第6章 平面向量及其应用 习题课(2)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

习题课(2) 基础过关) 1.在△ABC中，若b2=a2十c2+ac,则B等于 A.60 B.45或1359 C.120° D.30° 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin A+bsin B<csin C,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 3.在△ABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，A=60°，b=1,这个三角形的面积为√3，则a等于 ) 数 A.2 B.√10 C.2√3 D.√/13 女.在△ABC中，内角A,B.C所对的边分别为Q,b,c.若。=4,6=5，c=6,则乙的值为 A品 B.1 c D.i h 5.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a十c,b),q=(b-a,c一a),若 p∥q,则角C的大小为 ) 物 A.君 B香 c. 2π D. 三 6.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2十c2一b2)tanB=√3ac,则角B的值为 A B. 3 D.5x 6 郊 7.若△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为3，则其外接圆的直径为 号 B.92 4 D.9√2 8.一船以22√6k/h的速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°方向，1小时30分 后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°方向，则灯塔S与B之间的距离为 km. 9.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C一√2 asin C=bsin B,则 B= 10.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8：5，则这个三角形的面积 为 11.在△ABC中，BC=√5，AC=3,sinC=2sinA. (1)求AB的值； (2)求sin(2A-平)的值. 12.在△ABC中，已知，b,c分别是角A,B,C的对边，若a+b=cosB+c0sA,试判断三角形的 a cos B 形状 ■能力提升) 1.在△ABC中，若a2=bc,则角A是 () A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 2.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,A=号，a=6,若a一b=cosB-ceos A,则 △ABC的面积可能为 () A.2√3 B.√3 C.√6 D,33 2 3.在锐角三角形ABC中，2B=A十C,AC=√3，BA·BC的取值范围是 ABC中，点D在边BC上，ADLAC,sin∠BAC B D 3√2，AD=3,则CD的长为 19 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A= 3a=2 (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)求b2+c2的取值范围. 6.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB+sinC=√3，试判断△ABC的形状. 20无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 7.(2022·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三 个正三角形的面积依次为S,S,S,已知S-S十S-停，mB=子 (1)求△ABC的面积； (2②若in Asin C-号，求6的值 8.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)= sin Bsin(C-A) (1)证明：2a2=b2+c2; (2)若a=5,cosA= ，求△ABC的周长. 25sin C=2sin A cos B,sin(A+B)=2sin Acos B,.'sin(A- B)=0,A=B,∴△ABC为等腰三角形.“5=合a-子， nc=是a+子-子=+-子， ∴sinC-+-C,又由余弦定理可得cosC=+一C 2ab 2ab sinC=cosC,即tanC=l,:Ce(0,xC=平.】 5.C[解析：如图所示，连接BD,由余弦 A 定理得在△ABD中，BD2=4十16-2X 2×4CosA=20-16cosA,在△CBD中，B BD2=16+36-2×4×6cosC=52 48cosC,,A+C=180°，.20-16c0sA= 52+48c0sA,解得cosA=-合A= 120,C=60°.S=SaAm+Sam=号×2X4×sin120°+7× 4×6×sin60°=8V3.故选C.] 6.解：(1)f(x)=sin xcos-cos2(x+于），x∈R.化简可得 f)=号m2z-合-合cos(2x+受）=合sm2z十 合sn2x-号=sn2z-7,由-受+2kx≤2x≤受+2kx,k∈ 乙.可得-十kx≤x≤牙+，k∈乙，函数f(x)的单调递增 区间是[-牙十m,年+x]∈乙 (2)由f(号)=0，即smA-合=0，可得snA=合，：0<A< 受∴0sA=由余弦定理4=分+C-2次0sA,可得1十 2 √3bc=b2+c2.6+c2≥2bc,当且仅当b=c时等号成立.∴1+ VB6c>2c,bc≤2+V3.△ABC的面积为S=号csinA≤ 2生，放△ABC面积的最大值为2中 4 习题课(2) 【基础过关】 l1.C【解析：：b=a2+c2-2 accos B=a2+c2十ac,∴.ac -2ac0sB,cosB=-合，又0°<B<180,B=120.故选C】 2.C[解析：根据正弦定理，可得a2十b<c2.故由余弦定理，得 cosC=a+-C<0,故C是纯角，△ABC是钝角三角形.故 2ab 选C.】 3.D【解析：依题意得S=之tesin A=之×1 Xesin60=E,解 得c=4,由余弦定理，得a=√+42-2X1×4cos60=√/13. 故选D.1 4.B【解析：由余弦定理，得c0sA=+-d=25+36-16 2bc 2×5×6 子，所以即2-2血8sA-2agsA-sA=1.故选B.】 sin C sin C C 3 5.B【解析：由p∥g,得(a十c)(c-a)-b(b-a)=0,即c2- 2-f十ab=0,即心+-合=60sC,又Ce0,.所以 2ab C=牙故选B】 6.BC【解析：cosB=+C-,a2+2-B=2 accos B, 2ac 代入已知等式，得2ac·cos Btan B=ac,即sinB-9,则B= 牙或牙故选BC.】 7.B【解析：设另一条边长为x,则由余弦定理得x2=2+32一 2×2×3×号=9，x=3.设c0s0=号，0为长度为2,3的两边 的夹角：则血8--华吸-品。立 3 3 平即外接圆的直径为平故选B】 8.66【解析：如图所示，∠ASB=180°-个北 15-45=120,AB=26×号- 33V6(km),由正弦定理，得35 sin120°= SB sin45SB=66km.】 S A 9.45°【解析：由正弦定理，得a2十c2- V2ac=B,由余弦定理，得=d2+C一2 acos B,故cosB一号. 又因为B为三角形的内角，所以B=45°.] 10.40√3[解析：设另两边长分别为8x,5x,x>0,则由余弦定 理，得c0560-64+25-1出-方，解得x=2或x=-2(合 80x2 去)，则另两边长分别为16,10，所以三角形的面积为S=号× 16×10×sin60°=40√3.] 11.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得AB=simC·BC= sin A 2BC=2√5. (2)在△ABC中，根据余弦定理的推论，得cosA= CC=25,A-万= 2AB·AC 5 sm2A=2 2sin Acos A=号，cos2A=coA-simA=号， ∴sn(2A-子)=sn2A·cs子-eos2As子-g 12.解：方法一由正弦定理知a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,R为 △ABC外接圆的半径.a+b=cosB+cosA,由正弦定理得 a cos B sin A+sin B cos B+cos A,.'.sin Acos B+sin B.cos B= sin A cos B sin Acos B++sin Acos A,.'.sin Bcos B=sin Acos A,.'.sin 2B= sin2A,·2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A十B=受， .△ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法三由+6osB十c5A,得1+1+8合，即 a cos B a a b2+c2-a2 合由余弦定理，得mA 2bc 62+c2-a2 2ac b=a(6+c2-a2) a=6aT=3a(你+e2-a2)=f(a2+c2-),a2c- (4,6] a=6c2-b,c2(a2-6)=(a2-)(a2+b)..a2=或c2= (2)由(1)知8+e=9(smB+simC) a2+.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 【能力提升】 9[1+sin(2c-吾)]c∈(o,号)，÷2c-晋∈ 1.A【解析：：cosA=+-心=公+2-c= 2bc 2bc (-吾得)…2m(2c-吾)e(-},]+e 《b)十4>0,0°<A<90°，即A是锐角.放法A [1+7sm(2c-吾)]e4,8 2bc 6.解：(1)，2 asin A=(2b一c)sinB+(2c一b)sinC,由正弦定理 2.BD[解析：a一b=ccos B一ccos A,∴.a一b=c· 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=2+c2-a2,∴.cosA= 。+2-&-c.+-a,去分母得2a2b-26a=a2b+e2b 2ac 2bc +E-号0<A<180,A=60 2bc b-(ba十c2a-a3),整理得ab(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2- (2)A+B+C=180°，∴.B+C=180°-60°=120°，由sinB+ C),当a-b=0时，△ABC为等边三角形，则5ac=2× sinC=√3，得sinB+sin(120°-B)=√3，.sinB+sin120°· 6r×号-3，当a-6≠0时，b=d+ab+公-，即a2+ cosB-os120snB=5,号shB+9cosB=v5,即 2 分=C,得△ABC为直角三角形，则5ae=名×，5×答-反 sin(B+30°)=1.又0°<B<120°，∴.30°<B+30°<150°， .B+30°=90°，即B=60°，∴.A=B=C=60°，∴.△ABC为正三 √3 角形 故选BD.] 3(1,2]【解析：因为2B=A+C=x-B,即B=号，又A 7解，1由题意得S=宁·。…号-9。，品-9,8 4 mCnB32,所以Bi·BC=cacos B2ac○ sin号 2,则s-5+s-9。-98+e-号，即d+e F=2,由余弦定理得c0sB=。+c一位，整理得ac0sB=1,则 2 n Asin C,因为A=ξ-C,所以B时·成=号 2ac 1 0<c<受 cosB>0.又：sinB=分，则cosB=√1-（日）-29ac 3 sim(2C-晋)，由锐角三角形ABC知 0<A<受 即<C< cos B 4 8 受所以看<2C-晋<号BBCc(1,]1 (2)由正弦定理得品B=品A-C则B=品· 32 4.3W3[解析：因为AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+ C ac 90)=os∠BAD=22,又AB=3V,AD=3,所以BD= sin C "sin Asin C 3 AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-2X3W2X3X 8.(1)证明：因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sinC· sin Acos B-sin Csin Bcos A=sinB sin C cosA-sin Bsin A. 2=3,所以BD=尽，所以cos∠ADB=AD+BDAB= 3 2AD·BD cosC,所以ac.。+e-E-2c·+2-a--ab. 2ac 2bc -号，故ms∠ADC=-os∠ADB=9,又 2×3X√5 。+5c,即心+g-B-（心+2-4)=-2+-C,所以 2ab 2 2 eos∠ADC=品所以CD=3.1 2a2=b2+c2. 5解：1)方法-：A=晋a=2,又：cosA-十C (2)解：因为a=5,msA-票由1)得分十2=50，由余弦定理 2bc +c-2bc=a,（6+c)-4=3c≤3.b+c),即b+c≤ 可得a=8+d-2cosA,则50-c=25,所以c=号，故 2bc 4 (b+c)2=b+c2+2bc=50+31=81,所以b+c=9,所以 4,当且仅当b=c=2时，b+c=4,又b+c>a,∴.C△ABc=a十b十 △ABC的周长为a+b+c=14. c∈(4,6]. 2 4 第七章复数 方达二由正弦定理得血sn心mA如奇 7.1复数的概念 b后nB=后mc,B-号-C6+c=清（nB+ 7.1.1数系的扩充和复数的概念 【基础过关】 sim0=4sim(c+吾)，：c∈(o,ξ)，∴c+吾∈(g,g), 1.A【解析：根据复数的基本概念，可得复数2-的实部为 b+c=4sim(C+吾)∈(2,4]，又a=2,CaM=a+b+c∈ 2.故选A.] 83