已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以， 所以； 当时，，所以，所以， 所以； 综上，的最小值为. 故选：B 4．（24-25高二下·上海·期末）已知是等比数列，，则公比_____. 【答案】##0.5 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】是等比数列，，， ，解得， 故答案为： 5．（26-27高三·浙江·适应性考试）已知数列是等比数列，若，，则_______． 【答案】 324 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为，， 所以， 又，， 因此. 等比数列的通项公式及应用题型04 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知为等比数列，若，公比，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】因为为等比数列，，公比，则. 故选：D. 2．设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（    ） A．64 B．96 C．128 D．192 【答案】D 【分析】先根据求出数列的首项，再通过推导出数列的通项公式，最后将代入通项公式求出的值. 【详解】由题意，当时，，解得， 对于，由和，相减得：， 故数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为：， 因此，. 故选：D 3．若数列满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】 ，，，． 是首项为，公比为2的等比数列． 所以． 故答案为 ． 【方法点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，难度稍大．求数列通项公式的方法常用的有:观察法，公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等．本题应用构造法求数列的通项公式，即先构造一个等比数列，先求等比数列的通项公式，再求所求数列的通项公式． 4．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，. 【分析】（1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式，即可求得结果； （2）根据的关系，求得，构造函数，利用其单调性，即可比较大小. 【详解】（1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即 . （2）已知，① 当时，． 当时，，② ①②得，也适合，所以；   设函数，则函数是上的减函数，且，， 所以当时，，即； 当时，，即． 因此，当时，；当时，． 5．设，数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)证明：对于一切正整数，． 【答案】（1） （2）证明:当时，不等式显然成立 当，且时，， 要证对于一切正整数，，只需证， 即证 不等式成立， 综上所述，对于一切正整数，有， 【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可． （2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的． 【详解】（1） 当时，， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， ，即， 当，且时， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， 即， 数列的通项公式是 （2）略. 【点睛】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧． 利用等比数列通项公式求数列中的项题型05 1．等比数列，，，，的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据规律即可求解. 【详解】，，，，的项数为, 故选：C 2．在等比数列中，，则16是中的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式结合条件即可得出． 【详解】设等比数列{an}的公比为q，因为， ∴，解得． 则该数列的通项，由，可得， 即16是中的第7项. 故选：B． 3．（25-26高二·江苏如皋·期末）已知等比数列的公比大于0，，，若，则正整数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由可得，，即， 又，所以，解得或（舍去）. 由可得，， 即，所以. 所以，解得. 故选：C. 4．（26-27高三上·北京·月考）为公差不为0的等差数列，为公比不为1的等比数列．①存在，使得有无穷多项是中的项；②存在，使得有无穷多项是中的项．则（     ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据实例判断②，利用反证法判断①. 【详解】取，， 则为等差数列且公差为，为等比数列，公比为， 取，则， 故有无穷多项是中的项，故②正确. 对于①，设的公差为，的公比为， 若有无穷多项是中的项， 设这些项为，，，，， 其中， 且设，， 故， 若，则，而， 当时，， 故此时，故不成立； 若，可化为， 故，故， 因为当时，，故， 设，则， 若，则，若， 则， 取，则，这与矛盾， 故①错误. 5．在数列中，，，若（其中），则______. 【答案】5 【分析】令可得递推公式，然后求出通项即可求解. 【详解】因为，， 则令得， 所以数列是以为首项和公比的等比数列， 所以数列的通项公式为， 由，得，解得. 故答案为：5 等比中项及其应用题型06 1．（25-26高二下·江西·期中）3与27的等比中项为（   ） A．9 B． C．15 D． 【答案】B 【详解】3与27的等比中项为. 2．已知等比数列，其中，，则（   ） A．-8 B．8 C． D．64 【答案】A 【分析】利用等比中项，由等比数列的性质求解即可. 【详解】方法一：因为，所以. 又因为等比数列隔项同号，所以. 方法二：设等比数列的公比为，则， 所以，所以. 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·贵州·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 4．已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______． ______． 【答案】 【分析】由等比数列的中项性质和奇数项的符号相同，可得=3，再由等差数列的中项性质可得，进而得到所求值． 【详解】数列1,,9是等比数列，可得=1×9， 解得， 由于1，，9均为奇数项，可得，即， 数列1, 9是等差数列，可得, 则=． 故答案为． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查化简运算能力，属于基础题． 5．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 由题. 因为， 所以， 因为，所以， 则为以为首项，公比为2的等比数列； (2)，； (3) 由（2），，，. 若，，成等比数列，则， 等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立， 则不存在正整数使，，成等比数列. 【分析】（1）由题可得，，然后由与关系可完成证明； （2）由（1）可得为奇数时，，后由为偶数时，可得数列的通项公式； （3）由（2），若，，成等比数列，可得关于的等式，即可完成判断. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， 当为奇数时，，故 当为偶数时，， 综上，，； （3）略 等比数列的性质及应用题型07 1．已知等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】因为数列是等比数列。 所以， 故选：A 2．已知等比数列为递增数列，若，，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质求解的值，从而可得公比的值，再根据等比数列的通项求解即可. 【详解】已知等比数列，则， 因为，所以，则， 又，所以或， 因为等比数列为递增数列，则，且公比， 所以，则， 故. 故选：A. 3．在等比数列中，，，则________ 【答案】 【分析】根据题意，利用通项公式的变式，可推出，进而可求出答案. 【详解】设等比数列的公比为，因为 由等比数列性质可得，，所以， 所以 . 故答案为：. 4．（25-26高一·上海·期末）设等比数列的公比为q，为前n项积，且满足，，，则下列结论正确的是________（填序号） ①  ②  ③的最大值为  ④若，则 【答案】①③ 【详解】因为，，所以，则数列为单调数列， 所以由且，可得，所以数列为单调减数列，即，所以①正确； 由数列是等比数列，可得，因为，所以，所以②错误； 数列为单调减数列，所以，所以的最大值为，即③正确； 当时，，所以④错误. 5．（24-25高三下·河南五·联考）已知等比数列的前n项和为，且． (1)若，求数列的通项公式； (2)若．求b． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过，得到方程，联立求解即可； （2）法一：通过或结合通项公式化简求解即可，法二：原式化为化简求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由题意知：当时：    ① 当时：    ② 联立①②，解得，． 因为，所以数列的通项公式． （2）由（1）知． 方法一：故当，时，原式可化为 ． 因为，所以； 所以． 同理当，即时，原式可化为， 所以． 所以，解得． 方法二：原式可化为． 即． 即，． 所以，解得． 等比数列的函数特性题型08 1．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 2．（26-27高三上·北京·学业水平）若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过分别验证充分性成立、必要性不成立，即可判断两者的条件关系. 【详解】充分性：若无穷等比数列有最大项，设该最大项为，取, 则对任意，都满足，因此充分性成立. 必要性：取无穷等比数列的首项，公比,则通项为, 该数列为递增数列，所有项均满足，因此存在常数，使得对任意，都有; 但该数列各项随增大趋近于，始终无法取到，不存在最大项，因此必要性不成立. 3．已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，，， 由可得出，从而分析出时，，时，． 把方程变形为，引入函数，利用两个函数的图象可得结论． 【详解】设等差数列公差为，正项等比数列公比为， 因为，所以，即，所以，又，所以， 由得，，， 所以时，，时，． ，，由，， 即，（*）， 令，，（*）式为，其中，且， 由已知和是方程的两个解， 记，且，是一次函数，是指数函数， 由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）． 如图，作出和的图象，它们在和时相交， 无论还是，由图象可得，，， 时，，时，， 因此，，，， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差和公比的关系，考虑到方程有两解，把此方程变形为，引入函数，通过函数图象观察得到和的关系，从而由数形结合思想得出结论． 4．（24-25高三上·上海·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的函数特性结合反例一一分析结论即可. 【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为， 则，所以， 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以： （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则；综上①正确； 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为， 显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 5．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】取特殊值易证不具有充分性，由，及得，判断的符号可得具有必要性. 【详解】，，当时，，所以不具有充分性； ，所以， 又，则，所以， 所以，不妨设 因为数列为正项数列，所以设公比为，则， ， 当时，，，所以，， 当时，，； 当时，，，所以，， 所以，所以具有必要性， 综上，是的必要不充分条件. 故选：A. 【点睛】作差判断与大小关系，将式子写成指数式，注意正项等比数列公比大于0，根据公比与1的大小进行分类讨论. 正项等比数列的对数成等差数列的应用题型09 1．在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依题意，由等比数列的性质可知，再利用对数的运算性质可得，求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且， 所以， 所以， 故选：C. 2．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用等差、等比数列的通项公式及已知列方程求基本量，进而得到，，再由题设条件得求参数，即可得. 【详解】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，，所以. 故选：C 3．已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 【答案】 【分析】根据题意，求出数列通项公式为，从而，再根据等差数列求和公式求和. 【详解】由等比数列各项均为正数，， 设其首项为，公比， 可得，解得或（舍）， 所以等比数列通项公式为， 则， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， 数列前100项和为. 4．已知数列是等比数列，且，则______；设函数，记，则_______. 【答案】 5 【分析】由是等比数列可得是等差数列,则,即； 则,由,则,利用诱导公式可得,进而求解即可 【详解】由是等比数列可得,两边同时取对数,可得,即,因为为常数,所以为常数,所以数列是等差数列, 因为,则由等差中项可得,所以； 因为, 又, 所以 , 同理,, 因为, 所以， 故答案为:； 【点睛】本题考查等差中项的应用,考查诱导公式的应用,考查运算能力 5．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 等比数列的单调性题型01 1．（25-26高三上·陕西榆林·联考）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列的概念和充分条件、必要条件的概念进行判断即可. 【详解】若是递增数列，则或， 所以“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 【答案】D 【分析】AB选项，由递减可推出，进而得到公比的范围，分类讨论得到AB选项的判断；CD选项，根据递减可推出公比的范围，进而验证的单调性. 【详解】AB选项，若递减，则， 设等比数列公比为，则，于是， 又，则，则，， 时，，递减； 时，，递增，AB错误； CD选项，若递减，则， 由于，则对于一切正整数成立，解得， 此时，则递增，C错误，D正确 3．已知等比数列的首项为－2，公比为q．试写出一个实数q＝______，使得an＜an＋1． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】结合数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为等比数列的首项为－2，公比为q，且an＜an＋1， ，即，所以， 因为等比数列为递增数列，则， 解得，则可取（答案不唯一，满足即可）. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 4．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：在等比数列中，， 所以，， 当时，，数列递增，所以当时，恒成立. 故答案为： 【点睛】考查数列中的不等式恒成立问题，通过数列的单调性求解；基础题. 5．已知数列满足，. (1)设，证明：数列为等比数列； (2)若为等比数列，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) 方法一： 由已知可得，且， ，即， ，且， 数列是首项为，公比为4的等比数列. 方法二： 由可得，， ， ， ， 数列是首项为，公比为4的等比数列 (2) (3) 【分析】（1）方法一：由递推公式得出的表达式，再由等比数列定义证明即可； 方法二：利用递推公式构造，求出的通项公式可证明数列为等比数列； （2）方法一：利用数列前3项以及等比数列性质解得，再进行验证即可； 方法二：由等比数列性质解得代入方法二中的的通项公式可得结果； （3）方法一：利用累加法求出数列的通项公式，再由可得，利用数列单调性可求出的取值范围. 方法二：对为偶数和为奇数进行分类讨论，由恒成立问题解不等式可得的取值范围为. 【详解】（1）略 （2）方法一： 易知，且， ，， ，， 当时，， ， ，， ，，， 又，，，为等比数列， 综上所述，若为等比数列，则. 方法二： 易知，且， ，，， ，， 由（1）的方法二可得，，易知 为等比数列，故 （3）方法一： ， ， ， ，，，且， ，， 不难知道，，故条件等价于恒成立， 由，得，， ，任意均符合题意， 由，得，解得， 显然是递减数列，，， 综上所述，的取值范围为. 方法二： 依题意，，， 即，， 当为偶数时，即， 即，， 对任意偶数恒成立， 当为奇数时，即，即， ，，解得， 综上所述，的取值范围为. 求等比数列中的最大（小）项题型02 1．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据等比数列的单调性判断时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ，从而可得答案. 【详解】因为，所以数列是递减数列， ，， 所以 所以时，的前n项积越来越大 ， 当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 2．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为， 故选：C 3．已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可. 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 4．等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 64 【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解 【详解】设等比数列公比为q，则，即，即； 因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，， 当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为 5．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，序号. 【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）根据数列最大项的性质进行求解即可. 【详解】（1）设该等差数列的公差为，， 由， 因为成等比数列，所以， 由可得： （2）由上可知：，， 假设否存在最大项， 则有， 因为，所以，所以假设成立，数列是否存在最大项，序号. 等比数列的实际应用题型03 1．（25-26高三上·广西梧州·期末）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】由题意可得分裂过程中的后代个数组成一个公比为2的等比数列，由等比数列基本量运算即可求得. 【详解】由题意可知细胞的分裂繁殖符合分裂过程中的后代个数是一个公比为2的等比数列，所以第5次分裂产生的后代个数是：． 故选：B. 2．（25-26高二上·河北·期末）用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为（    ）（参考数据：） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】根据每个月的本息和组成一个等比数列，公比为，再计算个月后获得收益可得. 【详解】因为每个月以月收益率的复利计算收益，所以每个月的本息和组成一个等比数列，公比为. 所以10个月后的收益为元. 故选：A 3．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【答案】C 【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果. 【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增， 而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨， 则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量， 故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是. 故选：C. 4．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______． 【答案】23 【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度. 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是）， 则，即， 解得，. 故斗量器的高为. 故答案为：23 5．某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备. (1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由； (2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，） 【答案】(1)A等设备量不可能超过生产设备总量的80%， 记该企业全部生产设备总量为“1”， 2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为， 则经过1年即2021年底该企业A等设备量， ， 可得，又 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得，所以， 显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%. (2)在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%. 【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断； (2)令＞即可求解. 【详解】（1）略 （2）由，得. 因为单调递减，又，， 所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%. 新定义问题题型 1．（24-25高二上·天津·期末）定义，已知数列为等比数列，且，，则（   ） A．3 B．±3 C．9 D．±9 【答案】C 【分析】首先根据行列式的定义计算出关于等比数列项的等式，再利用等比数列的性质求出的值. 【详解】根据行列式的定义，对于，可得，即. 因为数列是等比数列，根据等比数列的性质：所以. 由，可得，则. 又因为，等比数列奇数项符号相同，所以. 故选：C. 2．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据“m积数列”判断出的单调性，再根据具体数据找出满足的最后一项，即可得到选项. 【详解】根据“2023积数列”性质可知， 即， 根据等比中项性质可知：， 因为，且， 所以前1011项都是小于1的，从第1012项开始往后的都是大于1的， 即为递增的等比数列，且， 则当其前n项的乘积取最小值时n的值为1011. 故选：A. 3．（24-25高三下·安徽·联考）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【分析】先设第次构造后得的数列为1，，3，求出此时所有项之和，接着得到第次构造后得到的数列，并求出，观察与的关系，结合等比数列定义得到数列是等比数列即可求解. 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 4．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据可分数列的定义即可验证结论 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故②正确；对于③，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确；所以真命题有个. 故选：D 5．（24-25高二下·北京·期中）若实数数列满足，则称数列为数列. (1)请简要说明理由，并写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零； (2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值； (3)已知为数列，求证：为数列且为数列的充要条件是“是单调数列”. 【答案】(1) 由题设，，又， 所以，存在满足条件， 又，则， 所以满足题设的数列有. (2) (3) 由为数列，则，由为数列，则， 又为数列，即， 若不是单调数列， 则存在，即，显然与矛盾； 或存在，即，显然与矛盾； 综上，是单调数列，充分性得证； 由是单调数列且为数列， 所以，则， 则，即， 所以、均为数列，必要性得证； 综上所述，“为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”. 【分析】（1）根据数列的定义写出一个满足条件的数列即可. （2）由数列的定义，只需让正整数且间的间隔尽量小，结合题设找到后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置，即可得的最小值. （3）由数列的定义，分别从充分性、必要性两方面证明结论，注意反证法的应用. 【详解】（1）略 （2）依题意，为， 则数列从开始依次往后各项可能出现的数字如下： ，，，， ，，， ，…，， 要使的最小即正整数且间的间隔尽量小，又， 则， 所以的最小值为. （3）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $