练案3 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

由于四边形ABCD是平行四边形， 所以A亡=A店+AD 因此EG=0元-0成=kO元-kOA=kAC =k(AB+AD)=k(0B-0A+0D-0A) -O求-o成+0i-0成=E市+Ei 由向量共面的充要条件知Ei,E户，E心共面， 又E立，E,EG过同一点E, 从而E,F,G,H四点共面. 15.C PM=PB+7BA +6 AA -4A D'PB'BA +6 BA- 4A D'=PB+BA+6BA-4A D'=PA+6(PA-PB)- 4(PD-PA)=11PA-6P2-4PD,因为11+(-6)+ (-4)=1,于是M,B,A1,D1四点共面. 16.【证明】(1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长，交对边于点 M,N,Q,R,连接MW,NQ,QR,RM, D A M B 因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心， 所以M,N,Q,R分别是所在边的中点， 且成=号m,成=号风，成=子风i=子成 由题意知四边形MNQR是平行四边形， 所以M0=M+M亟 =(P咏-Pi)+(P成-P) =2(亦-成)+2(m-P =(+. 又成-成-m-元-2成-多成， 所以E心=E亦+E成由共面向量定理知，E,F,G,H四点共面。 (2)平行.证明如下： 由（)得成=2成，所以成/成， 所以EG∥平面ABCD, 又丽=成-成=3序-成=成， 所以M∥E市，即EF∥平面ABCD. 又因为EGOEF=E,所以平面EFGH与平面ABCD平行. 练案[3] 1.C由题意，可得E=d,所以(BC,)=(B心，C市)= 180°-(CB,Ci)=180°-60°=120°. 2.BCD因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 故P·Ci=O;因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,可得 PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB 23 C平面PAB,所以AD⊥PB,故DA·P=0:同理Pi·AB=0. 所以选BCD. 3.B设间量a,b的夹角为a则as0=治治：一宁，所以0 =120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120° =60°. 4.101al=4,1b1=6,Ic1=2,且(a,b〉=(a,c〉=(b,c〉= 3.la+b+c2=(a+b+c)·(a+b+c)=lal2+1b12+ Icl2+2a·b+2a·c+2b·c=Ia12+Ib|2+IcI2+2 lallbl ·cos(a,b〉+21 allcl·cos(a,c〉+21b1lcl·cos(b,c〉=42 +62+22+4×6+4×2+6×2=100,.1a+b+c1=10.故答 案为10. 5.BC2BA·A元=2a2cos120°=-a2,A错误；2AD·Bi=2DA ·D品=2a2cos60°=a2,B正确：2F元.A元=A元.A元=a2,C正 确；2E成.店-励.成=-励8成=-22，D错误 6.B在空间四边形ABCD中，因为∠ABD=∠BDC=90°，AC= 2BD,所以AB·BD=BD·D元=0，又AC=AB+Bi+D元，则 A元.BD=(AB+Bi+DC)·Bi=IBD12,所以B配在A元上的投 影向量为励：花.交-·花=花 1AC1 IACI IA元2 7.221a+b12=a2+2a·b+2=132+2a·b+192=242, 2a·b=46,1a-b12=a2-2a·b+b2=530-46=484,故 1a-b1=22. 8.60°由条件知(a+3b)·(7a-5b)=71a2-151b2+16a· b=0,(a-4b)·(7a-2b)=71a2+81b12-30a·b=0,两式 相减得46a·b=231b1P,所以a·b=了1b12,代入上面两个 式子中的任意一个，得1a1=b1,所以s(a,)=8治 6=子所以a6=60 9.【解析】CA⊥AB,BD⊥AB, .(C,Bi)=120°. :Ci=CA+AB+B励，且CA·AB=0,B⑦·AB=0, .ICDI2=CD.CD=(CA+AB+BD)(CA+AB+BD)= ICA+AB12+IBD12+2CA.BD+2CA.AB+2B.BD= 1CA2+1AB2+1B12+21C11Bi1·cos<CA,Bi)=62+42 +8+2x6x8×(-)=68, .1Ci1=2√7，故CD的长为27 10.【解析】(1)证明：Bi=BC+C, .Bi.P元=(BC+Ci)·P =Bt.P元+Ci.Pt =1BC1IP元1cos60°+1Ci1IP元1cos120° =22-22=0 .BD LPC,.BD⊥PC (2):AC+P元=A店+BC+P元 .IAC+P心12=AB12+1BC2+1P心2+2AB.B元+2AB. P元+2Bt.P元=a2+a2+a2+0+2a2cos60°+2a2cos60 =5a2, .1At+P元=5a 11.D设a与b的夹角为0，由a+b+c=0,得a+b=-c,两边 平方，得a2+2a·b+b2=c2,因为1al=2,1b1=3,1cl=4, 所以4+2×2×3cos0+9=16,解得cos0=4,即A,B,C选 项均不符合ms0子 12.7P心2=(Pi+Ad+D心2=Pi12+1Ai+1Ci12+2Pi. Ad+2Ad.D元+2PA.D元=6+4+32+21Ad11DC1cos120 =49,所以P=7. 13.【解析】(1)如图，BD=AD-A店=AA+A心-A应 D B (2)因为AC=AB+AD,AB=AD=1,A41=2, ∠BAD=T,LBAM,=∠DAM,=于 所以BD·A亡=(AA+A-A应)·(A店+A) =AA·AB+AA·A市+AD.AB+A亦-AB-AB.Ad =A4.AB+AA.A面+A-A它 又不·店=11·11cos(国，应》=2×1×o牙=1， 4·Ad=11.14d1cos(M,)=2×1×os号=l, 所以BD.A=1+1+1-1=2. 1BD1=√/(A-A店+AA)2=6, 14.【证明】BD=Bi+DD=AD-AB+A4, 成-丽+n=(+. 所以丽·床=-之（而.店+市.不-破-. +4,话+)=-之×(0+0-1+)=0， 所以BD⊥E市 15.[0,1]依题意，设B成=入BD,其中入∈[0,1]，D元·A AB.(A店+B)=A.(A店+ABD)=AP+入A店.BD=1 +A×1×月×(-9）=1-Ae[01小.因此成.产的取 值范围是[0,1]. 16.【解析】(1)证明：设C⑦=a,C=b,CC=c. B. C a 依题意有lal=Ibl, BD =CD-CB =a-b. 设c⑦，C店，cC两两夹角均为0， 于是CC.B⑦=c·(a-b)=c·a-c·b =Icllalcos 0-Icllblcos 0=0, .CC⊥BD. (2)若AC⊥平面C1BD,则AC⊥DC1,AC⊥BD. 由CA·C,i=(C+A4)·(ci-CC) =(a+b+c)·(a-c) =Ial2-a·c+a·b-b·c+c·a-lcl2 lal2-1c12+Ibllalcos 0-Ibllclcos 0 =lal-Icl)(lal +lcl +lblcos 0)=0, 得当Icl=Ial时，AC⊥DC 同理可证，当Ia=|b1时，A,C⊥BD. 净品-1时4G1平面G0 练案[4] 1.B当非零向量a,b,c不共面时，{a,b,c}可以作为空间的一 个基底，否则不能作为空间的一个基底，当{a,b,c}为空间的 一个基底时，一定有a,b,c为非零向量.因此p共q,9→p,即p 是g的必要不充分条件 2D成-丽+立-+分（团+成）=b-之+e A错误：AC=A店+Ai+CC=a+b+c,B正确；AC=a+b+ c,则1AC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+ 2b·c=6,则1AC1=6,C错误；AB·AC=a·(a+b+c)= Q+a·b+a·c=2,则cos(Aa,AC-C=D 正确. 3.C如图，设A元=a,Ci=b,D店=c,则A店 =a+b+c,所以AB.C⑦=(a+b+c)· b=1,1A1=2,1Ci1=1,所以cos(AB, =高二所以异面直线m所成的角等于60， 4.B因为Bd=xBG+yB晾+成=xB底+yB+BB,点O 在平面B,GF内，所以x+ +子=1，同理可得子+方+：=1， 解得x+y=子=号所以x++:=号 5.A设AB=a,AD=b,AA=c,则a,b,c构成空间的一个正交 基底：=不-成--号4C=a+成-子(a+b+c) 40练案[3] 第-章1.11.1 A组·基础巩固 1.在正四面体ABCD中，点E,F分别是AC,AD 的中点，则BC与EF的夹角为 ( A.30° B.60° C.120 D.150° 2.（多选)已知四边形ABCD为 矩形，PA⊥平面ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列 各组向量中，数量积为零的是 () A.PC与Bd B.DA与PB C.Pi与AB D.PA与CD 3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且 1a=1b1=1,a·b=-2,则两直线的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知空间向量a,b,c中两两夹角都是牙，且 lal=4,Ib1=6,Icl=2,a+b+cl= 5.（多选)如图所示，已知空间 四边形每条边和对角线长 都为a,点E,F,G分别是 B- AB,AD,DC的中点，则下列 向量的数量积等于a2的是 A.2 BA.AC B.2 AD.BD C.2FG.AC D.2 EF.CB 6.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC= 90°，AC=2BD,则BD在AC上的投影向量为 A号c B.C c2励 D.BD 7.已知|al=13,1b1=19,1a+b1=24,则1a-b 12 2空间向量的数量积运算 8.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与 7a-2b垂直，则(a,b〉= 9.如图，已知一个60°的二 C 面角的棱上有两点A,B, AC,BD分别是在这两个 面内且垂直于AB的线 段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. 10.如图，正四棱锥P-ABCD 的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD ⊥PC; (2)求IAC+PC1的值， 9- B组·综合运用 14.如图，在正方体ABCD- D A1∠ 11.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,la= A1BC1D1中，E,F分别是 2,1b1=3,|c1=4,则a与b的夹角为 C1D1,DD的中点，正方体 的棱长为1.求证：BD D A.30° B.45° ⊥EF C.60° D.以上都不对 12.如图，已知在平行四边形 ABCD中，AD=4,CD=3, ∠D=60°，PA⊥平面ABCD, 且PA=6,则PC= A 13.如图所示，平行六面体 B ABCD-AB1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2, ∠BMD=受，∠BM,=∠D1M,=号 D C A B C组·拓展提升 15.已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为1，若 D 动点P在线段BD,上运动（含端点），则DC· AP的取值范围是 16.如图，已知平行六面体ABCD B (1)用向量AB,AD,AA表示向量BD: D -AB,C,D1的底面ABCD是 (2)求BD·AC及IBDL. 菱形，且∠C,CB=∠C,CD= ∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD; (2)当CP的值为多少时，能使A,C1平面 CC C,BD?请给出证明， —130