4.1 数列的概念（第2课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.1数列的概念（第2课时） 目录 A组 巩固过关 题型01由递推关系式求通项公式. .1 题型02根据数列递推公式写出数列的项. 3 题型03数列周期性的应用 .5 题型04利用an与Sn关系求通项或项. .6 题型05判断数列的增减性.… 7 题型06数列新定义。 9 题型07数列周期性的应用 .11 题型08判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项12 B组 能力进阶 .14 C组 思维拔高 .19 拓展 链接高考 .21 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01由递推关系式求通项公式 1+1+…+1=30 1.(2026安徽合肥模拟预测)已知数列a}满足44a。，则a的最大值为() A. B.3 C.1 2(225客术河周和有或别，4，。a.则a面大 () Aa。=lnn B.a=(n-1)In(n+1) C.a=nlnn D.a,=Inn+n-1 3.(25-26高三全国一轮复习)已知数列a}的前n项和为，且满足4=1,0，=(n≥2 ),则当n≥2时，a,=() n(n+1) A.2” B.2 C.2m-2 D.2"-1 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 题型02根据数列递推公式写出数列的项 4.(25-26高二下·河南洛阳阶段检测)数列{a}满足 =2,0n1=1-1 n,则等于() 1 A.2 B.-1 C.2 D.3 5.(2026高三全国·专题练习)依次写出数a=1,a2,a,…法则如下：如果a,-2为正整数且未写 出过，则写a=a,-2,否则就写a1=a,+3,那么a等于() A.2 B.4 C.6 D.5 6.(26-27高二上·全国·课后作业)已知数列{a}满足40a=%-3 n∈N) √3an+1 则a26等于( A.-5 B.0 C.3 D.3 题型03 题型03数列周期性的应用 _1+am 7.(25-26高二下四川南充阶段检测若数列a}满足4=2,08，则4的值为 A.-3 B C.2 D.3 3/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高二下·广东中山期末)已知数列a满足：4=241 a,记数列a}的前n 项积为Tm,则T6=() A.支 1 B.2 C.2 D.-2 26高二下广西阶段检测)（多选题）已知数列a满足42¤，-（≥2， 则() A.a=-1 B.a=-1 1 C. D.406=2 颗型04 题型04利用an与Sn关系求通项或项 10.(2026云南模拟预测)已知数列a}的前n项和，=2026m,则，=（） A.2025 B.2026 C.2027 D.2026×2027 1.(25-26高二下内蒙古呼和浩特阶段检测)设数列a的前”项和为，且 s.=2-3n-3aeN), 则= San+2 12.(2025高三上江西南昌专题练习)已知S是数列a}的前n项和，4=1，S。n,则 a,的通项公式为(） 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a =2n-1 B.a,=n+1 2 C.an=n D.a=2-n 题型05 题型05判断数列的增减性 13.(25-26高二下·全国课后作业)有下列命题； 2345 ①数列456的通项公式是0.=n中： ②数列的图象是一群孤立的点： ③数列山，山山，-，山…与数列山，山，山…是同一数列： @数列4“2是迷的致列 其中正确命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.0 14(25-26高一下上海青浦期未)已知数列a的前”项和为7，数列亿是递增数列是 an6>425的(） A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15(2026安微六安校超医测已划数别a黄足4-4-（因， 则下列结论成立的是 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a2024<2025<02026 B.a2026<a2025<a2024 C.a2025<a2024<02026 D.2025<a2026<a2024 颗型06 题型06数列新定义 16.(26-27高三全国一轮复习)在数列a,}中，若存在不小于2的正整数人，使得4<a且 a<a,则称数列a,为“k一数列”.下列数列中为k一数列”的是（) 9 A.b=n B.bn=2” C.b=n+ D.b.-2n- 1 17.(25-26高二下云南文山阶段检测)（多选题）若数列0，满足：存在正整数k,使得 n>k时，恒有，+a=C(c为常数)，则称数列a,}为“k阶等和数列”，其中为该数列的 “阶和”.已无穷数列}是“3阶等和数列”，么=，么=2，么=3，且“阶和”c=4, 记数列么的前”项和为，则下列说法正确的是（) A.bnto=bn B.任给正整数m,都有b.≠0 C.存在无穷多个正整数p,使得Sp=2S D.当8=6-习，且8，}的前m项和为2026时，m=2026 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(2026·云南昆明模拟预测)若数列 满足“：=d心，则称数列a为平方差递推数 列若数列b}是平方差递推数列，且6=1，b=1,则b,}的前100项的和为一： 颗型07 题型07数列周期性的应用 1+an 19.(2526高二下四川南充阶段检测)若数列a满足4-2,0--，则4“的值为 A.-3 B C.2 D.3 20(25-26商=下厂东巾山明末)已知数列a满足4=2，= a,记数列a}的前n 项积为Tn,则Ts=（) A. B.2 C. D.-2 an+l,n为奇数 21.(25-26高二下河南南阳阶段检测)数列{a,}中，4=ha,- -an+2,n为偶数，则数列{an} 的前2026项和为() A.4052 B.4054 C.2026 D.2027 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08 题型08判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 22(25-26高二上四川成都阶段检测)已知数列a}的通项公式为%，=25，前n项和为s, 则下列结论错误的是() a的最小项是%=5，最大项是4=6 B.当n=7时，Sm最小 C.VneN',d,<d D.3n∈N,an<anl 2a(56高=下I上期末)若数刻+中的最大是护政.则.《) A.5 B.6 C.7 D.8 42526高三下北京房期末已知数a.海足，久=a+aeN) 给出下列四 个结论： ①若a-2n 则数列有最小值2： 10 ②若a,=3”，则数列{b}有最小值3： ③若数列a}是单调递增数列，则数列}也是单调递增数列； ④若b=b。>0,且a≠an,则有a+4n=1. 8/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中正确结论的序号是 B组 能力进阶 1(2026广东模拟预测)已知数列a对任意正整数太，数列a:-a,均为单调递增数列， 记数列a前项和为，则下列说法错误的是《） A.者a<4,则a,为单调递增数列B.a+0:<2a对任意neN恒成立 C.若4=1,46=202 则4o3<1013 、 D S2021013(a+d202) 2.(25-26高一下上海黄浦期未)已知数列a的通项公式为”，-3”-30(“为正整数)，则 数列a}的前”项和5的最小值为 3.(25-26高二下·安徽宿州期末)己知数列a满足g-3.4,=1- an,则a226= 4206高三全国专题练习》在数列a}中，。”(eN),则谈数列的最大项为 最小项为」 5(2026河北沧州模拟预测)无穷数列a前”项和为，且满是：m∈N,0>0,81, 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a.= 。-1,则下面说法中，所有正确结论的序号是 @9V2 ②数列a}有最大值，无最小值： ③n∈N,使得S<m+1; ④neN,均有” na,<(n+1)an 6.(25-26高二下·北京期末)已知正整数数列A:4,a,…,各项互不相等，且满足 0=0。-0(”=2,3,4),则4+4+…+4 的最小值为() A.30 B.31 C.32 D.34 C组 思维拔高 1,n=1, 1.(2026·福建泉州模拟预测) 已知数列满足”。，+m受 n22则a6=（） A.1012 B.1013 C.2025 D.2026 1 2.(2526高二下陕西渭南期末)已知数列a满足21-4,4=-】，则4m=（) 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1 B.2 C.2 D.4 1 3.(2526高二下山西吕梁阶段检D在数列a}中，4=-，08，则4=（) 3 A.2 B.2 C. D.-1 4.(2026-山西折州模拟预测)数列a}满足4=0，a+au=aeN）,则4=（) A.12 B.13 C.14 D.15 拓展 链接高考 1(2026河南南阳二模)已知数列a,}的首项4-分，且满足01，则4- 2.(25-26高二上福建福州期末)“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律 法.例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为 --4 第个基准音的乐器长度为24×：》2 …,也就是依次先减少三分之一，后增加三分之 一，以此类推，现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列a}用来研究数据的变 化，已知4=192，则4，=() 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.324 B.243 C.256 D.168 12/12 分层作业 4.1 数列的概念（第2课时） 目 录 1 题型01 由递推关系式求通项公式 1 题型02根据数列递推公式写出数列的项 3 题型03数列周期性的应用 5 题型04利用an与Sn关系求通项或项 6 题型05判断数列的增减性 7 题型06数列新定义 9 题型07数列周期性的应用 11 题型08判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 12 14 19 21 题型01 由递推关系式求通项公式题型01 1.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列满足，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式 【详解】当时，，解得， 当时，， 又因为， 作差得，， 则，，根据指数函数性质知此时数列单调递减， 则， 又因为，则的最大值为. 2.（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【详解】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选： 3.（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系式，利用累乘法即可求得（）. 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 题型02根据数列递推公式写出数列的项题型02 4.（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 5.（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推法则推导计算即可. 【详解】根据法则可得，因为，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为不是正整数，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为为正整数但写出过，所以. 6.（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 题型03数列周期性的应用题型03 7.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 8.（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【详解】因为，，所以， 故是周期为3的周期数列，且， 所以. 9.（25-26高二下·广西·阶段检测）（多选题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】数列周期性的应用 【分析】依次计算出数列的前几项，得出数列的周期，从而得到正确选项. 【详解】由题意，得，所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 题型04利用an与Sn关系求通项或项题型04 10.（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【详解】. 11.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【详解】当时，； 当时，； 又不适合上式， 所以. 12.（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 题型05判断数列的增减性题型05 13.（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 14.（25-26高一下·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性、既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，举例说明，即可得出答案. 【详解】令，显然，所以数列是递增数列，但； 令，显然成立. 又，，所以，， 所以数列不是递增数列. 所以，数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 15.（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据题意，画出蛛网图即可求解. 【详解】 由蛛网图可得，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，且奇数项均小于偶数项. 所以有，故D正确. 题型06数列新定义题型06 16.（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、数列新定义 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 17.（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选题）若数列满足：存在正整数 ，使得时，恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”．已知无穷数列是“阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．任给正整数，都有 C．存在无穷多个正整数，使得 D．当，且的前项和为时， 【答案】ABC 【知识点】数列新定义、数列周期性的应用 【分析】对A，根据题设定义得，，即可求解；对B，根据条件直接得数列的前项，再由数列的周期性，即可求解；对C，利用数列的前项可得，即可求解；对D，根据条件可得的前3项，再利用数列的周期性，即可求解. 【详解】对于A，由题意知，，两式相减，得，故A正确， 对于B，数列的前6项依次为，均不为，又，故B正确， 对于C，由B中分析可得，即均有，故C正确， 对于D，因为，且的前3项依次为， 记的前项和为，则由周期性可得，， 当的前项和为时，，故D错误. 18.（2026·云南昆明·模拟预测）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 【答案】1 【知识点】数列新定义、数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】通过赋值得出数列的周期即可求解. 【详解】由题意可知,, ,,, 所以数列是从第2项起，周期为3的数列. 则的前100项的和. 题型07数列周期性的应用题型07 19．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 20.（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【详解】因为，，所以， 故是周期为3的周期数列，且， 所以. 21.（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【详解】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 题型08判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项题型08 22.（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、数列不等式恒成立问题、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 23.（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 24.（25-26高二下·北京房山·期末）已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】利用对勾函数单调性，求出最小值判断①②；举例并结合复合函数单调性判断③；变形等式判断④. 【详解】对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 对于①，，则当时，，数列有最小值，①错误； 对于②，，则当时，，数列有最小值，②正确； 对于③，取，数列是递增数列，， 令，函数在上单调递减，因此数列是递减数列，③错误； 对于④，由，得，且，则， 而，因此，④正确. 1.（2026·广东·模拟预测）已知数列对任意正整数k，数列均为单调递增数列，记数列前n项和为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则为单调递增数列 B．对任意恒成立 C．若，，则 D． 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、求递推关系式、作差法比较代数式的大小 【分析】取，则，即可判断A；根据即可判断B；设，则，得，由得，进而，解之即可判断C；利用作差法计算，由B可知，即可判断D. 【详解】A：由题意知，取，则数列单调递增， 又，所以， 所以， 得，即数列单调递增，故A正确； B：当时，数列单调递增， 则，得， 所以，故B错误； C：当，则数列单调递增， 设，则， 当时，数列单调递增，由， 得， 所以， 即，得，① 又， 即，所以， 联合①式，得，解得，故C正确； D：， ， 又， 所以， 即，故D正确. 2.（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 【答案】 【知识点】判断数列的增减性 【分析】由单调性可得该数列前项为负值，从第4项起为正值，据此可得的最小值. 【详解】因，在上单调递增，则为递增数列. 注意到， 则该数列前项为负值，从第4项起为正值，从而. 3.（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列满足，，则________． 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】通过计算数列确定其周期性，再利用周期性质计算的值. 【详解】由题意，，，根据递推公式， 所以，， 即，，因此数列是周期为的周期数列. 又因为，故. 4.（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【详解】因为， 所以可知当时，数列是递增数列且； 当时，数列也是递增数列且． 当时，数列取到最大值，最大值为； 当时，数列取到最小值，最小值为． 5.（2026·河北沧州·模拟预测）无穷数列前项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是______． ①； ②数列有最大值，无最小值； ③，使得； ④，均有. 【答案】①②④ 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、由递推数列研究数列的有关性质、利用an与sn关系求通项或项 【分析】对①，通过分别代入到递推式中，结合 的条件，求出的值以验证结论；对②，先将递推式转化为，再通过作差法比较与的大小，结合的单调性判断数列的单调性与最值情况；对③，利用对进行放缩，推导出的下界并验证等号条件，判断结论的正误；对④，由变形得到，再结合对进行放缩，进而比较与的大小. 【详解】由可得，即. 对①：令，则，所以，令，得， 又，可解得，故正确； 对②：依题意有，，因为，所以， 所以，，由得， 所以， 因为随着的增大而增大，所以，所以， 即，所以随着的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且， 故数列有最大值，无最小值，即正确； 对③：因为，当且仅当时取等号， 因此，即，当且仅当时取等号，故错误； 对④：，即，即正确． 6.（25-26高二下·北京·期末）已知正整数数列：，，…，各项互不相等，且满足（，3，4），则的最小值为（     ） A．30 B．31 C．32 D．34 【答案】B 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由题意得，，，.依次分析取得最小值时对应的取值情况，即可得到的最小值. 【详解】由（）， 得，，， 所以，，. 所以 . 因为正整数数列：，，…，各项互不相等， 所以，，，，即最大. 当且仅当，或时， 取得最小值，此时的最小值为， ； 若取得最小值， 则的最小值为，的最小值为， 此时，； 若取得最小值，则的值为，或，或. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以的最小值为， 此时； 当时，，所以取得最小值， 此时. 综上所述，的最小值为. 1.（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【详解】的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由递推式可知， 当为偶数时，，故； 当为奇数时，， 归纳可得，， 是偶数，故， 是奇数，，故． 2.（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用 【详解】已知数列的首项，递推公式为， 依次计算前几项，；； , 因此数列是周期为3的周期数列， 满足， 由于，故. 3.（25-26高二下·山西吕梁·阶段检测）在数列中，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据题意，分别求得，得到数列的周期，结合周期性，即可求解. 【详解】由数列满足，，可得，，， 可得该数列的周期为，所以． 4.（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】应用递推公式逐个计算求解. 【详解】由， 依次计算： 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，所以． 1.（2026·河南南阳·二模）已知数列的首项，且满足，则______. 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【详解】，， ，， . 2.（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 【答案】B 【知识点】递推数列的实际应用 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 解得. 故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $