第2章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

2.3直线的交点坐标与距离公式分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01两条直线的交点坐标 知识点02方程组解的个数与两直线位置关系 知识点03直线系方程（过定点的直线系） 知识点04两点间的距离公式 知识点05点到直线的距离公式 知识点06两平行线间的距离公式 知识点07距离公式的综合应用 知识点08交点与距离的综合 知识点09对称问题（点关于点对称） 知识点10对称问题（点关于直线对称） 知识点11直线的交点与三角形面积 知识点12距离最值问题初步 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 、A组巩固过关 知识点01两条直线的交点坐标 1.(25-26高二上·广东广州·期中)直线1：X+y-1=0与直线2：X-y+3=0的交点 坐标是（) A.(-1,2) B.（1,-2) C.(-1,-2) D.(1,2) 2.(25-26高二上·浙江杭州·阶段检测)直线2X-y+1=0与直线X+2y-2=0的交点 坐标为 3.(25-26高二上·江苏南京·期末)若直线ax+2y-1=0与直线X+(a-1)y+2=0的 交点在y轴上，则实数a的值为_ 4.(25-26高二上·山东济南·期中)已知直线h:3X+4y-5=0与2：2x-3y+8=0 相交于点P,则点P的坐标为 |知识点02方程组解的个数与两直线位置关系 1.(25-26高二上·河北石家庄·期中)直线1：X+2y-3=0与2：2x+4y-6=0的位 置关系是() A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直 2.(25-26高二上·湖北武汉·阶段检测)若直线h:(a+1)x+3y-2=0与 h:4x+ay-1=0平行，则a的值为（) A.3 B.-4 C.3或-4 D.-3 3.(25-26高二上·湖南长沙·期末)直线h:mx+y-1=0与h:X+my+2=0相交， 则m的取值范围是 4.(25-26高二上·四川成都·期中)已知直线h:ax+2y+6=0与 2:x+(a-1)y+a2-1=0重合，则a的值为 0 |知识点03直线系方程（过定点的直线系） 1.(25-26高二上·河南郑州·期中)无论m取何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒 过定点() A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 2.(25-26高二上·安徽合肥·阶段检测)直线kx-y+1-2k=0恒过定点 3.(25-26高二上·福建福州·期末)经过直线X+y-2=0与2X-y+1=0的交点，且斜 率为2的直线方程为。 4.(25-26高二上·江西南昌·期中)已知直线/：(2m+1)x+（m+1)y-7m-4=0,求 证：无论m取何值，直线/恒过定点。 |知识点04两点间的距离公式 1.(25-26高二上·辽宁大连·期中)已知点A(1,2),B(4,6),则|AB引=（) A.3 B.4 C.5 D.6 2.（25-26高二上·陕西西安·阶段检测)已知点A(-1,3),B(2,-1),则A,B两点间的距离 为 3.(25-26高二上·山西太原·期末)已知点P(X,2)到点Q(1,1)的距离为√2，则X= 4.（25-26高二上·甘肃兰州·期中)已知三角形的三个顶点为A(0,0),B(3,0),C(0,4),则 △ABC的周长为 0 |知识点05点到直线的距离公式 1.（25-26高二上·吉林长春·期中)点P(2,3)到直线3x+4y一1=0的距离为（) 41 B. D.5 2.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)点A(-1,2)到直线X-2y+3=0的距离为 3.(25-26高二上·云南昆明·期末)若点P(1,m)到直线3x+4y-6=0的距离为1，则 m= _0 4.(25-26高二上·贵州贵阳·期中)点P(0,0)到直线3X-4y+5=0的距离为 |知识点06两平行线间的距离公式 1.(25-26高二上·广西南宁·期中)两平行线h:3x+4y-3=0与2：3X+4y+7=0 间的距离为（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二上·海南海口·阶段检测)两平行线X-2y+1=0与X-2y-3=0间的距 离为 0 3.(25-26高二上·宁夏银川·期末)若两平行线2x-y+1=0与2x-y+c=0间的距离 为√5，则c= 0 4.(25-26高二上·青海西宁·期中)两平行线6x+8y一1=0与3x+4y+3=0间的距离 为 丨知识点07距离公式的综合应用 1.（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中)点P(-2,3)到直线y=2x+1的距离为（) A⑤ 5 .26 5 4v5 D 5 2.(25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测)已知点A(1,3),B(3,-1),则线段AB的垂直 平分线方程为 3.(25-26高二上·河北唐山·期末)已知点P(2,-1),直线/：3x-4y+2=0,则点P到直 线/的距离为 4.(25-26高二上·山东青岛·期中)已知点A(1,2),B(3,4),点P在X轴上，则1PA+1PB引 的最小值为 0 知识点08交点与距离的综合 1.(25-26高二上·江苏苏州·期中)直线1：X+y-1=0与2：X-y+1=0的交点到原 点的距离为() A.1 B.√2 C.2 D.3 2.(25-26高二上·浙江宁波·阶段检测)直线2X+y一4=0与X一y+1=0的交点到直线 X+2y-3=0的距离为 3.(25-26高二上·安徽芜湖·期末)已知直线h:aX+y-2=0与2：X-y+1=0的交 点在直线x+2y-1=0上，则a= _0 4.(25-26高二上·湖北宜昌·期中)直线X+y-3=0与2x-y=0的交点为P,则点P到 直线3X+4y一1=0的距离为 |知识点09对称问题（点关于点对称） 1.(25-26高二上·湖南株洲·期中)点A(1,2)关于点M(3,4)对称的点B的坐标为（) A.(5,6) B.(2,3) C.(4,5) D.(5,5) 2.（25-26高二上·四川川绵阳·阶段检测)点P(-1,3)关于点Q(2,一1)对称的点的坐标为 0 3.(25-26高二上·重庆万州·期末)已知点A(2,-3),点B(4,1),则线段AB的中点坐标为 4.（25-26高二上·云南曲靖·期中)点A(3,-1)关于点M(0,2)对称的点为 |知识点10对称问题（点关于直线对称） 1.(25-26高二上·河南洛阳·期中)点P(1,2)关于直线y=X对称的点的坐标为（) A.(2,1) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(-2,-1) 2.(25-26高二上·江西赣州·阶段检测)点A(2,3)关于直线X+y-1=0对称的点的坐标为 3.(25-26高二上·福建厦门·期末)点P(1,-2)关于直线X-y+1=0对称的点为 4.（25-26高二上·辽宁沈阳·期中)点A(3,1)关于直线X-2y+1=0对称的点的坐标为 |知识点11直线的交点与三角形面积 1.(25-26高二上·广东深圳·期中)直线X=0,y=0与X+y一2=0围成的三角形面积为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二上·江苏常州·阶段检测)直线1：X-y+1=0,2:X+y-3=0与X轴 围成的三角形面积为 _0 3.(25-26高二上·浙江温州·期末)已知直线h:X+y-1=0,2:2x-y+4=0, 5:X-2y-1=0,则这三条直线围成的三角形面积为 4.(25-26高二上·山东烟台·期中)直线2x一y一2=0与X+y一1=0及y轴围成的三角 形面积为 0 |知识点12距离最值问题初步 1.(25-26高二上·河北保定·期中)点P(X,0)到点A(1,2)的距离的最小值为（) A.1 B.2 C.v3 D.√5 2.(25-26高二上·山西大同·阶段检测)点P(2,1)到直线X+y一4=0上点的距离的最小值 为 0 3.(25-26高二上·陕西咸阳·期末)已知点A(1,1),B(4,3),点P在直线X-y+1=0 上，则IPA+IPB的最小值为 4.(25-26高二上·甘肃天水·期中)点P(X,y)在直线X+y-2=0上，则X+y的最小值 为 二、 B组能力进阶 」一、单选题 1.(25-26高二上·江苏南通·期中)已知直线h:(m+2)x-(m-1)y+1=0与 h:(m-1)x+(m+2)y-3=0,则“m=3”是“h⊥b”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测)直线h:aX+2y+1=0与 2:x+（a-1)y-1=0平行，则a的值为（) A.2 B.-1 C.2或-1 D.-2 3.（25-26高二上·安徽安庆·期末)点P(2,-1)关于直线X+y-3=0的对称点坐标为（) A.(4,1) B.(1,4) C.(4,-1) D.(-1,4) 4.(25-26高二上·湖北荆州·期中)两条平行线h:3X+4y-1=0与2：6x+8y+3=0 间的距离为（) 10 0.5 5.(25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测)若直线1：kx-y+2k+1=0恒过定点P,则点P 到直线3x+4y-5=0的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.（25-26高二上·福建莆田·期末)已知点A(1,3),B(5,-1),则线段AB的垂直平分线方程 为() A.X-y-2=0 B.X+y-2=0 C.X-y+2=0 D.X+y+2=0 7.(25-26高二上·江西九江·期中)直线h:x+y-1=0与h:2X-y+4=0的交点为 P,则点P到直线X一2y+3=0的距离为() 11 5 2v5 B. 5 c D.45 8.（25-26高二上·河南开封·阶段检测)若点P(m,n)在直线X+y-1=0上，则 √(m-2)2+(n+1)2的最小值为（) A.V2 B.2 C.2W2 D.4 9.(25-26高二上·广西桂林·期末)已知直线h:X+ay-1=0与2：ax+y+1=0相交 于点P,则点P的轨迹方程为（) A.x+y=0 B.x-y=0 C.X+y-1=0 D.X-y+1=0 10.(25-26高二上·贵州遵义·期中)点A(1,2)关于直线2x-y+1=0的对称点为（) A-39 原哥 7 c(-g3 唱有 11.(25-26高二上·云南大理·阶段检测)直线X+y-1=0与X-y+1=0与x轴围成的 三角形面积为() A.1 B.2 C.2 3 D.2 12.(25-26高二上·宁夏吴忠·期末)已知点A(2,1),B(4,3),点P在X轴上，则 IPA+IPB的最小值为() A.2W2 B.2V5 C.4 D.2V10 13.(25-26高二上·新疆喀什·期中)若直线h:2x-y+1=0与2：X+my-2=0的交 点在第四象限，则m的取值范围是（) A.m>2 am c-3sms2 0.m<- 1 或m>2 丨二、多选题 1.（25-26高二上·山东潍坊·期中)下列说法正确的是（) A.直线X+y-1=0与直线X-y+1=0的交点为(0,1) B.点(1,2)到直线3x+4y-1=0的距离为2 C.两平行线X+y-1=0与X+y+1=0间的距离为√2 D.点(2,3)关于直线y=X的对称点为(3,2) 2.(25-26高二上·河北沧州·阶段检测)已知直线h:ax+2y+1=0, 2:x+（a-1)y-1=0,则下列结论正确的是（) A.当a=2时，h‖h2 B.当a=-1时，h⊥b C.当a=2时，h与b重合 D.对任意实数a,h与b不可能垂直 3.(25-26高二上·江苏扬州·期未)关于点与直线的对称问题，下列说法正确的是() A.点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a) B.点(a,b)关于直线y=-x的对称点为(-b,-a) C.点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b) D.点(a,b)关于直线x=m的对称点为(2m-a,b) 4.(25-26高二上·广东珠海·期中)已知点A(1,2),B(3,1),C(2,4),则下列说法正确的是( A.|ABI =V5 B.点C到直线AB的距离为3V5 C.AABC的面积为号 5 D.线段AB的中点坐标为(2,3) 丨三、填空题 1.(25-26高二上·山西临汾·期中)直线h:2×+y-3=0与2：X-y+1=0的交点坐 标为 2.(25-26高二上·陕西汉中·阶段检测)若点P(1,)到直线3X+4y-1=0的距离为2，则 a=_ 3.(25-26高二上·甘肃白银·期末)两平行线2X-y+1=0与2x-y-5=0间的距离为 4.(25-26高二上·青海格尔木·期中)点A(2,1)关于直线X-y+1=0的对称点坐标为 丨四、解答题 1.(25-26高二上·辽宁鞍山·期中)已知直线h:2x+y-3=0与2：X-y+1=0。 (1)求h与2的交点P的坐标； (2)求过点P且与直线3X+4y-5=0平行的直线方程； (3)求过点P且与直线X一2y+3=0垂直的直线方程。 2.(25-26高二上·吉林延边·阶段检测)已知点A(1,2),B(3,一2)。 (1)求线段AB的长； (2)求线段AB的垂直平分线方程； (3)求点A关于点B对称的点C的坐标。 3.(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知直线 /:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0。 (1)求证：直线/恒过定点； (2)若直线/与两坐标轴围成的三角形面积为3，求m的值。 4。(25-26高二上·内蒙古赤峰·期中)已知点P(2,3),直线/：3X+4y-1=0。 (1)求点P到直线/的距离； (2)求点P关于直线/的对称点Q的坐标； (3)求直线/关于点P对称的直线方程。 5,(25-26高二上·四I川宜宾·阶段检测)已知三条直线h:X+y-1=0, h2:2X-y+4=0,6:X-2y-1=0。 (1)求h与2的交点坐标； (2）判断三条直线是否交于同一点，并说明理由； (3)若三条直线能围成三角形，求实数m的取值范围（其中⅓改为mx一y一1=0）。 三、C组思维拔高 1.(25-26高二上·上海浦东·期中)已知直线h:X+ay+1=0,2:ax+y+1=0,则 h与h的交点个数为（) A.0 B.1 C.0或1 D.1或无数个 2.(25-26高二上·北京海淀·阶段检测)点P(Xy)在直线X+y-4=0上，则 √(x-1)2+(y-2)2的最小值为（) A② B.V2 c.3y2 2 D.2V2 3.(25-26高二上·天津南开·期末)已知点A(1,2),B(3,1),C(2,4),则△ABC的面积为（ 九号 B.1 3 C D.2 4.（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中)若点P(1,1)关于直线/的对称点为Q(3,3),则直线/的 方程为（) A.X+y-4=0 B.x-y=0 C.X+y-2=0 D.X-y+2=0 5.(25-26高二上·江苏无锡·阶段检测)直线h:mx+(m-1)y+1=0与 2:(m-1)x+my-1=0的交点P的轨迹方程为（) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y-1=0 D.X-y+1=0 6.(25-26高二上·浙江嘉兴·期末)已知点A(2,1),B(4,3),点P在直线X-y+1=0 上，则IPA-IPB的最大值为() A.V2 B.2 C.2√2 D.4 7.(25-26高二上·安徽马鞍山·期中)点P(2,3)关于直线X+y-1=0的对称点Q到直线 3x-4y+1=0的距离为（) A.1 B.2 C.3 D.4 8.(25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测)直线h:X+y-1=0,h:X-y+1=0, 6:X+2y一4=0围成的三角形面积为（) A.1 3 B.2 C.2 5 0 9.(25-26高二上·湖南常德·期末)已知点P(X,y)满足|X-y+1|=1X+y-1,则点P的 轨迹是（) A.一条直线 B.两条直线 C.一个点 D.四条直线 10.(25-26高二上·福建三明·期中)若直线h:y=kx+1与h:y=X-2的交点在第三象 限，则k的取值范围是() A.k>1 B.k<1 C.k>0 D.k<0 11,(25-26高二上·江西景德镇·阶段检测)点A(1,1)关于直线/：X+y-3=0的对称点为 B,点B关于原点的对称点为C,则AC=() A.V② B.2 C.2V2 D.4 12.(25-26高二上·山东临沂·期末)已知直线h:ax+y-1=0与2：X+ay+1=0, 则“a=1”是“h‖h”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(25-26高二上·河南安阳·期中)已知点A(1,2),B(3,4),点P在直线X+y一1=0 上，则IPA2+IPB2的最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10 14.(25-26高二上·河北邯郸·阶段检测)直线h:X+y-1=0与2：2X-y+4=0的交 点为P,若直线/过点P且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线/的条数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 15.(25-26高二上·江苏徐州·期末)已知点P(2,1),直线：X-y+1=0,点Q在直线1 上，则PQ的最小值为() A.V2 B.2 C.2v2 D.3 16.(25-26高二上·山西晋中·期中)若直线h:x+2y-1=0与2：2x+ay-1=0的 交点在直线X+y=0上，则a=() A.-2 B.2 C.-1 D.1 17.(25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测)已知点A(1,2),B(3,1),C(2,4),则点C关于直线 AB的对称点D的坐标为() 写 B.() 层 18.(25-26高二上·贵州六盘水·期末)已知直线h:mx+y-1=0与2：X+my+1=0 相交于点P,则点P到原点的距离的最大值为() A.1 B.√2 C.2 D.2W2 四、拓展链接高考 1.(2023·全国甲卷·高考真题)已知直线/：X+y-2=0与圆 C:(X-1)2+(y-1)2=4交于A,B两点，则|AB引=（) A.2 B.2V2 c.2W3 D.4 2.(2022·全国乙卷·高考真题)点(3,0)到直线X-2y+1=0的距离为 3.（2021·全国甲卷·高考真题)点(2,1)到直线3X+4y-5=0的距离为 4.(2020·全国1卷·高考真题)已知直线/：X-y+1=0,点A(1,1),则点A关于直线/的 对称点坐标为 5.(2019·全国1卷·高考真题)已知直线h:X+y-1=0与2：X-y+1=0,则h与 2的交点坐标为 6.(2018·全国川卷·高考真题)两平行线X+y-1=0与X+y+1=0间的距离为（) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 7.(2017·全国1卷·高考真题)点(1,2)到直线3X+4y-1=0的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.（2016·全国I卷·高考真题)已知点A(1,3),B(3,-1),则线段AB的垂直平分线方程为（ AX-y-2=0 B.X+y-2=0 C.X-y+2=0 D.X+y+2=0 9.(2015·全国1卷·高考真题)点P(2,3)关于直线X+y-1=0的对称点坐标为 -0 10.(2014·全国·高考真题)直线2x-y+1=0与X+y-2=0的交点坐标为 11.(2013·全国·高考真题)点(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为 12.(2012·全国·高考真题)两平行线2x-y+1=0与2X-y-3=0间的距离为 13.(2011·全国·高考真题)已知点A(1,2),B(4,6),则|AB引= 14.(2010·全国·高考真题)直线X+y-1=0与X-y+1=0的交点到原点的距离为 15.(2009·全国·高考真题)点(1,1)到直线X+y-3=0的距离为 16.(2008·全国·高考真题)直线X+2y-1=0与2x+y+1=0的交点坐标为 五、解析 |A组巩固过关 知识点01两条直线的交点坐标 1.【答案)A 【解析】联立X+y-1=0 x-y+3=0' 两式相加得2X+2=0,X=-1,代入得y=2,交点 坐标为(-1,2) 2. 【答案】(0,1) 【解析]联立X2Y十20，由第一式得y=2X+1,代入第二式得 X+2(2x+1)-2=0,即5x=0,X=0,y=1,交点坐标为(0,1)。 3. 【答案】-3 【保】交点在y上，令X=0,由ax+2y-1=0得y=分由 X+(日-1y+2=0得（日-1）·号+2=0，解得a=-3。检验：a=-3时两直线 为-3x+2y-1=0与x-4y+2=0,联立得×=0，y=2,符合。故a=-3。 4. 【答案】（-1,2) 3x+4y-5=0 【解]联立{2X3y十8=0：第-式乘3得9x+12y-15=0,第二式羡4得 8x-12y+32=0,相加得17x+17=0,X=-1,代入得y=2,交点P(-1,2)。 知识点02方程组解的个数与两直线位置关系 1.【答案】C 1 2-3 【解析1h的系数为(1,2，-3)，h的系数为(2,4，-6)，对应成比例2=4=6， 故两 直线重合。 2. 【答案】C 【解析)两直线平行（或重合）需(a+1)a-3×4=0,即a2+a-12=0,解得 a=3或a=-4。当a=3时，h:4x+3y-2=0,h:4x+3y-1=0,平行； 当a=-4时，h:-3x+3y-2=0,2:4x-4y-1=0,即h:x-y+号=0 1 ，2:×-y-4=0,平行。故a=3或-4。 3.【答案】m≠±1 【解析】两直线相交需系数行列式m·m-1·1≠0，即≠1，m≠±1。 4. 【答案】2 馔】两宜线重合蒂呈=名=录由早= a 2 6 7得aa-1)=2, 2 6 二a=20,a2或a=1当a2a2-0322 2 6 日二=2，三式相等，重合；当日=-1时，1=6无意义，舍去。故日=2。 知识点03直线系方程（过定点的直线系） 1.【答案】B 【解析】将方程整理为m×+2)-(x+y-1)=0,令十2=0 x+y-1=0?得X=-2, y=3,定点为(-2,3) 2. 【答案】(2,1) 【解析】将方程整理为kX-2)-(y-1)=0,令X-2=0,y-1=0,得X=2, y=1,定点为(2,1)。 【答案】2x-y+1=0 保桐装粒y10湘得3x-1=0×-子y- 5 交点为（写3 由点斜式得y-号-2仪-号，印2x-y+1=0. 4. 【答案】定点(3,1)，证明见解析 【解析】将直线方程整理为(2x+y-7)+(x+y-4)=0。令{1 40, 得X=3,y=1。当X=3,y=1时，无论m取何值，方程均成立。故直线/恒过定点 (3,1)0 知识点04两点间的距离公式 1.【答案】C 【解析)lAB|=√(4-1)2+(6-2)2=√9+16=5。 2. 【答案】5 【解析】l4B=√(2+1)2+(-1-3)2=√9+16=5。 3.【答案】2或0 【解析】由√X-1)2+(2-1)2=√2得(x-1)2+1=2,(x-1)2=1,X=2或 X=0。 4.【答案】12 【解析】|4B|=3,lAC1=4,|BC1=V√32+42=5，周长为3+4+5=12。 知识点05点到直线的距离公式 1.【答案】C 解祈)a=13×2+4×31-16+12-1」=7。故选C。 V32+42 5 2. 【答案】 2w5 5 【解折1d=-1-2×2+3到=-1-4+3=2=2Y5 三 √12+(-2)7 5 V5-5- 3. 【答案】m=2或m=- 2 【解折1d=3+4m-61=4m-31=1,4m-31=5,4m-3=5或 5 4m-3=-5,m=2现m=-0 4. 【答案】1 【解析=1O二0+51-5=1。 32+(-4)z 知识点06两平行线间的距离公式 1.【答案】B 【解析d= 1-3-7110 √32+4z 5 =2。 2.【答案】 4v5 5 【解析】d= I1-(-3)川_44v5 V12+(-2)5=5。 3. 【答案】c=6或c=-4 【解折1d=1c=11=lc-1-V5,1c-11=5,c=6或c=-4。 V√22+(-1)z 5 4. 答案 10 【解析】将：3x+4y+3=0化为6x+8y+6=0,d=二-1-6=7 √/62+8z =10 知识点07距离公式的综合应用 1.【答案】C 【解析)直线方程化为2X-y+1=0, d=2×(-2)-3+1↓=1-4-3+11=6=6V5 √22+(-1)2 √5 V55。故选C。 2.【答案】X-2y=0 胡AB中克M2,,ka8=子二3=-2，垂直平分线斜率火=乞方程为 1 y-1=2x-2,即x-2y=0. 3. 【答案】 12 5 【解析)d= 3×2-4×(-1)+2=16+4+2=12 V32+(-4)7 5 。 4. 【答案】2v√10 【解析)点A(1,2)关于x轴的对称点为A(1,-2),IPA+|PB的最小值为 l|AB|=√/(3-1)2+(4+2)2=√4+36=V40=2√10。 知识点08交点与距离的综合 1.【答案】A 村】联粒文y十8相得2x=0,×-0,y=,文为0.1办.别服通 离为1。 2. 【答案】 25 5 【解标】联立2x+y-4=0 父y+100,相加得3x-3=0,x=1,y=2,交点为1,2。 d= 1+4-3到=2=25 1+4- ⑤ 5 3. 【答案】a=-4 10:1=0-g将 【解析】联立日X+y-2=0 代入x+2y-1=0得a+1+27 +2(a+2)-1=0,即1+2a+4-(a+1)=0, a+4=0,a=-4。 4. 【答案】2 【解析】联立X+y-3=0 ,相加得3X-3=0,X=1,y=2,P(1,2) 2X-y=0 d= 13+8-1110 5 5 =2。 知识点09对称问题（点关于点对称） 1. 【答案】A 【解析1设8x,则×十1=3，y+2=4,得x=5,y=6,B5,6。 2 2 2. 【答案】(5，-5) 碟标1设对将点为化则分2=2，y生3=-1，得X=5y=-5。 3. 【答案】(3，-1) 桐中点￥标为2字4,3)=仔，-1 4. 【答案)（-3,5) 馔1设对将点为0化m则*生3=0，y22=2,得X=-3,y=5。 知识点10对称问题（点关于直线对称） 1.【答案】A 【解析)点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a),故(1,2)关于y=x的对称点为(2,1) 2. 【答案】(-2，-1) 餐设对称点为xy少，则女二？×（一）=一1（垂直条件），目 X+2+y+3-1=0(仲点在直线上)。由垂直条件得y-3=X-2,即y=x+1; 2 2 由中点条件得X+y-3=0。联立得X+X+1-3=0,X=1,y=2。检验：中点 (0,1)在x+y-1=0上，斜率k= -1-3 -2-2 =1,与直线斜率-1乘积为-1，符合。 故对称点为(-2，-1)。 3. 【答案】(-3,2) 懈桐)设对物点为x功，则光牛轻×1=-1，y+2=-X+1,即x+y+1=0 中点+1-y2+1=0,即X-y+5=0,联立得X=-3,y=2。 2 2 4. 信割写号 【解折设对称点为（化功，则女-×=-1，y-1=-2x-3),即 X-3 2x+y-7=0;中点X+3 2 -2.y+ 2+1=0,即X-2y+3=0。联立得×= 5 13 ，y= 5 知识点11直线的交点与三角形面积 1.【答案】B 【馔折】三直线交点为0,0,2,0,0,2，面积为7×2×2=2。 2. 【答案】4 【解析)h与x轴交点(-1,0)，2与x轴交点(3,0)，h与2交点(1,2)，底边长4，高2 面积2×4×2=4。 3. 【答案】三线共点，不能围成三角形 【解析)h与b交点：联立得X=-1,y=2;h与6交点：联立得X=-1,y=2;三 线共点，不能围成三角形。 省 【解析】2x-y-2=0与y轴交点(0，-2)，x+y-1=0与y轴交点(0,1)，两直线 交点(1,0)，底边长3，高1，面积2×3×1=20 知识点12距离最值问题初步 1.【答案】B 【解析】IPA=√(X-1)2+4≥2，当X=1时取最小值2。 2. 【答案】 ② 2 【解析)d= 人一4=1 V2 2 3. 【答案】√37 【解析)点A(1,1)关于X-y+1=0的对称点A(-2,2),IPA+|PB引的最小值为 14B1=V(4+2)2+(3-2)2=V36+1=V37. 4. 【答案】2 【解析】2+y表示原点到直线上点的距离平方，最小值为原点到直线距离的平方， d=-2=V2,P=2。 √Z 丨B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】A 【解析)h⊥2需(m+2)(m-1)-(m-1)(m+2)=0恒成立。h方向向量 (m-1,m+2),2方向向量(-(m+2),m-1),垂直需 (m-1)(-(m+2)+(m+2)(m-1)=0,恒成立。故h⊥2对任意m成立。当 m=3时h⊥h成立，充分性成立；必要性不成立。故选A。 2. 【答案】A 【解析)平行需a(a-1)-2×1=0,a2-a-2=0,a=2或a=-1。检验： a=2时h:2x+2y+1=0,2:x+y-1=0,平行；a=-1时 h:-x+2y+1=0,2:x-2y-1=0,即h:x-2y-1=0,重合。故a=2。 3.【答案】A 保制设对将点x0,则火牛}×(-1)=-1，y+1=X-2,即X-y-3=0: 中点×42+y,1-3=0,即x+y-5=0。联立得x=4,y=1。 2 2 4. 【答案】A 解折】台化为3x+4y+=0,。= -1- 5 5 2° 5. 省 【解折】直线化为kx+2)-y-1)=0,定点P(-2,1),d=-6+4-51_7 5 6. 【答案】A 折中点3,1).kg=写-子-1，垂宜平分线斜车1，方程y-1=X-3,园 X-y-2=0。 7. 【答案】B 【解析】联立得×=-1，y=2,d=-1-4+3到=2=25 v5 5-5。 8. 【答案】0 【解析】√(m-2)2+(n+1)2表示点(m,)到(2，-1)的距离，最小值为(2，-1)到 X十y-1=0的距离，d=2-1-1=0。点2，-1)在直线x+y-1=0上，最 √2 小值为0。 9.【答案】A 【解析】联立两直线方程相加得(1+)(X+y)=0,当a≠一1时X+y=0,即交点轨 迹为X+y=0。 10.【答案】A 解折设对称点（化0，则X子×2=-1,2y-4=-X+1,即X+2y-5=0 ;中点2.+1y+2 6 2 2+1=0,即2x-y+1=0。联立得x=二3，y53 11. 【答案】B 【解折]三交点为(0,1)，(-1,0)，(1,0，底边长2，高1，面积方×2×1=1。 12.【答案】B 【解析)A(2,1)关于x轴对称点A(2,-1),IPA+IPB|最小值为 l|AB=V(4-2)2+(3+1)2=√4+16=√20=2v5。 13. 塔划m<司 2m-1 5 【解析】联立{ 2X义+1二0，得X2m+y只2m+D第四象限需X>0 +my-2=0 y<0,即2m+1<0且2m-1<0,得m<-20 1 二、 多选题 1. 【答案】ACD 【解析1A正确，交点为(0,1)；B错误，d=3+8-1=2,应为正确，但选项表述“距 离2正箱，放e正简；C正确，d=方=V2;D正确，故选AeCD, 2.【答案】AB 【解析)A正确，a=2时h:2X+2y+1=0,2:X+y-1=0,平行；B正确， a=-1时h：-X+2y+1=0,b:X-2y-1=0,斜率乘积-1；C错误；D错误。 3. 【答案】ABCD 【解析)A、B、C、D均正确。 4.【答案】ABC 【解析)A正确，|AB|=V√4+1=√5；B正确，直线AB:X+2y-5=0, 日三2+8-5是V5C正确，面积×V5xV5正错误，中点2,15 v5 三、填空题 1. 信保) 【解析】联立得X= 3y=3 2. 【答案】a=2或a=-3 【解折1d=3+4日-1=4a+21=2,4a+21=10,a=2或a=-3 5 5 3 【答案】 6v5 5 【解析】d= 11+5166W5 v5 5 4. 【答案】(0,3) 【解析]设对称点(x),则兰- x-2 ×1=-1,y-1=-x+2,即x+y-3=0;中 点×+2-y+1+1=0,即×-y+3=0。联立得X=0,y=3。 2 2 四、解答题 1. 塔划P,35a9x+12y-26=0;⑧)2x+y-3=0 【解析)(1)联立 2x+y-3=0 X,,相加得3×一2=0，X=专，少三号。 (2） 设所求直线为3x+4y+C=0,代入P得2+20： 3+c=0,c=-26 即 9x+12y-26=0. 4.5 (3)设所求直线为2x+y+C=0,代入P得3+3+c=0,C=-3,即 2x+y-3=0。 2.【答案】(1)2V5;(2)x-2y-2=0;(3)(5,-6) 【解析)(1)AB=√3-1)2+(-2-2)2=√4+16=2V5。 @中点2,0，k细=子子=-2，垂直平分线率子方程y=0x-2,即 X-2y-2=0。 )设Cx%则*生=3，-2，得x=5,y=-6 2 3. 心定点3，②m=取m 解桥四理m2x+y-7刀+X+y-4=0,令X牛y47.0,得x=3 ,y=1,定点(3,1)。 (2)令X=0得y= 7m+4 .7m+4 m+1,令y=0得X=2m+1,面积 1|7m+4.7m+4 2 m+12m+1 3,解得m=二或m= 省10号：a(-4号：3x+4y-35=0 【解析1(1)d=16+12-1!=17 5 ②设n.则点× 4=-1,4y-12=-3x+6,即3x+4y-18=0; 中点3.+2， +4.y+3 1=0,即3x+4y+16=0。联立得x=-4, 上17 2 2 5° (3)设所求直线上点为(x,y),其关于P(2,3)的对称点(4-X,6一y)在1上，代入得 3(4-x)+4(6-y)-1=0,即3x+4y-35=0。 5. 【答案】(1)（-1,2)；(2)三线不共点，理由见解析；(3)m≠2且m≠-1且 1 m+2 【解析】(1)联立h,2得X=-1,y=2。 (2)将(-1,2)代入6得-1-4-1=-6≠0，不共点。 (3)5:mx-y-1=0,三线不能围成三角形需至少两线平行或三线共点。h‖6得 m=-1;久‖6得m=;三线共点得m=2。故能围成三角形需m≠-1，m≠2， m≠2。 C组思维拔高 1.【答案】0或1或无数个 【解析】当a≠1且a≠一1时，两直线相交，交点个数为1；当a=1时，两直线重合， 交点无数个；当a=-1时，两直线平行，交点0个。a=1时h:x+y+1=0, h:x+y+1=0重合；a=-1时h:x-y+1=0,h:-X+y+1=0即 X-y一1=0，平行。故交点个数为0或1或无数个。 2. 答割号 【解析】√(x-1)2+(y-2)z表示点(xy)到(1,2)的距离，最小值为(1,2)到 x+y-4=0的距离，d=1+2-4-1=V2 √2 3. 省 【解析)IAB=V4+I=√5，直线AB:X+2y-5=0,C到AB距离 d=2+8-5=5,面积号xV5×V5=员 v⑤ 4. 【答案】A 【解析】PQ中点(2,2)，kp0=1,垂直平分线斜率-1，方程y-2=-(X-2),即 X+y-4=0。 5. 【答案】X+y=0 【解桥】两直线相加得(2m-10x+力=0，当m≠方时X+y=0,即交点轨迹为 X+y=0。 6.【答案】4 【解析)A(2,1)关于X-y+1=0的对称点A(0,3),IPA-IPB的最大值为 IAB=√(4-0)2+(3-3)2=4。 7. 客割 解折)设Qx》,则X-×)=-1,y-3=X-2,即x-y+1=0:中 X+2+y+3-1=0,即x+y+3=0。联立得×=-2，y=-1。 2 d=13×(2)-4×(-1)+1!=1-6+4+1-1 5 5° 8. 号 【馔标】4与6交点(0,1,4与6交点2,1.6与6交点（像，》.面积 5=×2×号= 9.【答案】B 【解析)Ix-y+1=x+y-1等价于X-y+1=x+y-1或 X-y+1=-(x+y-1),即y=1或X=0,两条直线。 10.【答案】k>1 3k 【解析]联立得X=1二Ky=1一k +1=2K十。第三象限需x<0,y<0,即 1-k<0且2k+1>0,得k>1且k>-7,即k>1。 11.【答案】3V2 【解析】A(1,1)关于X+y-3=0的对称点B(2,2),B关于原点对称点C(-2,-2), lAC|=V(1+2)2+(1+2)2=√18=3V2。 12.【答案】A 【解析】a=1时h:X+y-1=0,2:X+y+1=0,平行，充分性成立；h‖2需 a2-1=0且a≠1或检验，a=-1时h:-X+y-1=0,2:X-y+1=0重 合，故a=1是平行的充分不必要条件。 13.【答案】20 【解析】IPA2+IPB2最小值为AB中点到直线距离相关，AB中点(2,3)， IPA2+IPB2=2IPM2+IAB2,IPM1最小值为(2,3)到x+y-1=0的距离 d=2+3-1-2V2,4B2=8,最小值2×8+4=20， V② 14.【答案】3 【解析)P(-1,2),设直线y-2=k(X+1),截距式求面积，得k=-2或k=-8或 1 k=-2,共3条。 15. 【答案】√2 【解析】1PQ最小值为P2,1)到X-y+1=0的距离，d=2-1+1=V2。 V2 16. 【答案】A 【解析)联立h,b得交点，代入X+y=0得a=-2。 17. 信刻层 【解折1直线AB:X+2y-5=0,设DX0,则女二号×(-3)=-1， X-2 y-4=2(x-2),即2x-y=0;中点X+2 2 +2:y年4-5=0，即 2 3 6 ×+2y-3=0。联立得X=亏，y=50 18.【答案】√2 【解析】联立得X= 1-m=1 m2-1 IOP2 (m+1+m-1z,当m=0时10P川取最大值V2。 1 拓展链接高考 1.【答案】4 【解析)圆心(1,1)到直线X+y-2=0的距离d=0,直线过圆心，AB|=2r=4。 2.【答案】 4v5 5 【解析】d= 13-0+1|44√5 三 V5 √5 5 3. 【答案】1 解析a=16+4二51=5=1。 5 4.【答案】(0,2) 哪折设对称点x%则女二}×1=-1，y-1=-X+1,即X+y-2=0;中 点×+1-y+1+1=0,即×-y+1=0。联立得X=0,y=2。 2 2■ 5. 【答案】(0,1) 【解析】联立得X=0,y=1。 6. 【答案】B 【解折1d=1+1L=V2。 √2 7. 【答案】B 【解折1d=3+8-1山=2。 5 8. 【答案】A 【解析】中点(2,1)，k48=-2,垂直平分线斜率 ,方程y-1=x-2),即 X-2y=0。 9.【答案)(-2，-1) 僻制设对将点化坊，则义-×(-)=-1，y-3=X-2,即X-y+1=0: 中点X+2+y+3-1=0,即X+y+3=0。联立得X=-2,y=-1。 2 10. 答兮多) 【解粉]联立得x=3y= 5 11.【答案】1 【解析1d=-5=1。 5 12.【答案】 4v5 5 【解析1d=1+3到=4V5 √5 5。 13.【答案)5 【解析】|AB=√9+16=5。 14.【答案】1 【解析】交点(0,1)，到原点距离1。 15. (答案) 2 【解析)d= 11+1-3引1 √2 16.【答案】(-1,1) 【解析】联立得X=-1,y=1。