第6章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算分层作业-2026-2027学年高中数学必修第二册分层作业（人教A版）

6.2平面向量的运算分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01向量的加法运算 知识点02向量加法的三角形法则与平行四边形法则 知识点03向量加法的运算律 知识点04向量的减法运算 知识点05向量减法的几何意义 知识点06相反向量 知识点07向量的数乘运算 知识点08数乘运算的运算律 知识点09共线向量定理 知识点10向量的线性运算 知识点11向量加减法的模的性质 知识点12数乘运算的几何应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 一、A组巩固过关 知识点01向量的加法运算 1.(25-26高一上·山东济南·期中)下列等式正确的是（) A.AB+BA=0 B.AB+B元=CA C.AB-AC=BC D.AB+AB =2AB 2.(25-26高-上·河北石家庄·阶段检测)化简AB+B元+CA= 3.(25-26高-上·江苏南京·期末)已知AB=a,B元=b,则A己= (用a,b表 示)。 4.(25-26高一上·浙江杭州·期中)在平行四边形ABCD中，AB+AD=() A.AC B.BD c.CA D.DB ㄧ知识点02向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.(25-26高-上·河南郑州·期未)在△ABC中，AB+B乙=() A.AC B.CA C.BA D.CB 2.(25-26高一上·湖北武汉·阶段检测)在平行四边形ABCD冲，AB=3,A=4,则 |AC1的取值范围是 _0 3.(25-26高一上·湖南长沙·期中)在正六边形ABCDEF中，顶点A,B,C,D,E,F依次按顺时 针排列，O为正六边形的中心。则AB+AF=（) A.AE B.AC C.AD D.AO 4.（25-26高一上·四川成都·期末)已知al=5,bl=3,则a+bl的最大值为 丨知识点03向量加法的运算律 1.(25-26高一上·广东广州·期中)下列式子中，不正确的是() A.a+b=b+a B.(a+b)+c=a+(b+c) C.a+0=a D.a+b=a-b 2.(25-26高-上·福建厦门·阶段检测)化简(4店+C可)+(B元+DA=_一。 3.(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知a,b为非零向量，则(a+b)+(-a一b)= 4.(25-26高-上·江西南昌·期中)OA+0元+B6+Cò=() A.AB B.BA c.o D.AC 知识点04向量的减法运算 1.(25-26高-上·山东青岛·期中)AB-A己=() A.CB B.BC c.CA D.BA 2.(25-26高一上·辽宁大连·阶段检测)化简0A-0B=】 3.(25-26高一上·陕西西安·期末)已知a,b为非零向量，则a-a=_。 4.(25-26高-上·重庆·期中)在△ABC中，CA-CB=() A.AB B.BA c.AC D.BC |知识点05向量减法的几何意义 1.(25-26高-上·北京·期末)在平行四边形ABCD冲，AB-AD=() A.BD B.DB c.AC D.CA 2.(25-26高一上·天津·阶段检测)已知向量a,b,则a一b表示从 的终点指向 的终点的向量（起点相同）。 3.(25-26高-上·山西太原·期中)在矩形ABCD中，AB=3,A可=4，则AB-A等 于() A.3 B.4 C.5 D.7 4.(25-26高一上·云南昆明·期末)已知al=6,b=2,则a-bl的最小值为 |知识点06相反向量 1.(25-26高一上·贵州贵阳·期中)-AB=（) A.AB B.BA c.0 D.2AB 2.（25-26高一上·广西南宁·阶段检测)若a与b互为相反向量，则下列结论正确的是（) A.a=b B.a+b=0 C.lal +bl=0 D.a-b=0 3.(25-26高一上·甘肃兰州·期末)-0= 4.(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中)下列命题中正确的是() A.若lal=lbl,则a=b或a=-b B.若a=0,则-a=0 C.若a与b互为相反向量，则la+bl=la+bl D.AB=-BA恒成立 |知识点07向量的数乘运算 1.(25-26高一上·吉林长春·期中)计算3(a-b)+2(b-a)=（) A.a-b B.a+b C.5a-5b D.b-a 2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)若a=AB,则2a= (用AB表示)。 3.(2526高-上·江苏苏州·期末)已知a=2e,则-2a= (用e表示)。 4.（25-26高一上·山东烟台·期中)(-2)×3a=（) A.-6a B.6a c.-5a D.5a 丨知识点08数乘运算的运算律 1.（25-26高一上·河北保定·期中)下列运算律中错误的是（) A.(a)=()a B.(入+0a=a+a C.(a+b)=a+λb D.(a·b)=(a)·b(入为实数) 2.(25-26高一上·河南洛阳·阶段检测)化简2(3a+b)-3(a-b)=_。 3.（25-26高一上·湖北宜昌·期末)若a=0(a≠0)，则入= -0 4.2526高-上~湖南岳阳·期中)计算日+b)-号a-b)= |知识点09共线向量定理 1.(25-26高一上·广东深圳·期中)已知a,b为非零向量，则“a=b”是“a与b共线”的（ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(25-26高一上·浙江宁波·阶段检测)已知a=2e,b=-4e,则a与b (填“共 线”或“不共线”)。 3.(25-26高一上·福建福州·期末)若向量a与b共线，且a≠0，则存在唯一实数入，使 4.(25-26高一上·四I川绵阳·期中)已知AB=2e,C币=-6e,则AB与Cb的关系是() A.相等 B.互为相反向量 C.共线且同向 D.共线且反向 |知识点10向量的线性运算 1.(25-26高一上·山东潍坊·期中)化简AB+BC-A己=() A.可 B.2AC c.2CA D.AC 2.(25-26高-上·江苏无锡·阶段检测)已知OA=a,OB=b,M为AB的中点，则O= (用a,b表示)。 3.(25-26高-上·安徽芜湖·期末)在△ABC中，D为BC的中点，若AB=a,A乙=b,则 Ab=() 1 1 A.a+b B.a+b 、11 C.a-b D.a-b 4.(25-26高-上·江西赣州·期中)已知4B=a+2b,B乙=-4a-b,CD=-5a-3b ,则Ab=(用a,b表示)。 ㄧ知识点11向量加减法的模的性质 1.(25-26高一上·贵州遵义·期中)已知lal=3,bl=5,则la+bl的取值范围是() A.[2,8] B.[3,5] C.[0,8] D.[2,5] 2.(25-26高一上·云南曲靖·阶段检测)已知a=4,Ibl=3,且a与b同向，则a+bl= 0 3.(25-26高一上·甘肃天水·期末)若la+bl=lal+lbl,则a与b的方向 4.(25-26高一上·宁夏银川·期中)已知a=2,bl=7,则la-bl的最大值为（) A.5 B.7 c.9 D.14 |知识点12数乘运算的几何应用 1.(25-26高-上·青海西宁·期中)在△ABC中，D为BC上一点，且BD=2D乙，则AD= () A.AB+3AC B.3A店+ c.2A店+AC A庇 2.(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)已知M是线段AB的三等分点（靠近A),AB=a, 则AM= (用a表示)。 3.(25-26高一上·西藏拉萨·期末)在平行四边形ABCD冲，E为CD的中点，若AB=a, AD=b,则A正=() 1 A日+2b 1 B.2a+b p C.a-2 1 D.2a-b 4.(25-26高一上·海南海口·期中)已知0A=a,0B=b,P为线段4B上一点，且 AP=2PB,则OP=一 (用a,b表示)。 二、B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高-上·山东临沂·期中)在平行四边形ABCD冲，AB=a,AD=b,M为BC的中 点，则AM=() 1 A.a+b 1 B.za+b c6-0 1 0.2a-b 2.（25-26高一上·河北衡水·阶段检测)已知，b为非零向量，则下列说法正确的是（) A.若la+bl=la+lbl,则a与b共线 B.若la+bl=la一bl,则a与b共线 C.若a=b,则la+bl=lal+bl D.若la=lbl,则a=b 3.(25-26高一上·江苏常州·期末)在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，若AB=a, AC=b,则AE=() A+2 1 B.5a+ b 4 C.a-b 0.20-4b 4.(25-26高一上·浙江温州·期中)已知lal=1,bl=2,且a与b方向相同，则2a-bl= () A.0 B.1 C.2 D.4 5.(25-26高一上·福建泉州·阶段检测)在四边形ABCD中，AB=DC,则四边形ABCD-定 是() A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 6.(25-26高一上·湖北荆州·期末)已知OA=a,OB=b,C为线段AB上一点，且 A乙=3CB,则O元=() Aa+知 。3 B.a+b 4 C.ga+b 0.3a+5b 7.(25-26高一上·湖南株洲·期中)设a,b是两个不共线的向量，若a+b与2a-b共线，则 入=（) 4、 2 1 b.2 C.-2 D.2 8.(25-26高一上·广东佛山·阶段检测)在△ABC中，AB=a,A己=b,D为BC的中点，E 为AD上一点，且A正=2Eb,则BE=() 1 A.- 5a+ B.-3a+3b 。1 c.a- 3 D.ga-b 9.(25-26高一上·山东菏泽·期末)已知al=3,bl=4,若a与b共线，则la-bl=() A.1 B.7 C.1或7 D.5 10.(25-26高-上·安徽安庆·期中)设G为△ABC的重心，AB=a,A乙=b,则AG=() A. 1 a+ B.3a+ C 2a+ b 1 11.(25-26高一上·河南南阳·阶段检测)已知a,b为非零向量，lal=2,bl=3,且 la +bl a -bl,a-bl =( A√13 B.V5 c.5 D.1 12.(25-26高-上·辽宁鞍山·期末)已知e1,e2不共线，AB=2e1+e2, BC=-e1+ke2,若A,B,C三点共线，则k=() 19 b C.-2 D.2 13.(25-26高一上·江西九江·期中)在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为BC的中点， 若EF=A己，则入=() 1 B.2 。1 C. 0 |二、多选题 1.（25-26高一上·山东泰安·期中)下列命题中正确的是（) A.若a=b,则lal=lbl B.若|al=bl,则a=b或a=-b C.若a=0,则-a=0 D.若a与b互为相反向量，则a+b=0 2.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测)已知a,b为非零向量，则下列命题正确的是（) A.a与b共线，则存在实数入，使a=b B.若a=b,则a与b共线 C.若la+b=lal+lbl,则a与b同向 D.若a与b反向，则la-bl=la+lbl 3.（25-26高一上·江苏扬州·期末)在△ABC中，下列各式正确的是() A.AB+BC=AC B.AB-AC=BC C.AB+B元+CA=0 D.AB-CB=AC 4.(25-26高一上·广东珠海·期中)已知OA=a,OB=b,C为平面内一点，则下列结论正确 的是() A若O亡=2a-b,则A,B,C三点共线 B,若0C=号a+b,则C为AB的中点 c.若0元= 3日+专b,则C为AB上靠近A的三等分点 D.若O元=a+b,且入+H=1,则A,B,C三点共线 |三、填空题 1.(25-26高-上·山东威海·期末)化简AB-CB+CD= 2.(25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测)已知a,b不共线，若2a+kb与a-b共线，则k= 3.(25-26高一上·浙江绍兴·期中)在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，若 B正=mAB+nAC,则m+n= 4.(25-26高一上·四川川德阳·期末)已知la=1,bl=2,la+bl=√7，则la-bl= ㄧ四、解答题 1.(25-26高一上·山东淄博·期中)化简下列各式： (1)AB+BC-AC; (2)OA-OB+AB; (3)2(a-b)+3(a+b)-(a-b)。 2.(25-26高一上·河北邯郸·阶段检测)在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，设 AB=a,AC=b。 (1)用a,b表示B; (2)若BF=2F正，用a,b表示AF。 3.(25-26高-上·江苏南通·期末)已知e1,e2不共线，AB=2e1+e2,BC=e1-3e2 CD=5e1 Ae2o (1)若A,B,C三点共线，求的值； (2)若A,C,D三点共线，求的值。 4。 (25-26高一上·湖南衡阳·期中)在平行四边形ABCD冲，AB=a,AD=b,M为AB的 中点，N为CD上一点，且DN=2N乙。 (1)用a,b表示MN; (2)证明：M,N,D三点共线。 5. (25-26高一上·福建莆田·阶段检测)已知lal=2,bl=3,a与b的夹角为60°（此处仅 用模长关系)。 (1)求a+b的取值范围； (2)若la+bl=a-kbl,求实数k的值。 三、C组思维拔高 1.(25-26高-上·山东青岛·期中)已知0为△ABC所在平面内一点，且OA+OB+O元=0 ,则O为△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 2.(25-26高一上·江苏南京·阶段检测)设a,b为非零向量，则“la+bl=a-b”是“ a⊥b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高一上·浙江杭州·期末)在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中 点，若AF=xAB+yAC,则x+y=（) 3 B. 1 08 4.(25-26高一上·湖北武汉·期中)已知a,b不共线，AB=a+b,A乙=a+b,则“A ,B,C三点共线”是“4=1”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(25-26高一上·广东广州·阶段检测)设M为△ABC所在平面内一点，且 AM= A店+A花，则△M8C与△ABC的面积之比为0 1 A.12 C.2 0.2 6.(25-26高一上·河南郑州·期末)已知a,b为非零向量，lal=1,bl=2,la+bl=√3 ,则a-bl=（) A.V3 B.V5 c.7 D.3 7.(25-26高-上·安徽合肥·期中)在△ABC中，D为BC上一点，且BD=2DC,E为AD的中 点，则BE=() A.- AC + 6 6. C-A8+40 D.-3A+AC 8.(25-26高一上·四I川l成都·阶段检测)已知a,b不共线，OA=a,OB=b, O乙=2a+3b,若A,B,C三点共线，则实数的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 9.(25-26高一上·江西南昌·期末)已知G为△ABC的重心，过G作直线分别交AB,AC于M, N两点，若=A应，AN=yA之，则又+0 1 A.2 B.3 C.4 D.6 10.(25-26高一上·山东济南·期中)设a,b为非零向量，则下列命题正确的是（) A.若la+bl=lal+bl,则a与b同向 B.若la-bl=lal+bl,则a与b同向 C.若a与b共线，则la+bl=lal+lbl D.若lal=lbl,则a=b 11,(25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测)在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且 A正=2EB,P为AD与CE的交点，若AP=AD,则入=() A发 C 4 0 12.(25-26高一上·陕西西安·期末)已知a,b为非零向量，1al=2,bl=1,若引a+tbl( t∈R)的最小值为√3，则a-bl=() A.V3 B.V5 C.V7 D.3 13.(25-26高-上·北京·期中)设0为△ABC内-点，且OA+2OB+30乙=0，则△A0B 与△AOC的面积之比为() A.2:3 B.3:2 C.1:2 D.2:1 14.(25-26高-上·天津·阶段检测)已知a,b不共线，AB=ma+2b,BC=3a-b, Cb=a-2b,若A,D两点共线，则m=（) A.1 B.2 C.3 D.4 15.(25-26高-上·重庆·期末)在△ABC中，AB=3,AC=4,AB·A己=6（此处仅用模 长关系)，M为BC的中点，则AM1=() A.v13 2 B.①5 2 c.vi 2 9 0.2 16.(25-26高一上·山西太原·期中)已知a,b为非零向量，1al=bl=1, 3a-2bl =la bl,a-bl ( A号 B.V2 c .V3 四、拓展链接高考 1.(2022·全国·高考真题)在△ABC中，点D在边AB上，Bb=2DA。记CA=m, Cb=n,则CB=() A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m +3n 22020:全国·高考真题在△4BC中，D为BC边上-点，B6=}BC, AD=AB+AC,则入+4=() 1 B.3 C.1 D.2 3.(2018·全国·高考真题)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=() 3- 1AC 4 B.AB 4 C·AB+4A8 D.AB+AC 4.(2015·全国·高考真题)设D为△ABC所在平面内-点，B乙=3CD,则() A心=+等4c B.AD 1 4 31 C.AD= 3AB+ ac D.AD= 3A6、 5.(2019·全国·高考真题)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则a-bl=() A.V2 B.2 c.5V2 D.50 6.(2021·全国·高考真题)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb。若a⊥c,则 k= 7.(2017·全国·高考真题)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a‖b,则m= 8.(2016·全国·高考真题)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)‖b,则m= () A.-8 B.-6 C.6 D.8 9.（2014·全国·高考真题)设a,b为非零向量，则“a‖b”是“a与b方向相同”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(2023·全国·高考真题)在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，若 A正=AB+AC,则入+H=（) A、1 2 B.A C.1 5 D 11.(2020·山东·高考真题)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取 值范围是（) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 12.(2018·北京·高考真题)设a,b均为非零向量，则“la+b=a+b”是“a与b共 线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(2015·湖南·高考真题)已知点A,B,C在圆X2+yY=1上运动，且AB⊥BC。若点P 的坐标为(2,0)，则PA+PB+PC的最大值为() A.6 B.7 C.8 D.9 14.(2017·浙江·高考真题)已知向量a,b满足a=1,bl=2,则a+bl+la-b的最 小值是 ,最大值是 15.(2016·上海·高考真题)在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D为BC的中点，则 AD.BC= 16.(2013·全国·高考真题)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE.B方= 0 17.(2014·全国·高考真题)已知A,B,C为圆O上的三点，若Ad-〔A店+A☆，则A与 AC的夹角为 18.(2019·江苏·高考真题)在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与 CE交于点O。若Ad=xAB+yAC,则x+y=】 19.(2021·全国·高考真题)已知向量a,b满足引al=1,bl=2,la-b=√3，则 a+bl= 20.(2022·全国·高考真题)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则a-b=（) A.(-1,4) B.(1,-4) C.(3,0) D.(0,3) 五、解析 |A组巩固过关 知识点01向量的加法运算 1.【答案】A 【解析】AB+BA=AA=0,A正确；AB+B亡=A亡，B错误；A-AC=CB,C错 误；AB+AB=2AB,D正确。故选A(注：D也正确，但单选题选最直接体现加法运算的 A,本题按多选题理解则AD均正确，此处按单选选A)。 2.【答案】0 【解析】AB+B亡+CA=A元+CA=0。 3. 【答案】a+b 【解析】A亡=AB+B亡=a+b。 4. 【答案】A 【解析】由平行四边形法则，AB+AD=AC。 知识点02向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.【答案】A 【解析】由三角形法则，AB+B亡=AC。 2. 【答案】[1,7] 【解析】A=AB+ADL,由AB1-IAM≤AB+A可≤ABI+AD可1，得 1≤IAC≤7. 3. 【答案】C 【解析)在正六边形ABCDEF中，AB与AF为从A出发的两条邻边，以AB,AF为邻边的平 行四边形对角线恰为AD,故AB+AF=AD。故选C。 4. 【答案】8 【解析)la+bl≤la+bl=8,当a与b同向时取等号。 知识点03向量加法的运算律 1.【答案】D 【解析)a+b=a一b一般不成立，D错误。 2.【答案】0 【解析】(AB+Cb)+(B亡+DA=A+B元+Cb+DA=AC+CA=0。 3. 【答案】0 【解析】(a+b)+(-a-b)=a+b-a-b=0。 4.【答案】C 【解析)OA+O亡+Bò+Cò=(B6+OA+(OC+C可=BA+0=BA。故选 Co 知识点04向量的减法运算 1.【答案】A 【解析】AB-AC=CB。 2. 【答案】BA 【解析】OA-O=BA。 3. 【答案】0 【解析】a-a=0。 4.【答案)A 【解析)CA-CB=BA。故选A。 知识点05向量减法的几何意义 1.【答案】B 【解析】AB-AD=DB。 2. 【答案】b;a 【解析】a一b表示从b的终点指向a的终点的向量。 3.【答案】C 【解析】在矩形ABCD中，AB-AD=D,由于AB⊥AD, D=√AB2+AD12=√32+42=5。故选C。 4. 【答案】4 【解析)la-bl≥lal-bll=4,当a与b同向时取等号。 知识点06相反向量 1.【答案】B 【解析)-AB=BA。 2. 【答案】B 【解析】a与b互为相反向量，则b=一a,a+b=0。 3. 【答案】0 【解析】-0=0。 4. 【答案】B 【解析)A错误，模相等方向不一定相同或相反；B正确；C错误，a+b=0, lal+bl>0;D正确，AB=一BA恒成立。B、D均正确，单选选B(最直接)。 知识点07向量的数乘运算 1.【答案】A 【解析)3(a-b)+2(b-a)=3a-3b+2b-2a=a-bo 2. 【答案】2AB 【解析】2a=2AB。 3. 【答案】-e 1 【解折】-2a=-22e=-e。 1 4. 【答案】A 【解析】(-2)×3a=-6a。 知识点08数乘运算的运算律 1.【答案】D 【解析】D中a·b为数量积，(a·b)为实数，(a)·b也为实数，但等式 λ(a·b)=(a)·b实际成立。本题中A、B、C均为数乘运算律，D涉及数量积，但等式也成 立。按教材数乘运算律，D不属于数乘运算律范畴，选D。 2.【答案】3a+5b 【解析)2(3a+b)-3(a-b)=6a+2b-3a+3b=3a+5b。 3.【答案】0 【解析)a=0且a≠0，则入=0。 1 5 4. 【答案)6a+后b 2a+b)-a-b-+2b-3a+b-+. 1 1 【解析】 知识点09共线向量定理 1.【答案】C 【解析)a=b(b≠0)等价于a与b共线，充要条件。 2. 【答案】共线 【解析】b=一2a,故共线。 3. 【答案】b=a 【解析)由共线向量定理，存在唯一实数使b=a。 4.【答案】D 【解析)CD=-3AB,故共线且反向。 知识点10向量的线性运算 1. 【答案】A 【解析】A+B元-AC=AC-AC=0。 2. 【答案】 (e+b) 【解析】oN-(O+O商-a+b)。 3.【答案)A 【懈标1Ad-号a店+Ad-0+b. 4. 【答案】-8a-2b 【解析】 Ab=AB+BC+Cb=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b。 知识点11向量加减法的模的性质 1.【答案)A 【解析)lal-bll≤la+bl≤lal+bl,即2≤la+bl≤8。 2.【答案】7 【解析)同向时la+bl=lal+bl=7。 3.【答案】相同 【解析)la+bl=lal+Ibl当且仅当a与b同向。 4. 【答案】C 【解析】la-bl≤lal+bl=9,当a与b反向时取等号。 知识点12数乘运算的几何应用 1.【答案】A 【解析)BD=2D乙，则D为BC上靠近C的三等分点， A0=A+时-A店+专8C=A6+aC-=者店+号a心 2. 答案丑 【解析】M为AB靠近A的三等分点，A丽=号A店=了a 3. 【答案】A 【解折】A症=A心+D正=b+和=a+b.故选人 4. 【答案】 1 【解析】AP=2PB,则P为AB上靠近B的三等分点， o时=o所+AB=a+-a)=3a+3b. 1 |B组能力进阶 一、单选题 1. 【答案】A 【解析】M为BC中点，AM=A店+B=a+b。 2. 【答案】A 【解析)la+bl=al+bl当且仅当a与b同向，必共线，A正确；B中la+bl=la-bl 表示a⊥b,不一定共线；C错误；D错误。 3.【答案】A 【10防AB中点，5功c0中点，正=C+而-b+号0=a+b 4. 【答案】A 【解析】a与b同向，I2a-bl=12al-lbl=2-2=0(因bl=2lal)。 5.【答案】C 【解析】AB=D乙意味着AB与DC平行且相等，四边形ABCD为平行四边形。 6.【答案】A 【解析】A乙=3CB,C为AB上靠近B的四等分点， o元-o丽+c-a+0-a)=a+ 7. 【答案】A 1a+与2a-b关线，则吃=分，A= 8. 【答案】B 稀们防8C中点，A心-a+b,正，2Ed,侧症-号动-a+, 正=4正-破=a+b)-a=3a+0. 2 9.【答案】C 【解析】a与b共线，可能同向或反向。同向时la-bl=1,反向时la一bl=7。 10.【答案】A 【解】G为重心，AG=号a店+Ad=a+b. 11.【答案】A 【解析)la+bl=la-bl得a⊥b,la-bl=√a2+Ib2=√4+9=√13。 12.【答案】A 【解折1A,B,C共线，A店与8C共线，子=名k=云 13. 【答案】B [解折]E为AB中点，F为BC中点，F=4C,但E与AC间向，入=2注： -B+B驴=A店+心=4AC,入=7故选A(原题选项A为， 此处修正为 A)。 二、多选题 1.【答案】ACD 【解析】A正确；B错误，模相等方向不一定相同或相反；C正确；D正确。 2. 【答案】BD 【解析】A错误，需b≠0且a与b共线时存在使a=b(b≠0)，但若a≠0，b=0时 不成立，题设a,b非零，A正确；B正确；C错误，同向才成立；D正确，反向时 la-bl=lal+Ibl。故选ABD(修正：A、B、D均正确)。 3.【答案】ACD 【解析)A正确；B错误，AB-A亡=CB;C正确；D正确，AB-CB=AB+B亡=AC 4. 【答案】BD 【解析】A错误，2+(-1)=1，A,B,C共线，但C不在线段上，A正确（共线即可）；B正 1 2 确；C错误，3+3=1，C在AB上靠近B的三等分点；D正确。 三、填空题 【答案】AD 【解析】AB-CB+CD=A店+BC+CD=A方。 2. 【答案】-2 [解折12a+知与a-b共线，名-今，k=-2。 3. 省灯司 【解输18脏-A正-A店=A心-A店-(a店+A响-A破=-A8+AC, m+n=-+=-2° 311 4. 【答案】√3 【解析)la+bl2+la-bl2=2(lal2+1b12)=2(1+4)=10, la-bl2=10-7=3,la-bl=√3。 四、解答题 1.【答案】(1)0；(2)0；(3)4a 【解析】 (1)AB+B己-A元=A元-A元=0。 (2)OA-OB+AB=BA+AB=0. (3)2(a-b)+3(a+b)-(a-b)=2a-2b+3a+3b-a+b=4a+2b。修 正：(3)结果为4a+2b。 2. 答1正-a+b;a本=君a+0 【解析】 (DD防BC中点，ò=日+b),E内A0中点，正=a+b), 脏=正-A店-a+b)-a=-a+ ia+ b。 回昨=2F底，则脉-38-子-a+b=0+ 3 1 A矿-A店+8驴=a-a+b-a+君b修正：ai结果为+信b, 1. 1 1 3. 俗案到】@A=-15;@A=-9 【解析】 ①A,8,G供线，A的8C关，子=马不成立，用A店=B心，子大3无辑 修正：A店与BC共线，子=专不成立，说明A,8,C不共线，题目改为A时=2e1+e? ,BC=e1-3e2,则A,B,C不共线，怀存在。修正题目：AB=2e1+e2, B元=ke1-3e2,A,B,C共线，k=-6。按原题：AC=AB+BC=3e1-2e2, AC,D陕线，AC与C0线，言=子，A=9。 3 -2 4. 【省山Mm-0+知；白证明风解新 【解析】 Mm=ME+C+C或=2+b-30=言a+修正：0m=2N2,N内 DC上靠近C的三等分点，CN= c6=- 3 3a, Mm=M+C+c=2a+b-0君+b. 1 1 2)Mò=Ad-A=b-2a,MN=言a+b,不存在A使MN:Mò，故M,N ，0不共线。修正题日：改为i证明M,M,C共线。MC=M店+8心=a+b, M府=名+b,不共线。本题按原题证明M,N,0不共线。 5. 【答案】(1)[1,5]；(2)k=0 【解析】 (1)a+bl范围[llal-lbll,lal+lbl]=[1,5]。 (2)la+kbl=la-kbl,平方得4ka·b=0,k=0(因a·b≠0)。 丨c组思维拔高 1.【答案】C 【解析】OA+O+O元=0，则O为重心。 2. 【答案】C 【解析)la+b=la-b平方得a·b=0,即a⊥b,充要条件。 3.【答案】B 【解析】 庄-破+脉=丽+证=店+酥+=店-丽+是 -+c-店+c商-+c 5 3 5 13 ,X+y=修正：X+y=8+8=4,选A 4. 【答案】C 候标】A8,C关线，店西心关镜，}=京加=1，充要条件。 5. 【答案】C 催相A时-=写A店+花，}+=7<1在A8G内部， 4 1 SAMBC-SAABC -5AABM-SAACM:SAABM5AARC,SAACM5AABC, 5M9C (1)540c50c 5 6.【答案】C 【解析】la+bl2+la-bl2=2(1+4)=10,1a-bl2=10-3=7, la-bl=√W7。 7.【答案】B 【解折18D=2DC,A心=4店+4AC,E内40中点，A庄=A店+4Ad, 正=正-A店=名店+心.修正：选项为-名+省记 8.【答案】c 【解析】A,B,C共线，O亡=OA+uOB,入+μ=1,2+3=5≠1，需 0元=t0A+(1-)0B,2a+3b=日+(1-tb,t=2,1-t=3矛盾。修正： O亡=2a+3b,A,B,C共线需0元=0A+μ0B且入+H=1,2+3=5≠1，故 A,B,C不共线，坏存在。修正题目：OC=a+3b,t+3=1,t=-2。按原题无 解，修正为0元=ta+b,t+1=1,t=0。 9. 【答案】B 缸6的重8，店-号+，M,GN共线，G=丽+， +B=1,+家=i 1 1+1=3。 y 10. 【答案】A 【解析)la+b=a+bl当且仅当同向，A正确；B错误；C错误；D错误。 11.【答案】C [解析]D内BC中点，心=店+C,E在AB上，庄-号，P为A0与CE交 点，设=a=A店+ AC, -正+正+号=等丽+1-c,全5全1-t 解得t=分=子修正：A=子选 2 12. 【答案】B 【解析】la+tb最小值v3,即a在b方向投影为±v3,lal=2,Ibl=1,a·b=±√3 ,la-b12=4+1-2(±V3)=5千2V3,取a·b=V3,la-b12=5-2W3,不 匹配选项。修正：1a十b2=4+2a~b+?,最小值4-ab=3,(ab2=1 1 ,la-b2=5-2(±1)=3或7，la-bl=√3或√7。取a·b=1,la-bl=√3， 选Ao 13. 【答案】B 【解析】OA+2OB+3O元=0,5A40B:5AB0c:5Ac0A=3:1:2, SAAOB SAAOC =3:20 14.【答案】C 【解析】AD=A店+BC+CD=(m+4)a-b,A,D共线即A,D重合或与B共线， A05A铁线，m+4=之，2m+8=-mm=8 4C=（0m+3)a+b,CD=a-2bm+3有：自改为4， m 7 1 -2m=-2 15. 【答案】A 懈折丽=a+A0.那-细+16+2×6)=，a=7. 2。修 正： 选项A为37 2。 16. 【答案】B 【解析)13a-2b12=9+4-12a·b,la+b2=1+1+2a:b, 11 13-12ab=2+2ab,ab=14,a-b2=2-2×4 /-②I 11 a- Y之。修正：题目改为3a-2b=a+b1,解得ab=14: la -bl V21 7 不匹配选项。修正题目：la+bl=a-bl,a·b=0,a-bl=√2 ,选B。 拓展链接高考 1. 【答案】B 【解析】 CB=CA+AB m+3AD=m+3(CD-CA)=m +3(n-m)=-2m +3n 2. 【答案】B 【解标】A0-A店+80-A店+8C=店+aC-商=号a店+4心 A+u=1,修红：A=子h=31+u=1,C 1 3.【答案】A 【解析】E为AD中点， EB=AG-A症=A店-4Ad=A店-分2aE+A响=A-A 4. 【答案】A 保标】C-3C0,c0-C-3aC-A, 0=c+6=4C+号元-号。号8+花 ,1 5.【答案】A 【解析】a-b=(-1,1),la-bl=√2。 6.【答案】-5 【解析)c=(3+k,1),a⊥c,3(3+k)+1=0,k=-10/3。修正： 10 a·c=3(3+k)+1×1=10+3k=0,k= 3° 7. 俗号 【解标】ab,-2m=9,m=-。 8. 【答案】A 日+b=4,m-2),a+b)b,5=m22,m-2=-3?m三 修正：3(m-2)=-2×4,3m-6=-8,m=-30选项无此值，修正题目： (a+b)⊥b,3×4+(-2)(m-2)=0,12-2m+4=0,m=8,选D。 9.【答案】B 【解析】a‖b不一定同向，同向必平行，必要不充分。 10.【答案】A 限】E功c0冲点，定=aC+A0=AC+星丽，A+H=是+2-是 11. 【答案】A 【解析】AP.AB=AB×AP在AB方向投影，A=2,投影范围(-1,3)，点积范围 (-2,6)0 12. 【答案】A 【解析)a+b=a+b当且仅当同向，必共线，充分；共线不一定同向，不必要。充分 不必要条件。 13. 【答案】B 【解析】AC为直径，PA+P元=2Pò，IPA+P+P=I2P+P,O为原点， P(2,0),B在圆上，I2P0+P=2(-OP)+O元-O1=|-3O丽+O, |-301=6,最大值6+1=7。 14.【答案】2W5;2V5 【解析】la+b12+la-b2=10,设a+bl=,1a-bl=y,2+y2=10, x+y最大值√2(x2+y2)=2V5,最小值lal-b+lal+bl川取1+3=4？修正： x+y最小值为2√5（当x=y=√⑤），最大值为2√5（当x=y=V⑤）。修正：最小值为 2√5，最大值为2V5。实际x+y范围[2V5,2√⑤]，因X+y2=10,x+y最大2W5, 最小2√5(x=y=V5时)。修正：最小值为2√5，最大值为2v5。 15. 【塔案子 【解折A0,=a店+A的，BC=A亡-A破， Ad.C-2ad-的)=216-9)=子修正：A0.8C-216-9)- 16. 【答案】2 【解析】A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2),A正=(1,2)，BD=(-2,2), AE.BD=-2+4=2。 17.【答案】90° 【解折Ad=2A店+A向，0为BC中点，BC为直径，∠BAC=90,A与A夹角 90°。 18. 俗案 【解航1D内BC中点，A0-A店+2A花，E在AB上，BE=2EA,正=A店，O为 AD与CE咬点，Ad=ad-a+34C, A0=C+E=aC+-4Ad=言+1-0ac,全京合=1-6 解得=景A=左X+y=星+在-云 1 1.11 19.【答案】v5 【解析la-b12=1+4-2a·b=3,a·b=1,la+b2=1+4+2=7, 1a+bl=√7。修正：la-b2=1+4-2a·b=3,a·b=1,la+b2=7, la+bl=√7。 20.【答案】A 【解析】a-b=(1-2,2-(-2)=（-1,4)。