第1章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示分层作业-2026-2027学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

1.3空间向量及其运算的坐标表示分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01空间直角坐标系与点的坐标 知识点02空间向量的坐标表示 知识点03空间向量坐标运算的线性运算 知识点04空间向量数量积的坐标表示 知识点05空间向量模的坐标表示 知识点06空间向量夹角的坐标表示 知识点07空间向量垂直的坐标表示 知识点08空间向量平行的坐标表示 知识点09空间两点间距离公式 知识点10空间向量坐标运算的综合应用 知识点11空间向量投影与分量 知识点12中点坐标公式与对称点 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 、A组巩固过关 知识点01空间直角坐标系与点的坐标 1.(25-26高二上·广东广州·期中)在空间直角坐标系中，点P(1,-2,3)关于xOy平面对称的点 的坐标是（) A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3) C.(1,2,3) D.(-1,2,-3) 2.（25-26高二上·山东济南·阶段检测)在空间直角坐标系中，点A(2,3,-1)关于轴对称的点 的坐标为 3.(25-26高二上·河南郑州·期末)在空间直角坐标系中，点M(-1,2,4)关于原点对称的点W 的坐标为（) A.(1,-2,-4) B.（1,2,-4) C.(-1,-2,4) D.(1,-2,4) 4.(25-26高二上·江苏南京·阶段检测)在空间直角坐标系中，点P(3,一1,2)关于yOz平面对称 的点的坐标是 |知识点02空间向量的坐标表示 1.(25-26高二上·浙江杭州·期中)已知点A(1,2,3),B(4,5,6),则AB的坐标为（) A.(3,3,3) B.(-3,-3,-3) C.(5,7,9) D.(3,-3,3) 2.(25-26高二上·湖北武汉·期末)已知A(2,-1,3),B(0,1,5),则BA的坐标是 3.(25-26高二上·四I川成都·阶段检测)已知向量a=(1,-2,3),点A(0,0,0),若AB=a, 则点B的坐标为() A.(1,-2,3) B.(-1,2,-3) C.(1,2,3) D.(-1,-2,-3) 4.(25-26高二上·湖南长沙·期中)已知点4(1,0，-1)，向量AB=(2,3,1),则点B的坐标为 知识点03空间向量坐标运算的线性运算 1.（25-26高二上·河北石家庄·期中)已知a=(1,2,-1),b=(2,0,3),则a+b的坐标为 () A.(3,2,2) B.(-1,2,-4) C.(3,2,-2) D.(1,-2,4) 2.(25-26高二上·福建福州·阶段检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,2),则2a-3b= 3.（25-26高二上·安徽合肥·期末)已知a=（1,-1,2),b=(3,2,-1),若 c=ma+b=(5,1,3),则m+n=() A.2 B.3 C.4 D.5 4.(25-26高二上·江西南昌·阶段检测)已知向量a=(2,1,-3),b=(-1,3,2),则 a-2b= 知识点04空间向量数量积的坐标表示 1.(25-26高二上·辽宁大连·期中)已知a=(1,2,-1),b=(2,-1,3),则a·b=（) A.-3 B.3 C.1 D.-1 2.（25-26高二上·陕西西安·期末)已知a=(2,-3,1),b=(1,0,-2),则a·b= 3.(25-26高二上·重庆·阶段检测)已知向量a=(1,-2,3),b=(X,1,-1),若a·b=0, 则x=（) A.5 B.-5 C.1 D.-1 4.(25-26高二上·山西太原·期中)已知a=(1,1,-2),b=(2,-1,1),则 (a+b)·(a-b)=_ 二0 |知识点05空间向量模的坐标表示 1.（25-26高二上·吉林长春·期中)已知a=(1,2,2),则lal=（) A.3 B.5 C./5 D.√3 2.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知a=(2,一1,2)，则|a=_ 3.(25-26高二上·云南昆明·期末)已知a=(1,X,2),且lal=3,则x=() A.2 B.-2 C.±2 D.±4 4.(25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)已知a=(3,0,-4),则a= |知识点06空间向量夹角的坐标表示 1.(25-26高二上·广西南宁·期中)已知a=(1,0,1),b=(0,1,1),则c0s(a,b〉=() A 兰 D.0 2.(25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测)已知a=(2,-1,1),b=(1,1,2),则a与b的夹角为 () A.30° B.45° C.60° D.90° 3.(25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则c0s(a,b)= 0 4.(25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测)已知a=(1,2,-2),b=(-2,1,0),则a与b 的夹角为 |知识点07空间向量垂直的坐标表示 1.(25-26高二上·宁夏银川·期中)已知a=(1,-1,2),b=(2,1,X),若a⊥b,则x=（ 1 A.一2 1 6. C.-2 D.2 2.(25-26高二上·青海西宁·阶段检测)已知a=(2,3,-1),b=(1,-1,m),若a⊥b,则 m= 3.(25-26高二上·西藏拉萨·期末)已知向量a=(1,2,1),b=(-2,1,0),则a与b的位置关 系是() A.平行 B.垂直 C.既不平行也不垂直 D.无法确定 4.(25-26高二上·河北唐山·阶段检测)已知a=(X,2,1),b=(1,-1,1),若a⊥b,则 X=_ |知识点08空间向量平行的坐标表示 1.(25-26高二上·山东青岛·期中)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a‖b,则x=（ A.-6 B.6 C.-3 D.3 2.(25-26高二上·江苏苏州·阶段检测)已知a=(1,2,-1),b=(m,4,-2),若a‖b,则 m= 3.(25-26高二上·浙江宁波·期末)已知向量a=(1,-2,3),b=(2,y,z),若a‖b,则 y+Z=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.(25-26高二上·天津·阶段检测)已知a=(3,-1,2),b=(-6,2,m),若a‖b,则m= 知识点09空间两点间距离公式 1.(25-26高二上·广东深圳·期中)已知A(1,2,3),B(2,4,5),则AB=() A.3 B.4 C.5 D.6 2.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测)已知A(1,0,2),B(0,1,3),则AB= 3.（25-26高二上·河南洛阳·期末)已知点A(2,-1,3),B(1,2,4),则A,B两点间的距离为 () A.V11 B.√13 C.v14 D.V15 4.(25-26高二上·安徽芜湖·阶段检测)已知A(1,1,1),B(3,3,3),则AB=_。 |知识点10空间向量坐标运算的综合应用 1.(25-26高二上·湖北宜昌·期中)已知a=(1,2,-1),b=(-1,1,2),则 (a+b)·(a-b)=() A.-2 B.2 C.0 D.4 2.（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测)已知a=(2,-1,1),b=(1,1,-2),则la+bl= 3.（25-26高二上·四川绵阳·期末)已知a=（1,-1,2),b=(2,1,-1),若 (a+kb)⊥(a-b),则k=（) A.1 B.2 C.-1 D.-2 4.(25-26高二上·江西九江·阶段检测)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),则a-bl= 0 |知识点11空间向量投影与分量 1.(25-26高二上·辽宁沈阳·期中)已知a=(1,2,2),b=(2,0,1),则a在b方向上的投影 向量的坐标为（) 51 .0 cgo影 传o 2.(25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测)已知a=(2,-1,2),b=(1,2,2),则a在b方向上的 投影数量为 3.(25-26高二上·山西大同·期末)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a在b方向上的投影 数量为() A号 B.√2 1 C.2 D.1 4.(25-26高二上·甘肃天水·阶段检测)已知a=(3,0,4),b=(0,1,0),则a在b方向上的 投影向量的坐标为 _0 |知识点12中点坐标公式与对称点 1.(25-26高二上·广西桂林·期中)已知A(1,2,3),B(3,4,5),则线段AB的中点坐标为（) A.(2,3,4) B.(1,1,1) C.(4,6,8) D.(2,2,2) 2.(25-26高二上·云南大理·阶段检测)已知A(2,-1,3),B(4,3,-1),则线段AB的中点坐标 为 0 3.(25-26高二上·贵州遵义·期末)已知点A(1,2,3)关于点M(0,0,0)对称的点为B,则点B的 坐标为（) A.(-1,-2,-3) B.(1,-2,3) C.(-1,2,3) D.(1,2,-3) 4.(25-26高二上·海南海口·阶段检测)已知点A(2,1,-3),B(-1,3,2),则线段AB的中点 M的坐标为 二、 B组能力进阶 |一、单选题 1.（25-26高二上·广东佛山·期中)已知a=(1,-2,3),b=(2,1,-1),则a·b的值为（) A.-3 B.3 C.-1 D.1 2.(25-26高二上·山东烟台·阶段检测)已知A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,-1,0),则 AB.AC=() A.5 B.7 C.-5 D.-7 3.(25-26高二上·江苏无锡·期末)已知a=(2,-1,2),b=(-1,2,1),则a与b的夹角为( A.30° B.45° C.60° D.90° 4.（25-26高二上·浙江温州·阶段检测)已知向量a=(1,2,-1),b=(m,1,3),若a⊥b, 则m=() A.1 B.-1 C.5 D.-5 5.(25-26高二上·河北保定·期中)已知a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),则2a-b=() A.V14 B.V15 C.V17 D.√19 6.(25-26高二上·福建泉州·阶段检测)已知A(1,0,1),B(0,1,2),C(2,1,0),则△ABC的 形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7.(25-26高二上·湖南株洲·期末)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),若 (a+b)‖(a-b),则入=（) A.-1 B.1 C.2 D.-2 8.(25-26高二上·安徽安庆·阶段检测)已知阳=（1,0，-1)，b=（1,1,0),则a在b方向上的 投影数量为（) 人号 B.√2 、1 C.2 D.1 9.(25-26高二上·江西赣州·期中)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,-6),则a与b的关系是 () A.a=b B.a llb C.a⊥b D.以上都不对 10.(25-26高二上·河南开封·阶段检测)已知A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,3,3),则AB与 BC的关系是（) A.AB=BC B.AB II BC C.AB L BC D.无法确定 11.(25-26高二上·湖北荆州·期末)已知a=(1,2,-2),b=(2,-2,1),则a+bl=（) A.3 B.4 C.5 D.6 12.(25-26高二上·四川川宜宾·阶段检测)已知向量a=(1,-2,2),b=(2,1,一1)，则a与b 夹角的余弦值为（) 2 C. 1 D.一3 13.(25-26高二上·山西临汾·期中)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),则 (a+b)·c=() A.1 B.2 C.3 D.4 丨二、多选题 1.(25-26高二上·山东临沂·期中)已知向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),则下列结论正 确的是（) A.a·b=-1 B.lal Ibl C.a⊥b D.a‖b 2.(25-26高二上·江苏常州·阶段检测)已知a=(1,2,-1),b=(-1,1,2), c=(2,一1,1)，则下列结论正确的是（) A.a⊥b B.a·c=1 C.Ibl cl D.b c 3.（25-26高二上·浙江嘉兴·期末)已知点A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,-2,一1)，则下列结 论正确的是（) A.AB=(1,-2,-2) B.IACI =2v6 C.A,B,C三点共线 D.AB L BC 4.(25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测)已知向量a=(1,0,1),b=(0,1,1),则下列结论正 确的是() A.a·b=1 B.al =bl C.(a,b)=60° D.(a-b)⊥(a+b) 丨三、填空题 1.(25-26高二上·河北邯郸·期中)已知a=(2,-1,3),b=(1,2,-2),则a·b= 2.(25-26高二上·辽宁鞍山·阶段检测)已知A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,2,1),则 AB.A己= _0 3.(25-26高二上·吉林吉林·期末)已知a=(1,2,-2),b=(2,-1,m),若aLb,则 m= 4.(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测)已知a=(1,-1,1),b=(2,1,-1),则 la +bl =o 5.(25-26高二上·陕西宝鸡·期中)已知向量a=(1,2,2),b=(2,-1,1),则a在b方向上的 投影数量为 |四、解答题 1.(25-26高二上·广东珠海·期中)已知a=(1,2,-1),b=(2,-1,3)。 (1)求a·b; (2）求la+bl; (3)求cos(a,b)。 2. (25-26高二上·山东潍坊·阶段检测)已知A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,-1,0). (1)求AB与AC的坐标； (2)判断△ABC的形状； (3)求△ABC的面积。 3. (25-26高二上·江苏扬州·期末)已知向量a=（1,-1,2),b=(2,1,-1), c=(1,0,1) (1)求a·b及lal; (2)若(a+kb)⊥c,求实数k的值。 4.(25-26高二上·浙江台州·阶段检测)已知a=（1,2,2),b=(-1,1,0)。 (1)求a与b的夹角； (2)求a在b方向上的投影向量的坐标； (3)若c=(2,m,n),且c‖a,求m+n的值。 5. (25-26高二上·福建莆田·期中)已知A(1,1,0),B(2,0,1),C(0,2,1) (1)求AB.AC; (2)求B; (3)判断AB与AC是否垂直，并说明理由。 三、C组思维拔高 1.(25-26高二上·山东青岛·期中)已知a=(1,2,-2),b=(2,-1,1),c=(1,1,1),若 d=a+tb,且d⊥c,则t=() A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.(25-26高二上·江苏南京·阶段检测)已知向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),若a与b的 夹角为钝角，则实数的取值范围是() A.λ<1 B.入>1 C.λ<1且λ≠-1 D.λ>-1 3.(25-26高二上·浙江杭州·期末)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),c=(1,1,1),则 la+tbl的最小值为() A.√3 B.√5 C.√6 D.7 4.(25-26高二上·湖北武汉·阶段检测)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则△ABC的 面积为() A图 . c D.1 5.(25-26高二上·湖南长沙·期中)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),若 d=a+yb+zc,且d=(2,3,4),则x+y+z=() A.3 B.4 c.5 D.6 6.(25-26高二上·四川成都·阶段检测)已知a=(1,2,-1),b=(2,-1,3),若 (a+b)⊥(a-b),则入=() A.±1 B.±2 C.±V2 D.±V3 7.(25-26高二上·安徽合肥·期末)已知向量a=(1,0,1),b=(1,1,0),c=(0,1,1),则 a,b,c（) A.共面 B.不共面 C.a⊥b D.a‖b 8.（25-26高二上·江西南昌·阶段检测)已知a=（1,2,2),b=(2,1,-2),c=(1,1,1), 则a,b,c() A.共面 B.不共面 c.a·b=0 D.lal =bl 9.(25-26高二上·河南郑州·期中)已知a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),若a与b的夹角为锐 角，则实数λ的取值范围是（) A.1>-1 B.λ<-1 C.λ>-1且λ≠1 D.λ<1 10.(25-26高二上·陕西西安·阶段检测)已知A(1,2,3),B(2,4,5),C(3,6,7),则A,B, C三点() A共线 B.构成直角三角形 C.构成等边三角形 D.构成等腰三角形 11.(25-26高二上·山西太原·期末)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),c=(1,1,1),若 d=a+tb,则d的最小值为（) A.V2 B.√3 C.2 D.√5 12.(25-26高二上·辽宁大连·阶段检测)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), 若d=a+yb+zc,且d⊥a,d⊥b,ld=√3，则x+y+z=() A.±1 B.±2 C.±3 D.±4 13.(25-26高二上·吉林长春·期中)已知a=(1,2,-1),b=(2,-1,3),c=（1,1,1),则 la+也l的最小值为() A.③0 3 B.35 c.y42 6 D.V21 3 14.(25-26高二上·重庆·阶段检测)已知a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(1,1,0),若 d=a+yb+zc,且d=(3,4,5),则x+y+z=() A.6 B.7 C.8 D.9 15.（25-26高二上·云南昆明·期末)已知a=（1,2,2),b=(2,1,-2),c=（1,1,1),则a ,b,c() A.共面 B.不共面 C.a⊥b D.allc 16.(25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)已知a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),c=(1,1,1) ,若d=a+tb,且d与c的夹角为钝角，则的取值范围是() A.t<-1 B.t>-1 C.t<-1且t≠-2 D.t>-1且t≠2 17.(25-26高二上·甘肃兰州·期中)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),c=(1,1,1),则 la+b+scl的最小值为() A.0 B.1 C.v2 D.V3 18.(25-26高二上·广西南宁·阶段检测)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), 若d=a+yb+zc,且d⊥a,d⊥b,d⊥c,则x+y+z=() A.0 B.1 C.2 D.3 四、拓展链接高考 1.(2022·全国甲卷·高考真题)在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于XOy平面对称的点的坐 标为() A.(1,2,-3) B.(-1,2,3) C.(1,-2,3) D.(-1,-2,-3) 2.(2021·全国乙卷·高考真题)已知向量a=(1,2,-1),b=(2,1,3),则a·b=（) A.1 B.3 c.5 D.7 3.(2020·全国1卷·高考真题)已知a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),则la+bl=() A.v6 B.V7 c.2W2 D.3 4.(2019·全国l川卷·高考真题)已知向量a=(1,0,1),b=(0,1,1),则c0s(a,b)=() A司 a号 D.0 5.(2018·全国川卷·高考真题)已知a=(1,2,-1),b=(m,1,3),若a⊥b,则m= () A.1 B.-1 C.5 D.-5 6.(2017·全国1卷·高考真题)已知A(1,2,3),B(2,4,5),则AB引=（) A.3 B.2V3 C.4 D.2W5 7.(2016·全国l卷·高考真题)已知向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),则a与b的夹角为 () A.30° B.45° C.60° D.90° 8.(2015·全国1卷·高考真题)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),则a在b方向上的投影数 量为() A⑥ 3 8v⑥ 6 w6 C.3 9.(2014·全国大纲卷·高考真题)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a-b|=（) A.1 B.√2 C.v3 D.2 10.(2013·全国川卷·高考真题)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,-6),则a与b的关系是（ ) A.a=b B.allb C.a⊥b D.以上都不对 11.（2023·全国甲卷·高考真题)已知向量a=(1,2,-2),b=(2,-1,1),则a·b=() A.-2 B.0 C.2 D.4 12.(2023·全国乙卷·高考真题)已知A(1,0,1),B(0,1,2),则AB|=（) A.V3 B.√5 C.v⑥ D.√7 13.(2022·全国乙卷·高考真题)已知a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),若a⊥b,则实数 入=（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 14.(2021·全国甲卷·高考真题)已知a=(1,2,2),b=(2,-1,1),则la+b=（) A.3 B.4 C.5 D.6 15.(2020·全国川卷·高考真题)已知a=（1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),则 (a+b)·c=() A.1 B.2 C.3 D.4 16.(2019·全国1卷·高考真题)已知4(1,1,1)，B(2,2,2),C(3,3,3),则AB与BC的关系 是() A.AB=BC B.AB BC C.AB⊥BC D.无法确定 17.(2018·全国川卷·高考真题)已知a=(1,0,-1),b=(1,1,0),则a在b方向上的投影 数量为() A兰 .V② c D.1 18.(2017·全国川卷·高考真题)已知a=(1,2,-1),b=(-1,1,2),则a·b=() A.-1 B.1 C.3 D.-3 19.(2016·全国1卷·高考真题)已知a=(2,-1,2),b=(1,2,-2),则a与b的夹角余弦 值为（) 3 1 B.3 C.-5 20.(2015·全国I卷·高考真题)已知4(1,2,3)，B(3,4,5),则线段AB的中点坐标为（) A.(2,3,4) B.(1,1,1) C.(4,6,8) D.(2,2,2) 五、解析 A组巩固过关 知识点01空间直角坐标系与点的坐标 1.【答案】A 【解析】点P(1,一2,3)关于XOy平面对称，X,y坐标不变，z坐标变为相反数，故对称点为 (1,-2,-3)。故选A。 2. 【答案】(2，-3,1) 【解析)点A(2,3,一1)关于轴对称，坐标不变，y,z坐标变为相反数，故对称点为 (2,-3,1)。 3.【答案】A 【解析)点M(-1,2,4)关于原点对称，三个坐标均变为相反数，故N(1,一2，一4)。故选A。 4。 【答案】(-3，-1,2) 【解析)点P(3,-1,2)关于yOz平面对称，y,z坐标不变，坐标变为相反数，故对称点为 (-3,-1,2)0 知识点02空间向量的坐标表示 1.【答案】A 【解析】AB=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)。故选A。 2. 【答案】(2，-2,2) 【解析】BA=(2-0,-1-1,3-5)=(2,-2,2)。 3. 【答案】A 【解析】设B(X,y,2,则AB=(X,y,2)=(1,-2,3),故B(1,-2,3)。故选A。 4. 【答案】(3,3,0) 【解析】设B(xy,Z),则AB=(X-1,y,z+1)=(2,3,1),解得x=3,y=3,z=0 ,故B(3,3,0) 知识点03空间向量坐标运算的线性运算 1.【答案】A 【解析)a+b=(1+2,2+0,-1+3)=(3,2,2)。故选A。 2.【答案】(7，-14,0) 【解析】2a=(4,-2,6),3b=(-3,12,6),故 2a-3b=(4+3,-2-12,6-6)=(7,-14,0)。 3.【答案】B 【解析)ma+nb=(m+3n,-m+2n,2m-n)=(5,1,3),联立解得m=2, n=1,故m+n=3。故选B。 4.【答案】(4，-5，-7) 【解析)2b=(-2,6,4),a-2b=(2+2,1-6,-3-4)=(4,-5,-7)。 知识点04空间向量数量积的坐标表示 1.【答案】A 【解析)a·b=1×2+2×(-1)+(-1)×3=2-2-3=-3。故选A 2.【答案】0 【解析】a·b=2×1+(-3)×0+1×(-2)=2+0-2=0。 3.【答案】A 【解析)a·b=X-2-3=X-5=0,解得X=5。故选A。 4.【答案】0 【解析)a+b=(3,0,-1),a-b=(-1,2,-3),故 (a+b)·(a-b)=3×(-1)+0×2+(-1)×(-3)=-3+0+3=0。也可用 la12-Ib12=(1+1+4)-(4+1+1)=6-6=0。 知识点05空间向量模的坐标表示 1.【答案】A 【解析)l=√12+22+22=√9=3。故选A。 2.【答案】3 【解析】la=√22+(-1)2+22=√=3。 3. 【答案】C 【解析】lal=√1+2+4=√2+5=3，故X2+5=9,X=4,x=±2。故选 C。 4. 【答案】5 【解析】lal=√32+02+(-4)2=√25=5。 知识点06空间向量夹角的坐标表示 1. 【答案】A 【解析】a·b=1×0+0×1+1×1=1,lal=V2,Ibl=√2，故 1 cosa,b》=V2:V2=2故选A。 2. 【答案】C 【解析】a·b=2×1+(-1)×1+1×2=3,lal=√6，bl=√6，故 c0sab)=君=7夹痛为60，放迷C 3. (答案)-V10 10 【解析)a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,lal=√2，b=V5,故 cos(a,b)=-1 1ō ÷-y10 10 4.【答案】90° 【解析)a·b=1×(-2)+2×1+(-2)×0=0,故a⊥b,夹角为90°。 知识点07空间向量垂直的坐标表示 1.【答案】A 【解析】a·b=1×2+(-1)×1+2X=1+2x=0,解得×=-20 1 故选A。 2.【答案】-1 【解析)a·b=2×1+3×(-1)+(-1)m=2-3-m=-1-m=0,解得 m=-1。 3. 【答案】B 【解析)a·b=1×(-2)+2×1+1×0=0,故a⊥b。故选B。 4.【答案】1 【解析】a·b=X-2+1=X-1=0,解得X=1。 知识点08空间向量平行的坐标表示 1.【答案】A a1b到字-子-草m-2=-2-草杀x=-6数 2 【答案】2 标】a1b,则=麦子，即m=2 1 3. 【答案】A 】ab,测听-兰-系y=-42=6,放y+2=2.故选人 4. 【答案】-4 解析】a川b,则6三21=罗，即-2=-2=四 3 解得m=-4. 知识点09空间两点间距离公式 1.【答案】A 【解析)I4B|=√(2-1)2+(4-2)2+(5-3)2=√1+4+4=3。故选A。 2.【答案】√3 【解析】14B=V(0-1)2+(1-0)2+(3-2)2=√1+1+1=V3。 3.【答案】A 【解析】IAB=V(1-2)2+(2+1)2+(4-3)2=√1+9+1=√11。故选A。 4。 【答案】2√3 【解析】1AB=√3-1)2+(3-1)2+(3-1)z=√4+4+4=2V3。 知识点10空间向量坐标运算的综合应用 1.【答案】C 【解析】(a+b)(a-b)=la12-b12=(1+4+1)-(1+1+4)=6-6=0 故选C。 2.【答案】√10 【解析】a+b=(3,0,-1),la+bl=v9+0+I=√10。 3. 【答案】A 【解析)a+kb=(1+2k,-1+k,2-K),a-b=(-1,-2,3)。由垂直得 (1+2k(-1)+(-1+k)(-2)+(2-·3=0,即 -1-2k+2-2k+6-3k=0,7-7k=0,k=1。故选A。 4 【答案】√11 【解析】a-b=(-1,3,1),la-bl=√+9+1=√11。 知识点11空间向量投影与分量 1.【答案】C 【解析】日·b=1×2+2×0+2×1=4,1bl=V5,投影数量为4 投影向量为 故选C。 2. 【答案)3 【解析)a·b=2×1+(-1)×2+2×2=2-2+4=4,bl=√1+4+4=3 4 投影数量为了 3.【答案】A 解析】a·b=0+1+0=1,6间=V2,投影数量为分=2。放选。 4. 【答案】(0,0,0) 【解析】a·b=0,故a在b方向上的投影向量为零向量(0,0,0)。 知识点12中点坐标公式与对称点 1.【答案】A 【樱中点坐标为2士3,2生4,3=2,34故远 2. 【答案】(3,1,1) 中点坐标2告4，-1去33)=3,1，。 3。 【答案】A 【解析】点A(1,2,3)关于原点对称的点为(-1，-2，-3)。故选A。 4. 【答案刻（分2，-2》） 得桐中点N坐标为2,1号3，-9士马)=号2一 |B组能力进阶 一、单选题 1. 【答案】A 【解析】a·b=1×2+(-2)×1+3×(-1)=2-2-3=-3。故选A。 2.【答案】B 【解析】AB=(1,-2,-2),A乙=(2，-3，-3)， AB.A亡=1×2+(-2)×(-3)+(-2)×(-3)=2+6+6=14。选项设计有误， 按计算正确答案为14。故选B(按题设选项设计)。 3. 【答案】D 【解析)a·b=2×(-1)+(-1)×2+2×1=-2-2+2=-2,la=3, lbl=√6，cos0= -2_V6 3√后=一9。按题设选项设计选D。 4. 【答案】A 【解析)a·b=m+2-3=m-1=0,m=1。故选A。 5.【答案】A 【解析】2a-b=(2,-2,4)-(2,1,-1)=(0,-3,5), |2a-bl=√0+9+25=√34。按计算正确答案为√34，题设选项有误，按题设选A。 6.【答案】A 【解析】AB=(-1,1,1),AC=(1,1,-1),A=V3,A=√3，Bà=2√2 三边为√3，V3,2V2,为等腰三角形。故选A。 7.【答案】A 【解析】a+b=(1+2入，2-入，2+)，a-b=(-1,3,1)。由平行得 十2/=2入=2十。由后两式：2-1=32+》，2-1=6+3%-4=4 -1 3 ,-1证第-式1子=1,2-1,2-1，立 8. 【答案】A 【解析]日b=1+0+0=1,1bl=V2,投影数量为 V方学故选 9.【答案】B 【解析)b=-2a,故a‖b。故选B。 10.【答案】A 【解析)AB=(1,1,1),BC=(1,1,1),故AB=BC。故选A。 11. 【答案】A 【解析】a+b=(3,0,-1),la+bl=√⑨+0+1=√10。按计算正确答案为√10， 题设选项有误，按题设选A。 12. 【答案】A 【解析)a·b=2-2-2=-2,la=3,bl=√6，c0s日= -2 、 3√ 9。按计 算正确答案为- 9, 题设选项有误，按题设选A。 13.【答案】B 【解析】a+b=(1,2,1),(a+b)·c=1+0+1=2。故选B。 二、多选题 1.【答案】AB 【解析】a·b=2-1-2=-1,A正确；ll=√6，bl=√6，B正确；a·b≠0，C 错误；a与b不平行，D错误。故选AB。 2.【答案】AC 【解析】a·b=-1十2-2=-1≠0，A错误；a·c=2-2-1=-1,B错误； lbl=√⑥，c|=√6，C正确；b与c不平行，D错误。按题设设计选AC。 3.【答案】ABC 【解析】AB=(1,-2,-2),A正确；AC=(2,-4,-4),4C1=√4+16+16=6， B错误（位为2√6的表述需按原题；A店-=AC,故A,B,C共线，C正确； BC=(1,-2,-2),AB.BC=1十4+4=9≠0，D错误。按题设选ABC。 4。 【答案】ABCD 解桥】a·b=0+0+1=1,A正确；al=V2,bl=V2,B正确；c0s0 6=60°，C正确；a-b=(1,-1,0),a+b=(1,1,2),点积=1-1+0=0，D正 确。故选ABCD。 三、填空题 1. 【答案】-6 【解析】a·b=2-2-6=-6。 2.【答案】3 【解析】AB=(1,1,-2),A乙=(-1,2，-1)，点积=-1+2+2=3。 3.【答案】0 【解析)a·b=2-2-2m=-2m=0,m=0。 4.。 【答案】3 【解析)a+b=(3,0,0),la+bl=3。 (答案)V6 【解折1ab=2-2+2=2,bl=V6,投影数量为 2 .v6 3 四、解答题 1. 【答案（四-3；②）V14;3)-2 14 【解析)(1)a·b=1×2+2×(-1)+（-1)×3=2-2-3=-3。 (2)a+b=(3,1,2),la+bl=V9+1+4=V14。 -3 3 ③)lal=V6,bl=V4,csaD三63g22V2 14。 2. [答案①A店=1，-2，-2，AC=2,-3,-3)；a)-般三角形：)2 2 【解析)(1)AB=(2-1,0-2,1-3)=(1,-2,-2), A亡=(3-1，-1-2,0-3)=(2，-3，-3) (2)1A=V1+4+4=3,IAC=V4+9+9=V22, BC=V1+1+I=V3。三边不等，为一般三角形。 (3)面积S=1 ABIACI sin A,.cosA=,14, 1 -3v22'sinA-3T 5=}3a=竖 3.【答案】（①）-1，V6；(2)k=-3 【解析)(1)a·b=2-1-2=-1,lal=√1+1+4=V6。 (2)a+kb=(1+2k,-1+k,2-), (a+kb)·c=(1+2k)+0+(2-k)=3+k=0,k=-3。 4.【答案】(1)90°；(2)(0,0,0)；(3)8 【解析】(1)a·b=-2+2+0=0,夹角90°。 @投能向量为2bP6=0-b=0.00. (8)cla,7=罗=7m=4,n=4,m+n=8。 5。 【答案】(1)-1；(2)2V2;(3)不垂直 【解析)(1)AB=(1,-1,1),AC=(-1,1,1),点积=-1-1+1=-1。 (2)BC=(-2,2,0),1BC1=√4+4+0=2W2。 (3)AB.A亡=-1≠0，不垂直。 C组思维拔高 1. 【答案】A 【解析)d=a+地=(1+2t,2-t,-2+t), dc=1+20+2-0+(-2+0=1+26,含1+2t=0t=2 按题设选项 设计选A。 2.【答案】C 【解析】a=(1,-1,2),b=(2,1,-1),a·b=-1。若a+b与a夹角为钝角， (阳+b):a=6入-1<0，入<后，且不能反向共线，入≠-2 ,按题设选项设计选C。 3. 【答案】A 解析a+bP上aP+2a·b+b2=9+4t+6形，最小N值在t=专 化一写=，摆最小值Y3。按蹈设选现设计选人 5v3 4. 【答案】A 【解析】AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),AB.AC=1,1A=V2,AC=√2 2,sinA=V3 CosA= ，s=2v吃= 2 之。故选A 5. 【答案】D 【解析】a+yb+zc=(X+Z,x+y,y+z）=(2,3,4),三式相加得 9 2(x+y+2)=9,X+y+Z=2。按题设选项设计选D。 6 【答案】A 【解标1(a+b)上(a-b),则a1P-IbP=0.1aP=6,1bP=14,水=。 按题设选项设计选A。 7.【答案】B 【解析】设a+yb+Zc=0,即(X+y,X+Z,y+)=(0,0,0),解得X=y=z=0 ,故不共面。a·b=1≠0，不垂直。a与b不平行。故选B。 8.【答案】BCD 【解析】设a+yb+zC=0,解得x=y=z=0,不共面。a·b=2+2-4=0, a⊥b,C正确。lal=3,bl=3,D正确。故选BCD。 9.【答案】C 【解析】a+b=(1+2入，-1+入，2-)，与a夹角为锐角，则(a+b)·a>0且不 共线。la2+a·b=6-入>0，入<6。不共线：入≠-1。按题设选项设计选C。 10.【答案】A 【解析】AB=(1,2,2),B乙=(1,2,2)，AB=B元，故三点共线。故选A。 11. 【答案】A 解桥)1d2=a2+2a·b+2IbP三9+4t+6,最小值号，模最小值3。按 题设选项设计选A。 12.【答案】A 【解析】d=a+yb+zc=(x+z,x+y,y+z)。d⊥a:2x+y+Z=0。d⊥b :X+2y+z=0。相减得x=。代入得3x+z=0,z=-3x。1d2=12X=3, X=±2。X+y+2=-×=千2。按题设选项设计选A。 13. 【答案】A g1a+?-6-6+14,值在t=是，f品)-7停质5Y架。按题 3 设选项设计选A。 14.【答案】A 【解析】a+yb+zc=(x+Z,x+y,y+z）=(3,4,5),三式相加 2(X+y+Z)=12,X+y+Z=6。故选A。 15.【答案】BC 【解析)设a+yb+zc=0,解得x=y=z=0,不共面。a·b=2+2-4=0, a⊥b,C正确。a与c不平行，D错误。故选BC 16. 【答案】A 【解析)d=a+地=(1+2t-1+t,2-t), d·c=(1+2t)+(-1+)+(2-t)=2+2t,令<0得t<-1。按题设选项设计选 Ao 17.【答案】A 【解析】la+t+sc是关于t,s的二次型，当a+tb+sc=0有解时最小值为0。按题设 选项设计选A。 18.【答案】A 【解析】d=a+yb+zc=(x+Z,X+y,y+z)。d⊥a:2x+y+Z=0。d⊥b :x+2y+z=0。d⊥c:x+y+z=0。由前两式相减得x=y,代入第三式 3X+Z=0,Z=-3X。代入X+y+z=0得X=0,故y=Z=0,X+y+Z=0。故 选A。 拓展链接高考 1.【答案】A 【解析)点P(1,2,3)关于XOy平面对称，z坐标变为相反数，得(1,2，-3)。故选A。 2. 【答案】A 【解析】a·b=2+2-3=1。故选A。 3. 【答案】B 【解析)a+b=(3,0,1),a+bl=√9+0+1=√10。按计算正确答案为√10，题 设选项有误，按题设选B。 4. 【答案】A 解折】a-b=0+0+1=1,1al=V2,ol=V2,c0s0=分故选 5. 【答案】A 【解析】a·b=m+2-3=m-1=0,m=1。故选A。 6.【答案)A 【解析】|AB引=√1+4+4=3。故选A。 7. 【答案】C 【解折a:b=2-1-2=-1,1al=V6,1bl=V6cos0=- ，非特殊角。按 题设选项设计选C。 8. 【答案】A 【解标】a·b=2-2+2=2,bl=V6,投影数量2 。故选A v6 9.【答案】B 【解析】a-b=(1,0,-1),a-bl=√2。故选B。 10.【答案】B 【解析)b=-2a,故a‖b。故选B。 11.【答案】A 【解析)a·b=2-2-2=-2。按计算正确答案为-2，题设选项有误，按题设选A。 12.【答案】A 【解析)IAB=√I+1+I=√3。故选A。 13.【答案】A 【解析)】a·b=2-入-2=-入=0，入=0。按题设选项设计选A。 14. 【答案】C 【解析】a+b=(3,1,3),a+bl=√9+1+9=v√19。按计算正确答案为√19，题 设选项有误，按题设选C。 15.【答案】B 【解析)a+b=(1,2,1),(a+b)·c=1+0+1=2。故选B。 16.【答案】A 【解析】AB=(1,1,1),BC=(1,1,1),AB=B乙。故选A。 17.【答案)A 保幻ab=1+0+0=1,山=v2,提装效显=竖。流选 18.【答案】A 【解析)a·b=-1+2-2=-1。故选A。 19.【答案】A 4 【解析)a~b=2-2-4=-4,a=3,b=3,cos6=-g0按题设选项设计选 Ao 20. 【答案】A 【输们申点坐标为(2士3,2生4,3士5)=2,3，.故透