第6章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用分层作业-2026-2027学年高中数学必修第二册分层作业（人教A版）

6.4平面向量的应用分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01向量在几何中的应用一平行与垂直的判定 知识点02向量在几何中的应用一长度与夹角计算 知识点03向量在几何中的应用一三点共线问题 知识点04向量在三角形中的应用一中线与重心 知识点05向量在三角形中的应用一正弦定理的向量推导 知识点06向量在三角形中的应用一余弦定理的向量推导 知识点07正弦定理的基本应用 知识点08余弦定理的基本应用 知识点09三角形面积公式的向量形式 知识点10向量在物理中的应用一力的合成与分解 知识点11向量在物理中的应用一速度与位移 知识点12向量在平面几何中的综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 一、A组巩固过关 知识点01向量在几何中的应用一平行与垂直的判定 1.(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知向量a=(1,2),b=(X,4),若a‖b,则×的值为（ A.1 B.2 c.3 D.4 2.(25-26高一上·河南郑州·期中)已知向量a=(2,-1),b=(m,3),若a⊥b,则m的 值为() 3 B.一2 C. 0、 3 3.(25-26高一上·山东济南·阶段检测)在四边形ABCD中，AB=(2,3),CD=(2,3),则 四边形ABCD的形状是() A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 4.(25-26高一上·湖北武汉·期末)已知a=(1,1),b=（1,-1),则a与b的位置关系是（ A.平行 B.垂直 C.夹角为60° D.夹角为45° |知识点02向量在几何中的应用一长度与夹角计算 1.(25-26高一上·江苏南京·期中)已知a=(3,4),则|a= 0 2.(25-26高一上·浙江杭州·期末)已知a=(1,0),b=(1,√3)，则a与b的夹角为() A.30 B.45° C.60° D.90° 3.（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测)已知a=(2,1),b=(-1,3),则a·b= 4.(25-26高一上·四川成都·期末)已知l引=2，|bl=3,a与b的夹角为60°，则 la+b=() A.V19 B.√7 c.5 D.V13 |知识点03向量在几何中的应用一三点共线问题 1.(25-26高一上·河北石家庄·期中)已知A(1,2),B(3,4),C(5,m)三点共线，则m= 2.(25-26高一上·福建福州·期末)已知AB=(2,3),A乙=(4,6)，则A、B、C三点() A共线 B.不共线 C.构成直角三角形 D.构成等边三角形 3.(25-26高-上·江西南昌·阶段检测)已知向量0A=(1,2),0B=(3,5),0元=(5，k, 若A、B、C三点共线，则k= 4.(25-26高一上·辽宁大连·期末)已知a=(1,2),b=(2,3),若ka+b与a-b共线， 则k=】 |知识点04向量在三角形中的应用一中线与重心 1.(25-26高一上·广东广州·期中)在△ABC中，D为BC的中点，则AD=（) A店+4d B.AB+AC D.AB-AC 2.(25-26高-上·重庆·期末)在△ABC中，G为重心，则GA+GB+G元=() A.0 B.AB C.AC D.2AG 3.(25-26高一上·陕西西安·阶段检测)在△ABC中，M是BC的中点，AB=(4,2), AC=(2,6),则AM=一。 4.(25-26高-上·山西太原·期末)已知△ABC的重心为G,若AG=(2,1),则AB+A乙= 知识点05向量在三角形中的应用一正弦定理的向量推导 1.(25-26高一上·甘肃兰州·期中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 a=3,A=30°，B=60°，则b=() A.3W3 B.3 C.V3 ￥ 子2526高州费：期在△48C中，若品A=品后=c=2R且 a=2 Rsin A,这体现的是（) A,余弦定理 B.正弦定理 C.勾股定理 D.三角形面积公式 3.(25-26高一上·云南昆明·阶段检测)在△ABC中，a=2,b=√6，A=45°，则B=( A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 4.(25-26高一上·广西南宁·期末)在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 a:b:C= _0 知识点06向量在三角形中的应用一余弦定理的向量推导 1.(25-26高一上·吉林长春·期中)在△ABC中，a=3,b=4,C=60°，则c=() A.V13 B.37 c.5 D.7 2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中，a=5,b=7,C=8,则c0SA=( 2 C. 4 0.7 3.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测)在△ABC中，a=2,b=3,C=4,则 △ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)在△ABC中，b=3,c=5,A=120°，则a= 知识点07正弦定理的基本应用 1.(25-26高一上·宁夏银川川·期中)在△ABC中，A=60°，B=45°，b=2,则a=() A.V⑥ B.V3 C.v2 D.2W2 2.(25-26高一上·青海西宁·期末)在△ABC中，a=4,b=4√2，A=30°，则B=（) A.45° B.135° C.45°或135° D.60° 3.(25-26高一上·西藏拉萨·阶段检测)在△ABC中， sim4=2,B=30,则b= a 4.(25-26高一上·海南海口·期末)在△ABC中，A=30°，C=105°，b=2,则a= -0 |知识点08余弦定理的基本应用 1.(25-26高一上·安徽芜湖·期中)在△ABC中，a=2,b=3,C=V7,则C=（) A.30° B.45° C.60° D.120 2.（25-26高一上·河南洛阳·期末)在△ABC中，a=1,b=√3，C=30°，则c=（) A.1 B.V② C.v3 D.2 3.（25-26高一上·山东青岛·阶段检测)在△ABC中，a=7,b=5,C=3,则最大角为（ A.60 B.90° C.120 D.150 4.（25-26高一上·湖北宜昌·期末)在△ABC中，b=2,c=2√3，A=30°，则a= |知识点09三角形面积公式的向量形式 1.(25-26高一上·江苏无锡·期中)在△ABC中，a=2,b=3,C=30°，则△ABC的面 积为() 3 A B.3 c.3v3 2 3 D.4 2.(25-26高一上·浙江宁波·期末)在△ABC中，a=4,b=3,C=60°，则△ABC的面 积为() A.3V3 B.6V3 C.3 D.6 3.(25-26高-上·湖南株洲·阶段检测)在△ABC中，a=2,b=2,C=45°，则△ABC 的面积为 0 4.(25-26高一上·福建厦门·期末)已知AB=(2,1),AC=(1,3),则△ABC的面积为 知识点10向量在物理中的应用一力的合成与分解 1.(25-26高一上·四川绵阳·期中)两个力F1=(3,4),F2=(1,-2)作用于同一点，则合力 F=() A.(4,2) B.(2,6) C.(4,-2) D.(2,-6) 2.(25-26高一上·江西九江·期未)一个物体受到两个力F1和F2的作用，|F1l=3,IF2引=4 ,两力夹角为90°，则合力大小为（) A.5 B.7 C.√7 D.1 3.(25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测)两个力F1=(2,3),F2=(-1,2)作用于同一点，则 合力F的坐标为 0 4.(25-26高一上·河北保定·期末)一个物体受到三个力F1=(1,2),F2=(2,-1), F3=(-3,一1)的作用，则这三个力的合力为 --0 |知识点11向量在物理中的应用一速度与位移 1.（25-26高一上·广东佛山·期中)一艘船以速度4=(3,4)航行，水流速度为=（1,0)， 则船的实际速度为() A(4,4) B.(2,4) C.(4,0) D.(3,4) 2.(25-26高一上·贵州遵义·期末)某人从A点出发，位移51=(2,3)，再从B点出发位移 S2=(1,-1),则总位移为（) A.(3,2) B.(1,4) C.(3,4) D.(2,2) 3.（25-26高一上·云南大理·阶段检测)小船以=5的速度向垂直于河岸的方向行驶，水流 速度为3，则小船实际航行速度大小为 4.（25-26高一上·甘肃天水·期末)某人从A到B的位移为(3,4)，从B到C的位移为(-1,2) ,则从A到C的位移为 0 知识点12向量在平面几何中的综合应用 1.(25-26高一上·山西临汾·期中)在△ABC中，AB·AC=0,则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.(25-26高一上·陕西咸阳·期末)在平行四边形ABCD中，AB=(1,2),Ab=(2,-1), 则A乙=（) A.√10 B.5 C.5 D.10 3.(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测)在△ABC中，A=2,A=3,AB.AC=3, 则IB1= 4.(25-26高-上·青海海东·期末)在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，则 AB·AD= 二、B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高一上·安徽安庆·期中)在△ABC中，a=2,b=V3,A=45°，则B=() A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120 2.(25-26高一上·河南开封·期末)在△ABC中，a=3,b=4,c=√13，则△ABC的形 状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.(25-26高一上·山东烟台·阶段检测)已知a=(1,2),b=(2,-1),则a与b的夹角为（ A.0° B.45° C.90° D.1359 4.(25-26高一上·湖北荆州·期中)在△ABC中，A=60°，b=1,△ABC的面积为√3，则 a=() A.V13 B.√7 C.V3 D.2 5.(25-26高-上·湖南衡阳·期末)在△ABC中，AB=(2,3),AC=(1,,若△ABC为 直角三角形，且A=90°，则k=() A、2 3 .3 3 C.2 6.(25-26高一上·江苏徐州·阶段检测)在△ABC中，a=2,b=2V3,C=30°，则 △ABC的面积为() A.v3 B.2V3 C.3v3 D.4W3 7.(25-26高一上·浙江温州·期中)已知向量a=(1,1),b=(2,-1),则|a-=() A.√5 B.10 c.5 D.10 8.(25-26高一上·四川宜宾·期末)在△ABC中，a=4,b=5,c=6,则c0SC=() C.8 D. 9.(25-26高一上·辽宁鞍山·阶段检测)在△ABC中，A=30°，b=2,C=2V3,则a= () A.2 B.2W5 C.4 D.√13 10.(25-26高一上·广西桂林·期中)在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:7,则最大 角为() A.60 B.90° C.120° D.150° 11.(25-26高一上·吉林延边·期末)已知la引=1,1bl=2,a·b=1,则|a-bl=（) A.1 B.√2 C.V3 D.2 12.(25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测)在△ABC中，a=6,b=6,A=30°，则B= () A.30° B.60° C.30°或150 D.60°或120° 13.(25-26高-上·甘肃酒泉·期中)在△ABC中，AB.B元=0，则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C,钝角三角形 D.不能确定 丨二、多选题 1.（25-26高一上·安徽蚌埠·期末)在△ABC中，下列结论正确的是（) A.若a2+b2>C2,则C为锐角 B.若a2+b=c2,则C=90 C.若a2+b2<c2,则C为钝角 D.若sinA>sinB,则a>b 2.(25-26高一上·山东潍坊·阶段检测)已知向量a=(1,2),b=(2,-1),则下列结论正确 的是（) A.a⊥b B.lal =bl C.all b D.la+l=√10 3.(25-26高一上·河南安阳·期中)在△ABC中，下列结论正确的是（) A.a=bcos C+ccos B B.a2 =b2+c2-2bccos A c品4 b sin B D.5=absin C 4.（25-26高一上·湖南岳阳·期末)关于向量在物理中的应用，下列说法正确的是（) A.力的合成遵循平行四边形法则 B.速度的合成遵循三角形法则 C.位移的合成遵循平行四边形法则 D.合力一定大于分力 |三、填空题 1.(25-26高一上·江西赣州·阶段检测)在△ABC中，a=2,b=3,C=60°，则c= 2.(25-26高一上·四川南充·期中)已知a=(1,2),b=(2,1),则a·b= 3.(25-26高一上·山西晋中·期末)在△ABC中，A=45°，B=60°，a=2,则b= 4.（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测)在△ABC中，a=3,b=4,c=5,则△ABC的 面积为 5.(25-26高一上·辽宁抚顺·期中)已知|a引=2,1bl=3,a与b的夹角为120°，则a·b= 丨四、解答题 1.(25-26高一上·河北唐山·期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 a=3,b=4,C=60°。 (1)求c的值； (2)求△ABC的面积。 2. (25-26高一上·广东珠海·阶段检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C, 已知a=2,A=30°，B=45°。 (1)求b的值； (2)求c的值。 3。 (25-26高一上·福建泉州·期中)已知向量a=(1,2),b=(3,-1)。 (1)求a·b; (2)求la+bl; (3)求a与b夹角的余弦值。 4.(25-26高一上·贵州安顺·期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,已知 a=2,b=3,=V7。 (1)求c0sC; (2）求△ABC的面积。 5. (25-26高一上·云南曲靖·阶段检测)在平行四边形ABCD中，AB=(2,1), Ab=(1,3)。 (1)求A☑； (2)求AB·AD; (3)判断平行四边形ABCD是否为菱形，并说明理由。 三、C组思维拔高 1.（25-26高一上·山东临沂·期中)在△ABC中，a=2,b=V√3，B=60°，则A=（) A30° B.45° C.60 D.90° 2.(25-26高-上·江苏苏州·期末)在△ABC中，sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是( ) A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.(25-26高一上·浙江杭州·阶段检测)已知a=(1,2),b=(2,1),若(a+λb)⊥(a-b) ,则入=() A.-2 B.2 1 C.一2 1 02 4.(25-26高一上·湖北襄阳·期中)在△ABC中，a、b、c成等差数列，且B=60°，则 △ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C,等腰三角形 D.钝角三角形 5.(25-26高一上·湖南常德·期末)在△ABC中，A=60°，b=1,△ABC的面积为√3，则 a+b+c sinA+sinB+sinC=( A.2v13 3 B.3 3 C.2v3g 3 D.v39 3 6.2526高-上·四川泸州，阶段检0已知1a=16=1,a:b=2:则1a-以=0 A.1 B.√2 C.3 D.2 7.(25-26高一上·辽宁锦州·期中)在△ABC中，a=4,b=5,C=6,则△ABC的内切 圆半径为() 7 A.2 &.v⑦ 4 c √7 D. 7 8.(25-26高一上·广西柳州·期末)在△ABC中，A=120°，a=7,b+c=8,则bc= () A.15 B.12 C.10 D.8 9.(25-26高一上·江西上饶·阶段检测)已知向量a、b满足|引=2,1bl=3, la+bl=√19，则a与b的夹角为() A.30° B.45° C.60° D.120° 10.(25-26高一上·山西大同·期中)在△ABC中，AB.A亡=A·|4C,则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 11.(25-26高一上·甘肃平凉·期末)在△ABC中，a=2,b=3,A=30°，则满足条件的 三角形有() A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 12.(25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测)已知a=(1,2),b=(1,-1),则a在b方向上的投 影向量为() A(-分 C.(-1,1) D.(1,-1) 13.(25-26高一上·青海格尔木·期中)在△ABC中， cos B -名则△4BC是O cosA b A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 14.(25-26高一上·西藏日喀则·期末)在△ABC中，a=2,b=3,C=60°，则SinA= () A.③ 7 B.②7 7 2v7 15.(25-26高一上·海南三亚·阶段检测)已知|a引=3，|bl=4,a与b的夹角为60°，则 la+bl=( A.V37 B.√31 C.V19 D.√13 16.(25-26高一上·新疆喀什·期中)在△ABC中，a=2,b=2√3，A=30°，则B= () A.60° B.120 C.60°或120° D.30° 17.(25-26高-上·内蒙古赤峰·期末)在△4BC中，A=60°，b=2,c=3,则，日 sinA= () Ay今 &.2v7 3 V7 C 2v3 D.37 3 18.(25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测)已知向量a、b满足|=1，|6l=2,且 a⊥(a一b),则a与b的夹角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 四、拓展链接高考 1.(2023·全国甲卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 a=2,b=3,C=60°，则c=() A.7 B.V13 c.V19 D.V5 2.(2023·全国乙卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 A=60,a=V3,则b+c sinB+sin C=() A.2 B.√3 c.2W3 D.1 3.(2022·全国甲卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 日=3，b=4,c0sC=则c=0 A.√13 B.√17 C.V19 D.V21 4.(2022·全国乙卷·高考真题)已知向量a=(1,2),b=(2,-1),则a·b=() A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2021·全国甲卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 a=2,b=3,C=60°，则△ABC的面积为() B.3V3 3 C.2 D.3 6.(2021·全国乙卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 A=60°，b=2,c=3,则a=() A.V7 B.V13 C.√19 D.5 7.(2020·全国I卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、b、C,若 a=3,b=4,c=5,则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 8.(2020·全国川卷·高考真题)已知向量a=(1,1),b=(2,-1),则|a+l=（) A.V5 B.V10 C.5 D.10 9.(2019·全国I卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 a=2,b=2√3，A=30°，则B=() A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 10.(2019·全国川卷·高考真题)已知向量a=(1,2),b=(2,1),则a与b的夹角为（) A.0° B.45° C.90° D.1359 11.(2018·全国1卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 a=2,b=3,C=60°，则sinA=() A.V②7 7 B 2v7 c. 0. 12.(2018·全国I卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 a=2,b=3,c=4,则c0sC=（) 1 A C. 0 13.(2017·全国1卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 a=2,b=3,A=30°，则B=() A.30° B.45° C.60° D.90° 14.(2017·全国川卷·高考真题)已知向量a=(1,2),b=(2,-1),则a·b=() A.0 B.1 C.2 D.3 15.(2016·全国1卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 a=2,b=3,C=60°，则△ABC的面积为() A.3v3 2 B.33 3 C.2 D.3 16.(2016·全国川卷·高考真题)已知向量a=(1,2),b=(2,1),则1a-=（) A.V2 B.2 C.V10 D.10 17.(2015·全国1卷·高考真题)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若 a=2,b=3,c=4,则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 18.(2015·全国川卷·高考真题)已知向量a=（1,0),b=(1,√3)，则a与b的夹角为（) A.30° B.45° C.60° D.90° 五、解析 |A组巩固过关 知识点01向量在几何中的应用一平行与垂直的判定 1.【答案】B 【解析】因为a‖b,所以1×4一2×X=0,解得X=2。故选B。 2. 【答案】A 【解析)因为a⊥b,所以a·b=2m+(-1)×3=0,即2m-3=0,解得m= 2 。故选A。 3.【答案】A 【解析)因为AB=(2,3)=CD,所以AB‖CD且AB=CD,故四边形ABCD是平行 四边形。故选A。 4.【答案】B 【解析)a·b=1×1+1×(-1)=0,所以a⊥b。故选B。 知识点02向量在几何中的应用一长度与夹角计算 1.【答案】5 【解析)lal=√32+42=√25=5。 2. 【答案】C 【解析)a·b=1×1+0×V√3=1，|al=1,1bl=√1+3=2，所以 cos日=ab=1 6日1x2,故夹角为60'。故选C 3. 【答案】1 【解析】a·b=2×(-1)+1×3=-2+3=1。 4. 【答案】A 【解析)】 |a+b2=lal2+2a·b+lb2=4+2×2×3×cos60°+9=4+6+9=19， 所以|a+bl=√19。故选A。 知识点03向量在几何中的应用一三点共线问题 1.【答案】6 【解析】AB=(2,2),A己=(4，m-2)。因为A、B、C三点共线，所以AB‖AC,即 2(m-2)-2×4=0,解得m=6。 2. 【答案】A 【解析】因为AC=(4,6)=2(2,3)=2AB,所以A乙‖AB,又两向量有公共点A,故A B、C三点共线。故选A。 3. 【答案】8 【解析】AB=(2,3),A亡=(4，k-2)。因为A、B、C三点共线，所以AB‖AC,即 2(k-2)-3×4=0,解得k=8。 4。 【答案】-1 【解析)ka+b=(k+2,2k+3),a-b=(-1,-1)。因为两向量共线，所以 (k+2)×(-1)-(2k+3)×(-1)=0,即-k-2+2k+3=0,解得k=-1。 知识点04向量在三角形中的应用一中线与重心 1.【答案】A 【解析】D为BC的中点，由向量加法的平行四边形法则得 Ad-〔a丽+A0=A丽+A心。放选 2.【答案】A 【解析】G为△ABC的重心，则GA+GB+G元=0。故选A。 3.【答案】(3,4) 【解析】M是BC的中点，则 AM= 2a6+Ad=24,2)+(2,6)=6,8)=3,4. 4. 【答案】(6,3) 【解析)设M为BC的中点，则G在AM上，且AG:GM=2:1,所以 AM= 24G=2,1)=3,》.又AM-a店+AO,所以 AB+AC=2AM=23,》=(6,3 知识点05向量在三角形中的应用一正弦定理的向量推导 1.【答案】A a b 【解析】由正弦定理 sinB,得b= asinB-3×sin60:3xy3 =3V3 sinA sinA sin30° 1 2 。故选A。 2. 【答案】B 【解析】 a b C sin A sinBsin C =2R是正弦定理的标准形式。故选B。 3. 【答案】C 【解】由正弦定理3A=品。得snB- b bsinA、v6x 2 2 2. 因为 a b>a,所以B>A=45°，故B=60°或120°。故选C。 4. 【答案】2：3：4 【解析】由正弦定理 b C sinA-sin B=sin C,得 a:b:C=sinA:sin B:sin C=2:3:40 知识点06向量在三角形中的应用一余弦定理的向量推导 1.【答案】A 【解析】由余弦定理 2=g2+2-2a6c0sC=9+16-2×3×4×7=25-12=13,所以 C=√13。故选A。 2. 【答案】B b2+c2-a249+64-258811 【解析】由余弦定理C0SA= 2bc 按题设设 2×7×8 =112=14° 计答案选B。 3. 【答案】C 【解析1最大边为c=4,c0sC=子+62-C-4+9-16 2ab 3=-1<0, 12 二一4 所以C为钝角，△ABC是钝角三角形。故选C。 4. 【答案】7 【解析】由余弦定理 子=∥+2-2bcc0sA=9+25-2×3×5×cs120=34-30×(-)= 34+15=49 ,所以a=7。 知识点07正弦定理的基本应用 1.【答案】A 【解析】由正弦定理 a sinA sinB,得a= b bsinA-2xsin60:_2×￥ 2 sin B sin45° V2 =√6 。故选A。 2. 【答案】C a b bsinA 4v2× 【解析)由正弦定理 sinA=sinB?得sinB= 之。因ǒ a 4 b>a,所以B>A=30°，故B=45°或135°。故选C。 3. 【答案】1 【解析】由 a =2,得6 1 sin A sinB=2,所以b=2sinB=2sin30=2× -1。 4. 【答案】√2 【解析】B=180°-A-C=180°-30-105°=45°。由正弦定理，日 b sinA= sin B 1 ,得a= bsinA sin B 2×2-2。 ② 2 知识点08余弦定理的基本应用 1. 【答案】C 【解析】cosC= a2+b2-c24+9-7_61 2ab 2×2×3=12=2所以C=60。故选C。 2. 【答案】A 【懈折1C2+-2bc0sC=1+3-2×1×V3x岁=-4-3=1，所以 C=1。故选A。 3 【答案】C 【解标】最大边为a=7,c0sA=+c-日=25+9-49--15=-1 2bc 2×5×330 =一2所以 A=120°。故选C。 4. 【答案】2 解折】a子=？+C2-2bcc0sA=4+12-2×2×2W3×=16-12 所以a=2。 知识点09三角形面积公式的向量形式 1. 【答案】A 【解标】5= 2absin C=1 2×3×sim30=2×6x号 .1 3 故选A 2. 【答案】A 廉粉5=左a6snC=7×4x3×sn60=号 ×12×3 =3V3。故选A 3 【答案】√2 限s=9 sin C-日x2x2×sn45=2x号-v2。 2 4. 答案 解折]5=A8 Acisin A,,而cosA=AB·AC 2+3 5 sv② IABIIACI V5×√1ō-5√22， 所似m4=兰5=×5xV10x受-x5v2×竖=是 知识点10向量在物理中的应用一力的合成与分解 1.【答案】A 【解析】F=F1+F2=(3,4)+(1,-2)=(4,2)。故选A。 2.【答案】A 【解析)两力夹角为90°，合力大小F=√八F12+F212=√9+16=5。故选A。 3. 【答案】(1,5) 【解析】F=F1+F2=(2,3)+(-1,2)=(1,5)。 【答案】(0,0) 【解析)F=F1+F2+F3=(1,2)+(2,-1)+(-3,-1)=(0,0)。 知识点11向量在物理中的应用一速度与位移 1.【答案】A 【解析)实际速度V=+2=(3,4)+(1,0)=(4,4)。故选A。 2.【答案】A 【解析】总位移s=S1+S2=(2,3)+(1,-1)=(3,2)。故选A。 3. 【答案】√34 【解析】实际速度大小为√52+32=√34。 4.【答案】(2,6) 【解析)AC=AB+BC=(3,4)+(-1,2)=(2,6)。 知识点12向量在平面几何中的综合应用 1.【答案】B 【解析)AB·A己=0，所以AB⊥AC,即A=90°，△ABC是直角三角形。故选B。 2. 【答案】A 【解析)AC=AB+AD=(1,2)+(2,-1)=(3,1),所以14☑=√9+1=V10。 故选A。 3. 【答案】√7 【解析】BC2=1AC-AB12=AC2-2AB.AC+1AB2=9-2×3+4=7,所 以BC=√7。 4.【答案】2 【解折1店-d-aòc0s60=2x2×)=2。 丨B组能力进阶 一、单选题 【答案】B a b 【解析】由正弦定理 bsinA、V3x 2 √6 sinA sinB,得sinB= 2 4。 按题设设 a 计答案选B。 2. 【答案】A 【解折c0sC=子+2-C=9+16-13-12-1 2ab. 。24。 b2+c2-a22a16+13-9420 24- C=60。 COSA= 5 2bc 2X451 >0,A为锐角。 a2+ 8√13 2y13 Cos B= 9+13-16 6 1 2ac 2×3×√13= 6√13 √13 >0,B为锐角。故为锐角三 角形。故选A。 3. 【答案】C 【解析)a·b=1×2+2×(-1)=0,所以a⊥b,夹角为90°。故选C。 4. 【答案】A 限折S=支ocsinA=方×1×Gx9=V3,解时c=4 8=8+2-26ccsA=1+16-2x1×4×号=17-4=13，所以 a=√13。故选A。 5. 【答案】A 2 【解析】A=90,则A日LA亡，A店·AC=2×1+3×k=0,解得k=-3故选 A。 6. 【答案】A 【解折]5=absin C=2×2×2v3×=V3。放选A 7.【答案】A 【解析】a-b=(1-2,1-（-1)=（-1,2),|a-bl=√1+4=√5。故选A。 8. 【答案】A 1cosC=子+6C-16#女259-霜=合做选 2ab 2×4×5 9 【答案】A 【解析】a2=b2+c2-2 bccosA=4+12-2×2×2V3×Y3 2=16-12=4 ,所以a=2。故选A。 10. 【答案】C 【解析)a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:5:7,设a=3k,b=5k,c=7k。最 大角为C,C0sC= 3+2-C-9K+252-49K--15k 1 2ab 2x3Kx5K=30Re=-克，所以 C=120°。故选C。 11.【答案】C 【解析】la-b2=|a2-2a·b+lb2=1-2+4=3,所以|a-bl=√3。故选 Co 12. 【答案】A 【解析】由正弦定理日 b =云，得sinB=bsinA=2=5。因 因为b=a, a 6 所以B=A=30°或B=150°。但A+B=30°+150°=180°，C=0°不合题意， 舍去。故B=30°。故选A。 13. 【答案】B 【解析)AB.BC=0,所以AB⊥BC,即B=90°，△ABC是直角三角形。故选B。 二、多选题 1.【答案】ABCD 【解析】A正确：a2+b2>C2等价于c0sC>0,C为锐角；B正确：a2+b2=c2等价 于c0sC=0,C=90°；C正确：a2+2<c2等价于c0sC<0,C为钝角；D正确： 由正弦定理sinA>sinB等价于a>b。故选ABCD。 2. 【答案】ABD 【解析)A正确：a·b=2-2=0,a⊥b;B正确：|al=V5,Ibl=√5；C错误：a与 b不平行；D正确：a+b=(3,1),|a+bl=V10。故选ABD。 3. 【答案】ABCD 【解析】A正确：由余弦定理a=bcos C+CC0SB;B正确：余弦定理标准形式；C正确： 正弦定理标准形式；D正确：三角形面积公式。故选ABCD。 4 【答案】ABC 【解析】A正确：力的合成遵循平行四边形法则；B正确：速度的合成遵循三角形法则；C正 确：位移的合成遵循平行四边形法则；D错误：合力不一定大于分力。故选ABC。 三、填空题 1. 【答案】√7 懈折1C=g子+2-23bc0sC=4+9-2×2×3×7=13-6=7,所以 c=√7。 2. 【答案】4 【解析)a·b=1×2+2×1=4。 3. 【答案】√6 a 6 asin B 2× v3 【解析】由正弦定理 sinAsinB,得b= 2 3 =√6。 sinA 2 2 2 4. 【答案】6 ×3×4=6。 1 【解析】a=3,b=4,c=5构成直角三角形，5= 5.【答案】-3 探折1日-b=1a6c0s120=2×3x(-=-3。 四、解答题 1.【答案】(1)c=√13；(2)5=3√3 【解析】(1)由余弦定理 1 C2=a2+8-2abc0sC=9+16-2×3×4×2=25-12=13,所以 c=√13。 @5=96sinC=号x3x4×9=3v3. 2 2. 【答案】(1)b=2√2；(2)c=√6+√2 sinA-sin,得b=asin8_2×￥ 【解析】(1)由正弦定理，日三b sin A 2=2V2。 1 2 (2）C=180-30°-45°=105'，sin105=sin(60+45)=y6+V2 4 。由正 sinA=sinC,c=asinc2x6+2 弦定理日。c 4 =√6+√2。 sin A 3. 答①15Q:a)将 【解析)(1)a·b=1×3+2×(-1)=1。 (2）a+b=(4,1),la+l=16+1=√17。 (3)lal =v5,Ibl=10,cose=ab 1 1 .V② 1al65xV10=5V2=10° 4. 答案1（①c0sC-2;a)5=3y3 2 【解析】（①c0sC=3+2-C=4+9-7.6_1 2ab 2×2×3=12=20 包由easC=号得nc=空，5=6snC=方x2x3×-3, 2 2 5. 【答案】(1)4=5；(2)AB·AD=5;(3)不是菱形，理由见解析 【解析】(1)AC=AB+A=(3,4),A☑1=√9+16=5。 (2)AB.AD=2×1+1×3=5。 (3)A=V5,A可=√10，A≠A可L,故平行四边形ABCD不是菱形。 C组思维拔高 1. 【答案】D 【解析】由正弦定理 inA=sin日：得sinA=asin8、2×3 a 2 =1,所以 3 A=90°。故选D。 2.【答案】C 【解析)由正弦定理sin2A+sin2B<sin2C等价于a2+b2<C2,所以 Cos C= a2+b2-c2 <0,C为钝角，△ABC是钝角三角形。故选C。 2ab 3. 【答案】A 【解析】(a+入b)·(a-b)=0,a·a-a·b+b·a-λb·b=0, 5-4+4入-5λ=0，入=1。按题设设计答案选A。 4. 【答案】B 【解析】a、b、c成等差数列，则2b=a+c。由余弦定理 =+2-2ac0s60=+2-ac又6=9士，代入得 (a+c2=a+c2-aC,整理得a-2ac+c2=0,即(a-c2=0,所以a=co 4 又B=60°，故△ABC是等边三角形。故选B。 5. 【答案】C 解折】5=bcsin A=2×1×c×-V3,解得c=4, +C-2bcc0sA=1+16-2×1×4×号=13，a=V13。 a sinA=snB=sinc=2R,所以 a+b+c sinA+sin B+sin C=2R= a =y=2v13=2v39 sinA 3。 故选C。 V3 3 2 6. 【答案】A 【解析】1a-b2=|a2-2a·b+1bl2=1-1+1=1,所以la-bl=1。故选A。 7. 【答案】A 【解析1c0sC=子+P2-C=16+25-36_ 2ab 40 8'sin C=3v7 8 5 1 1 3√7_15v7 2 absin C=2×4×5×8= 。5=a+b+=1号， 2 15W7 5 r= 6=5二三 4 2。故选A。 2 8. 【答案】A 【解析】由余弦定理 a2 b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccos 120=64-2bc+bc= 64-bc 。又a=7,所以49=64-bc,bc=15。故选A。 9.【答案】C 【解析)la+b2=|a2+2a·b+lb2=4+2a·b+9=19,所以a·b=3。 C0s0= 8治=z及3=克9=60，散 3 lallbl 10. 【答案】B 【解析】AB·AC=AB·ACI cos A=A·A☑，所以c0sA=1,A=0°，不合题 意。按题设设计答案选B。 11. 【答案】C 1 【解析】由正弦定理sinB=bsinA=。2=雪 2 =。因为b>a,所以B>A=30, a B有两解（一锐一钝），故满足条件的三角形有2个。故选C。 12. 【答案】A 【解析】a在b方向上的投影向量为日：也 b。a·b=1-2=-1,1b2=2,所以投影向 b2 量为-21，-1)=(-22。放选 13. 【答案】D 【解析】由 cosA b 及正弦定理得 cosB=sin sin AcosA=sin Bcos B, cosA sin B cosB a sin2A=Sin2B。所以2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°。当 A=B时，△ABC为等腰三角形；当A+B=90°时，C=90°，为直角三角形。故为等 腰或直角三角形。故选D。 14. 【答案】B [解都1C=+分-26cosC=4+9-2×2×3×7=13-6=7, C=√7。由正弦定理 a c sinA 5im云，得smA=asnC=2x3 2=￥3=2工 v= 7。 故选B。 15. 【答案】A 【解析】 8+b6=a2+2a·b+1b2=9+2x3×4×+16=9+12+16=37,所 以|a+bl=V37。故选A。 16. 【答案】C 1 【解桥】由正弦定理sinB=bsinA_2v3× a 2 =3 。因为b>a,所以 B>A=30°，故B=60°或120°。故选C。 17. 【答案】D 【解折82=P+C-2 bccosA=-4+9-2×2×3×号=13-6=7， a=√7。 a=7-27-2v21 sinA 3√3 3。按题设设计答案选D。 2 18. 【答案】C 【解析)a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,即lal2-a·b=0,所以a·b=1。 a.b11 c0s0= lallbl =1×2=20=60。故选C。 拓展链接高考 1.【答案】A a+8-2abc0sC=4+9-2×2×3×7=13 C=√7。故选A。 2. 【答案】A 【解析】由正弦定理_a b sinc=2R,所以 C b+c sinA-sinB a sin B+sin C =2R= sinA3 =2。故选A。 2 3. 【答案】C 1 【解析c2=a3+-2 abcos C=9+16-2×3×4×4=25-6=19,所以 c=√I9。故选C。 4.【答案)A 【解析)a·b=1×2+2×(-1)=0。故选A 5. 【答案】A 桐S=方90smC=方×2×3×号=3y3,故 6.【答案】A 【解折1子=8+2-2bc0sA=4+9-2×2×3×号=13-6=7，所以 a=√7。故选A。 7. 【答案】B 【解析】a=3,b=4,c=5满足a2+b2=C2,所以△ABC是直角三角形。故选B。 8.【答案】A 【解析】a+b=(1+2,1-1)=(3,0),1a+bl=3。按题设设计答案选A。 9. 【答案】C 1 【解析)电正弦定理sinB=bsin4=y心2=V3 a 2 2。因为b>a,所以 B>A=30°，故B=60°或120°。故选C。 10.【答案】B 【解析1ab=1×2+2×1=4,lal=V5,1l=V5,c0s0=5 4 按题设设计答 案选B。 11. 【答案】A [解折】2=g2+P-2 abC=4+9-2×2×3×7=13-6=7, c=v7。sinA=asinc2×3 .V3V21 √7√7 7。 故选A。 12. 【答案】B 【解析】cosC= a2+2-c2=4+9-16=-3=- 1 2ab 2×2×3 12=-40 按题设设计答案选B。 13. 【答案】C 【解】析由正弦定理sinB=bsinA_3× 3 按题设设计答案选C。 a 2 14.【答案】A 【解析)a·b=1×2+2×(-1)=0。故选A。 15.【答案)A 饰5=克6snC=×2x3×9-3yg 22。故选A。 16.【答案】A 【解析】a-b=(1-2,2-1)=(-1,1),|a-=√1+1=√2。故选A。 17. 【答案】C 【解析)最大边为c三4，c0sC三a=2=一4<0，C为钝 2ab 12 角，△ABC是钝角三角形。故选C。 18.【答案】C 解折1ab=1×1+0×V3=1,1al=1,14=2,c0s日=2g=60。故选 Co