10.1 随机事件与概率 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.1 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*已知非空集合A,B,且集合A是集合B的4.*(2025·天津和平区高一期末)冰雹猜想 真子集，有下面4个命题：①“若x∈A,则x∈ 又称考拉兹猜想、3x+1猜想等，其描述为：任 B”是必然事件；②“若x生A,则x∈B”是不可 一正整数x,如果是奇数就乘3再加1，如果是 能事件；③“若x∈B,则x∈A”是随机事件； 偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数 ④“若x庄B,则xA”是必然事件其中正确的 字1.例如：给出正整数5，则进行这种反复运 命题有 ( 算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数 2.*(2025·河北石家庄高二月考)下列事件 6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律 中，必然事件的个数是 ( 进行运算，则运算次数均为偶数的概率为 ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标 准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1,2， 3 c.而 7 5 3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； A. D. 10 6 ④向量的模不小于0. 5.*（多选)(2025·安徽合肥高一期末)在一 A.1 B.2 C.3 D.4 个不透明的袋子中，装有大小、材质均相同的 3.**（2025·重庆九龙坡区高一期末)如图， 2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个 一个正八面体的八个面分别标有数字1到8， 球，记R,=“第i次取到红球”，G,=“第i次取 任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面 到绿球”，其中=1,2，则下列说法正确的是 接触的面上的数字，得到样本空间2={1,2， （) 3,4,5,6,7,8},记事件A=“得到的点数为偶 A.若有放回地抽取，则P(R1)=P(R2)= 数”，记事件B=“得到的点数大于4”，记事件 C=“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正 PrGJ=PG-写 确的是 B.若有放回地抽取，则P(RG2)= 6 25 C.若不放回地抽取，则P(RG,)=10 D,若不放回地抽取，测P(R+G) A.事件B与C互斥，A与C相互对立 6.*(2025·河南郑州高一月考)已知六个数 B.P(AUB)= 5 1,2,3,4,5,6,从中随机选取四个数记为a, C.P(AB)=P(A)P(B)〉 b,c,d(a<b<c<d),则a+d=b+c的概率 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为 必修第二册·RJ黑白题136 7.*(2025·辽宁沈阳高一期末)算盘是我国10.整(2025·安徽蚌埠高一期末)某班元日 古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工 联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的 具，现有一把初始状态的算盘如图所示，自右 盒子里装有标号为1,2的两个红球和标号为 向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上 3,4,5的三个白球，五个小球除颜色外完全 面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子 相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回 (简称下珠)代表1，五粒下珠表示的数的大小 地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置 等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个 一、二、三等奖班委会讨论了以下两种规则： 位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上， 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获 表示15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分 等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二 别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M=“表 等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖， 示的四位数能被3整除”，N=“表示的四位数 其余不获奖； 能被5整除”，则P(MUN)+P(MN)= 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获 档 研上珠 一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获 二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等 下 奖，其余不获奖（以获得最高奖为准） 8.*(2025·云南昆明高一月考)已知正整数 (1)请以标号(x,y)写出两次抽取小球的所 n,欧拉函数p(n)表示1,2，…，n中与n互质 有结果（其中x,y分别为第一、第二次抽 的整数的个数，例如，p(4)=2,p(10)=4,且 到的小球标号)； a,b互质时，p(ab)=p(a)p(b).若从1,2，…， (2)求两种规则下获得二等奖的概率； 10中随机取一个数m,则满足p(2m)= (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明 p(3m)的概率为 理由。 9.整(2025·湖北鄂州高二期中)有4名同学 下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后 把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿 起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事 压轴挑战 件的概率。 然(2025·广东深圳中学高一期 (1)恰有两名同学拿对了书包； 末)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡 (2)至少有两名同学拿对了书包： 片上标有一个数字，甲的卡片上分别 (3)书包都拿错了. 标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2， 4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人 各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所 选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字 小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四 轮比赛后，甲的总得分为2的概率为 第十章黑白题137压轴挑战 2解析：记“一号列车准点到站”为事件M,“二号列车准点到站”为 事件N,则P(M0=分，P(N)=子，P(M+m=子 由P(M+)=P(M)+P()-P(M),故P(MN)=2,由P(M)= P(MW)+P(M),则P(MW)=子，故P(A+B)=P(MN+N) P(M而+P()=立P(m, 而P(W=P(m+P(),即子-+P(),故P(W=子，则 7 P(A+B)= 2+P(MN)=2 10.1阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题故选C. 2.A解析：对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下 雨，所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件：对于②，在标 准大气压下，水在0℃时结冰而不是在4℃时结冰，故为不可能事 件：对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定 是否为1号签，所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为 1号签为随机事件：对于④，因为向量的模大于等于0，所以向量的模 不小于0，故为必然事件.综上：①③为随机事件，②为不可能事 件，④为必然事件 3.C解析：记事件A=“得到的点数为偶数”，即A={2,4,6,8,记事件 B=“得到的点数大于4”，即B={5,6,7,8,记事件C=“得到的点数 为3的倍数，即C=3,61,则P(A)=音=2，P(B)=令 8 P(C-子对于A:AnC=6,BnC=6,故事件B与C 1 不互斥，A与C不相互对立，A错误；对于B:AUB={2,4,5,6,7,8}, P(AUB)6≠放B错误：对于C:AnB=6,8,PAB） PAnB=,PA)=7,P(B)=,故P氏A)=P(A)P(B),C正 确：对于D:40BOC=-6,P(4Bc)=P(4nBnC)=名，放 P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),D错误 4.A解析：按照题中运算规律，正整数6的运算过程为6→3→10→ 5→1684→2→1，运算次数为8；正整数7的部分运算过程为 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10，当运算到10时，运 算次数为10，由正整数6的运算过程可知，正整数7总的运算次数为 10+6=16:正整数8的运算次数为3：正整数9的部分运算过程为 928→14→7，当运算到7时，运算次数为3，由正整数7的运算过程 可知，正整数9总的运算次数为3+16=19.由正整数6的运算过程可 知，正整数10的运算次数为6；故正整数6,7,8,9,10的运算次数分 别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，从正整数6,7,8,9,10中任取2个 数的可能情况为(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7， 10),(8,9),(8,10),(9,10),共10种，其中运算次数均为偶数的可 能情况为(6,7)，(6,10)，（7,10)，共3种，故运算次数均为偶数的概 率为品 5.BCD解析：给大小、材质均相同的2个红球编号为a,b,3个绿球编 号为c,d,e,若有放回地抽取，则样本空间2={(x,y)1x,y∈{a,b,c, d,e},共包含25个样本点，其中第一次摸到红球，有{(x,y)1x∈ {a,b,y∈{a,b,c,d,e},其中包含l0个样本点，第二次摸到红球， 有{(x,y)lxe{a,b,c,d,e},y∈{a,b},其中包含l0个样本点，第 一次摸到绿球，有{(x,y)lxe{c,d,e,y∈{a,b,c,d,e},其中包含 必修第二册·RJ 15个样本点，第二次摸到绿球，有{(x,y)Ix∈{a,b,c,d,e},y∈{c, 2 d,©，其中包含15个样本点，所以P(R)=P(R,)=了，P(G)= P(G)=亏，故A错误；因为事件RG,有1(x,y)lxea,b,yec, d.e1,其中包含6个样本点，所以P(RG)=名，放B正确：若不放 回地抽取，则样本空间2={ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce, da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed,共含有20个样本点，因为事件R1G2有 - ac,d,ae,c,bd,be,其中包含6个样本点，所以P(R,G,)=20 0,故C正确；因为事件R1+G,有{ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,cd,ce, c,d也，e,,其中包含14个样本点，所以P(R+G)200敌 D正确， 7 6.5 解析：从1,2,3,4,5,6中随机选取四个数构成{a,b,c,d,则有 {1,2,3,4},1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,4,5},{1,2,4,6,11,2, 5,6},1,3,4,5},{1,3,4,6},{1,3,5,6},{1,4,5,6},{2,3,4,5}, 2,3,4,6},{2,3,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},共15种可能，其中 a+d=6+c的有{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,5,6}，{1,3,4,6}，{2 3,45,2,3,5,6,3,4,5,6,共7种，故a+d=b+c的概率为7 151 7 1.8 解析：因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，因 为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，所以所得的 四位数的个数为24=16（个），能被3整除的四位数，数字1和5各出 现2个，这样的四位数有1155,1515,1551,5511,5115,5151，共 6个，所以P()=名。，能被5整除的四位数，个位上的数字为 5,则这样的四位数为1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155， 5,共8个，所以P(&=子，所以P(MUN+P(M 3.17 P(M)+P()=8+2=8 8.名解析：当m=1时，p(2)=1,p(3)=2,此时p(2m)≠p(3m); 5 当m=2时，p(4)=2,p(6)=2,此时p(2m)=p(3m);当m=3时， p(6)=2,p(9)=6,此时p(2m)≠p(3m);当m=4时，p(8)=4, p(12)=4,此时p(2m)=p(3m);当m=5时，p(10)=4,p(15)=8, 此时p(2m)≠p(3m);当m=6时，p(12)=4,p(18)=6,此时 p(2m)≠p(3m);当m=7时，p(14)=6,p(21)=12,此时p(2m）≠ p(3m);当m=8时，p(16)=8,p(24)=8,此时p(2m)=p(3m); 当m=9时，p(18)=6,p(27)=18,此时p(2m)≠p(3m);当m= 10时，p(20)=8,p(30)=8,此时p(2m)=p(3m).所以从1,2，…，10 中随机取一个数m,则满足p(2m)=p(3m)的数m的取值集合为 42 124,8,10,故所求概率为10了 9.解：(1)设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的所有 可能可表示为(A,B,C,D),(A,B,D,C),（A,C,B,D),(A,C,D,B), (A,D,B,C),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(B,A,D,C),(B,C,A,D), (B,C,D,A),(B,D,A,C),(B,D,C,A),(C,A,B,D),(C,A,D,B), (C,B,A,D),(C,B,D,A),（C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A,B,C), (D,A,C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,A,B),(D,C,B,A), 共有24种情况.恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为 (A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),(C,B,A,D), (D,B,C,A),故其概率P=244 .61 (2)至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为(A,B,C, D),(A,B,D,C),(A,C,B,D),(A,D,C,B),(B,A,C,D),（C,B,A, 黑白题084 D),(D,B,C,A),故其概率P=24 7 (3)书包都拿错了包含9个样本点，分别为(B,A,D,C),(B,C, D,A),(B,D,A,C),(C,A,D,B),（C,D,A,B),(C,D,B,A),(D,A, 93 B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A),故其概率P=248 10.解：(1)两次抽取小球的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，（1,3)，（1， 4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3, 3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5). (2)记规则一中获得二等奖为事件A2,记规则二中获得二等奖为事 件B2, 事件A2包含(3,3)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(5,5)五个样本点，故 51 P(A2)=25=5 事件B2包含(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)五个样本点，故 p(B,)=255 51 (3)两种规则获奖的概率一样大.记规则一中获得一等奖为事 件A1,获得三等奖为事件A3,规则二中获得一等奖为事件B1,获得 三等奖为事件B3: 2 事件A1包含(1,1)，(2,2)两个样本点，P(A)F25 事件A3包含(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)， (4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4)十二个样本点，P(4)=25 12 .规则一获奖的概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 2+1+12-19 2552525 事件B,包含(1,2)，(2,1)两个样本点，P(B)=2 事件B3包含(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)， (3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)(在B2中已经记录，不 2 再计算)，十二个样本点，P(B3)=25 ∴.规则二获奖的概率为P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)= 21,1219 2552525 .两种规则获奖的概率一样大 压轴挑战 11 24 解析：根据题意，不妨假设甲的卡片顺序为7,5,3,1，则乙的卡片 顺序共有4×3×2×1=24（种），甲得2分，所选卡片情况为：①甲所得分 的卡片为7,5，则(7,6)，(5,4)，(3,8)，(1,2)：(7,6)，(5,2)，(3,4)， (1,8);(7,6),(5,2),(3,8),(1,4):(7,4),(5,2),(3,8),(1,6);(7, 4),(5,2),(3,6),(1,8);(7,2),(5,4),(3,8),(1,6);(7,2),(5,4) (3,6),(1,8)共7种情况.②甲所得分的卡片为7,3，则(7,6)，(3,2) (5,8),(1,4);(7,4),(3,2),(5,6),(1,8);(7,4),(3,2),(5,8),(1, 6).共3种情况.③甲所得分的卡片为5,3，则(5,4)，(3,2)，（7,8)，(1， 6),共1种情况所以甲的总得分为2的概率P=24-24 7+3+111 10.2事件的相互独立性 白题 基础过关 1.D解析：事件A与B没有包含关系，A选项错误；事件AB={2,4}≠ ⑦，所以A与B不互斥也不对立，B,C选项错误；P(A)=三： 6-29 63,P(AB)=21 P(B)=42 6=3P(AB)=P(A)P(B),所以事件A 与B相互独立，D选项正确. 2C解析：由题意可知P(A)三，P(B)=,P(C)=8-2 273 P(D)=36年，事件BD表示第一次任意掷，第二次掷出的点数为 参考答案 衡数则P)=子面P公代D)=宁×子-名D) 故事件B与事件D不相互独立，选项A错误；事件AD表示第一次掷 出的点数为奇数，第二次掷出的点数为偶数，则P(AD)=364 3×31 133 而P(A)P(D)=2X令≠P(AD),故事件A与事件D不相互独 立，选项B错误：事件AC表示两次掷出的点数均为奇数，则P(AC)= ,而P(A)P(C)=2×2=41 -X- 】=P(AC),故事件A与事件C 相互独立，选项C正确：事件CD表示两次掷出的点数均为偶数，则 1.33 P(CD)=P(C)P(D)=2X4= -≠P(CD),事件C与 事件D不相互独立，选项D错误 方法总结 判断两个事件是否相互独立的方法： (1)根据生活常识进行判断；(2)通过概率计算进行判断，若 P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立；反之，若 P(AB)≠P(A)P(B),则事件A与事件B不相互独立， 3.A解析：由题意两人都命中的概率为0.5×0.4=0.2 4.C解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一 个红球”为事件A2,则P(A1)=3,P(A,)=2,且A1,A2相互独立， 则2个球中恰有1个红球的概率为P(A1)P(A2)+P(A,)P(A2)= 11 5.A解析：此时灯亮由三个独立事件组成，即A,B开关同时闭合、只 闭合A、只闭合B,而它的对立事件是A,B都不闭合，所以灯亮的概 率P=1(号)×(14)2 6. 3 4 ,解析：设两个独立事件A和B发生的概率分别为x,y,则(1 x)(1-y)=16“A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相 同1y)01-),即xy(1-)2=6解得=子，事 3 3 件A发生的概率P(A)= 年故答案为子 1.解()依题意，无人答对该道试题的概率为(1-号)×(1分)）× (号)g (2)至少有两人答对该道试题的概率为了×2×了+3×2 11211 ×1 四方法总结 在求事件的概率时，有时会遏到求“至少”或“至多”等事件概率的 问题，如果从正面考虑这些问题，求解过程比较繁琐，当这些事件的 对立事件十分简单，并且其概率极易求出时，可逆向思考，先求出其 对立事件的概率，再利用差事件的概率公式求解。 黑题 应用提优 1.C解析：在①中，M,N不是相互独立事件；在②中，P(M)= 2 P()=子，P(M)=子=P(M)P(),因此M,N是相互蕴立事件； 在③中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M,N是相互独 立事件 2.BCD解析：对于A,由ACB,得若A发生，则B一定发生，所以事 件A,B不相互独立，故A错误；对于B,由A=0,可得A∩B=☑，所 以P(AB)=0=P(A)P(B),所以事件A,B相互独立，故B正确；对于 C,因为P(AB)=P(A)P(B),所以事件A,B相互独立，所以事件A,B 黑白题085