8.6空间直线、平面的垂直（分层作业）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习以“刷基础-提能力-破难关”分层设计，构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，适配新授课空间垂直内容的梯度教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|垂直命题真假判断、异面直线所成角计算|聚焦定义与性质辨析，通过选择题强化空间观念| |提能力|线面/面面垂直证明、线面角与距离计算|结合正方体、棱锥等模型，培养推理能力与运算能力| |破难关|二面角计算、动点探究问题|设置动态几何情境，发展创新意识与综合应用能力|

8.6 空间直线、平面的垂直 刷基础 提能力 破难关 题型一 垂直相关命题的真假 1．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．设表示平面，表示直线，给出下列四个说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则m平行于平面内的任意一条直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．下列说法中，错误的是（   ） A．如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B．如果直线l不垂直于平面，则平面内不存在与l垂直的直线 C．如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D．如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 5．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 题型二 异面直线所成角的计算 6．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 10．在正方体中，直线与所成的角为_____________，直线与所成的角为_____________． 题型三 线面垂直的证明 11．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 12．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 13．如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 14．如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 15．如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 题型四 面面垂直的证明 16．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 18．如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 19．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 20．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，平面，⊥，，.    (1)求证：平面. (2)求证：平面平面. 题型一 线面角的计算 21．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 22．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 23．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 24．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 25．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 题型二 二面角的计算 26．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 27．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 28．如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 29．如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 30．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 题型三 空间距离的求解 31．如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 32．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 33．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 34．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 35．如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 题型一 动点问题的探究 36．如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 37．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 38．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 39．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 40．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6 空间直线、平面的垂直 刷基础 题型一 垂直相关命题的真假 1．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】逐一利用线面垂直、线面平行的定义与性质，排除存在反例的错误选项，再根据线面垂直的性质定理验证选项D. 【详解】选项A：若，，则，选项A错误，有可能在平面内； 选项B：若，，则，选项B错误，两条直线都平行于同一个平面时，它们的位置关系可以是平行、相交或异面； 选项C：若，，则，选项C错误，的位置不确定，它可以平行于、在内，或与斜交，不一定垂直于； 选项D：若，，则，选项D正确，根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线. 故选：D 2．设表示平面，表示直线，给出下列四个说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合线面平行、线面垂直的判定定理与性质定理逐一判断. 【详解】对于A：若，则与可能平行，也可能相交，也可能就在平面内，故A错误； 对于B：这是直线与平面垂直的性质定理：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故B正确； 对于C：若，则可能在平面内，也可能与平行，故C错误； 对于D：若，则与可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直，也可能就在平面内，故D错误. 故选：B. 3．已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则m平行于平面内的任意一条直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于A，由线面平行的性质即可判断；对于B，由答案不完备即可判断；对于C，由线面垂直的性质即可判断；对于D，直接证明即可. 【详解】对于A，若，则m平行于平面内的无数条平行直线，但不是任意一条直线，故A错误； 对于B，若，，则平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，，则，故C错误； 对于D，若，，则若，又，则. 故选：D. 4．下列说法中，错误的是（   ） A．如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B．如果直线l不垂直于平面，则平面内不存在与l垂直的直线 C．如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D．如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【答案】BCD 【分析】由线面垂直的定义可知，A正确；利用长方体模型可以构造反例说明BCD错误. 【详解】对于A，由线面垂直的定义可知，故A正确． 对于BCD，有长方体，如图： 直线不垂直于平面，且平面，故B错误； 同时与平面没有交点，故C错误； 是平面的一条垂线，，但平面，故D错误. 故选：BCD. 5．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】根据平面的基本性质，线面垂直、面面平行的性质判断选项即可. 【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确. 故选：BD 题型二 异面直线所成角的计算 6．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 7．如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 8．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角. 【详解】设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且， ，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 9．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 10．在正方体中，直线与所成的角为_____________，直线与所成的角为_____________． 【答案】 【分析】将异面直线的夹角合理转化，再利用正方体性质与等边三角形性质求解角度即可. 【详解】如图，连接，，作出符合题意的图形， 因为，所以就是异面直线与所成的角． 因为，所以直线与所成的角为， 由正方体性质得四边形是平行四边形，则， 可得与所成的角即直线与所成的角， 又由勾股定理得， 则为正三角形，可得直线与所成的角为， 即直线与所成的角为． 故答案为：； 题型三 线面垂直的证明 11．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 12．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 13．如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据中位线性质证明，结合直棱柱性质和线面平行判定定理可证； （2）先证，然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证. 【详解】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 14．如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由题可得，再根据线面平行的判定即可证明； （2）通过证明平面PBC，再根据线面的性质即可证得； （3）根据题意知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又平面ABCD，再根据锥体体积公式即可求解. 【详解】（1），F是BC，PB的中点．． 又平面，平面， 平面． （2）平面ABCD，平面ABCD，． ，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB，， ，F是PB中点，， ，EB、平面PBC， 平面PBC， 平面PBC， ； （3）三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面ABCD，ABCD是矩形，， ， 三棱锥的体积为． 15．如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平面，得，结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由（1）可得，结合可证得平面，则，再结合可证得平面，进而可证得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 题型四 面面垂直的证明 16．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设与交于点，连接，先证明，进而求证即可； （2）先证明，，即可得到平面，进而求证即可. 【详解】（1）设与交于点，连接， 在正方体中，为的中点， 又为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中，， 由平面，而平面，所以， 因为，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题可得和，可得平面，即可证明． 【详解】（1）取的中点，连接，   分别是的中点， ，且， 又，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面 （2）底面，平面，， ，，， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 18．如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 19．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 20．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，平面，⊥，，.    (1)求证：平面. (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，求出，证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，作出辅助线，由平行关系得到，由勾股定理逆定理证明出，同理得到，从而证明出线面垂直，证明出面面垂直. 【详解】（1）如图，设正方形的对角线与交于，连.   ， ，. ∵平面，平面ABCD平面，平面， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面； （2）∵平面平面，平面平面，，平面， 平面， ∵平面，， ∵，∴， 连接， 由（1）易知是边长为1的正方形，故，得平面， ∵平面， ， 为等腰三角形，，， ， ， 同理，在中，，故， ，平面，平面， 平面. ∵平面， ∴平面平面 提能力 题型一 线面角的计算 21．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出直线在平面上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角的正弦值. 【详解】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 22．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 23．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 24．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 25．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面角的定义结合线面垂直的判定定理作出线面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角， 因为是菱形，，， 所以，，是等边三角形. 因为底面，底面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角. 因为是等边三角形，， 所以，. 在中，，则. 在中，. 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 题型二 二面角的计算 26．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 27．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 28．如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用线面垂直性质定理可得，由可得，即可得平面； （2）连接，可得即为平面与平面的夹角，求出即可得解. 【详解】（1）由，故，即； 由，，且，、平面， 故平面，又平面，故， 又，、平面，故平面； （2）连接，由，，故， 由平面，、平面，故，， 故，则， 故即为平面与平面的夹角， 由，故， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 29．如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）作于，作交于，根据二面角的定义可得是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由，所以， 又为正三角形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）作于，作交于， 所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，， 所以，又为正三角形， 所以，所以为的中点， 所以，所以， 又，所以，所以为的中点， 所以，又是以为斜边的直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理有： ， 所以. 30．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积； （2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 题型三 空间距离的求解 31．如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 32．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 33．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 34．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 35．如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）证明，根据距离的定义可得为所求，解三角形求结论； （2）由点面距离定义可得为所求，由此可得结论； （3）根据直线与平面的距离的定义可得为所求，由此可得结论； （4）根据平面与平面距离定义可得为所求，由此可得结论； 【详解】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 破难关 题型一动点问题的探究 36．如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 37．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）连结，交于点，连结．利用线面平行的判定定理证明出平面； （2）利用等体积可得，即可解出点到平面的距离； （3）在对角线上存在点，且，使得平面．由平面，得到，即可求得时，平面． 【详解】（1）连结，交于点，连结． 因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）因为正方体的棱长为1，是的中点， 所以,所以边上的高为，所以. 因为，所以，解得：，即点到平面的距离为． （3）在对角线上存在点，且，使得平面． 证明如下：因为四边形是正方形，所以． 因为平面，平面，所以．因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面．作于，因为，所以． 因为平面，平面平面，所以平面． 由,得．所以当时，平面． 38．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 39．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 40．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $