1.3空间向量及其运算的坐标表示（分层作业，10大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间中点的位置及坐标特征 题型02 空间向量加、减、数乘的坐标表示 题型03 空间向量平行（共线）的坐标表示 题型04 空间向量模长的坐标表示 B组 能力进阶 题型01 由空间向量共线求参数或值 题型02 空间向量垂直的坐标表示 题型03 空间向量夹角的坐标表示 题型04 空间向量投影向量的坐标表示 C组 思维拔高 题型01 空间向量两点间距离公式 题型02 空间向量夹角、模的坐标表示的应用 空间中点的位置及坐标特征题型01 1．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，故，而 ，设平面的法向量为，根据 ，解得， . 故与平面所成角的大小为，故选A． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难． 2．（24-25高二下·甘肃·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________. 【答案】 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 3．（25-26高二上·天津·月考）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为__________.    【答案】 【分析】分别求出点和点的坐标，从而得到的坐标. 【详解】由题可知，，，，而为中点，则，所以. 故答案为： 4．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，，，，五点的坐标； (2)求． 【答案】(1)，，，， (2) 【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标； (2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解. 【详解】（1）由题可知，，，，， （2）由（1）可知，，， 则， 则. 空间向量加、减、数乘的坐标表示题型02 1．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故选：D 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知， 由，得， 解得. 故选：B. 3．已知，，则的值为________． 【答案】0 【分析】运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题. 【详解】解：因为，， 所以. 故答案为：0. 4．已知向量，. (1)当与平行时，求实数的值； (2)当与垂直时，求实数的值. 【答案】(1) (2)-20 【分析】（1）根据向量，，得到的坐标，再由与平行求解； （2）根据向量，，得到的坐标，再由与垂直求解. 【详解】（1）解：因为向量，， 所以， 因为与平行， 所以， 解得； （2）因为向量，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得. 空间向量平行（共线）的坐标表示题型03 1．已知 ，则下列向量中与 平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以A选项中的向量与不平行； 对于B选项，因为，所以B选项中的向量与不平行； 对于C选项，因为，所以C选项中的向量与不平行； 对于D选项，因为，所以D选项中的向量与平行； 故选：D. 2．已知向量，，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以解得， 故选:D. 3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，，若，则k=（    ） A．4 B． C．17 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：B 4．在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 空间向量模长的坐标表示题型04 1．已知空间向量，则（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量模长公式进行求解. 【详解】. 故选：D 2．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量. 【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或. 故选：D 3．已知空间向量，则__________． 【答案】 【分析】根据向量加法求出坐标，再根据空间向量模的计算公式即可求解. 【详解】已知空间向量， 则， 则． 故答案为：． 4．已知空间中三点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由可得存在非零实数，使得，根据向量的坐标运算结合，即可求解； （2）根据向量垂直的条件即可解答. 【详解】（1）∵，，， ∴， 又，且， ∴存在非零实数，使得， ∴， ∴， ∴或； （2），， ∴， ∵向量与互相垂直， ∴，解得， 故. 由空间向量共线求参数或值题型01 1．已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三点共线列方程，化简求得，进而求得. 【详解】， 依题意，三点共线， 所以，解得. 故选：A 2．已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】由知必存在，使得，即，即可求解. 【详解】因为， 所以存在使得，即， 所以. 故选：C. 【点睛】事实上，若且，则必存在，使得，即，若均不为零，则有. 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，向量，且，则________. 【答案】13 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 所以. 故答案为：13. 4．已知空间中三点A（2，0，－2），B（1，－1，－2），C（3，0，－4），设， （I）若，且，求向量c； （II）已知向量与互相垂直，求k的值； （III）求的面积． 【答案】（I）或；（II）；（III） 【分析】（I）利用设出的坐标，利用列方程，解方程求得的坐标.（II）利用两个向量垂直，则它们的数量积为零，列方程，解方程可求得的值.（III）利用两点间的距离公式计算的长度，利用余弦定理求得某一个角的余弦值，然后求得其正弦值，再由三角形的面积公式求得三角形的面积. 【详解】（I），由于，故可设，故，解得，故为或. （II），，由于与垂直，则. （III）依题意，，，故由余弦定理得，所以.故三角形面积为. 【点睛】本小题主要考查空间两个向量平行的坐标表示，考查空间向量模的运算，考查空间两个向量垂直的坐标表示，以及考查空间三角形面积的求法.已知空间中三个点的坐标，要求这个这三个点围成三角形的面积，可利用两点间的距离公式求得三条边的长，利用余弦定理求得某一个角的余弦值，然后求得其正弦值，再由三角形的面积公式求得三角形的面积. 空间向量垂直的坐标表示题型02 1．已知空间向量，.若，则（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】C 【分析】根据空间向量的垂直坐标表示列式求解即可. 【详解】由题意得：，解得. 故选：C 2．已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题中条件，由空间向量垂直的坐标表示列出等量关系，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A. 3．已知，，若，则___________. 【答案】6 【分析】根据，可得，解方程即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 即，解得. 故答案为：6. 4．已知空间三点． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）60°. （2）3或. 【分析】（1）计算出，根据向量夹角的公式求得夹角的余弦值，由此求得这两个向量的夹角. （2）先求得的坐标，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】（1）由已知得：＝（0，3，3），＝（－1，1，0）， ， 所以，向量与的夹角为60°． （2）， ∵ ， ∴， ∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0， 解得  k＝3或k＝－3 ． ∴ 实数k的值是3或－3． 【点睛】本小题主要考查利用平面向量的坐标运算求得向量夹角，考查两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题. 空间向量夹角的坐标表示题型03 1．若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意，得. 故选:C. 2．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知向量，，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量投影数量的定义及公式直接计算. 【详解】由，， 则，，， 即， 则在方向上的投影数量为， 故选：D. 3．已知向量，，则向量与所成的角为_______________ 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】， 因为，故. 故答案为：. 4．已知空间中三点，设，． (1)若，且，求向量； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据向量的模和向量共线的坐标表示，求解即可； （2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出． 【详解】（1）根据题意，， 因为，则， 又，则，则， 则或； （2）因为 ， 所以． 空间向量投影向量的坐标表示题型04 1．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】由已知得，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A．（4，0，3） B．（4，0，3} C．（2，2，-1） D．（2，2，-1） 【答案】C 【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知，，若向量在向量上的投影向量为，则____________. 【答案】1 【分析】利用投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因，， 向量在向量上的投影向量为 ， 则. 故答案为：1. 4．已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解，得到答案； （2）利用求解即可. 【详解】（1）已知向量 则， ， 所以 （2）由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 空间向量两点间距离公式题型01 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标，判断出两向量的位置关系，即可直接求出结果. 【详解】由题知，， 因为，所以， 因此点到直线的距离为. 故选：A 2．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（    ） A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点 C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点 【答案】B 【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，的中点， ，，则， 设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中， 因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得， 所以当时，取得最小值，此时为线段的中点， 由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题. 3．（25-26高二上·四川·期中）已知，，则________. 【答案】 【分析】由空间中两点间距离公式可解. 【详解】. 故答案为：. 空间向量夹角、模的坐标表示的应用题型02 1．（24-25高三上·广东·质检）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详解】在边长为1的正方体中，建立空间直角坐标系，设，    则， ，则， 由，得，即，而， 因此， 当且仅当，取等号，此时，所以的最大值是. 故选：D 2．（25-26高二上·福建南平·质检）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角计算公式求解即可． 【详解】设平面与平面的夹角为，则． 故选：B． 3．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________． 【答案】 五 【分析】根据坐标平面对称先求出的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果； 利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案. 【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限. 由已知可得，，所以 故答案为：五； 4．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可； （2）利用向量夹角运算公式计算的值； 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，． ，∴ ∴． 所以的距离为. （2）依题意得，，，， ∴，， ，，， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间中点的位置及坐标特征 题型02 空间向量加、减、数乘的坐标表示 题型03 空间向量平行（共线）的坐标表示 题型04 空间向量模长的坐标表示 B组 能力进阶 题型01 由空间向量共线求参数或值 题型02 空间向量垂直的坐标表示 题型03 空间向量夹角的坐标表示 题型04 空间向量投影向量的坐标表示 C组 思维拔高 题型01 空间向量两点间距离公式 题型02 空间向量夹角、模的坐标表示的应用 空间中点的位置及坐标特征题型01 1．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为 A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________. 3．（25-26高二上·天津·月考）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为__________.    4．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，，，，五点的坐标； (2)求． 空间向量加、减、数乘的坐标表示题型02 1．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为________． 4．已知向量，. (1)当与平行时，求实数的值； (2)当与垂直时，求实数的值. 空间向量平行（共线）的坐标表示题型03 1．已知 ，则下列向量中与 平行的是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．4 3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，，若，则k=（    ） A．4 B． C．17 D． 4．在空间直角坐标系中，向量若，则____. 空间向量模长的坐标表示题型04 1．已知空间向量，则（    ） A．5 B．6 C．7 D． 2．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，则__________． 4．已知空间中三点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 由空间向量共线求参数或值题型01 1．已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．6 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，向量，且，则________. 4．已知空间中三点A（2，0，－2），B（1，－1，－2），C（3，0，－4），设， （I）若，且，求向量c； （II）已知向量与互相垂直，求k的值； （III）求的面积． 空间向量垂直的坐标表示题型02 1．已知空间向量，.若，则（    ） A． B． C．2 D．10 2．已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则___________. 4．已知空间三点． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． 空间向量夹角的坐标表示题型03 1．若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知向量，，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则向量与所成的角为_______________ 4．已知空间中三点，设，． (1)若，且，求向量； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 空间向量投影向量的坐标表示题型04 1．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A．（4，0，3） B．（4，0，3} C．（2，2，-1） D．（2，2，-1） 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知，，若向量在向量上的投影向量为，则____________. 4．已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 空间向量两点间距离公式题型01 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（    ） A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点 C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点 3．（25-26高二上·四川·期中）已知，，则________. 空间向量夹角、模的坐标表示的应用题型02 1．（24-25高三上·广东·质检）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·福建南平·质检）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________． 4．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $