第1章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

1.1空间向量及其运算分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01空间向量的概念 知识点02空间向量的线性运算 知识点03共线向量与共面向量 知识点04空间向量的数量积运算 知识点05空间向量的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 一、A组巩固过关 知识点01空间向量的概念 1.(25-26高二上·湖南长沙·期中)下列命题中正确的是（) A.若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B.若空间向量a,b满足引a引=|bl,则a=b C.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内 D.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 2.(25-26高二上·山东青岛·阶段检测)下列关于空间向量的说法中，正确的是() A.零向量与任意向量平行 B.若|a=0,则a=0 C.单位向量的模都相等 D.空间中任意两个单位向量必相等 3.（24-25高二上·河北保定·期末)下列说法正确的是（) A.若a与b共线，则a与b所在直线平行 B.向量AB与向量BA是相等向量 C.两个空间向量相等，则它们的方向相同且模相等 D.空间中所有的单位向量都相等 4.(25-26高二上·湖北荆州·阶段检测)下列命题中为真命题的是（) A.若|al=|bl,则a=b或a=-b B.若a=0,则川a引=0 C.若a‖b,则a与b的方向相同 D.若a≠b,则al≠lbl 知识点02空间向量的线性运算 1.(25-26高二上·山东青岛·阶段检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB+AD+AA1等于（) A.AC B.BD C.A1己 D.DB 2.(25-26高二上·河南郑州·期末)在空间四边形ABCD中，AB+B元-D亡= 3.(24-25高二上·江苏南京·阶段检测)已知空间向量a,b,c,化简： a+b-c-(a-b+c)= _0 4.(25-26高二上·辽宁沈阳·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB-AD+CC= () A.AC' B.AC C.BD D.DB 知识点03共线向量与共面向量 1.(25-26高二上·浙江杭州·期中)对于空间任意两个非零向量a,b,"a‖b"是"a与b共线"的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测)下列条件中，使点M与点A,B,C一定共面的是() A.OM=20A-OB-OC Bom=号o+3oi+oc C.MA+MB+MC=0 D.OM+OA+OB+OC-0 3.（25-26高二上·四川成都·期末)已知a=(2,-1,3),b=（-4,2,),若a‖b,则X= 4.(24-25高二上·河北石家庄·阶段检测)已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,2,0),若A,B, C,D四点共面，且D(0,0,m),则m=_ |知识点04空间向量的数量积运算 1.(25-26高二上·福建厦门·期中)已知空间向量a,b满足引a引=2，|bl=3,(a,b)=60°， 则a·b=() A.3 B.6 c.3W3 D.6√3 2.(25-26高二上·广东广州·阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， AB.ADi-() A.0 B.1 C.2 1 0.2 3.(25-26高二上·安徽合肥·期末)已知空间向量a=(1,2,一1)，b=(2,0,1),则a·b= lal 4.（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与 2a-b垂直，则k= |知识点05空间向量的应用 1.(25-26高二上·江西南昌·期中)在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，异面直线AC 与BD1所成角的余弦值为() A.0 &③ 3 1 02 2.（25-26高二上·山西太原·阶段检测)已知空间三点A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,1),则 ∠BAC的大小为() A.30° B.45 C.60 D.90° 3.（25-26高二上·云南昆明·期末)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，棱长为1，则点A1到直线 BD的距离为 4.(24-25高二上·广西南宁·阶段检测)已知a=（1,0,1),b=(0,1,1),则a与b的夹角为 二、B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与 B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA=C,则BM=() A、1 .1 2a+b+c 11 3a+ 1 6+c 1. c.,2a-2b+c 1 11 0.2a- +c 2.(2026·陕西西安·模拟预测)已知空间向量a,b满足引a=1,|bl=2,a·b=-1,则 la-2l=() A.√W21 B.V15 C.4 D.17 3.(25-26高二上·甘肃兰州·期末)已知a=(1,2,-2),b=(-2,1,1),则a在b方向上的投 影向量为() 211 A-333 B原-》 21 C.(-2,1,1) D.(2,-1,-1) 4.(25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)在四面体OABC中，OA,OB,OC两两垂直，且 OA=OB=OC=1,则点O到平面ABC的距离为() A 3 B C.2 2 0.2 5.（25-26高二上·吉林长春·期中)已知空间向量a=(2,-1,3),b=（-4,2,X),若a‖b, 则a·b=() A.-28 B.28 C.-14 D.14 6.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为 CC1的中点，则AE·BD=() A.0 B.1 D.-1 7.（25-26高二上·陕西西安·期末)已知空间四边形OABC中，OA=OB=OC=1, ∠AOB=∠BOC=∠AOC=5,则OA·BC=() A.0 1 b.2 1 8.(25-26高二上·安徽芜湖·阶段检测)已知a,b是空间两个非零向量，则"川a+bl=|a一b "是"a⊥b"的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(25-26高二上·福建福州·期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为() A.V3 B.√6 C.3 D.6 10.(25-26高二上·湖南长沙·期末)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),则 △ABC的面积为（) A.2V6 B.3v6 C.6√2 D.4V3 11.(25-26高二上·山东济南·阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分 别为AB,BC的中点，则点A1到平面B1EF的距离为（) A217 17 B. 4V17 17 c.viz 17 D 3V17 17 12.（25-26高二上·浙江宁波·期中)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b 的夹角为钝角，则k的取值范围是（) AK 1 B.k7豆 C.k< D.k>5且k≠-2 丨二、多选题 13.(25-26高二上·重庆·期中)下列关于空间向量的命题中，正确的是（) A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若a,b,c是空间的一组基底，则a十b,b+c,c+a也是空间的一组基底 c.若a‖b,则la·bl=lal.Ib D.若a⊥b,则la+bl=la-bl 14.(25-26高二上·海南海口·阶段检测)已知空间向量a=(1,-1,2),b=(-2,1,1),则下 列结论正确的是（) A.a+b=(-1,0,3) B.lal=√6 C.a⊥b D,a与b陕角的余弦值为一看 15.(25-26高二上·江苏南京·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（) A.AB.AD=0 B.AC=AB+AD+AA C.AB与C1D是相反向量 D.AC⊥BD 丨三、填空题 16.(25-26高二上·吉林长春·期末)已知空间向量a,b满足a引=1,1bl=2,且a⊥(a-b) ,则a与b的夹角为 17.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为 CC1的中点，则A正.BD= 18.(25-26高二上·江西九江·期中)已知a=(1,0,1),b=(0,1,1),则a与b的夹角为 19.(25-26高二上·山西太原·阶段检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为 |四、解答题 20.(25-26高二上·江苏无锡·期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2, AA1=3,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°。 (1)求AB·AA的值； (2)求AC1的长 21.(25-26高二上·福建福州·阶段检测)已知空间三点A(-1,0,1),B(1,2,3),C(2,0,-1) (1)求AB与AC的夹角的余弦值； (2)若向量kAB+AC与2AB-AC互相垂直，求实数k的值。 22.(25-26高二上·广东深圳·期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B的 中点。 (I)求AM与BD所成角的余弦值； (2)求点M到平面ABC1D1的距离。 23.(25-26高二上·湖北武汉·阶段检测)已知a=(1,2,-2),b=（-2,1,1)。 (1)求a在b方向上的投影向量； (2)若ka+b与a-2b平行，求k的值。 24.(25-26高二上·河南郑州·期末)在四面体O4BC中，OA,OB,OC两两垂直，且 OA=OB=OC=1。 (1)求点O到平面ABC的距离； (2)求异面直线OA与BC所成角的大小。 三、C组思维拔高 1.（25-26高二上·山东济南·期中)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°，且 lal =Ibl=Ic=1,a+b+cl=( A.√3 B.V6 C.3 D.23 2.（25-26高二上·浙江温州·阶段检测)在四面体OABC中，OA=OB=OC=1, ∠AOB=∠BOC=LCOA=90°，点D在棱OA上，且OD=2DA,点E为BC的中点，则D 与AB所成角的余弦值为() A③ 3 7V34 B.34 c 3.(25-26高二上·江苏南通·期末)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),O(0,0,0),点 P在平面ABC内，且OP⊥AB,OP⊥AC,则点P的坐标为_一。 4.(25-26高二上·湖南长沙·阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B 的中点，则点M到平面ABC1D1的距离为 0 5.(25-26高二上·河北衡水·期中)已知空间向量a,b满足引a=2,1bl=3,1a+bl=√19 ,则a一l=() A.V7 B.√13 C.V19 D.√21 6.(25-26高二上·福建厦门·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB, BC的中点，则直线EF与A1C1所成角的大小为（) A.30° B.45 C.60° D.90° 7.(25-26高二上·山东青岛·期末)已知a=(1,1,0),b=（-1,0,2),若ka+b与2a-b 的夹角为锐角，则k的取值范围是() k 7 B.k25 .1 C.k>5且k 7 D,k<5且k≠- 8.(25-26高二上·辽宁大连·阶段检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1 ,AA1=2,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦 值为() 4③ 6 B. 6 c 9.(25-26高二上·安徽合肥·期中)已知空间三点4(0,0,0)，B(1,1,0),C(0,1,1),则 △ABC的面积为（) 6 b.2 C.√3 D.√6 10.（25-26高二上·江西南昌·阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为 B1D1的中点，则直线PB与AD1所成角的大小为() A号 B. C. 务 06 11.(25-26高二上·山西临汾·期末)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|=1, |bl=2,|c=3,则a·b+b·c+c·a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 12.(25-26高二上·云南曲靖·阶段检测)在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2, ∠BAC=∠BAD=LCAD=60°，则AB.CD=() A.-2 B.-1 C.0 D.2 13.(25-26高二上·贵州遵义·期中)已知a,b是空间两个非零向量，且l=1,1bl=2, la+bl=√7，则a与b的夹角为() A.30° B.45° C.60° D.120° 14.(25-26高二上·广西桂林·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为 BB1的中点，则点E到平面ACD1的距离为（) A.2Y3 3 B.5 cys D.2w3 15.(25-26高二上·四川绵阳·期末)已知空间向量a=（1,2,-1),b=(2,0,1), c=(0,1,1),则a,b,c() A.共面 B.不共面 C.共线 D.无法确定 16.(25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AD=1,AA1=3,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则BD1的长为（) A.V13 B.√14 C.√15 D.4 17.(25-26高二上·福建泉州·期中)已知空间向量a,b满足a引=1bl=1,且 |3a-2bl=v7,则la+l=（() A.V2 B.√3 C.2 D.√5 18.(25-26高二上·广东珠海·阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，M为 CC1的中点，则点M到直线A1B的距离为（) 4.v6 3 四、拓展链接高考 1.(2022·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点， 则() A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF‖平面A1AC D.平面B1EFI‖平面A1C1D 2.(2021·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与 AD1所成的角为（) B. D.6 3.(2020·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,E 为棱DD1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为一· 4.(2019·全国·高考真题)已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到 ∠ACB两边AC,BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为_。 5.(2018·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=V3, 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A. B.V⑤ 6 c 6.(2017·全国·高考真题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2, BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(（) A. 2 B.V15 5 c.v 5 7.(2016·全国·高考真题)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,a‖平面CB1D1, an平面ABCD=m,a∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（) A. 2 2 B. D.3 8.(2015·全国·高考真题)已知A,B,C是球O的球面上三点，AB=AC=2, ∠BAC=90°，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为 0 9.(2014·全国·高考真题)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M,N分别是A1B1 ,A1C1的中点，BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为() 1 A.0 8V3 5 C.30 10 0.2 10.(2013·全国·高考真题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,则CD与平 面BDC1所成角的正弦值为（) 1 B 0.3 11.(2012·全国·高考真题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CC1的中 点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为() A. 5 2 C 0当 12.(2011·全国·高考真题)已知直二面角a-1-B,点A∈a,AC⊥/，C为垂足，B∈B, BD⊥/，D为垂足，若AB=2,AC=BD=1,则CD=() A.2 B.√3 C.√2 D.1 13.(2010·全国·高考真题)已知正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2, AB=√2，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为（) A号 B.② 3 C③ 0.3 14.(2009·全国·高考真题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1的 中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（) A.10 ,10 8. 3W10 10 0.3 15.(2008·全国·高考真题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，则 点A1到平面B1CE的距离为 _0 五、解析 A组巩固过关 知识点01空间向量的概念 1.【答案】C 【解析】A错误，相等向量起点不一定相同，只要求大小相等、方向相同；B错误，模相等方向 不一定相同；C正确，空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为共面向量；D错误， 当b=0时，a与c不一定共线。故选C。 2.【答案)D 【解析】A正确，零向量与任意向量平行；B正确，模为0的向量是零向量；C正确，单位向量 的模均为1；D错误，空间中任意两个单位向量方向不一定相同。题目要求选"正确的是"，但 A、B、C均正确，D错误。原题若为单选则命题有误，此处按多选理解，正确答案为A、B、 C。若必须单选，则题目应改为"不正确的是"，答案选D。按原题"正确的是"，A、B、C均为真 命题，故本题为多选题，选ABC。 3.【答案】C 【解析)A错误，共线向量所在直线可能重合；B错误，AB与BA是相反向量；C正确，相等向 量方向相同且模相等；D错误，单位向量方向不一定相同。故选C。 4.【答案】B 【解析)A错误，模相等方向不一定相同或相反；B正确，零向量的模为0；C错误，共线向量 方向可能相反；D错误，不相等的向量模可能相等。故选B。 知识点02空间向量的线性运算 1.【答案】A 【解析】由平行六面体法则，A正+AD=AC,A亡+AA=AC。故选A。 2.【答案】Ad 【解析】A店+BC-DC=AC-D元=A亡+CD=AD。 3 【答案】2b-2c 【解析)原式=a+b-c-a+b-c=2b-2c。 4. 【答案】A 【解析)AB-AD=DB,DB+CC=DB+BB=DB。但CC=AA, AB-AD+CC=AB+DA+AA=DA+AB+AA=DB。选项中有AC?重新 计算：AB-AD=DB,DB+CCG=DB+BB=DBi。故结果为DB,选D。修正： AB-AD+CC=DB+BB=DB,故选D。 知识点03共线向量与共面向量 1.【答案)】C 【解析】空间两个非零向量共线即平行，两者等价，为充要条件。故选C。 2.【答案】C 【解析】C中MA+MB+M元=0，即MA=-M店-M乙，三向量共面且有公共点M, 故M,A,B,C共面。A中系数和2-1-1=0，但对应点为A,B,C共面需M在平面 内，此处系数和为0表示OM与平面平行方向，不能保证M在平面ABC内；B中系数和 1 专+号≠1，M不在平面内；D中系数和不为1。 3.【答案】-6 保糊1a6,则之=号=京即-2=-2=学得x=-6。 4. 倍案 【解析】AB=(-1,1,0),A亡=(0,2，-1)，AD=(-1,0,m-1)。由A,B,C,D 共面，存在入，μ使AD=AB+AC,即(-1,0，m-1)=(-入入+24，-W。由 1 3 -入=-1得入=1；由入+2μ=0得μ=-2：则m-1=-μ=2m=20 知识点04空间向量的数量积运算 1.【答案】A 【解析】ab=|allcos60°=2×3× 1 =3。故选A。 2. 【答案】A 【解析】AD=AD+AA1,AB.AD=0,AB·AA=0,故AB.AD=0。故选A。 3.【答案】1；√ 【解析】a·b=1×2+2×0+(-1)×1=1;1al=√/12+22+(-1)2=V6。 容 4. 【解析)ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2)。垂直则 7 (k-1)×3+k×2+2×(-2)=0,即3k-3+2k-4=0,5k=7,k= 5 知识点05空间向量的应用 1.【答案】A 【解析】以D为原点建系，A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D1(0,0,2)。 A亡=(-2,2,0)，BD=(-2,-2,2)。AC·BD=4-4+0=0,故所成角为90°， 余弦值为O。故选A。 2.【答案】C 【解折]A店=(1,1,0，AC=(01,1。c0s∠B4C=A店·AC 1 AAà V2V2=2 故∠BAC=60°。故选C。 3. 答案)y6 【解析】以D为原点建系，A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)。DB=(1,1,0), DA1=(1,0,1)。点A1到直线BD的距离 2 d= DA2-(4 4.【答案】60° 1 【解析】ab=0+0+1=1,lal=V2,1b1=V2,cos6=2,6=60。 |B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】A 限糊18丽=BA+Ad+A府=-a+c+2妇+创=一0+b+C放选动 2.【答案】A 【解析】 1a-2b2=|a2-4a·b+4|b2=1-4×(-1)+4×4=1+4+16=21。故 |a-2bl=V21。故选Ao 3.【答案)B 【解析】a在b妨向上的投影向量=日： b。a·b=-2+2-2=-2,|b2=6,系数 1b2 故提影狗量=原子一专流®， 4.【答案】A 【解析】以O为原点建系，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。平面ABC法向量 n=(1,1,1,o=(1,0,0,距离d=O.=1=V3 n 。故选A。 5. 【答案】A 懈折1a16,则之=吕=草得x=-6,6=(-42-60, a·b=2×(-4)+(-1)×2+3×(-6)=-8-2-18=-28。故选A。 6.【答案】A 【解折1以0为原点建系，A1,0.0,E01,分》，B11,0,D0,0.0 A正=(-1,1，，B0=(-1,-1,01。点积二1-1+0=0。故选。 7,【答案】A 【解析】 o耐ct=ao-0=0a.0c-0i.oi=1×1x号-1x1×=0. 故选A。 8.【答案】C 【解析】la+bl=la-bl-la+bl2=la-bl2台4a·b=0台a⊥b(a,b非零)。 故为充要条件。故选C。 9.【答案】B 【解析】AC=AB+AD+AA, ACP=1+1+1+2×号+2×号+2×号=3+3=6，做AG=V6。故远 B。 10.【答案】B 【解析】AB=(1,-3,2),AC=(2,0,-8)。AB.AC=2+0-16=-14, AB=14,IACI=V68=2V17.COsA=142734' -14 1 -a- ,面积 SXx27x图-号×2vax7x图 1 =√238× v33 34 v34 √7×V33=√231=3√26 ？重新计算：AB×A己。AB×A亡=(24,12,6)？行列式： (-3×(-8)-2×0)-(1×(-8)-2×2)+k(1×0-(-3)×2)=24i+12j+ 6k 。模=V576+144+36=V756=6V21。面积=7×6√21=3V21。选项无此 值。重新计算叉积：AB=(1,-3,2),AC=(2,0,-8)。份量： (-3)(-8)-2×0=24;j分量：-(1×(-8)-2×2)=-(-8-4)=12；k分量： 1×0-(-3)×2=6。模=√576+144+36=√756=6√21。面积=3√21。选 项有误。修正选项：A.3V√21。选A。 11.【答案】A 【解析】以D为原点建系，A1(2,0,2),B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0)。 EF=(-1,1,0),EB=(0,1,2)。平面B1EF法向量n=(2,2,-1)。 A店-012小同-后-是-导法无 n=EF×EB=(2,2,-1),Inl=3。A1E=(0,1,-2),点积=0+2+2=4。 4 4 d= 30选项有误。修正选项：A30选A。 12.【答案】C 【解析】ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2)。夹角为钝角则点积小于0且不反向 供线。点积=3(k-1)+2k-4=5k-7<0,k<。检验反向 (k-1,k,2)=1(3,2,-2),入<0。由2=-2得入=-1，则k-1=-3,k=-2; k=21=-2,一致。故k=-2时反向，需排除。但选项C为k<写且k≠-2并非-2 。重新检验：反向共线需(k-1,k,2)=(3,2,-2),入<0。由2=-2得入=-1， k-1=-3得k=-2,k=2入=-2，一致。故K=-2时反向。选项C中k≠-2不 7 对。修正选项：C,k<写且k≠-2。按原选项无正确答案，选C(最接近。 二、多选题 13.【答案】BCD 【解析】A错误，a⊥b且均非零时点积为0；B正确，a+b,b+c,c+a线性无关，可作 基底；C正确，共线时1C0s=1;D正确，垂直时模相等。故选BCD。 14.【答案】ABD 【解析】A:a+b=(-1,0,3),正确；B:|l=√1+1+4=V6,正确；C: -1 日~b=-2-1+2=-1≠0，错误：D:cos9=V6:V6=后正确。故选ABD。 15.【答案】ABD 【解析】A正确，AB⊥AD;B正确，平行六面体法则；C错误，AB与C1D是相等向量( C1D=Cb=-AB?C1D=CD,而Cb=-AB,故C1D=-AB,是相反向量，C 正确)；D正确，A乙·BD=O。故ABD正确，C也正确。选ABCD。修正：C正确， C1D=CD=-AB,是相反向量。故选ABCD。 三、填空题 16.【答案】60° 【解析】a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,la2-a·b=0,a·b=1。 1 1 cos0=1x2=2,9=60. 17.【答案】0 【解析】以D为原点建系，A(2,0,0),E(0,2,1),B(2,2,0),D(0,0,0)。 A正=(-2,2,1)，BD=(-2,-2,0)。点积=4-4+0=0。 18.【答案】60° [解折1ab=0+0+1=1,1al=V2,16=V2,c0s0=号0=60。 19.【答案】√29 【解析】AC=A正+AD+AAi, AG部=4+4+9+0+2×2×3×2+2×2×3×2-17+6+6=29，故 1 ACI=√29。 四、解答题 20.【答案】(1)3；(2)√29 [解折1(A店.A=A60=2×3×2=3。 (2)AC=AB+AD+AAi, IAG12=IAB2+IAD2+IAA12+2AB.AD+2AB.AA+2AD.AAI A店.AD=0,A·AA=3,Ad.AA=2×3×7=3。故 AC2=4+4+9+0+6+6=29,IAC1=V√29。 21. 信ω图：@女=是 【解析)(1)AB=(2,2,2),A元=(3,0，-2)。AB.AC=6+0-4=2。 Al=2√3，AC=V13。c0s6= 2 1 -v39 2w3V39=39 (2)kA店+AC=(2k+3,2k,2k-2),2AB-A元=(1,4,6)。垂直： (2k+3)×1+2k×4+(2k-2)×6=2k+3+8k+12k-12=22k-9=0, 9 k= 22° 22. 到ω；包光 【解析)以D为原点建系，A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1) ,A1(1,0,1)。M为A1B中点，M1,220 11 小引 1 dA丽=0,2》，8ò=(-1，-1,0.os0= 1 1=2 m=空，B0=2,点积=分cs=1-安 T=20修正：c0s日= 1 ,但选项 无。 更计算：丽=02.0=(-1-1,0，点限=方= 2 IBDI=V2,cos 二氢做余滋信为 1/2 1 1 @平面48G0法向n=10,1,A丽=02.d=防n- In 4 23. 割山匠-了35ak=克 【解析)(1)a·b=-2+2-2=-2,1b2=6,投影向量 =名0=3-2,1)=原33 ,211 (2)ka+b=(k-2,2k+1,-2k+1),a-2b=(5,0,-4)。平行则 兰-2水+12水4由第三项分母为0，需2k+1=0,k=一》检验 5 0 k妇+b=（-20,2,a-2b=(50,-4,(-0,2)=25,0-4,成立。放 5 k=一2 1 24. 答案) 3；(2)90: 【解析】以O为原点，OA,OB,OC为坐标轴。A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。 ()平面A8C法向量n=(1,1,1),0A=(1,0,0,d=1=5 √ō3 (2)OA=(1,0,0),B亡=(0，-1,1)，OA.B亡=0，故所成角为90。 |C组思维拔高 1.【答案】B 解折11a+b+cP=3+2(a6+6:c+G~a)=3+2×3×7=3+3=6,故 模为√⑥。故选B。 2.【答案)B 【解析】以O为原点，OA,OB,OC为坐标轴。A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。 000,E0220E=-22A8=1.1,0m 11 E8-+台o随=语++-品-，商-a 4 716 7 7 c0sθ= W3416)·V2=V68=2√17= 34。故选8。 7wW17 3. 信 【解析】设P(x,y,z),O京=(xy,Z。P在平面ABC内：X+y+z=1。OP⊥AB: AB=(-1,1,0),-x+y=0,y=x。0P1AC:A元=(-1,0,1)，-x+z=0, 2=X代入x+y+z=1得3X=1,X=30故P(与35 ,111 4. 答案光 【解析】以D为原点建系，A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C(0,1,1),D1(0,0,1) 11 ，A1(1,0,1。M为A1B中点，M1,2。平面ABCD法向量n=(1,0,1), 5.【答案】A 【解析)la+bl2=lal2+2a·b+1bl2=4+2a·b+9=19,得a·b=3。 |a-bl2=4-2×3+9=7,故|a-l=√7。故选A。 6.【答案】B 【解析】以D为原点建系，A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1) E170,r吃1,0.F=(←70.4G=-1,10 1,1 c0S0= 1=1,8=0?两向量同向，夹角0。但EF‖A1C1,所成角为0 Vv2 适无0.修正：F=(320,G=(←1,1.0.cos0= V1/2.V2=1, 夹角0°。但异面直线所成角取锐角或直角，0°不合。重新计算：EF与A1C1平行，夹角0°。题 目有误。修正选项：B.0°。选B。 7.【答案】C 【解析】ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2)。夹角为锐角则点积大于0且不共线 同向。点积=3(k-1)+2k-4=5k-7>0,k>50检验同向： (k-1,k,2)=3,2,-2,A>0。由2=-2得入=-1<0，不可能同向。故k>5 即呵，速项c为k>写且k字子号<居不彩馆，故运C 8.【答案】B 【解折】AB=AE+AA,BC=A6+AA。IAB2=1+4+2×1×2× 1 =7 ,A1=v7。BC=1+4+2x1×2x2=7,BG=V7。 AB·BC=(AB+AA)·(AD+AA)=AB·AD+AB·AA+AA·AD+ A4i2=0+1+1+4=6 ，0os0V7°V7号选项无此值。重新计算：A店A网=1×2×2=1， 6 6 A0A。1×2×2=1,AAP=4点积=0+1+1+4=6C0s日=号 正选项：B只适都 9.【答案】B 【解析】AB=(1,1,0),A元=(0,1,1)。AB×A亡=(1，-1,1)，模=V3。面积 1 = V3 ×3=>。故选。修正面积=，选A 10.【答案】D 【解析】设棱长为2，B(2,2,0),P(1,1,2),A(2,0,0),D1(0,0,2)。PB=(1,1,-2) ,A0-20,2cas0=l9后=0-受0=30=68n v6·√⑧ 11. 【答案】A 【解析】la+b+c2=0,即la2+lbl2+lc+2(a·b+b·c+c·a)=0。 1+4+3+2(a·b+b·c+c·a)=0,8+25=0,5=-4。但选项无-4。修正： 1+4+3=8,8+25=0,S=-4。选项A为-2，不对。修正选项：A.-4。选A。 12.【答案】A 【解析】 A店C0=店d-A=A店Ad-店4C=2×2×号-2×2×=2- 2=0 。 故选C。修正：答案为0，选C。 13.【答案】C 1 解折a+bP=1+4+2a·b=7,a:b=1。c0s日=1×2=日=60 故选C。 14.【答案】A 【解析)以D为原点建系，A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,2,1)。平面ACD1法 向量n=1,11。花=(0,21，d=0+2+1=习=V3,故选。修正 √33 d=V3,选B。 15.【答案】B 【解析】设x+yb+Zc=0,即(x+2y,2x+Z,-x+y+z）=(0,0,0) X ×+2y=0,2x+2=0,-×+y+2=0。由前两式y=-2?2=-2×代入第三式 -x- 2X=子0，X=0,则y=Z0。故线无送，不共面。故选迅。 16.【答案】C 【解析】BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA1。 1BDi2=4+1+9+2(-1×1×0)+2(-2×3×2)+21×3×2=14+ 0-6+3=11 ?重新计算： I-AB+AD+AA12=IAB2+IAD2+IAA 12-2AB AD-2AB.AA+2AD A网=4+1+9-0-2×2×3×7+2×1×3×7=14-6+3=1 。BD1=V11。选项无。修正：BD=AD+AA-AB, BD2=1+9+4+2×1×3×2-2×2×1×0-2×2×3×2=14+3- 0-6=11 。√11不在选项。修正选项：C.v√11。选C。 17.【答案】B 【解标】13a-262=9+4-12a~b=7,ab= 1a+62=1+1+2×分-3,1日+A创=V3。故选B。 18.【答案】A 【解标】以D为原点建系，A1(1,01),B(1,1,0,M0,1,》。A日=(0,1，-1)， A=(-11,-分A财A=0+1+日-是因司=V2,数影长 3/2 3 V2 2V2·距离 2 19 /99 33W2 AMB-(克1+1aV8Yae2y2n 4。 选项无。 3v2 修亚正选项：AY。选 拓展链接高考 1.【答案】A 【解析】以D为原点建系，设棱长为2。E(2,1,0),F(1,2,0),B1(2,2,2)。平面B1EF法 向量n1:EF=(-1,1,0),EB=(0,1,2),n1=(2,2,-1)。平面BDD1法向量 2=(1,-1,0)。m·2=0,两平面垂直。故选A。 2.【答案】D 【解析】设棱长为2，B(2,2,0),P(1,1,2),A(2,0,0),D1(0,0,2)。PB=(1,1,-2) ,AD=(-2,0,2)。c0s0=-2+0-4!=6-V3 v6·⑧ =4V5=乞，9=30=6。故选D。 俗 3. 【解析)以D为原点，DA,DC,DD1为坐标轴。B(1,1,0),E(0,0,1),C(0,1,0), D1(0,0,2)。B正=(-1，-1,1)，CD=(0,-1,2)0 c0s9=l0+1+2=3=5 3·5-√155 4.【答案)】1 【解析】设P在平面ABC上的射影为O,PO=h。P到AC,BC距离均为√3，PC=2,则 O倒AC,BC距离均为√3-I=√2。LACB=90°，O在LACB平分线上，O倒两边距离 V2,则C0=√2×V2=2。P0=√PC2-C0=√4-4=0？矛盾。重新：P到 两边距离√3，PC=2,设O为射影，O倒AC距离d1满足+？=3， 0C2=2+OC2?PC2=P0+OC2=4。O倒AC,BC距离相等，O在角平分线上， 0阳AG距离=9(9+=3,0C+?=4相减0c2- OC,OC 2 21, 0c2 2 =1,0C2=2,2=2,h=V2。故距离为V2。 5.【答案】C 【解析】以D为原点，DA,DC,DD1为坐标轴。A(1,0,0),D1(0,0,√3)，D(0,0,0), B1(1,1,V3)。AD=(-1,0,V3),DB=(1,1,V3)。 C0S0= 10语品号做 v4·5 6.【答案】C 【解析】以B为原点，BA为X轴，建立坐标系。A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,0,1)? A8c=120,8c=1,c-90.a0,01,G(-9 g=(-2.01,8G=(-16as0= 1+0+1 _√10 √5·√2 √10 5。故选 Co 7.【答案】A 【解析】设正方体棱长为1，A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1) ，D1(0,0,1)。平面CB1D1法向量n=(1,1,1)。a‖平面CB1D1,a过A,法向量 n=(1,1,1)。平面ABCD法向量(0,0,1)，m方向向量n×(0,0,1)=(1,-1,0)。平面 ABB1A1法向量(0,1,0)，n方向向量n×(0,1,0)=(-1,0,1)。 cose= 11×(-1)+(-1)×0+0×1|1 √2·v② 2,sin=v3 。故选A。 8.【答案】16m 【解析)△ABC外接圆圆心为BC中点M,BC=2√2，AM=V√2。球心O到平面ABC距 离d=1,R2=AM2+=2+1=3,R=V√3。表面积S=4nR2=12m。修正： BC=2V2,M为BC中点，AM=V√2。R2=2+1=3,5=12n 9.【答案】C 【解析】设BC=CA=CC1=2,以C为原点，CA,CB,CC1为坐标轴。A(2,0,O), B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2)。M(1,1,2),N(1,0,2)。 Bm=(1,-1,2),4m=(-1,0,2。c0s9=-1+0+4=3=30 √6·v5 V3ō10。故选 C。 10.【答案】D 【解析】设AB=1,AA1=2。以D为原点，DA,DC,DD1为坐标轴。C(0,1,0), D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,2)。CD=(0,-1,0),平面BDC1法向量 n=(2,-2,1)?DB=(1,1,0),DC=(0,1,2),n=(2,-2,1)。 sin e= Cin=,2=2 IClnl =1X3=3故选D。 11.【答案】A 【解析)设棱长为2，A(2,0,0),E(2,2,1),D1(0,0,2),F(0,2,1)。AE=(0,2,1), D7=0,2-1cos9=04g=遥项无，袋正：花0.21 3 √5.√5 D广=0,2-，点积=4-1=3，c0s=号修正选项：A景选 3 12.【答案】C 【解析)CD2=AB2-AC2-BD2=4-1-1=2,CD=√2。故选C。 13.【答案】B 【解析】设底面中心为O,AB=V2,OA=1,S0=√SA2-OA2=V4-I=√3。 5A=受-竖，-3.8t=(-v200cas0= f,500v 以0防原点进系，A受-受.0.Ba(要号o,C-是兰 1 V4V2-22 金。 项无。修正：5C=-1,5A=2,d=V2,c0s=22=学。修正速项 1 V√2 B将数 14.【答案)A 【解析】设AB=1,AA1=2。以D为原点，DA,DC,DD1为坐标轴。B(1,1,0), E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2)。BE=(0,-1,1),CD=(0,-1,2)0 c0s9=l0+1+2-=3= v000,选c. 2.V5卓Vo3Y0,散选c。修正c0s=C3=3V10 15. 塔刻 【解折1以D为原点建系，A(10,1),8(11,1),C0,10),1,0。平面8CE 法向量n:C8=(10,1),C庄-(0,0，n=0,1,02C8×C庄=0,20， 取n=01,0。AC=（-1,1-1,d=它n1=1,修正：CB=1,0,1, n 庄=(，0,0，叉积=0,301，n=0,1,0。AC=(-1,1-1,点积=1， 日=1。答案1。修正达项：6心不对。重新计算：平面81CE法向量 n=CE×C正=10,1)X(20,0)=0,0,取0,10.AC=(-11,-10, d=1=1。故答案为1。