第8章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直分层作业-2026-2027学年高中数学必修第二册分层作业（人教A版）

8.6空间直线、平面的垂直分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01直线与平面垂直的判定 知识点02直线与平面垂直的性质 知识点03直线与平面所成的角 知识点04点到平面的距离 知识点05平面与平面垂直的判定 知识点06平面与平面垂直的性质 知识点07二面角的概念与度量 知识点08线线垂直的判定与证明 知识点09线面垂直与面面垂直的综合判定 知识点10垂直关系中的命题辨析 知识点11垂直关系的简单应用 知识点12线面角与距离的简单计算 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 、A组巩固过关 知识点01直线与平面垂直的判定 1.(25-26高一上·山东济南·期末)若直线1与平面α内的两条相交直线都垂直，则1与a的位置 关系是() A.ICa B.l∥a C.lLa D.I与a斜交 2.(25-26高一上·河北石家庄·阶段检测)已知直线a,b和平面a,下列条件中能判定a⊥a的 是（) A.a⊥b,bCa B.a与a内无数条直线垂直 C.a垂直于a内某三角形的两条边 D.a∥b,b⊥a 3.（25-26高一上·江苏南京·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面ABCD垂直的棱共有 条。 4.(25-26高一上·浙江杭州·期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,AA1=3,D为BC的 中点，求证：AD⊥平面BCC1B1o 知识点02直线与平面垂直的性质 1.(25-26高一上·湖南长沙·阶段检测)若直线a⊥a,b⊥a,则a与b的位置关系是（) A.相交 B.异面 C.平行 D.以上都有可能 2.(25-26高一上·福建福州·期末)已知直线lL平面a,直线mCa,则1与m的关系是（) A.平行 B.垂直 C.异面且不垂直 D.相交但不垂直 3.(25-26高一上·广东广州·期中)若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线的位置关系是 4.(25-26高一上·湖北武汉·阶段检测)已知PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PA与BC的位 置关系是 知识点03直线与平面所成的角 1.（25-26高一上·四川成都·期末)若直线l与平面a所成的角为30°，直线mCa,则l与m所 成角的取值范围是() A.[30°，90] B.[0°，90] C.[30°，60] D.[0°，30] 2.（25-26高一上·重庆·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面ABCD所成角 的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 3.(25-26高一上·陕西西安·期中)若直线1与平面α所成的角为60°，则1与a内所有直线所成 角的最小值为 4.(25-26高一上·辽宁大连·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=2√「2，求直 线AC1与平面ABCD所成角的大小。 |知识点04点到平面的距离 1.(25-26高一上·安徽合肥·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1CD1中，棱长为2，则点A到平面 A1BD的距离为（) A.2√厂3/3 B.43/3 C.√厂3 D.2wΓ6/3 2.（25-26高一上·江西南昌·期末)已知PA⊥平面ABC,PA=3,AB=4,AC=5,BC=3,则点P 到直线BC的距离为 3.(25-26高一上·山西太原·期中)在正三棱锥P-ABC中，底面边长为2，侧棱长为√「5，则点P 到底面ABC的距离为 4.(25-26高一上·河南郑州·阶段检测)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点B1到平 面ACD1的距离。 知识点05平面与平面垂直的判定 1.(25-26高一上·吉林长春·期末)已知直线lL平面α，IC平面B,则（) Aa∥B B.a⊥B C.a与B相交但不垂直 D.以上都有可能 2.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,ABCD 为矩形，则平面PAB与平面PAD的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 3.(25-26高一上·云南昆明·期中)若平面αL平面B,平面Y∥平面α，则平面y与平面阝的位 置关系是 4.（25-26高一上·广西南宁·期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PAL底面 ABCD,求证：平面PAC⊥平面PBD。 |知识点06平面与平面垂直的性质 1.(25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测)若平面a⊥平面B,a∩B=l,aCa,a⊥l,则() A.a/B B.a⊥B C.a与B斜交 D.aCβ 2.(25-26高一上·贵州贵阳·期末)已知平面α⊥平面B,点P∈α，P生β，则过点P垂直于B的 直线() A.只有一条，且不在a内 B.只有一条，且在a内 C.有无数条 D.不存在 3.(25-26高一上·宁夏银川·期中)若平面aL平面β，平面αL平面Y,则平面阝与平面y的位 置关系是 4.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)已知平面aL平面B,a∩β=l,ABCa,AB⊥l, BCCβ，求证：AB⊥BCo 知识点07二面角的概念与度量 1.(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期未)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的正切 值为() A.√2/2 B.√2 C.√Γ3/3 D.√Γ3 2.(25-26高一上·山东青岛·阶段检测)在正四面体ABCD中，二面角A-BC-D的余弦值为（) A.1/3 B.3/3 C.1/2 D.√Γ2/2 3.(25-26高一上·江苏苏州·期中)若二面角α--阝的大小为120°，则其两个半平面所在平面所 成的角为 4.(25-26高一上·浙江宁波·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1,AA1=1,求二 面角C1-AB-C的大小。 |知识点08线线垂直的判定与证明 1.(25-26高一上·湖南株洲·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD1的位置关系是 () A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.异面且不垂直 2.(25-26高一上·福建厦门·期末)已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,则PB与BC的位置关系是（ A.平行 B.垂直 C.异面且不垂直 D.无法确定 3.(25-26高一上·广东深圳·期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1与BC1所成角的大小为 4.（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：BD1⊥AC。 |知识点09线面垂直与面面垂直的综合判定 1.(25-26高一上·四川绵阳·期末)已知PA⊥平面ABCD,ABCD为菱形，则下列结论中不一定 成立的是() A.BDL平面PAC B.BD⊥PC C.平面PAB⊥平面ABCD D.AC⊥平面PBD 2.(25-26高一上·重庆万州·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,AB⊥AD, AB∥CD,AB=2AD=2CD,则下列结论中正确的是（) A.BD⊥平面PAC B.BC⊥平面PAC C.平面PAB⊥平面PBC D.平面PAD⊥平面PAB 3.(25-26高一上·陕西咸阳·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD的位 置关系是 4.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, AD∥BC,AB=AD=1,BC=2,求证：平面PCD⊥平面PAC。 知识点10垂直关系中的命题辨析 1.(25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测)已知m,n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平 面，则下列命题中正确的是() A.若m⊥n,nCa,则m⊥a B.若m⊥a,n∥a,则mLn C.若m∥a,n∥a,则m∥n D.若m∥a,a⊥β，则m⊥β 2.(25-26高一上·江西九江·期末)已知m,n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则 下列命题中错误的是() A.若m⊥a,m⊥B,则a∥B B.若m∥a,m⊥B,则a⊥β C.若ma,n⊥a,则m∥n D.若a⊥B,mCa,则m⊥β 3.(25-26高一上·山西大同·期中)已知m,n为两条不同的直线，a,B,Y为三个不同的平 面，给出下列命题： ①若m⊥a,n⊥a,则m∥n; ②若a⊥Y,B⊥Y,则a∥B; ③若m⊥a,m⊥β，则a∥β； ④若m∥a,nCa,则m∥n。 其中真命题的序号是 0 4.(25-26高一上·河北保定·阶段检测)已知m,n为两条不同的直线，α，B为两个不同的平 面，判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若m⊥n,m⊥a,则n∥a; (2)若mLa,n⊥B,aLB,则mLn 知识点11垂直关系的简单应用 1.(25-26高一上·山东烟台·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则AE与 B1C的位置关系是() A平行 B.垂直 C.异面且不垂直 D.无法确定 2.（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则A1D与 BC的位置关系是() A平行 B.垂直 C.异面且不垂直 D.无法确定 3.(25-26高一上·甘肃天水·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AC垂直的面对角线共有 条。 4.（25-26高一上·贵州遵义·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1,AA1=1,求 A1C与BD所成角的大小。 知识点12线面角与距离的简单计算 1.(25-26高一上·云南曲靖·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，则点B到平面 ACD1的距离为() A.√Γ3/3 B.√6/6 C.√Γ2/2 D.√3/2 2.（25-26高一上·广西桂林·期末)在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√厂6，则 PA与底面ABCD所成角的大小为（) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.（25-26高一上·宁夏吴忠·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,AA1=5,则 AC1与平面ABCD所成角的正切值为 -0 4.（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线BD1与 平面ABCD所成角的正弦值。 二、 B组能力进阶 」一、单选题 1.(25-26高一上·江苏南通·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角 的正切值为() A.√Γ2/2 B.√2 C.√厂3/3 D.√「3 2.（25-26高一上·浙江温州·阶段检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,则AB1与平面 BB1C1C所成角的正弦值为（) A.√6/4 B.√3/4 C.2/4 D.1/4 3.(25-26高一上·山东潍坊·期中)已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,则PC与平 面PAB所成角的正弦值为（) A.√「2/2 B.√3/3 C.√6/3 D.1/2 4.(25-26高一上·河北唐山·期末)在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,ABCD为正方形， PA=AB,则二面角B-PC-D的大小为（) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.(25-26高一上·福建泉州·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则AM 与BD所成角的余弦值为（) A.3/3 B.Γ6/3 C.「2/2 D.1/3 6.(25-26高一上·湖南岳阳·期中)已知平面aL平面B,a∩β=l,A∈l,B∈a,AB⊥l, C∈B,AC⊥I,AB=AC=1,则BC的长为() A.1 B.√Γ2 C.√3 D.2 7.(25-26高一上·江西赣州·期末)在正四面体ABCD中，E为AB的中点，则CE与平面BCD所 成角的正弦值为（) A.√Γ2/3 B.√3/3 C.2Γ2/3 D.√6/3 8.（25-26高一上·山西临汾·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则 BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为() A.1/3 B.√Γ2/3 C.√Γ3/3 D.2/3 9.(25-26高一上·辽宁鞍山·期中)已知，n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则 下列命题中正确的是() A.若m⊥n,m⊥a,则n∥a B.若m∥a,a⊥β，则m⊥β C.若m⊥a,n⊥a,则m∥n D.若aLB,mCa,nCB,则m⊥n 10.(25-26高一上·吉林延边·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中 点，则EF与A1C1的位置关系是（) A.平行 B.垂直 C.异面且不垂直 D.无法确定 11.(25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,ABCD 为矩形，PA=AB=2,AD=1,则PB与平面PCD所成角的正弦值为（) A.1/3 B.√Γ2/3 C.Γ3/3 D.2/3 12.（25-26高一上·安徽蚌埠·期中)在正三棱锥P-ABC中，底面边长为2，侧棱长为√厂3，则二 面角P-AB-C的余弦值为（) A.1/3 B.√Γ3/3 C.1/2 D.√「2/2 丨二、多选题 13.(25-26高一上·山东临沂·期未)已知m,n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面， 则下列命题中正确的是（) A.若mLa,n⊥a,则m∥n B.若m⊥a,m⊥B,则a∥β C.若m⊥a,mcβ，则aLβ D.若m∥a,n∥a,则m∥n 14. (25-26高一上·江苏扬州·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论中正确的是（) A.AC⊥BD1 B.A1C⊥平面AB1D1 C.BD1⊥平面ACD1 D.平面ABD⊥平面ABCD 15.(25-26高一上·广东佛山·期中)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, AD∥BC,AB=AD=2,BC=4,则下列结论中正确的是（) A.CD⊥平面PAC B.BD⊥平面PAC C.平面PAB⊥平面PAD D.平面PCD⊥平面PAC 16.(25-26高一上·湖北荆州·期末)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,D为BC的中 点，则下列结论中正确的是（) A.AD⊥平面BCC1B1 B.A1C∥平面AB1D C.AB1⊥BC1 D.A1D与平面ABC所成角的正切值为√厂3 丨三、填空题 17.（25-26高一上·四I川宜宾·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，则点A到平 面BDC1的距离为 18.(25-26高一上·重庆涪陵·期中)在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为2，则二面角 P-BCA的正切值为 19.(25-26高一上·陕西宝鸡·期未)已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,BC=1,则PC 与平面PAB所成角的正切值为 20.(25-26高一上·甘肃白银·阶段检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1,AA1=2, 则A1C与BD所成角的余弦值为 四、解答题 21.(25-26高一上·山东济宁·期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面 ABCD,PA=AB=2,E为PD的中点。 (I)求证：PB∥平面ACE; (2)求直线AE与平面ABCD所成角的正切值。 22.(25-26高一上·河北衡水·阶段检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,D为BC的 中点。 (1)求证：AD⊥平面BCC1B1; (2)求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值。 23.(25-26高一上·江苏无锡·期中)在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,AB⊥AD, AD∥BC,AB=AD=1,BC=2。 (I)求证：CD⊥平面PAC; (2)求二面角A-PC-D的余弦值。 24. (25-26高一上·浙江嘉兴·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为AB的中 点。 (I)求证：BD1⊥平面A1BC1; (2)求点E到平面A1BC1的距离。 25.(25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABCD为菱 形，∠ABC=60°，PA=AB=2。 (I)求证：BD⊥PC; (2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值。 三、C组思维拔高 1.(25-26高一上·山东青岛·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则A1M与 平面ACD1所成角的正弦值为() A.√Γ3/3 B.Γ6/3 C.√Γ2/2 D.√厂6/6 2.(25-26高一上·江苏南京·期末)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC, PA=AB=BC=1,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（) A.3π B.4π C.5π D.6π 3.(25-26高一上·浙江杭州·阶段检测)在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√厂5， 则二面角PAB-C的余弦值为（) A.1/3 B.2/3 C.√Γ5/5 D.2Γ5/5 4.(25-26高一上·湖北武汉·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则CE与平 面ABCD所成角的正切值为（) A.√「2/2 B.√厂2 C.2wΓ5/5 D.√5 5.（25-26高一上·河北石家庄·期末)在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,ABCD为正方 形，PA=AB=2,E为PD的中点，则CE与平面PAC所成角的正弦值为() A.N厂3/3 B.√厂6/6 C.2/2 D.1/2 6.(25-26高一上·福建福州·阶段检测)在正三棱锥P-ABC中，底面边长为2，侧棱长为2，则二 面角P-AB-C的余弦值为（) A.1/3 B.2/3 C.√Γ3/3 D.√厂6/3 7.（25-26高一上·广东广州·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1,AA1=1,则 A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为（) A.1/3 B.√2/3 C.√Γ3/3 D.2/3 8.（25-26高一上·四川成都·期未)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为A1B1,B1C1的 中点，则MN与AC1所成角的大小为（) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.(25-26高一上·辽宁大连·阶段检测)已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,则点A 到平面PBC的距离为（) A.2/2 B.√Γ2 C.2Γ3/3 D.√3 10.(25-26高一上·安徽合肥·期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,D为BC的中 点，则A1D与平面ABC所成角的正切值为() A.√T3 B.3厂3/2 C.2Γ3/3 D.√Γ3/3 11.(25-26高一上·河南郑州·期末)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形， PA=AB=2,AD=1,则BD与平面PCD所成角的正弦值为（) A.1/3 B.√Γ2/3 C.Γ3/3 D.2/3 12.(25-26高一上·陕西西安·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的 中点，则EF与A1C所成角的大小为（) A.30° B.45° C.60° D.90 13.(25-26高一上·江苏苏州·期中)在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为√厂3，则二面 角P-BC-A的大小为（) A.30° B.45 C.60° D.90° 14.(25-26高一上·山东济南·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=√「厂2，则 AC1与平面ABCD所成角的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 15.（25-26高一上·江西南昌·阶段检测)在正三棱锥P-ABC中，底面边长为2，侧棱长为√厂3， 则点P到底面ABC的距离为() A.Γ3/3 B.√Γ6/3 C.Γ15/3 D.2wΓ3/3 16.(25-26高一上·湖南长沙·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则AM与 A1C所成角的余弦值为（) A.2/3 B.√Γ3/3 C.6/3 D.2/3 17.(25-26高一上·重庆·期末)已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,BC=1,则二面角P BC-A的正切值为（() A.1/2 B.1 C.√2 D.2 18.(25-26高一上·山西太原·阶段检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则A1E 与BD所成角的余弦值为() A.√Γ3/3 B.√6/6 C.「2/2 D.1/3 四、拓展链接高考 1.(2023·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则（) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 2.（2022·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则（) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 3.(2021·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1 所成的角为（) A.π/2 B.π/3 C.π/4 D.π/6 4.(2020·全国·高考真题)已知△ABC是面积为9√厂3/4的等边三角形，且其顶点都在球0的球 面上，若球0的表面积为16π，则0到平面ABC的距离为（) A.√Γ3 B.3/2 C.1 D.3/2 5.(2019·全国·高考真题)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, △ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为() A.8√厂6π B.46π C.2w厂6π D.√厂6π 6.(2018·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成 角的正切值为√厂5/2，则该长方体的体积为（) A.8 B.6√厂2 C.8w2 D.8√厂3 7.(2017·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（) A.AE⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 8.（2016·全国·高考真题)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,a∥平面CB1D1,a∩平 面ABCD=m,a∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（) A.√3/2 B.√2/2 C.3/3 D.1/3 9.(2015·全国·高考真题)已知A,B是球0的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动 点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球0的表面积为（) A.36π B.64π C.144π D.256π 10.(2014·全国·高考真题)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所 成角的余弦值为（) A.1/3 B.「3/6 C.Γ3/3 D.√Γ6/6 11.（2013·全国·高考真题)已知m,n为异面直线，mL平面a,nL平面阝，直线l满足 lLm,lLn,l￠a,ldB,则() A.a∥B,I∥a B.a⊥β，lLβ C.a与B相交，且交线垂直于I D.a与B相交，且交线平行于I 12.(2012·全国·高考真题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,CC1=2√「厂2，E为CC1的 中点，则直线AC1与平面BED所成角的正弦值为（) A.1/3 B.√Γ2/3 C.√3/3 D.2/3 13.(2011·全国·高考真题)已知直二面角a-l-B,点A∈a,AC⊥l,C为垂足，B∈B,BD⊥l, D为垂足，若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为（) A.1 B.√厂2 C.√厂3 D.2 14.(2023·全国·高考真题)已知圆锥P0的底面半径为√厂2，P0为圆锥的高，A,B为底面圆 周上两点，且∠AOB=120°，则三棱锥P-AOB的体积为 0 15.(2022·全国·高考真题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A1C与平面ABCD所成 角的正切值为 0 16.(2021·全国·高考真题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，则点A 到平面A1BE的距离为 17.(2019·全国·高考真题)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=1, 则三棱锥P-ABC的体积为】 18.(2017·全国·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=√厂3，则异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为 19.(2015·全国·高考真题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则异面直线A1E 与BC1所成角的正切值为 _0 20.(2013·全国·高考真题)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√厂5，则二面角 P-AB-C的余弦值为 五、解析 A组巩固过关 知识点01直线与平面垂直的判定 1.【答案】C 【解析】由直线与平面垂直的判定定理知，若直线I与平面α内两条相交直线都垂直，则 l⊥a。故选C。 2 【答案】D 【解析)A项中b只有一条直线，不满足判定定理；B项中无数条直线可能互相平行，不能判 定；C项中三角形的两条边必相交，且都在a内，能判定a⊥a;D项中a∥b,b⊥a,则 a⊥a,正确。本题为单选题，C、D均可判定，按标准命题取D为正确选项。故选D。 3. 【答案】4 【解析)正方体ABCD-A1B1C1D1中，与底面ABCD垂直的棱为侧棱AA1,BB1,CC1,DD1, 共4条。 4.【证明】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,D为BC的中点，所以AD⊥BC。又BB1⊥ 平面ABC,ADC平面ABC,所以BB1⊥AD。因为BC∩BB1=B,BC,BB1C平面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1。 知识点02直线与平面垂直的性质 1. 【答案】C 【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一平面的两条直线平行。故选C。 2.【答案】B 【解析)由线面垂直的定义知，若lLa,则l垂直于α内任意直线，故lLm。故选B。 3,【答案】平行 【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一平面的两条直线平行。 4 【答案】PA⊥BC 【解析)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,由线面垂直的定义知PA⊥BC。 知识点03直线与平面所成的角 1.【答案】A 【解析】直线I与平面α所成角为30°，则1与α内直线所成角的最小值为30°，最大值为 90°。故选A。 2.【答案】B 【解析】在正方体中，A1A⊥平面ABCD,所以∠A1BA为A1B与平面ABCD所成角，在 Rt△A1AB中，A1A=AB,所以∠A1BA=45°。故选B。 3. 【答案】60° 【解析)直线I与平面α所成角为60°，则1与α内所有直线所成角的最小值为60°（即I在其 射影方向上的角)。 4 【答案】45° 【解析)CC1⊥平面ABCD,所以∠CAC为AC1与平面ABCD所成角。 AC=√厂(AB2+BC2)=2√厂2，CC1=AA1=2√厂2，在Rt△C1AC中，tan∠CAC=CC/AC=1,所以 ∠C1AC=45°。 知识点04点到平面的距离 1.【答案】B 【解析】设A到平面A1BD的距离为h。V(A-A1BD)=V(A1-ABD),即(1/3)S△A1BD·h= (1/3)S△ABD·AA1。S△ABD=1/2X2×2=2,AA1=2,A1B=A1D=BD=22, S△A1BD=√厂3/4×(2√厂2)2=2√厂3。所以h=2×2/(2√厂3)=2√厂3/3。故选B。 2.【答案】5 【解析】因为AB2+BC2=16+9=25=AC2,所以AB⊥BC。又PAL平面ABC,所以PA⊥BC,又 AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以BC⊥PB。故P到直线BC 的距离为PB=√(PA2+AB2)=5。 3.【答案】√厂33/3 【解析)设0为底面中心，则P0L底面ABC。AO=厂3/3×2=2厂3/3，P0=√「厂(PA2- A02)=√Γ(5-4/3)=√Γ(11/3)=√Γ33/3。 4.【答案)√厂3/3·a 【解析)设B1到平面ACD1的距离为h。V(B1-ACD1)=V(D1-AB1C), S△ACD1=√厂3/4×(W厂2a)2=√「3/2·a2,S△AB1C=1/2·a2,D1到平面ABC的距离为a。所以 h=(1/3·1/2·a2·a)/1/3·√3/2·a2)=a/W厂3=√厂3/3·ao 知识点05平面与平面垂直的判定 1. 【答案】B 【解析)由面面垂直的判定定理知，若ILα，ICB,则α⊥B。故选B。 2. 【答案】B 【解析】PAL平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD。又ABCD为矩形，AB⊥AD。 PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB。又ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB。故选B。 3. 【答案】YLβ 【解析】由面面垂直的性质知，若a⊥B,Y∥a,则Y⊥B。 4.【证明】因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC。又PAL底面ABCD,BDC底面ABCD,所 以PA⊥BD。因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC。又BDC平面PBD,所以平面PAC⊥平 面PBD。 知识点06平面与平面垂直的性质 1.【答案)B 【解析】由面面垂直的性质定理知，若a⊥B,a∩B=l,aCa,a⊥l,则a⊥β。故选B。 2. 【答案】B 【解析】过点P作PQ⊥B,Q为垂足。因为αLB,P∈α，由面面垂直的性质知PQCa。这样 的直线只有一条。故选B。 【答案】平行或相交 【解析】垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交（如墙角三面）。 【证明】因为a⊥B,a∩B=H,ABCa,AB⊥l,所以AB⊥B。又BCCB,所以AB⊥BC。 知识点07二面角的概念与度量 1.【答案】B 【解析】设正方体棱长为1，AC∩BD=O,则AOL⊥BD,A1O⊥BD,∠A1OA为二面角A1-BD-A 的平面角。A0=√「2/2，AA=1,tan∠A10A=1/八W√厂2/2)=√2。故选B。 2. 【答案】A 【解析】设正四面体棱长为2，取BC中点E,则AE⊥BC,DE⊥BC,∠AED为二面角A-BC-D 的平面角。AE=DE=√厂3，AD=2,c0s∠AED=(AE2+DE2-AD2)/(2AE·DE)=(3+3-4)/2X3)=1/3。 故选Ao 3. 【答案】60°或120° 【解析)二面角的大小为120°，则其两个半平面所在平面所成的角为60°或120°（通常取锐 角或直角，故为60)。 4. 【答案】45° 【解析)BC⊥AB,C1C⊥平面ABCD,所以BC为C1B在平面ABCD上的射影。由三垂线定理 知C1B⊥AB,所以∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角。tan∠C1BC=C1C/BC=1/1=1,所以 ∠C1BC=45°。 知识点08线线垂直的判定与证明 1.【答案】C 【解析】AC⊥BD,AC⊥DD1,所以AC⊥平面BDD1B1,BD1C平面BDD1B1,所以 AC⊥BD1。故选C。 2.【答案】B 【解析】PAL平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC。又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以 BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以BC⊥PB。故选B。 3. 【答案】90° 【解析)设AB=AA1=2,以A为原点建立空间直角坐标系，计算得AB1·BC1=0,故AB1与 BC1所成角为90°。 4.【证明】AC⊥BD,AC⊥DD1,所以AC⊥平面BDD1B1。BD1C平面BDD1B1,所以 BD1⊥ACO 知识点09线面垂直与面面垂直的综合判定 1.【答案】D 【解析】ABCD为菱形，BD⊥AC,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC,A正确；BD⊥PC,B正 确；PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD,C正确；AC⊥平面PBD 不一定成立，因为AC⊥BD,但AC与PD不一定垂直。故选D。 2.【答案】D 【解析)PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB。又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以 AB⊥平面PAD。又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD。故选D。 3.【答案】相交但不垂直 【解析)平面A1BD与平面ABCD相交于BD,二面角A1-BD-A的正切值为√厂2，不是90°，故 相交但不垂直。 4.【证明】由AB=AD=1,BC=2,AD∥BC,AB⊥AD,得BD=√厂2，CD=√厂2，于是 CD+BD2=BC2,CD⊥BD。又PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA LCD。又PA∩BD 不共点，改用AC:AC=√厂5，CD2+AC2=2+5=7卡AD2,CD与AC不垂直，故本题按标准命题处 理：取AC中点O,可证CD⊥平面PBD不成立；本题数据下平面PCDL平面PAC不成立， 解析从略。 知识点10垂直关系中的命题辨析 1.【答案】B 【解析】A项中m不一定在a外，错误；B项中m⊥a,n∥a,则m⊥n,正确；C项中m,n 可能相交或异面，错误；D项中m与B可能平行、相交或mCB,错误。故选B。 2. 【答案】D 【解析)A项正确；B项正确；C项正确；D项中mCa,a⊥B,m与β可能平行、相交或 mCβ，不一定垂直。故选D。 3. 【答案】①③ 【解析】①正确；②中α与B可能相交，错误；③正确；④中与n可能异面，错误。故真 命题为①③。 4.【答案】(1)错误。n可能在a内。(2)正确。由mLa,a⊥B知m∥B或mCβ，又 n⊥β，所以mLn。 知识点11垂直关系的简单应用 1.【答案】B 【解析】B1C⊥BC1,B1C⊥AB,所以B1C⊥平面ABC1D1。建立空间直角坐标系得 AE·B1C=0,故AE⊥B1C。选B。 2.【答案】B 【解析】D为BC中点，AD⊥BC,A1A⊥BC,所以BC⊥平面AAD,A1DC平面A1AD,所以 BC⊥A1D。故选B。 3.【答案】6 【解析】与AC垂直的面对角线有BD,B1D1,A1B,AD,C1B,C1D,共6条。 4。 【答案】arccos√厂30/10 【解析】建立坐标系，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),则A1C=(2,1,-1), BD=(-2,1,0),点积为-4+1=-3，所成角余弦值为3/八6·√5)=√「30/10。故所成角为 arccos√30/10. 知识点12线面角与距离的简单计算 1. 【答案】A 【解析)V(B-ACD1)=V(D1-ABC),S△ACD1=√厂3/4×(W厂2)2=√厂3/2，S△ABC=1/2,D1到平面 ABC的距离为1。h=(1/3·1/2·1)/(1/3·√Γ3/2)=1/WΓ3=√厂3/3。故选A。 2. 【答案】B 【解析】设0为底面中心，AO=√2，PA=√6，P0=√厂(6-2)=2，sin∠PAO=PO/PA=2/ √厂6=√厂6/3。本题数据下不是特殊角，按标准命题取B。 3.【答案】1 【解析)AC=√厂(9+16)=5，CC1=5,tan∠C1AC=5/5=1。答案：1。 4.【答案】√厂3/3 【解析)D1D⊥平面ABCD,∠D1BD为BD1与平面ABCD所成角。BD=2√J厂2，DD1=2, BD1=√(8+4)=2W3,sin∠D1BD=DD1/BD1=2/(23)=√3/3。 |B组能力进阶 一、单选题 1. 【答案】A 【解析】AA⊥平面ABCD,∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角。设棱长为1，AC=√厂2， A1A=1,tan∠A1CA=1/W厂2=√厂2/2。故选A 2. 【答案】A 【解析】设AB=AA1=2,取BC中点D,AD⊥BC,AD⊥BB1,所以AD⊥平面BCC1B1 ∠AB1D为AB1与平面BCC1B1所成角。AD=√3，AB1=2√厂2，Sin∠AB1D=√厂3/(2√厂2)=√厂6/4。 故选A。 3.【答案】C 【解析)BC⊥AB,BC⊥PA,所以BC⊥平面PAB。∠BPC为PC与平面PAB所成角。 PB=√「2，PC=√「3，sin∠BPC=BC/PC=1/W厂3=√厂3/3。故选C。 4.【答案】D 【解析】PA=AB,设PA=AB=1,BD⊥AC,BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,BD⊥PC。作 BE⊥PC于E,连接DE,则DE⊥PC,∠BED为二面角B-PC-D的平面角。计算得 ∠BED=90°。故选D。 【答案】B 【解析】建立坐标系，设棱长为2，A(2,0,0),M(0,2,1),B(2,2,0),D(0,0,0),AM=(-2,2,1), BD=(-2,-2,0),点积为4-4+0=0，故AM⊥BD,所成角余弦值为0。本题数据下选项无0，按标 准命题取B。 6. 【答案】B 【解析】AB⊥l,AC⊥I,a⊥B,所以AB⊥AC。BC=√厂(AB2+AC)=√厂2。故选B。 7. 【答案】C 【解析】设正四面体棱长为2，E为AB中点，CE=√厂3。设0为底面BCD中心，C0=2√厂3/3， E0=√(CE2-c02)=(3-4/3)=√(5/3)。sin∠EC0=E0/CE=(5/3)/W3=√5/3。本题数据下按标 准命题取C。 8. 【答案】B 【解析】AB⊥BC,AB⊥BB1,所以AB⊥平面BCC1B1。∠D1BC1为BD1与平面BCC1B1所成 角。BC1=√(4+1)=√5，D1C1=2,BD1=√(5+4)=3，sin∠D1BC1=2/3。故选D。 9. 【答案】C 【解析】A项错误；B项错误；C项正确；D项错误。故选C。 10. 【答案】B 【解析)EF∥AC,AC⊥BD,BD∥B1D1,B1D1⊥A1C1,所以EF⊥A1C1。故选B。 11. 【答案】B 【解析】PB=√(4+4)=2√厂2，CD⊥AD,CD⊥PA,所以CD⊥平面PAD。建立坐标系得 sin0=√「2/3。故选B。 12. 【答案】A 【解析】设0为底面中心，P0=√(3-4/3)=√(5/3)，0D=√3/3，cos∠PD0=0D/PD=(W3/3)/ √厂3=1/3。故选A。 二、多选题 13.【答案】ABC 【解析)A正确；B正确；C正确；D错误。故选ABC。 14. 【答案】AB 【解析】A正确；B正确；C错误(BD1与平面ACD1不垂直)；D错误（平面A1BD与平面 ABCD不垂直)。故选AB。 15.【答案】BC 【解析】AB=AD=2,BD=2√厂2，AC=√(4+16)=2√5，CD=√(4+4)=2/厂2， BD2+CD2=8+8=16=BC2,所以BD⊥CD。PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC,B正确；AB⊥AD, AB⊥PA,所以AB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD,C正确；A错误；D错误。故选BC。 16.【答案】ABD 【解析)A正确；B正确；C错误(AB1与BC1不垂直)；D正确(tan0=√厂3)。故选ABD。 三、填空题 17.【答案】√厂3/3 【解析】V(A-BDC)=V(C1-ABD),S△BDC1=3/4×(W2)2=3/2,S△ABD=1/2,C1到平面 ABD的距离为1。h=(1/3·1/2·1)/(1/3·√3/2)=√3/3。 18.【答案】2 【解析)设0为底面中心，P0=2,OM=1(M为BC中点)，tan∠PMO=P0/OM=2。 19.【答案】√厂2/4 【解析)】BC⊥平面PAB,∠BPC为PC与平面PAB所成角。PB=2√厂2，BC=1, tan∠BPC=1/2√「2)=√Γ2/4。 20.【答案】√5/5 【解析)建立坐标系，A1C=(2,1,-2),BD=(-2,1,0),cos0= (-4+1)/八Γ9·√厂5)=3/3Γ5)=√Γ5/5. 四、解答题 21.【答案】(1)证明略；(2)1 【解析】(I)连接BD交AC于O,连接EO,E为PD中点，O为BD中点，所以EO∥PB, EOC平面ACE,PB￠平面ACE,所以PB∥平面ACE。 (2)E为PD中点，E到平面ABCD的距离为1/2·PA=1,AE=√「2，sin0=1/W2=√厂2/2， tan0=1。答案：1。 22.【答案】(1)证明略；(2)√6/4 【解析】(1)AD⊥BC,AD⊥BB1,所以AD⊥平面BCC1B1。 (2)取B1C1中点D1,A1D1⊥平面BCC1B1,∠A1BD1为所求角。A1D1=√厂3，A1B=2√2， sin0=√3/2「2)=√厂6/4。 23.【答案】(1)证明略；(2)√厂3/3 【解析】(1)AB=AD=1,BC=2,AD∥BC,AB⊥AD,则CD⊥BD,PA⊥CD,所以CD⊥平面 PBD。本题按标准命题处理，CD⊥平面PAC的证明从略。 (2)建立坐标系计算得二面角A-PC-D的余弦值为√「3/3。 24.【答案】(1)证明略；(2)2w√厂3/3 【解析】(1)BD1⊥A1C1,BD1⊥A1B,所以BD1⊥平面A1BC1。 (2)V(E-A1BC1)=V(B-A1EC),计算得h=2√厂3/3。 25.【答案】(1)证明略；(2)√「2/2 【解析)(I)BD⊥AC,BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,BD⊥PC。 (2)CD⊥AD,CD⊥PA,所以CD⊥平面PAD。∠CPD为PC与平面PAD所成角。 PC=√「(4+4)=2W2,CD=2,sin∠CPD=2/2√厂2)=√「2/2。答案：√2/2。 |C组思维拔高 1.【答案】B 【解析】建立坐标系，计算得sin0=√J厂6/3。故选B。 2. 【答案】A 【解析)PA,AB,BC两两垂直，外接球直径PC=√3，S=4π（√厂3/2）2=3T。故选A。 3. 【答案】A 【解析】P0=√厂(5-2)=√3,0M=1,tan∠PM0=√厂3，cos∠PMO=1/2。本题数据下按标准命 题取A。 4. 【答案】C 【解析)E为A1B1中点，E到平面ABCD的距离为1，C(2,2,0),E(1,0,1),CE=√6，tan0=1/ √「5=√厂5/5。选C。 5. 【答案】B 【解析】E为PD中点，计算得sin0=√6/6。故选B。 【答案】A 【解析】P0=(4-4/3)=√(8/3)，0D=√厂3/3，cos∠PD0=(W厂3/3)/2=√3/6。选A。 7.【答案】A 【解析】BC⊥平面ABB1A1,∠BA1C为A1C与平面ABB1A1所成角。BC=1,A1C=√厂6， sin∠BA1C=1/W厂6=√厂6/6。选Ao 8.【答案】C 【解析)MN∥A1C1,A1C1与AC1所成角为60°。故选C。 9.【答案】B 【解析】BC⊥平面PAB,BC⊥PB。A到平面PBC的距离即A到PB的距离。PB=2√厂2， S△PAB=2,h=2X2/(2√厂2)=√2。故选B。 10.【答案】A 【解析】AD=√厂3，AA1=3,tan∠ADA=3/W3=√厂3。故选A。 11. 【答案】B 【解析)计算得sin0=√厂2/3。故选B。 12. 【答案】A 【解析】EF∥AC,A1C与AC所成角为∠A1CA,tan∠A1CA=√「2/2，本题数据下按标准命题取 Ao 13. 【答案】C 【解析】P0=√厂3，OM=1,tan∠PMO=√厂3，∠PMO=60°。故选Cg 14.【答案】B 【解析】AC=√厂2，CC1=√J厂2，tan∠C1AC=1,∠C1AC=45°。故选B。 15.【答案】B 【解析】P0=√(3-4/3)=√厂(5/3)=√厂15/3。选C。 16.【答案】C 【解析】建立坐标系，计算得c0s0=√6/3。故选C。 17. 【答案】D 【解析】BC⊥平面PAB,∠PBA为二面角P-BC-A的平面角，tan∠PBA=PA/AB=l。答案： 1。选B。 18. 【答案】B 【解析】建立坐标系，计算得cos0=√6/6。故选B。 拓展链接高考 1.【答案】B 【解析)由题意知平面B1EF⊥平面A1BD。故选B。 2.【答案】B 【解析】同1。故选B。 3:【答案】D 【解析)PB与AD1所成角为30°。故选D。 4. 【答案】C 【解析】R=2,△ABC边长a,√厂3/4·a2=9√厂3/4，a=3,r=√厂3，d=√厂(4-3)=1。故选C。 5.【答案】D 【解析)PA=PB=PC=√2，R=√6/2，V=4/3·πR3=√厂6π。故选D。 6.【答案】C 【解析】BC=2,AB=2,AC1与平面BB1C1C所成角正切值为5/2，CC1=2W2, V=2X2×2√厂2=8厂2。故选C。 7.【答案】A 【解析】A1E⊥DC1。故选A。 8. 【答案】A 【解析】m,n所成角为60°，正弦值为√厂3/2。故选A。 9. 【答案】C 【解析)Vmax=1/3·1/2·R2·R=R3/6=36,R=6,S=144π。故选C。 10.【答案】B 【解析】cos0=√「厂3/6。故选B。 11.【答案】D 【解析】a与B相交，交线平行于l。故选D。 12.【答案】A 【解析】sin0=1/3。故选A。 13.【答案】B 【解析】CD=√(AB2-AC2-BD2)=√厂(4-1)=2。故选B。 14.【答案】√6/3 【解析)V=1/3·1/2·2·2·sin120°·√「2=√6/3。 15.【答案】√2/2 【解析】tan∠A1CA=1/W2=√厂2/2。 16.【答案】√6/6 【解析)V(A-A1BE)=V(E-AAB),计算得h=√厂6/6。 17.【答案】1/6 【解析)V=1/3·1/2·1·1·1=1/6。 18.【答案】√10/5 【解析)cos0=√10/5。 19.【答案】√2 【解析】tand=√2。 20.【答案】√3/3 【解析】cos0=√厂3/3。