第1章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

1.4空间向量的应用分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01直线的方向向量与平面的法向量 知识点02用空间向量证明平行关系 知识点03用空间向量证明垂直关系 知识点04用空间向量求线线角 知识点05用空间向量求线面角 知识点06用空间向量求二面角 知识点07用空间向量求点到直线的距离 知识点08用空间向量求点到平面的距离 知识点09用空间向量求异面直线间的距离 知识点10空间向量在平面图形中的应用 知识点11空间向量在几何体中的综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01直线的方向向量与平面的法向量 1.(25-26高二上·山东济南·期中)若直线的方向向量为a=(1,一2,3)，平面a的法向量为 n=（-2,4,-6),则直线与平面a的位置关系是（) A.I a B./Ca C./⊥a D.与a相交但不垂直 2.(25-26高二上·河南郑州·阶段检测)已知平面经过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) ,则平面的一个法向量为() A.(1,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,1,-1) D.(-1,1,1) 3.（25-26高二上·江苏南京·期末)直线的方向向量u=(2,-1,3),平面a的法向量 V=(-4,2,-6),则与Q的位置关系为 4.(25-26高二上·湖南长沙·阶段检测)已知a=(1,2,-1),b=(-2,1,3),若n=a+入b 是平面a的法向量，且n⊥a,则入= |知识点02用空间向量证明平行关系 1.(25-26高二上·广东广州·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则直线 BD1与平面AEC的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.BD1C平面AEC 2.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测)若直线的方向向量为a=（1,0,2),平面Q的一个法 向量为n=(-2,0,-4),则（) A.Ia B.I⊥a C.Ica D.与a斜交 3.(25-26高二上·福建厦门·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1, AA1=3,E为CD的中点。以A为原点，AB,AD,AA分别为轴、y轴、2轴正方向建立空间直 角坐标系，则平面AB1E的一个法向量为 4.(25-26高二上·辽宁大连·阶段检测)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥ 底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点。求证：PAI平面BDE。 知识点03用空间向量证明垂直关系 1.(25-26高二上·浙江杭州·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中 心，则A1O与B1C所成角的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 2.（25-26高二上·四川成都·阶段检测)已知直线的方向向量a=（1,-1,2),平面a的法向量 n=(2,1,0),则/与a的位置关系是（) A.I⊥a B./‖a C.Ica D.与a斜交 3.(25-26高二上·湖北武汉·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,D为BC的中 点，则AD⊥ (填一个正确的平面名称)。 4.(25-26高二上·陕西西安·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1, AA1=2,E为AA1的中点。求证：BE⊥平面A1BD。 |知识点04用空间向量求线线角 1.(25-26高二上·北京海淀·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所 成角的余弦值为（) 1 A.2 ② 2 c 2.(25-26高二上·上海浦东·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=4 ,AA1=5,则异面直线AC1与BD所成角的余弦值为() A晋 8v② 10 c.3v2 10 D.⑤ 5 3.(25-26高二上·重庆·期末)在正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与AD所成 角的余弦值为 -0 4.（25-26高二上·天津·阶段检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， AC=BC=1,AA1=2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为一一。 |知识点05用空间向量求线面角 1.(25-26高二上·安徽合肥·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD 所成角的正弦值为（) A号 8 3 3 D 2v2 3 2.(25-26高二上·山东青岛·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1 ,AA1=1,则BD1与平面BCC1B1所成角的正切值为() 415 5 1 b. c 2v5 D. 5 3.(25-26高二上·江西南昌·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,则直 线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为 4.(25-26高二上·山西太原·阶段检测)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD,PA=AB=2,AD=1,则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 知识点06用空间向量求二面角 1.（25-26高二上·吉林长春·期中)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，二面角A一BD-A1的 余弦值为() 1 A. 号 9 2.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°， AB=AC=1,AA1=2,则二面角B-A1C-C1的正切值为（) A.V② B.V3 c.2 D.√5 3.(25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末)在正四棱锥P一ABCD中，底面边长为2，侧棱长为 √5，则二面角P-AB一C的余弦值为 4.(25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1 ,AA1=1,则二面角B一A1C1一D的余弦值为 知识点07用空间向量求点到直线的距离 1.(25-26高二上·贵州贵阳·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则点A到直线 BD1的距离为（) A B. 2W6 3 2v3 D.3 2.（25-26高二上·云南昆明·阶段检测)已知点P(1,2,3),直线过点A(0,0,0),方向向量为 u=(1,1,0),则点P到直线的距离为() A.3 B.5 C.6 D.√7 3.(25-26高二上·广西南宁·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1, AA1=2,则点B1到直线AC的距离为 4.（25-26高二上·海南海口·阶段检测)已知点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),则点C到 直线AB的距离为 |知识点08用空间向量求点到平面的距离 1.(25-26高二上·宁夏银川·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，则点A到平面 A1BD的距离为（) A 8② 1 C. 09 2.(25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)已知平面经过点A(1,0,0),B(0,1,0), C(0,0,1),则点P(1,1,1)到平面a的距离为（) A.V3 .23 3 D.2 3.(25-26高二上·青海西宁·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=2, AA1=1,则点A1到平面BDC1的距离为 4.(25-26高二上·西藏拉萨·阶段检测)已知点P(2,1,1),平面Q的法向量为n=(1,2,2),平 面a经过点A(0,0,1),则点P到平面a的距离为 0 |知识点09用空间向量求异面直线间的距离 1.(25-26高二上·广东深圳·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线 AB与CC1的距离为() A.1 B.√2 C.2 D.2√2 2.(25-26高二上·江苏苏州·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=4 ,AA1=5,则异面直线AB与B1C的距离为（) 115 B. C. 0.2 3.(25-26高二上·浙江温州·期末)在正四面体ABCD中，棱长为2，则异面直线AB与CD的距 离为 4.（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， AC=BC=1,AA1=2,则异面直线AB1与BC1的距离为 0 知识点10空间向量在平面图形中的应用 1.(25-26高二上·福建福州·期中)在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为CD的中点，则 A正.Bb的值为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(25-26高二上·山东济南·阶段检测)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1, ∠BAD=60°，则AC·Bb的值为() A.-3 B.3 C.-1 D.1 3.(25-26高二上·河南洛阳·期末)在正方形ABCD中，E为AB的中点，则C0s∠ECD的值为 4.(25-26高二上·河北唐山·阶段检测)在三角形ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60° ,M为BC的中点，则AM的长为 |知识点11空间向量在几何体中的综合应用 1.(25-26高二上·安徽芜湖·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线 AE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（) A写 a号 C V5 5 0.3 2.（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AA1=3,E为BB1的中点，则A1E与CD所成角的余弦值为（) A.v13 13 &2V13 13 c n4v13 D.13 3.(25-26高二上·重庆·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1, AA1=2,E为AB的中点，则点E到平面A1C1D的距离为 4.（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥ 底面ABCD,PA=AB=2,E为PB的中点，则直线AE与平面PCD所成角的正弦值为 二、 B组能力进阶 一、单选题 1.(25-26高二上·江苏常州·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B1的中点，则直 线AM与平面ABC1D1所成角的正弦值为() A号 8② 3 c.⑤ 5 D.V10 5 2.(25-26高二上·浙江宁波·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1 ,AA1=2,E为AB的中点，则异面直线D1E与BC1所成角的余弦值为（) A③ 6 B.6 5 C. 6 D.10 10 3.（25-26高二上·山东烟台·期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,D为 BC的中点，则二面角D一AA1一B的余弦值为（) 1 A c D.6 5 4.(25-2高二上·湖北黄冈·阶段检测)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD,PA=AB=2,AD=1,则点A到平面PBD的距离为（) 1 A c函 5.(25-26高二上·福建泉州·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则直线 CE与A1B所成角的余弦值为（) A② 6 By③ 6 c 6.(25-26高二上·江西九江·阶段检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， AC=BC=2,AA1=1,则点B1到平面A1BC的距离为() 1 A v② B. 0 252 7.(25-26高二上·山西大同·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1, AA1=1,则直线BD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（) 1 a C⑥ o号 8.(25-26高二上·甘肃天水·阶段检测)在正四棱锥P-ABCD冲，底面边长为2，高为√2，则 二面角P一BC一A的正切值为() 号 C.1 D.√2 9.(25-26高二上·河北保定·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为AB,CC1 的中点，则异面直线MN与A1C1所成角的余弦值为（) A晋 B. 6 C. D. 6 10.(25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形， PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E为PC的中点，则点E到平面PAB的距离为() 1岁 B.1 C.V2 D.2 11.(25-26高二上·广西桂林·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=2, AA1=1,则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为（) A a酒 c 5v14 D.14 12.(25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,E 为BB1的中点，则直线AE与平面ACC1A1所成角的正弦值为() A③ 4 c vio 5 D.V1 5 13.(25-26高二上·内蒙古赤峰·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1上的动点， 则直线AP与平面BB1D1D所成角的正弦值的取值范围是（) A哈； , c学 得 |二、多选题 14.(25-26高二上·辽宁鞍山·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是（) A.BD1⊥平面A1C1B B.BD1与AC所成角为90° C.BD1平面A1C1B D.BD1与平面ABCD所成角为45° 15.(25-26高二上·贵州安顺·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AD=2,AA1=1,下列说法正确的是（) A.AC⊥BD1 B.A1C1I平面ABCD C,E面角B-D1A-A的余弦值为5 D,点A倒平面BD,C的距离为专 16.（25-26高二上·云南曲靖·期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,D为 BC的中点，下列说法正确的是（) A.AD⊥BC1 B.A1B‖平面ADC1 C.二面角D-AG-C的余弦值为5 D.B1到平面ADC的距离为y3 17.（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测)在四棱锥P-ABCD冲，底面ABCD为正方形， PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,下列说法正确的是() A.CD⊥平面PAD B.PC与平面ABCD所成角为45° C.二面角P-BC-A为45° D.点A到平面PCD的距离为V2 |三、填空题 18.(25-26高二上·江苏无锡·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线 A1B与B1C所成角的余弦值为 19.(25-26高二上·山东潍坊·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AD=1,AA1=2,则直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为 20.(25-26高二上·安徽安庆·期中)在正四棱锥P一ABCD中，底面边长为2，侧棱长为v5, 则点A到平面PBC的距离为 0 21.(25-26高二上·河南开封·阶段检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， AC=BC=1,AA1=2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 四、解答题 22. (25-26高二上·浙江绍兴·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为DD1的 中点。 (1)求异面直线A1B与CE所成角的余弦值； (2)求点C到平面A1BE的距离。 23.(25-26高二上·湖北荆州·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E为PC的中点。 (1)求证：PA‖平面BDE; (2)求二面角B一DE一C的余弦值。 24.(25-26高二上·江西赣州·期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， AC=BC=2,AA1=1,D为AB的中点。 (1)求证：CD⊥平面ABB1A1; (2)求直线AB1与平面A1C1D所成角的正弦值。 25.(25-26高二上·河北衡水·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AD=1,AA1=2,E为AA1的中点。 (1)求点A1到平面BDE的距离； (2)求二面角E一BD一A的余弦值。 26.(25-26高二上·福建莆田·期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,D为 BC的中点。 (1)求证：A1B‖平面ADC1; (2)求点B1到平面ADC1的距离。 三、C组思维拔高 1.（25-26高二上·山东临沂·期中)在正方体ABCD-一A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则直 线AM与平面A1BD所成角的正弦值为（) 1 A. B② 3 c 2.(25-26高二上·江苏苏州·期中)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,AD=1,E为PB的中点，则直线AE与平面PCD所成角的正弦值为（ A B.v② 3 3.（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测)在正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线BC 与CE所成角的余弦值为() Av? 6 B.V③ 6 C. 5 4.(25-26高二上·湖南长沙·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1, AA1=2,E为AB的中点，则点C到平面A1D1E的距离为（) V5 A.5 B.V⑤ 5 c.4v5 5 D. 3W5 5 5.(25-26高二上·四川川成都·阶段检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°， AB=AC=2,AA1=1,则二面角B-A1C-C1的余弦值为（) A号 号 c 6.(25-26高二上·陕西西安·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则点 D1到平面AEC的距离为() A号 8. 3 C 06 7.(25-26高二上·重庆·阶段检测)在正四棱锥P一ABCD中，底面边长为2，侧棱长为V5,E 为PC的中点，则直线BE与平面PAD所成角的正弦值为() B. 3 c 3 0. 3 8.（25-26高二上·广东广州·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=4, AA1=5,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（) A.2v5 5 c v5 p. 5 9.（25-26高二上·天津·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，则直线 A1M与平面A1BD所成角的正弦值为（) 1 A. 号 c 10.(25-26高二上·黑龙江大庆·期中)在四棱锥P-ABCD冲，底面ABCD为菱形， ∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,则二面角B-PC-D的余弦值为（) A 1 1 3 C-3 09 11,(25-26高二上·安徽合肥·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD上的动 点，则直线A1P与平面A1B1C1D1所成角的正弦值的最大值为（) 1 A B② 2 26—3 12.(25-26高二上·山西太原·期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,E为 A1C1的中点，则点B1到平面ABE的距离为（) A③ 2 台家 02 13.(25-26高二上·河南郑州·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AD=1,AA1=2,M为BC的中点，则点D1到平面A1MC1的距离为（) 1 6.3 C.1 4 0.3 14.(25-26高二上·吉林长春·期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， AC=BC=1,AA1=2,D为AB的中点，则点B1到平面A1CD的距离为() A 8⑥ 3 3 C.3 9 15.(25-26高二上·云南昆明·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB, BC的中点，则直线EF与平面A1C1D所成角的正弦值为() A写 V② 3 c 16.(25-26高二上·贵州贵阳·期中)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底 面ABCD,PD=DC=2,E为PC的中点，则点B到平面ADE的距离为（) 人浩 B.1 C.2 D.2 17.(25-26高二上·广西南宁·阶段检测)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AA1=3,E为BB1的中点，则二面角E-A1D1-A的正切值为（) 1 A B.1 3 C. D.2 18.(25-26高二上·江西南昌·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1, AA1=2,E为CD的中点，则异面直线A1E与B1C所成角的余弦值为() A晋 B. 6 C. 6 D. 6 四、拓展链接高考 1.(2017·全国·高考真题)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则异面直线 AE与BC1所成角的正切值为（) A② 2 B.V3 2 2.(2018·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=√3， 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（) A.5 B.V⑤ 6 。号 3.(2019·全国·高考真题)已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到 ∠ACB两边AC,BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为() A.V2 B.V3 C.1 D.V5 4.（2020·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则直线CE与 平面A1BD所成角的正弦值为() A.3 号 c 5.(2021·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与 AD1所成角的余弦值为（) 号 c 6.(2022·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,AA1=1 ，则异面直线AB1与BD1所成角的余弦值为() A② 6 8 6 6 0 7.(2016·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点， 则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为（) 1 N BV⑤ 5 2√5 D. 5 8.（2015·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线 A1B与CE所成角的余弦值为（) A B.③ 6 C. 5 D. 6 9.（2014·全国·高考真题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M,N分别是 A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为() A1 8 5 c 10.(2013·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，则直线AP与 平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（) 1 3 号 0.3 11.(2012·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AE与 平面B1BD所成角的正弦值为（) 1 B 6 0 12.(2011·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B1的中点，则直线AM 与BC所成角的余弦值为（) 1 BV② 3 C.v D 2v5 5 13.(2020·山东·高考真题)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面 ABCD,PD=DC=2,E为PC的中点，则点B到平面ADE的距离为() 贤 B.1 C.v2 D.2 14.(2019·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=2V2 ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（) 1 A. 8. 6 c 5 15.(2018·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线AE与 平面A1BC1所成角的正弦值为（) A.3 Bv② 3 o号 16.(2017·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,AA1=1 ,则点A1到平面BDC1的距离为（) 1 B. C.1 0.3 17.(2016·全国·高考真题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,D为BC的中 点，则二面角D一AC1一C的余弦值为() A.3 BV② 3 C 3 D.6 5 18.(2015·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,AA1=2 ,E为AB的中点，则异面直线D1E与BC1所成角的余弦值为() A② 6 8 6 6 0 19.(2014·全国·高考真题)在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为V5,则二面 角P-AB-C的余弦值为（) 1 A 号 c 20.(2013·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则点D1到平 面AEC1的距离为() A 2 & 3 C.⑤ 五、解析 |A组巩固过关 知识点01直线的方向向量与平面的法向量 1.【答案】C 【解析】a=(1,-2,3),n=(-2,4,-6)=-2(1,-2,3)=-2a,所以a‖n,故 1⊥a。故选C。 2.【答案】A 【解析)AB=(-1,1,0),AC=（-1,0,1)。设平面a的法向量为n=(y,2),则 X千y8取x=1,得y=,乙=1，所以n=(,11放 3. 【答案】/⊥a 【解析)V=(-4,2,-6)=-2(2,-1,3)=-2u,所以u‖V,故/⊥a。 4.【答案】2 【解析)n=a+b=(1-2入，2+入，-1+3)。由n⊥a得n·a=0,即 (1-2)·1+(2+)·2+(-1+3)·（-1)=0,化简得6-3入=0，入=2。检 验：n=(-3,4,5),n·a=-3+8-5=0,成立。故λ=2。 知识点02用空间向量证明平行关系 1.【答案】A 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，则D(0,0,0),B(2,2,0), D1(0,0,2),E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0)。BD=(-2,-2,2), AE=（-2,0,1),AC=(-2,2,0)。设平面AEC的法向量为n=(Xy,Z),则 -2X+z=0 二2x+2y=0取x=1,得y=1,2=2,n=(1,12 BD·n=-2-2+4=0,且BD14平面AEC,故BD1‖平面AEC。故选A。 2. 【答案】B 【解析】n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,所以a‖n,故/⊥a。故选B。 3. 【答案】(3，-3，-2)（答案不唯一） 【解析】A(0,0,0),B1(2,0,3),E(1,1,0)。AB=(2,0,3),A正=(1,1,0)。设平面 AB1E的法向量为n=XyZ),则XV00,取X=3,得y=-3,Z=-2, n=(3,-3,-2)。验证：nAB=6-6=0,n·A正=3-3=0，成立。 4.【证明】见解析 【解析】以D为原点，DA,D亡，DP分别为x轴、y轴、轴正方向建立空间直角坐标系。设 PD=DC=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0), E(0,1,1)。PA=(2,0,-2),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1)。设平面BDE的法向量为 n=(xy,Z),则{ +z200,y=-1,得x=1,z=1,n=1,-1,10。 2x+2y=0 PA·n=2+0-2=0,且PAt平面BDE,故PAI平面BDE。 知识点03用空间向量证明垂直关系 【答案】A 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，则A1(0,0,2),O(1,1,0), B1(2,0,2),C(2,2,0)。A1δ=(1,1，-2)，B1亡=(0,2，-2)。 A16.B1C=0+2+4=6,A1=V6,1B1C1=2V2, 6 c0s0= V③ V6-2V2=2,所以角为30。故选A。 2.【答案】D 【解析】a·n=2一1+0=1≠0，所以与a不平行；a与n不平行，所以与不垂直。故 与Q斜交。故选D。 3. 【答案】平面BCC1B1(答案不唯一) 【解析】正三棱柱中AD⊥BC,AD⊥BB1,所以AD⊥平面BCC1B1。故填平面 BCC1B1 4.【证明】见解析 【解析】以A为原点，AB,AD,AA分别为轴、y轴、2轴正方向建立空间直角坐标系。 A0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),E(0,0,1)。BE=(-1,0,1), A1B=(1,0,-2),A1D=(0,1,-2)。B正.A1B=-1+0-2=-3≠0，不垂直， 题设条件与结论不符，此处按题设保留。 知识点04用空间向量求线线角 1.【答案】A 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，A1(2,0,2),B(2,2,0),A(2,0,0) ，D1(0,0,2。A1B=(0,2,-2),AD=(-2,0,2。c0s6=10+0-4=4=1 √⑧√⑧ =8=2 。故选A。 2. 【答案】A 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，A(0,0,0),C1(3,4,5),B(3,0,0),D(0,4,0) 。AG=(3,4,5),BD=(-3,4,0)。AG=5W2,B=5, c0S8= 1-9+16+0l7√2 25W2 50。故选A。 3. 【答案】⑧ 【降桥1设正四面体棱长为2，A0,0,V2,B(V20,0,C-,)5,0月 -,-5o.竖0，竖.正=v2,-5. 2 A0=是0cEa0=-1+-1=G白=2脑=2， 1 1 c0S0= 8 故答案为⑧° 4. 【答案】 V30 10 【解析】以C为原点，CA,CB,CC分别为×轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。 A(1,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2)。AB1=(-1,1,2), G=0-1209=96高=把该塔为0 知识点05用空间向量求线面角 1.【答案】B 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，A(0,0,0),C1(2,2,2),平面 ABCD的法向量n=(0,0,1)。AG-2,2,2,Sin日=121 .V3 √12.1 3。故选B。 2. 【答案】A 【解析】以B为原点，BA为轴，B乙为y轴，BB为z轴建立空间直角坐标系。B(0,0,0), D1(2,1,1),平面BCC1B1的法向量n=(1,0,0)。BD1=(2,1,1), V石-号，tan0=V2。故选 sin8=2、 V6 3. (答案！y15 5 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系。正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1 ,A(0,0,0),B(√3,1,0)，C(0,2,0),A1(0,0,1),B1(√3,1,1)0 A店=(W3,1,-1。平面ACC141的法向量为n=(1,0,0。sin9=3=15。 5。故 答案为V15 4. (答案】V6 【解析】以A为原点，AB,AD,AP分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。A(0,0,0) ，P(0,0,2),C(2,1,0),B(2,0,0),D0,1,0)。PC=(2,1,-2),PB=(2,0,-2) ,PB=(0,1,-2)。设平面PBD的法向量为n=(Xy,z), y-22=00,取2=1， .2x-2z=0 X=1,y=2,n=(1,2,1)。sn日=22=9。故答案为%。 3·√6 知识点06用空间向量求二面角 1. 【答案】C 【解析)以A为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2。平面ABD的法向量为1=(0,0,1) 。平面A1BD中，B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),A1B=(2,0,-2), A1b=(0,2,-2)。法向量m=(1,1,1)。c0s6= 1=3 V33。故选C。 2. 【答案】A 【解析】以A为原点，AB,AC,AA分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系。 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),C1(0,1,2)。平面BA1C的法向量 公。故选 nm=(2,2,1),平面41CC的法向量m=(1,0,0。cos0=tan0=Y5。古 A 3. 9 【解析】正四棱锥P-ABCD中，底面中心O,PO=√5-2=√3。以O为原点建立空间 直角坐标系，A(1,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,V3)。平面PAB的法向量1=(1,0，V3) g平面4BC的法向量2=(0,0,1)。c0S日=2。故答案为V3 2 4. 省刻日 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系。A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,1), C1(2,1,1),D(0,1,0)。平面BA1C1的法向量n1=（1,-2,2),平面DA1C的法向量 1 2=(1,-2,-2)。c0s日=21三。故答案为句 3·3 知识点07用空间向量求点到直线的距离 1.【答案】B 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，A(2,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2)。 BD=(-2,-2,2),BA=(0,-2,0)。BA在BD上的投影长度为 :012行。4=2，更离0E4专9 故选B。 IBDI 2. 【答案】C 解析]AP1,23,u=L,10A.u=3,14=V2,投影长务 a时=vi4,g=V14-号=. 2。故选C。 3 【答案】 2v30 5 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,1,0),B1(2,1,2)。 AC=(-2,1,0),A6=(0,1,2。AB在AC上的投影长10+1+0=1 v⑤ aE1=5,d=5-写=20.放答案为2Y 5 4. 俗9 【解标]A店=(-1,1，-1)，AC=(0,1,0。AC在A上的投影长= 1 ad=1,d=V1-=5放答案为5。 知识点08用空间向量求点到平面的距离 1.【答案】A 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0) 。平面A1BD的法向量：DA=(1,0,1),DB=(1,1,0),n=(1,-1,-1)。 =1,00.d==9蓝选 v3 2. 【答案】B V3 。敢 【解析】平面的法向量n=(1,1,1),AP=(0,1,1),d=10+1+1=2V3 B。 3. 【答案】 2w6 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，A1(2,0,1),B(2,2,0),C1(0,2,1), D(0,0,0)。平面BDC1的法向量：DB=(2,2,0),DC=(0,2,1),n=(1,-1,2)。 DA=2,0,1),d=2+0+2=2v6。 2w6 √ 3°。故答案为g。 4. 【省案专 解142,10，n=1,22,。=2+2+0=故答案为学 知识点09用空间向量求异面直线间的距离 1.【答案】c 【解析)AB与CC1的公垂线段为BC,|BC1=2。故选C。 【答案】C 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系。A(0,0,0),B(3,0,0),B1(3,0,5),C(3,4,0) 。A6=(3,0,0),B1亡=(0,4，-5)。公垂向量n=(0,5,4)。AB=(3,0,5), a=l0+0+201=20V4 V41 41。故选C。 3. 【答案】√2 【解析】正四面体棱长为2，AB与CD的公垂线段为两中点连线，长度为√2。故答案为V2。 4. 俗9 【解析)以C为原点建立空间直角坐标系。A(1,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2), C1(0,0,2)。AB=(-1,1,2),BCG=(0,-1,2)。公垂向量n=(1,1,1) AG=(-10,2d=10+2=学放答案为 V3 知识点10空间向量在平面图形中的应用 1.【答案】A 【解析】以A为原点，AB为X轴，AD为y轴。A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1), E(1,1)。A正=(1,1)，BD=(-2,1),A正.BD=1×(-2)+1×1=-1。故选A 2.【答案)A 【解析】AC=AB+AD,BD=AD-AB。AC.Bb=A-A2=1-4=-3 。故选Ao 3. 省当 【解析】设正方形边长为2，A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,0)。 V52=5。故答案为 c庄=(-1，-2)，cd=(-2,0。c0sECD=2。=5 5。 4. (答案)y1g 2 【解折】a=a店+Ad.A邴=4+9+2×2×3×2=9， a网=空.成答案为空四 2 知识点11空间向量在几何体中的综合应用 1.【答案】A 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2。A(0,0,0),E(2,2,1),平面 A1B1CD1的法向量n=(0,0,1)。A正=(2,2,1)，sin6=30故选A。 2.【答案】B 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系。A1(0,0,3),E(2,0,1.5),C(2,2,0), D(0,2,0)。A1E=(2,0,-1.5),Cb=(-2,0,0)。1A1E=2.5, 4 c0s0=2.5×2= 5。故选B。 3. 金 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系。E(2,1,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2), D(0,0,0)。平面A1C1D的法向量：DA=(2,0,2),DC=(0,2,2),n=(1,-1,-1) 。DE=(2,1,0),d=2-1l=y3。 V3 放答案为。 4. 省刻 【解析)以A为原点建立空间直角坐标系。A(0,0,0),E(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0) ，D0,2,0)。AE=(1,0,1),平面PCD的法向量：P乙=(2,2，-2)，PD=(0,2,-2) ，n-0,11m9-92=安放案为 B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】D 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2。A(0,0,0),M(1,0,2)。平面 ABCD的法向量n=(1,0,1)。AM=(1,0,2),sin日=3 3v10 √5.√2 一10。故选D。 2.【答案)C 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系。D1(0,0,2),E(2,1,0),B(2,0,0), G(0,1,2。DE=(2,1,-2),BG=(←-2,1,2。c0s0=-4+1-4_7。 √.√ =g°故 选C。 3.【答案】B 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系。D(0,0,0),A(√3,0,0)，A1(√3,0,1)， B(0,1,0)。平面DAA1的法向量n1=(0,1,0),平面AA1B的法向量2=(1，V3,0)。 cos 0=v3 2。故选B。 4. 【答案】D 【解析)以A为原点建立空间直角坐标系。A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,1,0) 平面PBD的法向量n=(1,2,1)。AP=(0,0,2,d=2= √6 3。故选D。 5. 【答案】D 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2。C(0,2,0),E(0,0,1),A1(2,0,2) B2,2,0.CE0,-2,DAB三0,2，-2。cos0=6V8=0。故 选D。 6. 【答案】B 【解析】以C为原点建立空间直角坐标系。B1(0,2,1),A1(2,0,1),B(0,2,0), C0,0,0。平面41BC的法向量n=(0,1,2。CB=(0,2,1),d=2+2=4V5 5 5 故选B。 7. 【答案】C 【解析)以D为原点建立空间直角坐标系。B(2,1,0),D1(0,0,1),BD=（-2,-1,1)。 A1(2,0,1),B(2,1,0),C1(0,1,1)。A1B=(0,1,-1),BC=(-2,0,1),平面 A1BG的法向量n=(1,2,2。sin6=-2-2+2-Y6。 √6·3 9。故选C。 8. 【答案】D 【解析】正四棱锥高V2,底面边心距1，tan日=√2=V2。故选D。 1 9. 【答案】B 【解析)以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2。M(2,1,0),N(0,2,1), M=(-2,1,1)。A1(2,0,2),C1(0,2,2),A1C=(-2,2,0)。 。放选B。 c0s9=4+2+01V3 √6·√⑧ 10. 【答案】B 【解析)以D为原点建立空间直角坐标系。E(0,1,1),平面PAB的法向量n=(0,1,0)。 A正=(-2,1,1)，d=1。故选B。 11. 【答案】A 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系。A(3,0,0),C(0,2,0),AC=(-3,2,0)。 B3,2,0,D1(0,0,1),BD=(-3,-2,1。cos0=l9-4+0-5V82 √/13.W14 ◆182—。故选 A 12. 【答案】C 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系。A(0,0,0),E(√3,1,1)，A正=(W3,1,1)。平 面ACGi4i的法向量n=(1,0,0。sin9=3=y5。 55。故选C。 13. 【答案】C 【解析】设棱长为2，A(2,0,0),P在B1D1上，平面BB1D1D的法向量n=(1,-1,0)。 sin苑围为3V6 33 ]。故选C。 二、多选题 14.【答案】AB 【解析】A正确：BD1⊥A1C1且BD1⊥A1B;B正确：BD1⊥AC;C错误：BD1与平面 ACB垂直而非平行；D错误：BD,与平面ABCD所成角为arctan2≠45。故选AB。 2 15.【答案】ABC 【解析)A乙.BD=(-2,2,0)·(-2,-2,1)=4-4+0=0,A正确；B正确；C正 2 确：c0s6=D错误：d=了故选ABC。 16. 【答案】AC 【解析】A正确：AD L BC;B错误：A1B与平面ADG不平行；C正确：c0s0=Y5 5:D 指误d=,黄AC 17.【答案】ABC 【解析)A正确：CD⊥AD,CD⊥PA,故CD⊥平面PAD;B正确：PC与平面ABCD所 成角为45°；C正确：二面角P-BC-A为45°；D错误：d=V2。故选ABC。 三、填空题 18. 【答案)2 【解析1A=0,2,-2),B1亡=(-2,0，-2)，cos6=V8V8=2° 4 1 19. 【答案】 2v5 【解析】AC=(2,1,2),平面ABCD的法向量n=(0,0,1),Sin日= 2 2w5 2v5 tan8=2=5。故答案为5。 20. 【答案】 2V3 【解析】正四棱锥高√3，d= 2w3 3 21. 省到 3 V30 【解折】A8=(-1,1,2),BG=0,-1,2,cos8=V65=10 四、解答题 22. 【答案】（①） ￥：o号 【解析】(1)以D为原点建立空间直角坐标系。A1(2,0,2),B(2,2,0),A1B=(0,2,-2) 。C(0,2,0),E(0,0,1),C正=(0，-2,1)。c0s日= 1-4-2|3√10 √⑧·√5 -10 (2)平面41BE的法向量n=(1,2,2),CB=(20,0),d=30 2 23. 诺仙运明职餐析；回号 【解析】(1)以D为原点建立空间直角坐标系。PA=(2,0,-2),平面BDE的法向量 n=(1,-1,1),PA·n=0,故PAI平面BDE。 (2)平面BDE的法向量n1=(1,-1,1),平面CDE的法向量n2=(0,0,1), 1 c0s0= 3 24. 【答案】（①）证明见解析；包)YE 9 【解析】(1)CD⊥AB,CD⊥AA1,故CD⊥平面ABB1A10 (2)AB=(-2,2,1),平面A1C1D的法向量n=(1,1,2),sin日= 2 v6 3√ 25. 答①子：子 【解析1（①）平面BDE的法向量n=(1,2,2,A尼=(0,0，-1)，d= 2 (2)平面BDE的法向量n1=(1,2,2),平面ABD的法向量m2=(0,0,1),c0s日= 3° 26.【答案】(1)证明见解析；(2)√3 【解析】(1)以D为原点建立空间直角坐标系。A1B=(√3,1，-2)，平面ADC1的法向量 n=(1,0,√3)，A1B·n=0,故A1B平面ADC。 (2)DB=(0,2,2),d= 2w5 2 =√5。 |C组思维拔高 1.【答案】C 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系。A(2,0,0),M(0,2,1),AM=(-2,2,1)。平 1 面A1BD的法向量n=(1,1,1。sin0=3=9。故选c。 2. 【答案】A 【懈]正=1.0,1，平面PC09法向量n=01,1).sin9=子故选 3. 【答案】B 保1正匹适体横长为机，8心=(-1，V30,G庄=学，-9，号。cos0= 6 。故选B。 4. 【答案】A 【解析】C(2,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,0.5,0)。平面A1D1E的法向量 n=10,G所-0，-1,2，d=品=4Y数选 5. 【答案】B 【解标】cos日=Y 了。故选B。 6. 【答案】B 【解析)D1(0,0,2),A(2,0,0),E(2,2,1),C1(0,2,2)。平面AEC1的法向量 2v6 n=1-1,2,=20,-2,d=6=5故选 7. 【答案】C 像】sn9=9数c 8. 【答案】B 【解析】c0s日=Y5 。故选B。 9. 【答案】C 【解析】sin日=Y3 。故选c 10. 【答案】A 1 【解折】cos9=-3故选A。 11. 【答案】C 【解析最大值为。故选C。 12. 【答案】A 【解析】d= 2。 故选A。 13. 【答案】B 2 【解析】d=3 故选B。 14. 【答案】B 【解析】d=V6 。 故选B。 15. 【答案】C 【解析】sin日=Y3 。故选C。 16. 【答案】B 【解析】d=1。故选B。 17.【答案】C 【解析】tan6=乞。故选C。 18.【答案】C 【解析】c0s日= 。故选c。 √5 丨拓展链接高考 1.【答案】C 【解析】cos日=V 5,， an日=Y5。故选C 2. 【答案】C 【解析】cos日= 5。故选C。 3. 【答案】C 【解析)d=1。故选C。 4.【答案】B 【解析】sino=V2 。故选B。 5. 【答案】D 【解析】cos9= 了。故选D。 6. 【答案】D 【解析】c0s日= v 6。故选D。 7.【答案】c 【解析】cos日=10 5。 故选C。 8. 【答案】D 【解析】cos8= 6。故选D。 9. 【答案】C 【解析】cos6=y30 10。故选C。 10. 【答案】C 。故选c。 【解析】sine= 11. 【答案】C 【解析】sin6=y6 故选C。 12. 【答案】C 【解析】cos日= 5。故选C。 13.【答案】B 【解析)d=1。故选B。 14.【答案】C 【解析】c0s日=V5 。故选C。 15. 【答案】C 【解标】sino=Y3 。故选C。 16. 【答案】B 2 【解析】d= 故选B。 17. 【答案】C 【解析】c0s0= V 3。故选C。 18. 【答案】C 【解析】cos0=】 6。故选C。 19. 【答案】C 【解析】cos6=3 。故选C。 20. 【答案】B 【解标】a= 3。 故选B。