1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（分层作业，12大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线方向向量的概念及辨析 题型02 求直线的方向向量 题型03 平面法向量的概念及辨析 题型04 求平面的法向量 题型05 线线平行的向量证明 题型06 线面平行的向量证明 题型07 面面平行的向量证明 题型08 线线垂直的向量证明 题型09 线面垂直的向量证明 题型10 面面垂直的向量证明 题型11 空间位置关系的向量证明 C组 思维拔高 题型 新定义问题 直线方向向量的概念及辨析题型01 1．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量与共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·湖南·联考）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量的定义计算即可. 【详解】由方向向量得，又因为， 所以. 故选：A. 4．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 5．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 求直线的方向向量题型02 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．（24-25高二上·江西景德镇·质检）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 4．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 5．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 平面法向量的概念及辨析题型03 1．（26-27高二上·福建·月考）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵在空间直角坐标系中，轴垂直平面， 即平面，又，， 即是平面的一个法向量. 2．（24-25高二上·河北石家庄·质检）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 3．（24-25高二上·海南·学业水平）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 4．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 5．在边长为4的正方体中，若，，，则平面PQR与侧面的交线长度为__________. 【答案】## 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量，求平面与侧面的交线，再利用两点间的距离公式求交线长度. 【详解】如图：以为原点建立空间直角坐标系，    则，，，所以，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 设平面与直线的交点为，则. 由，所以. 所以平面与平面的交线就是线段. 又. 故答案为： 求平面的法向量题型04 1．（24-25高二上·海南·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 2．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】D 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 3．已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 于是得与同向的单位向量为， 与反向的单位向量为，D满足， 显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足. 故选：D 4．（25-26高二上·河北保定·联考）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    【答案】（答案不唯一） 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 5．（25-26高二上·四川·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 线线平行的向量证明题型05 1．（24-25高二上·北京·质检）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，设，列方程求. 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 2．（24-25高二上·吉林松原·质检）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南郑州·月考）如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 【答案】(1)，， (2)证明如下： 由（1）知， 又不共线， 所以． 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）由（1）知，根据向量关系即可证得． 【详解】（1）在平行六面体中， ， M，N分别是棱的中点， ， ， （2）略 线面平行的向量证明题型06 1．（24-25高二上·山西朔州·月考）已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 2．（25-26高二·安徽蚌埠·学业水平）若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】分别根据直线在平面内和在平面外两种情况判断可得. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意； 若平面，则存在直线，且直线，所以. 故选：C 3．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4．已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点. (1)求直线的一个方向向量； (2)证明：平面. 【答案】(1)； (2)平面， 平面,则 ， 又因为,,平面, 故平面， 因此取平面的法向量为， 由于 则，而平面，因此//平面. 【分析】（1）根据空间点的坐标即可得向量坐标，进而根据方向向量的定义即可求解， （2）根据平面法向量和直线方向向量垂直，即可求值. 【详解】（1）， 因此,则直线的一个方向向量为， （2）略 5．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点，且，点在直线上运动，在线段上是否存在一定点，使得其满足： （i）直线； （ii）对所有满足条件（i）的平面，点都落在某一条长为的线段上，且．若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，在靠近的三等分点处. 【分析】以为一组基底，用向量证明即可. 【详解】存在，在靠近的三等分点处. 设，则， 因为， 所以 ， 又因为，所以存在，使得， 故， 设 ， 所以 ， 整理得 ， 又点在直线上的充要条件是 ，则， 消去，得，所以， 故， ①当时，； ②当时，， 所以， ，解得. 此时，①中代入(*)不等式成立，故， 所以存在，在靠近的三等分点处. 【点睛】方法点睛：当平面运动时，对于定点，确定动点的存在范围，使之满足所有的题设条件，我们以为一组基向量，利用向量的方法给出本题的一种证法. 面面平行的向量证明题型07 1．（24-25高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 2．（26-27高二上·河南周口·质检）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 3．若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】由，为平面的法向量，为平面内的一个向量，得， 则，所以. 4．设是不重合的两个平面，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（    ） A．，，且， B．，，且 C．，，且 D．，，且 【答案】C 【分析】由垂直关系和平行关系的相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，由线面垂直的性质可知，只要，，都有，，并不能说明，A错误； 对于B，若，，且，则平面平行或者相交，B错误； 对于C，由，，且可得：，则，C正确； 对于D，若，，且，则平面平行或者相交，D错误. 故选：C. 5．（26-27高二·宁夏银川·月考）两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（     ） A．平面平面 B．平面与平面相交但不垂直 C．平面平面 D．以上均有可能 【答案】A 【分析】先求解平面的法向量，通过判断其与平面α的法向量的位置关系，确定两平面的位置关系. 【详解】设平面的法向量为， 可得： 令，得，，即， 因为平面的法向量，所以与为共线向量，又已知两平面不重合， 故平面平面. 线线垂直的向量证明题型08 1．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【分析】利用向量的数量积得到，故，从而得到结论. 【详解】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直. 故选：A. 2．已知正方体，点分别是线段和上的动点，给出下列结论 ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键向量，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】对于①，②，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故①正确，②错误， 对于③，若，则， 解得，当时，，与题意不符，故③错误， 对于④，由已知得，解得， 而，则，符合题意，故④正确， 综上可得，正确结论的个数是2个，故C正确. 3．如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足 的是 ________（填正确的序号） . ①．   ②．   ③．   ④．   【答案】②③ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；    对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确；    对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；    故答案为：②③. 4．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为__________. 【答案】 【分析】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设并利用即可求解. 【详解】由正方体棱长为2，以为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系； 设且， 易知，可得， 由可知，即， 即. 当时，，即图中的中点； 当时，，即图中点； 即可得点在底面上运动形成的轨迹为线段，易知. 故答案为： 5．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明如下： 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. (2)证明如下： 由（1）可得：， 则， 所以. 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 线面垂直的向量证明题型09 1．（25-26高二·浙江绍兴·期末）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据条件可得，即可判断出结论. 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 故选：A 2．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 3．已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（    ） A．垂直平面内的两条直线 B．垂直平面内的无数条直线 C．的方向向量垂直于平面的法向量 D．的方向向量平行于平面的法向量 【答案】D 【详解】对于A，垂直平面内的两条直线，若两直线平行，则不能推出，故A错误. 对于B，垂直平面内的无数条直线，若无数条直线两两平行，则不能推出， 故B错误. 对于C，的方向向量垂直于平面的法向量，则或，故C错误. 对于D，的方向向量平行于平面的法向量，则有. 反之，若，则有的方向向量平行于平面的法向量.故D正确. 4．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】 如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】略 5．如图，在平行六面体中，，，设向量，，. (1)用、、表示向量，并求； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)， (2)证明：，则， ，， 则， ，、平面，因此，平面. 【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，利用空间向量数量积的运算可求得； （2）利用空间向量的数量积的运算可得出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）， 由已知可得，， 因此，. （2）略 面面垂直的向量证明题型10 1．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏·期中）已知平面，的法向量分别为，，若，则的值为（    ） A．10 B．-10 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 所以， 解得. 故选：A 3．（26-27高二·河北·联考）已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B． C． D．与重合 【答案】C 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 4．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 5．在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则__________ 【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点N的坐标，再利用面面垂直得到两平面的法向量互相垂直，进而求得的值，即可得到答案. 【详解】在中，因为，故， 故在四棱锥中，有， 而，故平面，因平面， 所以，而，故， 而，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，因为经过的重心，则有，故， 在中，， 则， 设，则，故， 又， 设平面的法向量为，则， 取，则，故. 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 因为平面平面， 故，所以，故，所以. 故答案为：2 空间位置关系的向量证明题型11 1．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解. 【详解】由题意或. 故选：B. 2．（25-26高二·江苏淮安·月考）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】由题设，且， 综上，法向量既不平行，也不垂直，则平面与平面相交. 3．如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【分析】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断. 【详解】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确；    故选：A. 4．（25-26高二上·北京·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 【答案】 是 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得平面法向量与，根据，分析判断，即可得答案；根据向量的线性运算法则，可求得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】以为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设， 则， 所以， 所以， 因为平面， 所以为平面的法向量， 因为， 所以与不垂直，即直线AG与直线不垂直， 所以直线AG与平面相交. 由题意 ， 所以，则. 故答案为：是； 5．（25-26高二上·湖北汉川·质检）已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的法向量. (1)若，求的最小值； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，求得，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解； （2）由，得到，结合共线向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量， 若，则，可得，所以， 则， 当时，取得最小值，最小值为. （2）解：若，可得，所以， 可得，由，代入可得. 新定义问题题型 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 2．（24-25高二下·云南·联考）在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】由求出平面的法向量，利用空间向量的垂直和共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量之间的关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，， 所以平面的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线与平面相交但不垂直， 故选：D. 3．如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 (1)求证：向量为平面OAB的法向量； (2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； (3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 【答案】(1) 因为 ， 所以，即， 因为 ， 所以，即， 又因， 所以向量为平面OAB的法向量； (2)， (3) 【分析】（1）只需证明向量与垂直即可； （2）根据平行四边形的面积公式可知，即可求出四边形的面积，根据新定义求出，再根据向量的模的计算即可得出结论； （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，在根据，可以推出结论. 【详解】（1）略 （2）解：， 则， 故， 由，，得， 所以， 所以； （3）解：设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 则， 由（1）得向量为平面OAB的法向量， 则， 又， ． 4．（24-25高二上·辽宁·质检）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 【答案】(1)证明：因为， 所以 ， 所以. (2)①证明：设，， 则， 所以， ， 所以，， 所以是平面的一个法向量； ②的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【分析】（1）利用空间向量叉乘的坐标表示直接计算即可得证； （2）①利用空间向量数量积的坐标表示证得，，从而得证；②利用空间向量夹角与模的坐标表示证得，结合①中结论即可得解. 【详解】（1）略 （2）①略 ②设，， 则， 所以 ， 而， ， 所以， 又， 所以， 所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线方向向量的概念及辨析 题型02 求直线的方向向量 题型03 平面法向量的概念及辨析 题型04 求平面的法向量 题型05 线线平行的向量证明 题型06 线面平行的向量证明 题型07 面面平行的向量证明 题型08 线线垂直的向量证明 题型09 线面垂直的向量证明 题型10 面面垂直的向量证明 题型11 空间位置关系的向量证明 C组 思维拔高 题型 新定义问题 直线方向向量的概念及辨析题型01 1．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 3．（24-25高二上·湖南·联考）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 求直线的方向向量题型02 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西景德镇·质检）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 4．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 平面法向量的概念及辨析题型03 1．（26-27高二上·福建·月考）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北石家庄·质检）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·海南·学业水平）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 5．在边长为4的正方体中，若，，，则平面PQR与侧面的交线长度为__________. 求平面的法向量题型04 1．（24-25高二上·海南·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 2．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北保定·联考）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    5．（25-26高二上·四川·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 线线平行的向量证明题型05 1．（24-25高二上·北京·质检）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·吉林松原·质检）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二上·河南郑州·月考）如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 线面平行的向量证明题型06 1．（24-25高二上·山西朔州·月考）已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二·安徽蚌埠·学业水平）若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上说法都不对 3．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 4．已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点. (1)求直线的一个方向向量； (2)证明：平面. 5．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点，且，点在直线上运动，在线段上是否存在一定点，使得其满足： （i）直线； （ii）对所有满足条件（i）的平面，点都落在某一条长为的线段上，且．若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 面面平行的向量证明题型07 1．（24-25高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 2．（26-27高二上·河南周口·质检）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 3．若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 4．设是不重合的两个平面，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（    ） A．，，且， B．，，且 C．，，且 D．，，且 5．（26-27高二·宁夏银川·月考）两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（     ） A．平面平面 B．平面与平面相交但不垂直 C．平面平面 D．以上均有可能 线线垂直的向量证明题型08 1．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 2．已知正方体，点分别是线段和上的动点，给出下列结论 ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足 的是 ________（填正确的序号） . ①．   ②．   ③．   ④．   4．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为__________. 5．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 线面垂直的向量证明题型09 1．（25-26高二·浙江绍兴·期末）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 2．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 3．已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（    ） A．垂直平面内的两条直线 B．垂直平面内的无数条直线 C．的方向向量垂直于平面的法向量 D．的方向向量平行于平面的法向量 4．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 5．如图，在平行六面体中，，，设向量，，. (1)用、、表示向量，并求； (2)证明：直线平面. 面面垂直的向量证明题型10 1．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．（25-26高二上·江苏·期中）已知平面，的法向量分别为，，若，则的值为（    ） A．10 B．-10 C． D． 3．（26-27高二·河北·联考）已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B． C． D．与重合 4．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 5．在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则__________ 空间位置关系的向量证明题型11 1．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·江苏淮安·月考）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 3．如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 4．（25-26高二上·北京·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 5．（25-26高二上·湖北汉川·质检）已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的法向量. (1)若，求的最小值； (2)若，求，的值. 新定义问题题型 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·联考）在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 3．如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 (1)求证：向量为平面OAB的法向量； (2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； (3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 4．（24-25高二上·辽宁·质检）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $