第10章 概率10.1 随机事件与概率分层作业-2026-2027学年高中数学必修第二册分层作业（人教A版）

10.1随机事件与概率分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01随机现象与样本空间 知识点02随机事件的概念与表示 知识点03事件的关系与运算 知识点04互斥事件与对立事件 知识点05概率的基本性质 知识点06古典概型的特征 知识点07古典概型概率的计算 知识点08基本事件与样本点的计数 知识点09对立事件概率公式的应用 知识点10互斥事件概率加法公式的应用 知识点11实际情境中的概率模型 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01随机现象与样本空间 1.(25-26高一上·山东济南·期未)下列现象中，属于随机现象的是（) A.太阳从东方升起 B.标准大气压下，水在100℃沸腾 C,掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数是偶数 D.在只装有红球的袋中摸出一个球是红球 2.（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测)一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，从中任 意摸出1个球，则该试验的样本空间为（) A.{红球，白球} B.{红球，红球，红球，白球，白球 C.{摸到红球，摸到白球} D.{3个红球，2个白球] 3.(25-26高一上·江苏南京·期中)连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，观察正反面出现的情况， 则该试验的样本空间为 4.(25-26高一上·湖南长沙·期末)从装有标号为1,2,3的三个小球的盒子中随机取出两个小 球，则该试验的样本空间为 |知识点02随机事件的概念与表示 1.（25-26高一上·浙江杭州·期中)下列事件中，是不可能事件的是（) A.掷一枚骰子，出现的点数大于0 B.掷一枚骰子，出现的点数为7 C.掷一枚硬币，出现正面朝上 D.从装有红球和白球的袋中摸出一个球，摸到红球 2.（25-26高一上·广东广州·阶段检测)在标准大气压下，将水加热到80°℃，水沸腾。这个事件 是（) A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.无法确定 3.（25-26高一上·湖北武汉·期未)掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现的点数为奇数”， 则事件A包含的样本点有 4.（25-26高一上·四川成都·期中)从含有2件次品和3件正品的5件产品中任取2件，事件B=“至 少取到1件次品”，则事件B的对立事件是 知识点03事件的关系与运算 1.(25-26高一上·福建厦门·期末)掷一枚骰子，事件A=“出现的点数小于3”，事件B=“出现的 点数为偶数”，则A∩B=（) A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.0 2.（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测)某射手射击一次，事件A=“命中环数大于7”，事件 B=“命中环数小于5”，则A与B的关系是（) A.A≤B B.B≤A C.A与B互斥 D.A与B对立 3.（25-26高一上·江西南昌·期中)掷一枚骰子，事件A=“出现的点数为2”，事件B=“出现的点 数为3”，则AUB=_。 4.（25-26高一上·辽宁大连·期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A=“取到的两 个数之和为偶数”，事件B=“取到的两个数均为偶数”，则A与B的关系是 |知识点04互斥事件与对立事件 1.（25-26高一上·陕西西安·期末)下列各组事件中，是互斥事件但不是对立事件的是（) A掷一枚骰子，“出现奇数点”与“出现偶数点” B.掷一枚骰子，“出现点数大于3”与“出现点数小于3” C.射击一次，“命中环数大于8”与“命中环数小于5” D.掷一枚硬币，“正面朝上”与“反面朝上” 2.（25-26高一上·重庆·阶段检测)从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，事件A=“取到红 桃”，事件B=“取到方块”，则A与B（) A.是互斥事件，也是对立事件 B.是互斥事件，但不是对立事件 C.不是互斥事件 D.是对立事件，但不是互斥事件 3.(25-26高一上·吉林长春·期中)掷一枚骰子一次，事件A=“出现的点数不超过3”，事件 B=“出现的点数不小于5”，则A与B是 事件（填“互斥”或“对立”）。 4.（25-26高一上·甘肃兰州·期末)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学，事件A=“恰 有1名男生”，事件B=“恰有2名男生”，则A与B的关系是 |知识点05概率的基本性质 1.（25-26高一上·山西太原·期未)下列说法正确的是() A.任何事件的概率总在(0,1)内 B.必然事件的概率为1 C.不可能事件的概率为0，反之概率为0的事件为不可能事件 D.概率为1的事件一定是必然事件 2.(25-26高一上·河南郑州·阶段检测)已知事件A与事件B互斥，P(A)=0.3,P(B)=0.5,则 P(AUB)=( A.0.2 B.0.8 C.0.15 D.0.5 3.(25-26高一上·云南昆明·期中)若事件A与事件B互为对立事件，且P(A)=0.35,则 P(B)= 4.（25-26高一上·贵州贵阳·期末)已知P(A)=0.6,P(B)=0.4,且A与B互斥，则 P(AUB)=-。 |知识点06古典概型的特征 1.（25-26高一上·广西南宁·期末)下列概率模型中，是古典概型的是（) A.从区间[0,10]内任取一个数，求取到大于5的数的概率 B.射击运动员射击一次，求命中10环的概率 C.掷一枚质地均匀的骰子，求出现偶数点的概率 D.在适宜条件下，种子发芽的概率 2.（25-26高一上·海南海口·阶段检测)下列试验中，属于古典概型的是（) A.在一条线段上随机取一点，求该点恰好是端点的概率 B.从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋中任取一球，求取到红球的概率 C.测量某地某天的气温，求气温高于30°℃的概率 D.某人在十字路口遇到红灯的概率 3.（25-26高一上·宁夏银川·期中)古典概型的两个基本特征是：①试验中所有可能出现的基本 事件只有_个；②每个基本事件出现的可能性 _0 4.(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)判断下列试验是否为古典概型：（填“是”或“否”） (1)从1,2,3,4中任取一个数，求取到偶数的概率。 (2）在圆内随机取一点，求该点落在圆心的概率。 |知识点07古典概型概率的计算 1.（25-26高一上·山东青岛·期末)掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数大于4的概率为（) A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.2/3 2.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测)从1,2,3,4,5这5个数字中任取一个，取到奇数的概 率为() A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 3.(25-26高一上·江苏苏州·期中)一个不透明的袋子中装有5个大小相同的球，其中3个红球、2 个白球，从中任取1个球，则取到白球的概率为 4.(25-26高一上·湖南长沙·期末)从标有1,2,3,4,5的5张卡片中任取一张，则取到的卡片 标号不大于3的概率为 _0 知识点08基本事件与样本点的计数 1.（25-26高一上·浙江宁波·期未)抛掷两枚质地均匀的硬币，则基本事件的总数为() A.2 B.3 C.4 D.6 2.(25-26高一上·广东深圳·阶段检测)从甲、乙、丙3人中任选2人参加活动，则基本事件的总 数为() A.2 B.3 C.4 D.6 3.(25-26高一上·湖北宜昌·期中)掷两枚质地均匀的骰子，则基本事件的总数为 4.（25-26高一上·四川绵阳·期末)从1,2,3,4中任取两个不同的数，则基本事件的总数为 知识点09对立事件概率公式的应用 1.（25-26高一上·福建福州·期末)某射手射击一次，命中10环的概率为0.2，命中9环的概率为 0.3,命中8环的概率为0.25，则该射手射击一次命中不足8环的概率为（) A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.0.75 2.（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测)从一批产品中任取一件，取到正品的概率为0.95，则取 到次品的概率为（) A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.1 3.（25-26高一上·江西赣州·期中)掷一枚骰子一次，事件A=“出现的点数小于5”，则P(A的对立 事件) 0 4.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末)某运动员投篮一次命中的概率为0.7，则他投篮一次不命中的 概率为 丨知识点10互斥事件概率加法公式的应用 1.(25-26高一上·陕西咸阳·期末)掷一枚骰子一次，出现1点或2点的概率为（) A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.2/3 2.（25-26高一上·重庆·阶段检测)某班有40名学生，其中男生22人，女生18人，从中任选1 人，选到男生或女生的概率为() A.0 B.1/2 C.1 D.无法确定 3.(25-26高一上·吉林·期中)事件A与B互斥，P(A)=0.2,P(B)=0.35,则P(AUB)= 4.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末)某人在一次射击中，命中10环、9环、8环的概率分别 为0.15,0.25,0.30，则该人射击一次命中8环及以上（含8环)的概率为 |知识点11实际情境中的概率模型 1.(25-26高一上·山东烟台·期末)某学校从高一(1)班的5名男生和3名女生中任选1名学生参加 活动，则选到女生的概率为() A.3/8 B.5/8 C.1/3 D.3/5 2.(25-26高一上·河南洛阳·阶段检测)一个不透明的盒子里有大小相同的红球、白球和蓝球共 10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个，从中任取1个球，则取到红球或白球的概率为（) A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.6 3.(25-26高一上·山西大同·期中)某班共有50名学生，其中团员30人，非团员20人，从中任选 1人，则选到团员的概率为 4.（25-26高一上·贵州遵义·期未)某商场举行抽奖活动，中一等奖的概率为0.05，中二等奖的 概率为0.10，中三等奖的概率为0.20，则中奖（中一、二、三等奖均可）的概率为. B组能力进阶 丨一、单选题 1.(25-26高一上·山东青岛·期中)掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和为5的概率为（ A.1/9 B.1/12 C.1/6 D.5/36 2.(25-26高一上·河北衡水·阶段检测)从1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数，则这两个数 之积为偶数的概率为（) A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 3.（25-26高一上·江苏南通·期末)甲、乙两人各掷一枚质地均匀的硬币，则至少有一枚正面朝 上的概率为（) A.1/4 B.1/2 C.3/4 D.1 4.（25-26高一上·浙江温州·期中)一个袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从中一次性摸 出2个球，则恰好摸到1个红球和1个白球的概率为（) A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.3/10 5.（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测)从含有2件次品和3件正品的5件产品中任取2件，则恰好 取到1件次品的概率为（) A.3/10 B.2/5 C.3/5 D.7/10 6.（25-26高一上·广东珠海·期末)某射手射击一次，命中10环、9环、8环的概率分别为0.2， 0.3,0.25,则该射手射击一次命中不足8环的概率为（) A.0.25 B.0.3 C.0.45 D.0.75 7.（25-26高一上·福建泉州·期中)从集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数，则这两个数之 和为奇数的概率为() A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 8.（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则两次出现的点数 之积为6的概率为（) A.1/9 B.1/12 C.1/18 D.5/36 9.(25-26高一上·江西九江·期末)某小组有4名男生和3名女生，从中任选2人，则选到的2人都 是男生的概率为（) A.2/7 B.4/7 C.1/7 D.3/7 10.（25-26高一上·湖北荆州·期中)事件A与B互斥，P(A)=0.3,P(AUB)=0.7,则P(B)=（) A.0.3 B.0.4 c.0.7 D.1.0 11.（25-26高一上·四川德阳·阶段检测)从标有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则两张 卡片标号之和大于6的概率为（) A.1/5 B.2/5 C.3/10 D.3/5 12.(25-26高一上·广西桂林·期末)掷一枚质地均匀的骰子两次，则第一次点数大于第二次点数 的概率为() A.1/3 B.5/12 C.1/2 D.7/12 13.(25-26高一上·云南曲靖·期中)一个不透明的袋中装有大小相同的红球、白球和黑球共12 个，其中红球4个，白球5个，黑球3个，从中任取1个球，则取到的不是黑球的概率为（) A.1/4 B.5/12 C.3/4 D.7/12 丨二、多选题 1.(25-26高一上·山东潍坊·期末)下列说法正确的是（) A.必然事件的概率为1 B.不可能事件的概率为0 C.互斥事件一定是对立事件 D.对立事件一定是互斥事件 2.（25-26高一上·河北保定·阶段检测)掷一枚质地均匀的骰子一次，下列各组事件中，互为对 立事件的是() A.“出现点数大于3”与“出现点数不大于3” B.“出现点数为奇数”与“出现点数为偶数” C.“出现点数大于4”与“出现点数小于3” D.“出现点数为2”与“出现点数为3” 3.(25-26高一上·江苏常州·期中)从1,2,3,4,5,6中任取一个数，事件A=“取到的数大于 3”,事件B=“取到的数小于5”，则（) A.A与B不是互斥事件 B.A与B是互斥事件 C.P(A)=1/2 D.P(AUB)=5/6 4.（25-26高一上·浙江绍兴·期末)一个袋中装有大小相同的2个红球和3个白球，从中任取2个 球，则() A.基本事件总数为10 B.取到2个红球的概率为1/10 C.取到2个白球的概率为3/10 D.取到1个红球1个白球的概率为3/5 |三、填空题 1.（25-26高一上·湖南株洲·期末)掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为7的概率为 0 2.（25-26高一上·河南许昌·阶段检测)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，则这两个数之和 为偶数的概率为 0 3.（25-26高一上·山西临汾·期中)某射手射击一次命中10环的概率为0.15，命中9环的概率为 0.20,命中8环的概率为0.30，则该射手射击一次命中不足8环的概率为 4.（25-26高一上·甘肃天水·期末)从含有1件次品和4件正品的5件产品中任取2件，则恰好取到1 件次品的概率为 |四、解答题 1.(25-26高一上·山东临沂·期末)一个不透明的袋子中装有大小相同的3个红球和2个白球。 (1)从中任取1个球，求取到红球的概率； (2)从中一次任取2个球，求取到的2个球颜色相同的概率。 2.(25-26高一上·河北邯郸·阶段检测)掷一枚质地均匀的骰子两次，记录两次出现的点数。 (1)写出该试验的样本空间； (2)求两次点数之和为8的概率； (3)求两次点数之积为偶数的概率。 3。 (25-26高一上·江苏扬州·期中)从1,2,3,4,5,6,7这7个数中任取两个不同的数。 (1)求取到的两个数之和为奇数的概率； (2)求取到的两个数之积为3的倍数的概率。 4。(（25-26高一上·浙江台州·期末)某学校从高一年级的5名男生和4名女生中任选2名学生参加 比赛。 (1)求选到的2名学生都是男生的概率； (2)求选到的2名学生中至少有1名女生的概率。 5。(25-26高一上·福建莆田·阶段检测)甲、乙两人进行投篮游戏，甲投篮命中的概率为0.6， 乙投篮命中的概率为0.5，两人各投篮一次。 (1)求两人都命中的概率； (2)求至少有一人命中的概率； (3)求恰有一人命中的概率。 三、C组思维拔高 1.(25-26高一上·山东济南·期中)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数， 则这两个数之和为偶数的概率为（) A.4/9 B.5/9 C.1/2 D.3/5 2.(25-26高一上·江苏南京·阶段检测)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷3次，则3次出现的点数 之和为6的概率为() A.5/108 B.5/216 C.1/36 D.1/54 3.(25-26高一上·浙江杭州·期末)一个袋中装有大小相同的4个红球和3个白球，从中一次性摸 出3个球，则恰好摸到2个红球1个白球的概率为（) A.12/35 B.18/35 C.6/35 D.4/35 4.(25-26高一上·湖南长沙·期中)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数，则这三个数能构 成等差数列的概率为() A.1/5 B.2/5 C.3/10 D.1/10 5.(25-26高一上·广东广州·阶段检测)甲、乙、丙三人独立地破译一个密码，他们能破译出的 概率分别为1/3,1/4,1/5，则密码能被破译出的概率为（) A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 6.（25-26高一上·湖北武汉·期末)将标号为1,2,3,4,5的5张卡片随机排成一排，则标号为 1的卡片排在标号为2的卡片左边的概率为（) A.1/5 B.1/4 C.1/3 D.1/2 7.（25-26高一上·四川成都·期中)从装有3个红球和2个白球的袋中不放回地依次摸出2个球，则 第一次摸到红球且第二次摸到白球的概率为() A.3/10 B.3/5 C.2/5 D.1/5 8.(25-26高一上·福建厦门·阶段检测)掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和为偶数的 概率为() A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.2/3 9.（25-26高一上·安徽合肥·期末)从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数分别作为a, b,则方程x2+ax+b=0有实数根的概率为（) A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 10.(25-26高一上·江西南昌·期中)某商场举行抽奖活动，甲、乙、丙三人各抽一次，中奖的概 率分别为0.2,0.3,0.4，则三人中至少有一人中奖的概率为（) A.0.336 B.0.664 c.0.9 D.0.7 11.（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测)从1,2,3,4,5,6,7,8这8个数中任取两个不同的 数，则这两个数之差的绝对值为3的概率为（) A.1/7 B.5/28 C.3/14 D.1/4 12.(25-26高一上·陕西西安·期末)一个不透明的袋中装有大小相同的3个红球、2个白球和1个 黑球，从中一次性摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率为（) A.11/15 B.4/5 C.3/5 D.2/3 13.(25-26高一上·重庆·期中)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则第一次出现的点数是第 二次出现的点数的2倍的概率为（) A.1/12 B.1/9 C.1/6 D.1/4 14.（25-26高一上·吉林长春·阶段检测)从含有3件次品和7件正品的10件产品中任取3件，则恰 好取到2件次品的概率为（) A.7/40 B.21/40 C.7/120 D.21/120 15.(25-26高一上·广西南宁·期末)甲、乙两人进行象棋比赛，采取三局两胜制（先胜两局者获 胜)，每局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，则甲获胜的概率为（ A.0.36 B.0.432 C.0.648 D.0.72 16.（25-26高一上·云南昆明·期中)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中任取两个不同的 数，则这两个数之积为偶数的概率为（) A.5/9 B.13/18 C.7/9 D.5/6 17.(25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测)一个袋中装有大小相同的2个红球、3个白球和4个黑 球，从中任取2个球，则取到的2个球中至少有1个红球的概率为（) A.5/18 B.13/18 C.7/18 D.11/18 18.(25-26高一上·海南海口·期末)将1,2,3,4,5这5个数字随机排成一个五位数，则得到 的五位数是偶数的概率为() A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.1/2 四、拓展链接高考 1.(2022·全国甲卷·高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2 张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为() A.1/5 B.1/3 C.2/5 D.2/3 2.(2022·全国乙卷·高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都 入选的概率为， 3.（2021·全国甲卷·高考真题)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（) A.0.3 B.0.5 c.0.6 D.0.8 4.(2021·全国乙卷·高考真题)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于7/4的 概率为（) A.1/4 B.3/4 C.9/32 D.3/32 5.(2020·全国I卷·高考真题)设0为正方形ABCD的中心，在0，A,B,C,D中任取3点，则取 到的3点共线的概率为() A.1/5 B.2/5 C.1/2 D.4/5 6.（2020·全国川卷·高考真题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完 成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参 加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为 0.05。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率 不小于0.95，则至少需要志愿者（) A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 7.（2019·全国1卷·高考真题)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦” 由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻和阴爻两种，每个爻都等可能地取阳爻或阴爻。在所有 重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（) A.5/16 B.11/32 C.21/32 D.11/16 8.(2019·全国川卷·高考真题)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5 只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（) A.2/3 B.3/5 C.2/5 D.1/5 9.（2019·全国川卷·高考真题)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概 率是() A.1/6 B.1/4 C.1/3 D.1/2 10.(2018·全国川卷·高考真题)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为（) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 11.(2018·全国1卷·高考真题)古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形：以直角三角 形ABC的两条直角边AB,AC和斜边BC分别为直径作三个半圆，三个半圆都画在三角形ABC的外 侧。△ABC的三边所围成的区域记为l,以AB,AC为直径的两个半圆中位于以BC为直径的大半圆内 部、且不在区域内的部分（即两小半圆与大半圆之间的两个月牙形区域）合在一起记为川，大半月 圆内部除去区域和区域后剩余的部分记为川。在整个图形中随机取一点，此点取自1，川，川的概率 分别记为p1,p2,p3,则（) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 12.(2017·全国1卷·高考真题)正方形ABCD内有一个内切圆，圆内有一个按中国古代太极图方 式构造的图案：圆被一条经过圆心、平行于正方形一边的直径分成两个半圆，其中一个半圆内再挖 去一个以其半径为直径的小半圆并染成白色，另一个半圆内相应位置补上同样大小的小半圆并染成 黑色，使黑色部分与白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自 黑色部分的概率是（) A.1/4 B.π/8 C.1/2 D.π/4 13.(2017·全国川卷·高考真题)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再 随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为() A.1/10 B.1/5 C.3/10 D.2/5 14.(2016·全国1卷·高考真题)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在 个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（) A.1/3 B.1/2 C.2/3 D.5/6 15.(2016·全国川卷·高考真题)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间 为40秒。若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（) A.7/10 B.5/8 C.3/8 D.3/10 16.(2016·全国川卷·高考真题)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位 是M,1,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功 开机的概率是（) A.1/15 B.1/8 C.1/5 D.1/3 17.(2015·全国1卷·高考真题)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个 数为一组勾股数。从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（) A.3/10 B.1/5 C.1/10 D.1/20 18.(2015·全国卷·高考真题)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机 调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表。在A地区用户中随机抽取1个，其满意度评分不低于80的概率为 19.（2014·全国1卷·高考真题)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本 数学书相邻的概率为 20.(2014·全国川卷·高考真题)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服 中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 五、解析 A组巩固过关 知识点01随机现象与样本空间 【答案】C 【解析】A、B、D均为确定性现象，C中掷骰子出现偶数点事先无法确定，属于随机现象。 2.【答案】C 【解析】该试验的所有可能结果为摸到红球或摸到白球，故样本空间为摸到红球，摸到白 球}。 3.【答案】{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反} 【解析)连续抛掷硬币2次，每次有正、反两种结果，共4个样本点。 4.【答案】{(1,2)，(1,3)，(2,3)} 【解析】从3个球中任取2个，不考虑顺序，共有3种取法。 知识点02随机事件的概念与表示 1.【答案】B 【解析】骰子最大点数为6，出现7点不可能发生，为不可能事件。 2.【答案】B 【解析】标准大气压下，水在80℃不会沸腾，为不可能事件。 3. 【答案】1,3,5 【解析)奇数点包括1点、3点、5点。 4. 【答案】“取到的2件全是正品” 【解析】“至少1件次品”的对立事件是“1件次品也没有”，即全是正品。 知识点03事件的关系与运算 1.【答案】A 【解析)A={1,2},B={2,4,6},A∩B={2。 2.【答案】C 【解析】命中环数大于7与小于5不可能同时发生，但可以都不发生（如命中5、6、7环），故互 斥但不对立。 3. 【答案】{2,3} 【解析)AUB为出现的点数为2或3。 4. 【答案】BSA 【解析】A={取到两数之和为偶数}，B={取到两数均为偶数}。B发生时两数均为偶数，和必为偶 数，故BSA。 知识点04互斥事件与对立事件 1.【答案】B 【解析)A、D为对立事件；B中“大于3”与“小于3”不能同时发生，但可同时不发生（如出 现3)，故互斥但不对立；C中“大于8”与“小于5”互斥但不对立。 2.【答案】B 【解析】红桃与方块不能同时取到，互斥；但还可能取到黑桃或梅花，故不对立。 3.【答案】互斥 【解析】A={1,2,3},B={5,6},不能同时发生，但可以都不发生（出现4），故互斥但不对 立。 4.【答案】互斥但不对立 【解析)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生；但还可选到2名女生，故不对立。 知识点05概率的基本性质 1.【答案】B 【解析】必然事件概率为1，B正确；概率为0的事件不一定是不可能事件（如几何概型中取到 某一点)，C、D错误；A中必然事件概率为1，不在(0,1)内，错误。 2. 【答案】B 【解析)A与B互斥，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8。 3. 【答案】0.65 【解析】对立事件概率之和为1，P(B)=1-0.35=0.65。 4.【答案】1 【解析】P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。 知识点06古典概型的特征 1. 【答案】C 【解析】C中基本事件有限且等可能，为古典概型；A、B、D中基本事件无限或不等可能。 2.【答案】B 【解析】B中基本事件有限(5个球)且等可能，为古典概型。 3.【答案)有限；相等 【解析)古典概型的两大特征：基本事件有限，每个基本事件等可能发生。 4. 【答案】(1)是(2）否 【解析】(1)基本事件有限且等可能，是古典概型；(2)基本事件无限，不是古典概型。 知识点07古典概型概率的计算 1.【答案)B 【解析】点数大于4有5、6两种情况，P=2/6=1/3。 2. 【答案】C 【解析)奇数有1,3,5共3个，P=3/5。 3. 【答案】2/5 【解析)白球2个，总球数5个，P=2/5。 4.【答案】3/5 【解析)标号不大于3的有1,2,3共3张，P=3/5。 知识点08基本事件与样本点的计数 1. 【答案】C 【解析)样本空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个基本事件。 2. 【答案】B 【解析)从3人中选2人，有甲乙、甲丙、乙丙共3种。 3. 【答案】36 【解析】每枚骰子6种结果，共6×6=36个基本事件。 4 【答案】6 【解析】从4个数中任取2个，有C(4,2)=6种。 知识点09对立事件概率公式的应用 1.【答案】B 【解析】命中8环及以上的概率为0.2+0.3+0.25=0.75，故命中不足8环的概率为1-0.75=0.25。 2.【答案】A 【解析】取到次品的概率为1-0.95=0.05。 3. 【答案】1/3 【解析】A={1,2,3,4},P(A)=4/6=2/3,对立事件概率为1-2/3=1/3。 4.【答案】0.3 【解析】不命中的概率为1-0.7=0.3。 知识点10互斥事件概率加法公式的应用 1.【答案】B 【解析】出现1点或2点为互斥事件，P=1/6+1/6=1/3。 2.【答案】C 【解析】选到男生或女生为必然事件，概率为1。 3. 【答案】0.55 【解析)P(AUB)=P(A)+P(B)=0.2+0.35=0.55。 4. 【答案】0.70 【解析)】命中8环及以上为互斥事件之和，P=0.15+0.25+0.30=0.70。 知识点11实际情境中的概率模型 1.【答案】A 【解析】女生3人，总人数8人，P=3/8。 【答案】C 【解析)红球或白球共7个，P=7/10=0.7。 3. 【答案】3/5 【解析)】团员30人，总人数50人，P=30/50=3/5。 4.【答案】0.35 【解析】中奖为互斥事件之和，P=0.05+0.10+0.20=0.35。 |B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】A 【解析】点数之和为5的组合有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种，P=4/36=1/9。 2. 【答案】D 【解析)】两数之积为偶数即至少有一个偶数。偶数有2,4,6共3个，奇数有1,3,5共3个。 总取法C(6,2)=15,两数均为奇数的取法C(3,2)=3,故积为偶数的概率为1-3/15=4/5。 3.【答案】C 【解析】至少一枚正面朝上的对立事件为两枚都反面朝上，概率为1/4，故所求为1-1/4=3/4。 4。 【答案】C 【解析】总取法C(5,2)=10,恰好1红1白的取法为3×2=6，P=6/10=3/5。 5.【答案)c 【解析)总取法C(5,2)=10,怡好1件次品的取法为2×3=6，P=6/10=3/5。 6.【答案】A 【解析)命中8环及以上概率为0.2+0.3+0.25=0.75，不足8环概率为1-0.75=0.25。 7.【答案】C 【解析】两数之和为奇数即一奇一偶。奇数3个，偶数2个，取法为3×2=6，总取法C(5, 2)=10,P=6/10=3/5。 8. 【答案】A 【解析】点数之积为6的组合有(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)共4种，P=4/36=1/9。 9 【答案】A 【解析】总取法C(7,2)=21,都是男生的取法C(4,2)=6,P=6/21=2/7。 10.【答案】B 【解析】P(AUB)=P(A)+P(B),故P(B)=0.7-0.3=0.4。 11.【答案】B 【解析】总取法C(5,2)=10,和大于6的组合有(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共4种， P=4/10=2/5。 12.【答案】B 【解析】总情况36种，两次点数相等6种，剩余30种中第一次大于第二次与第二次大于第一次 各占一半，即15种，P=15/36=5/12。 13.【答案】C 【解析】黑球3个，不是黑球的有9个，P=9/12=3/4. 二、多选题 1。 【答案】ABD 【解析】A、B为概率基本性质，正确；对立事件一定是互斥事件，D正确；互斥事件不一定是 对立事件，C错误。 2. 【答案】AB 【解析】A中“大于3”与“不大于3”必有一个发生且不能同时发生，为对立事件；B中奇数与 偶数必有一个发生且互斥，为对立事件；C、D为互斥但不对立。 3. 【答案】AC 【解析】A={4,5,6},B={1,2,3,4},A∩B={4}≠O,不是互斥事件，A正确B错误； P(A)=3/6=1/2,C正确；AUB={1,2,3,4,5,6},P(AUB)=1,D错误。故选AC。 4. 【答案】ABCD 【解析】总取法C5,2)=10,A正确；2个红球取法C(2,2=1,P=1/10,B正确；2个白球取法 C(3,2)=3,P=3/10,C正确；1红1白取法2×3=6，P=6/10=3/5,D正确。故选ABCD。 三、填空题 【答案】1/6 【解析】和为7的组合有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种， P=6/36=1/6。 2. 【答案】2/5 【解析】两数之和为偶数即两数同奇或同偶。奇数3个取2个有3种，偶数2个取2个有1种，共4 种，总取法C(5,2)=10,P=4/10=2/5。 3. 【答案】0.35 【解析】命中8环及以上概率为0.15+0.20+0.30=0.65，不足8环概率为1-0.65=0.35。 4.【答案】2/5 【解析)总取法C(5,2)=10,恰好1件次品的取法为1×4=4，P=4/10=2/5。 四、解答题 1.【答案】(1)3/5；(2)2/5 【解析】(1)红球3个，总球数5个，P=3/5。 (2)总取法C(5,2)=10.2个红球取法C(3,2)=3,2个白球取法C(2,2)=1,颜色相同共4种， P=4/10=2/5。 2.【答案】(1)见解析；(2)5/36；(3)3/4 【解析)(1)样本空间2={(i,j)i,j=1,2,3,4,5,6},共36个样本点。 (2）和为8的组合有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)共5种，P=5/36。 (3)积为偶数的对立事件为积为奇数，即两次均为奇数，有3×3=9种，P=1-9/36=3/4。 3.【答案】(1)4/7；(2)11/21 【解析】(1)总取法C(7,2)=21。两数之和为奇数即一奇一偶，奇数有1,3,5,7共4个，偶 数有2,4,6共3个，取法为4×3=12，P=12/21=4/7。 (2)两数之积为3的倍数即至少有一个是3的倍数。3的倍数有3,6共2个，非3的倍数有5个。 总取法21，两数均非3的倍数的取法C(5,2)=10,故所求为1-10/21=11/21。 4.【答案】(1)5/18；(2）13/18 【解析】(1)总取法C(9,2)=36,都是男生的取法C(5,2)=10,P=10/36=5/18。 (2)至少有1名女生的对立事件为2名都是男生，P=1-5/18=13/18。 5. 【答案】(1)0.3；(2）0.8；(3)0.5 【解析】(1)两人都命中概率为0.6×0.5=0.3。 (2)至少一人命中的对立事件为两人都不中，概率为(1-0.6)×(1-0.5)=0.4×0.5=0.2，故所求 为1-0.2=0.8。 (3)恰有一人命中为甲中乙不中或甲不中乙中，概率为0.6×0.5+0.4×0.5=0.3+0.2=0.5。 |C组思维拔高 1.【答案】A 【解析】两数之和为偶数即同奇或同偶。奇数5个(1,3,5,7,9)，偶数4个(2,4,6， 8)。同奇取法C(5,2)=10,同偶取法C(4,2)=6,共16种，总取法C(9,2)=36, P=16/36=4/9。 2. 【答案】A 【解析】3次点数之和为6的正整数解（每数1~6）有：(1,1,4)及其排列3种，(1,2,3)及其 排列6种，(2,2,2)1种，共10种，P=10/216=5/108。 3. 【答案】B 【解析】总取法C(7,3)=35,恰好2红1白取法为C(4,2)×C(3,1)=6×3=18,P=18/35。 4.【答案】C 【解析】总取法C(6,3)=20。能构成等差数列的三元组有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4， 5),(4,5,6),(1,3,5),(2,4,6),共6组。P=6/20=3/10。故选C。 5. 【答案】C 【解析)密码不能被破译的概率为(1-1/3)×(1-1/4)×(1-1/5)=2/3×3/4×4/5=2/5，故能被破译 的概率为1-2/5=3/5。 6. 【答案】D 【解析】1在2左边与1在2右边对称，概率各为1/2。 7.【答案】A 【解析)第一次摸到红球概率为3/5，第二次摸到白球概率为2/4=1/2，P=3/5×1/2=3/10。 8. 【答案】C 【解析】两枚骰子点数之和为偶数即同奇或同偶。两枚均为奇数有3×3=9种，均为偶数有 3×3=9种，共18种，P=18/36=1/2。 9 【答案】8/15 【解析)方程有实数根需a2-4b≥0。从{1,2,3,4,5,6}中取a,b(a≠b),总取法 6×5=30。满足条件的有：a=2时b=1,1种；a=3时b=1,2,2种；a=4时b=1,2,3,3种； a=5时b=1,2,3,4,6,5种；a=6时b=1,2,3,4,5,5种；共1+2+3+5=16种， P=16/30=8/15。 10. 【答案】B 【解析】至少一人中奖的对立事件为三人都不中，概率为0.8×0.7×0.6=0.336，故所求为1 0.336=0.664。 11. 【答案】B 【解析】差的绝对值为3的组合有(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,7)，(5,8)共5组，总取法 C(8,2)=28,P=5/28。 12.【答案】A 【解析】总取法C(6,2)=15,颜色相同取法为C(3,2)+C(2,2)+C(1,2)=3+1+0=4,颜色不同 取法为15-4=11，P=11/15。 13.【答案】A 【解析)第一次是第二次的2倍的情况有(2,1)，(4,2)，(6,3)共3种，P=3/36=1/12。 14.【答案】A 【解析)总取法C(10,3)=120,恰好2件次品1件正品取法为C(3,2)×C(7,1)=3×7=21, P=21/120=7/40。 15.【答案】C 【解析】甲2：0获胜概率0.36，甲2：1获胜概率为C(2, 1)×0.6×0.4×0.6=2×0.6×0.4×0.6=0.288,总概率0.36+0.288=0.648。 16. 【答案】B 【解析】两数之积为偶数的对立事件为两数均为奇数。奇数有1,3,5,7,9共5个，取法 C(5,2)=10,总取法C(9,2)=36,故所求为1-10/36=26/36=13/18。 17.【答案】5/12 【解析)总取法C(9,2)=36,没有红球的取法C(7,2)=21,至少有1个红球的取法为36 21=15,P=15/36=5/12。 18. 【答案】B 【解析】五位数为偶数即末位为2或4。末位为2时其余4位任意排列有4！=24种，末位为4时同理 24种，共48种，总排列5！=120种，P=48/120=2/5。 拓展链接高考 1.【答案】C 【解析】总取法C(6,2)=15。积为4的倍数的组合有：(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,5)，(4， 6),(2,6)共6种，P=6/15=2/5。 2.【答案】3/10 【解析)从5人中选3人总取法C(5,3)=10,甲、乙都入选即再从其余3人中选1人，有3种， P=3/10。 3. 【答案】C 【解析】3个1和2个0排成一行的总排法为C(5,2)=10(选2个位置放0)。2个0不相邻的排法： 先排3个1形成4个空位，选2个放0有C(4,2)=6种，P=6/10=0.6。 4. 【答案】C 【解析】设x∈(0,1)，y∈(1,2)，则(x,y)构成矩形区域，面积为1。满足x+y>7/4的区域为 矩形中直线x+y=7/4上方的部分，计算得面积=9/32，故P=9/32。故选C。 5. 【答案】A 【解析)从5点中任取3点总取法C(5,3)=10.3点共线只有0、A、C和0、B、D两种情况（对 角线)，P=2/10=1/5。 6. 【答案】B 【解析】第二天需完成积压500份+新订单（不超过1600份的概率0.95，即需处理至多 500+1600=2100份)。每天能完成1200份，需志愿者完成至少2100-1200=900份，每人50份， 需900÷50=18人。 7.【答案】A 【解析】每个爻有阳文、阴爻两种等可能取法，6个爻共有26=64种重卦。恰有3个阳爻的取法 为从中选3个位置放阳爻，共C(6,3)=20种，故所求概率为20/64=5/16。 8.【答案】B 【解析】总取法C(5,3)=10,恰有2只测量过的取法为C(3,2)×C(2,1)=3×2=6, P=6/10=3/5。 9. 【答案】D 【解析】4人随机排列总排法41=24。两位女同学相邻的排法：将两女生捆绑，有3！×2=12种， P=12/24=1/2。 10. 【答案】D 【解析】总取法C(5,2)=10,都是女生的取法C(3,2)=3,P=3/10=0.3。 11. 【答案】A 【解析】设直角三角形两直角边为a,b,斜边为c。区域I面积S1=ab/2。以AB,AC为直径的两 小半圆面积之和为π/8(a2+b2)=π/8c2，恰等于以BC为直径的大半圆面积，而区域正是两小半 圆面积之和减去区域1，即S2=π/8c2-S1;又大半圆面积也为π/8c2,由对称构造计算得S2=S1。 故p1=p2o 12. 【答案】B 【解析】设正方形边长为2，则内切圆半径为1，圆面积为π。由太极图的对称构造，黑色部分 面积等于圆面积的一半，即π/2。正方形面积为4，故所求概率为（π/2）/4=π/8。 13. 【答案】D 【解析】有放回抽取两次，总情况25种。第一张大于第二张的情况：第二张为1时第一张可取 2~5共4种；第二张为2时第一张可取3~5共3种；第二张为3时2种；第二张为4时1种，共10种， P=10/25=2/5。 14. 【答案】C 【解析】从4种花中选2种种在一个花坛，总取法C(4,2)=6。红色和紫色在同一花坛的取法为2 种（红紫同在第一花坛或同在第二花坛），故不在同一花坛的取法为6-2=4，P=4/6=2/3。 15. 【答案】B 【解析】红灯持续40秒，至少等待15秒即行人到达时红灯已亮至少15秒，剩余红灯时间不超过 25秒。概率为(40-15)/40=25/40=5/8。 16. 【答案】A 【解析)第一位有3种可能，第二位有5种可能，共15种组合，正确密码只有1个，P=1/15。 17.【答案】C 【解析】从5个数中任取3个总取法C(5,3)=10。勾股数只有(3,4,5)一组，P=1/10。 18. 【答案】0.4 【解析】由频率分布直方图，满意度评分不低于80的频率为(0.02+0.02)×10=0.4，故概率为 0.40 19. 【答案】2/3 【解析】3本书随机排列总排法3！=6.2本数学书相邻的排法：捆绑后与语文书排列有2！×2=4 种，P=4/6=2/3。 20. 【答案】1/3 【解析】甲、乙各选一种颜色，总情况3×3=9种，颜色相同的情况有3种（都选红、都选白、 都选蓝)，P=3/9=1/3。