第6章 平面向量及其应用学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册单元测试卷

效学 第六章学习检测 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.下列说法正确的是 A.若|a|>bl,则a>b B.若a=b,则a=b C.若a=b,则a∥b D.若a≠b,则a,b不是共线向量 2.如图所示，向量AB=a,AC-b,CD=c,则向量BD可以表示为 ( D A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 6 蚁 3.已知A(2,一3)，AB=(3,一2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为 e ( A.B(5,-5),M(0,0) BB(5,-5).M7-4 h C.B(1,1),M(0,0) DB1.D.M,-4 4.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2,则cosB等于 器 A贵 R日 c器 n得 5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a十b等于 A.√5 B.2√5 C.√10 D.10 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是 北偏东65°，那么B,C两点间的距离是 () A.10√3海里 B.10√2海里 C.20√3海里 D.20√2海里 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccos A十acos C=2c,若a=b,则sinB等于 () A.15 C.3 4 B 4 D.3 2 8.已知点O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA十 A店 A( AC )(A∈(0，十∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ABI A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.下列四式可以化简为PQ的是 ( A.AB+(PA+BQ) B.(AB+PC)十(BA-QC) C.QC+CQ-QP D.PA+AB-BQ 10.若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a一c)·(b一c)≤0，则|a十b-c的值可能为 () A.√2-1 B.1 C.√2 D.2 11.在△ABC中，若AB=4,AC=5,△BCD为等边三角形(A,D两点在BC两侧)，则当四边形 ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是 () A∠BAC-5B∠BAC-号 C.s=413+20 4 D.S=413 4 12.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是 A.若AM=号A+2AC,则点M是边BC的中点 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上 C.若AM=一BM一CM,则点M是△ABC的重心 D.若Ai=xA店+yAC,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的号 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若三点A(2,2),B(a,0),C0,b)(ab≠0)共线，则2+2的值为 14.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2 cos Asin B=b2sin Acos B,则△ABC的 形状为 15.在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°，AB=2CD=2,M为腰BC的中点，则 MA·MD= 16.如图所示，为测塔高PA,在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰 P 角为0，由C向塔前进30米后到点D,测得塔顶的仰角为20，再由D向塔前 20X 进10√3米后到点E,测得塔顶的仰角为40，则0= ,塔高为 D E 米.（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17.(10分)已知AB=(-1,3),BC=(3,m),CD=(1,n),且AD∥BC. (1)求实数n的值： (2)若AC⊥BD,求实数m的值， 1 18.(12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1). (1)求a·b,a+b; (2)求a与b的夹角的余弦值， 19.(12分)在①3c2=16S+3(b2-a2),②5 bcos C+4c=5a这两个条件中任选一个，补充在下面问 题中，然后解答补充完整的题目. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知 (1)求tanB的值； (2)若S=42,a=10,求b的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.(12分)如图所示，在四边形ABCD中，已知∠ADC=75°，AD=5,AB=7,∠BDA=60°， ∠BCD=135°. (1)求BD的长； (2)求CD的长. 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 21.(12分)如图所示，在平面上，直线11∥12，A,B分别是11,2上的动点，C是11，l2之间的一定点， C到l1的距离CM=1,C到l2的距离CN=√3，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a> b,且bcos B=acos A. (1)判断△ABC的形状； B 12 (2)记∠ACM=6,f(9)=方+日求f)的最大值 M 2.(12分)如图所示，在△ABC中，AQ-QC,A=}A成，BQ与CR相交于点 I,AI的延长线与边BC交于点P 柔 (1)用AB和AC分别表示BQ和CR: (2)如果Ai=AB+aBG=AC+uCR,求实数入和u的值； (3)确定点P在边BC上的位置.参芳答案 第六章学习检测 一、1.C【解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a=b需 满足两个条件：a,b同向且|a=|bl,所以B不正确；C正确； 若a,b是共线向量，则只需a,b方向相同或相反，D不正确.故 选C.】 2.C【解析：依题意得BD=AD-AB=AC+C)-AB,即BD= b一a十c.故选C.] 3.B[解析：设原点为0，则O克=Oi+AB=(2,-3)+(3,-2) 鞍 (5,-5.枚AB的中点M(?,-4),放选B】 4.A[解析：依题意，设a=4k,b=3k,c=2k(k>0),则cosB= E+-8-16+29-品故选A】 2ac 2×4k×2k n 5.C[解析：：向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥ c,b∥c,.2x-4=0→x=2,1×(-4)-2y=0→y=-2,从而 知 a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),因此|a+b|= √3+（-1)严=√10.故选C.】 长 6.B[解析：根据已知条件可知，在△ABC中，AB=20海里， ∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以∠C=45°，由正弦定理，得 sin30sin45,所以BC BC 20 20× =10√2（海里）.故选B.】 2 7.A【解析：.：ccos A十acos C=2c,∴.由正弦定理，可得 sin Ccos A++sin Acos C=2sin C,.'.sin (A++C)=2sin C,.'.sin B= 2sinC,b=2c,又a=b,a=2c.cosB=。+c- 2ac 4c2+2-4c2=1, 2X2c2 4,B∈(0，x),∴.sinB=√/1-cosB= 压故选A】 8B【解析：A店 为AB方向上的单位向量， AC IABI ACI 为AC方向 AB AC 上的单位向量，则 的方向为∠BAC的平分线AD AB AC 的方向.又∈(0，十∞)，所以入 AA)的方向与 AB AC 的方向相同面0亦-+以（+） 所以点P在AD上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的 内心.故选B.] 二、9.ABC[解析：AB+(PA+BO)=(AB+BQ)-AP AQ-AP=P夜，(AB+PC)+(BA-QC)=(AB-AB)+ (P元+C=P戒，Qd+Ci-QP=-QP=P成，PA+AB- BO=PB-BQ≠PQ.故选ABC.】 10.AB[解析：因为a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a一c)· (b-c)≤0，所以a·b-c·(a+b)+c2≤0，所以c·(a+b)≥1，而 |a+b-cl=√(a+b-c=√d+6+c+2a·b-2a·c-2b·c= √3-2c·(a十b)≤√3-z=1,所以选项C,D不正确.故 选AB.] 11.BC[解析：设BC=a,AB=c=4,AC=b=5,:△BCD是 等边三角形Sm-。,由余孩定理d=分+-2kmsA, 得Sa8c=5am十Sac=停。十合in=9(25十 16-40c0sD+号×20snA-415+10sinA-105cosA 4 1,B+20sin(A-号)，故当A-号=受，即A=∠BAC= 4 爱时，四边形ABDC的面积最大，为1+20.故选BC.】 12.ACD【解析：A项，Ai=2A+号AC2Ai-2A店 二AC-?A立，即B成=M心，则点M是边BC的中点，所以A 正确；B项，AM=2AB-AC→AM-A言=AB-AC,即BM= CB,则点M在边CB的延长线上，所 以B错误.C项，如图所示，设BC的 中点为D,则AM=-BM-CM= M+M心=2M亦，由重心性质可知 C成立.D项，AM=xAB+yAC,且 B x+y=合→2=2zA花+2y花，2z+2y=1,设市 2AM,所以AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三 点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的号，所以D正 确.故选ACD.] 三、13.号【解析：成=(a-2,-2),A心=(-2,6-2，依题意， 有a-26-2》-4=0,即b-2么-2h=0,所以日+号-子】 14.等腰三角形或直角三角形[解析：由a'cos Asin B-=sin Acos B 及正弦定理，得sin2A=sin2B,所以A=B或A十B=受，故 △ABC是等腰三角形或直角三角形.] 42+3(W+142-102),解得6=6V.选择②：S=2 acsin B= 15.2【解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直 线为y轴，建立直角坐标系（图略），则由题意得A(0,0),B(2,0), 合×10c×号=42，解得6=14，又a=10,由余弦定理得？= D0,1D.C1,1,M(号，）所以Mi=(-三，-合)，Mò- a2+2-2ac·c0sB,即=100+196-2X140×号=72，所 (←号号），所以·励=-=2.】 以b=6√瓦. 20.解：(1)在△ABD中，AD=5,AB=7,∠BDA=60°，由余弦 16.及15【解析：由题意，得∠CPD=∠EDP-∠DCP= 定理可得AB=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠BDA,即49= 20-0=0,.PD=CD=30,∠DPE=∠AEP-∠EDP=40- 25+BD2-2X5·BD·cos60°，则BD2一5BD-24=0,解得 20=20,∴.PE=DE=10√3，在△PDE中，由余弦定理得cos20= BD=8(BD=一3舍去). PD+DE-PE=302+(10V3)2-(103)2=3 (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°， 2PD·DE 2×30×10√3 20 又∠BCD=135°，则∠CBD=180°-135°-15°=30°.由(1)得 吾0=竞40=号：n40=路PA=PE·s血40 CD BD CD BD=8,由正弦定理得sn∠CBD-sin∠BCD,即sn30= 105×5=15.】 2 8 sin135,解得CD=4√. 四、17.解：(1)因为AB=(-1,3),BC=(3,m),Ci=(1,),所 21.解：(1)由正弦定理及bcos B=acos A,得sin2B=sin2A, 以AD=AB+B武+CD=(3,3+m十m),因为AD∥BC,设AD 3=3λ， 因为a>b,所以A>B,所以2A十2B=,所以C=受，所以 aBC,即 解得n=一3. 3十m十n=m, △ABC是直角三角形， (2)因为AC-AB+BC=(2,3+m,BD=BC+C=(4,m-3), 又ACLBD,所以AC.BD=0,即8+(3+m)(m-3)=0,解得 (2)由1)得∠BCN=吾-0，则6=o0a=温。f0) m=士1. 六+日=0s0叶号血0-2as(0-吾)所以当0=音 a 18.解：(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以a=3e1-2e=(3,-2), b=4e十e2=(4,1),所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2= 时，0取得最大值，为2 10,a+b=(7,-1),所以1a+b1=√72+(-1)F=5√2. 2.解：(1)由A0-号AC,可得B0-BA+A0=-AB+分AC =1010/2Z 2)设a与b的夹角为，则s0a6X厉 221 :成=子AB,C求=Ci+A成=-AC+寸AB 19.解：(1)选择条件①：由题意得8 acsin B=3(a2+c2-b),即 4sinB=3.+一忙，整理可得3cosB-4sinB=0,又sinB> (2)将BO--AB+AC,C成=-AC+号AB代入Ai-AB+ 2ac 0,所以cosB>0,所以nB=君-是选择条件@因为 AB成=AC+uC成，则有AB+x(-AB+号AC)=AC+ 5 cos C+4c=5a,由正弦定理得5sinB·cosC+4sinC=5sinA, 以(-AC+号A),即1-0A+号xAC=子A+(1-wAC, 5sin B cos C+4sin C=5sin (B+C),sin C(4-5cos B)=0. 在△ABC中，sinC≠0，所以cosB= 告，又0<B<,simB= 1-λ=34： :AB,AC不共线， 解得 3 -cosB-是所以mB=是 7A=1- μ= (2)选择①：由anB=子，得sinB=子，又S=2,a=10,则 (3)设前=mB元，A市=nAi.由(2)知Ai=号A店+号A心， S=acsin B=号×10c×号=42，解得c=14.将S=42,a “萨=A市-A=nAi-A=n(号A+号AC)-A店 10,c=14代入6c2=16S+3(b2+c2-a2)中，得6×142=16× ·A花+(g-1)A店=mBC=mA花-mA, 35 -m=号-1， 2 m=3' 解得 m=2n 肺=号硫，即熙=2， 5 n=3 ∴.点P在BC的三等分点且靠近点C处. 第七章学习检测 一、1.D[解析：因为i(2一i)=1十2i,所以虚部为2.故选D.] 2.A[解析：(i4-4i)(4+i)=(1-4i)·(4+i)=8-15i.故 选A.】 2 2(1-i) 3.D【解析：由题意x=千一ā十1- _21-D=1-i, 2 对应点为(1，一1)，在第四象限.故选D.] 5 4.D【解析：因为(x-3)(2-i)=5,所以之-3=2= 2-2+D-2+i,所以=5+i,所以=5-i故选D.】 5(2+i) 5.C[解析：由题意可得2至=2-（-1+D -1-i (3-i)(-1+i) (-1-i0(-1+iD =-1+2i.故选C.] 6.D【解析：由于兰= 2+ai (2+ai)(1+2i) 2 1-2i (1-2i)(1+2i) 2-2a+4+a)i为纯虚数，则a=1,所以1=2+i,则|l= 5 √5.故选D.】 7,A【解析：由-2+i得a+i=2+06-D=25+1+6-2i, 所以a=2b+1,b-2=1,解得a=7,b=3,所以|a+bi=|7+ 3i=√72+32=√58.故选A.] 8B【解析：“38十8可一品一方心它在复平面 3-i 3 上的对应点为B(高一。)，面复数2+i在复平面上的对应 点是A2,1D,显然A0=5,B0=,AB=由余弦 定理得cos∠A0B-A0六8CA5-号，∠AOB=壬 2AO·BO 故选B.】 二、9.BD[解析：设复数z=x十yi,x,y∈R,由x十|z|=2十 i,得(x十i)+√x2+y-i+2,即(x+√x2+y)+yi=2+i; x+√x2+y2=2, (y=1, 所以〈 所以 3所以=子十i,即：的 y=1, x= 4 36 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 虚部为1.故选BD.] 10.ABD[解析：2t十5t一3可正、可负，也可为0，故A项结 论错误；又't+2t十2=(t十1)2十1>0，∴，z对应的点在实轴 的上方.又之与对应的点关于实轴对称，∴.C项结论正确， B,D项结论错误.故选ABD.】 2 11.ABC【解析：由题可知z=千=1一i,对于选项A,之= 1一i的虚部为一1，正确；对于选项B,||=|1一i=√2，正确； 对于选项C,22=(1-i)2=1-2i-1=-2i,为纯虚数，正确； 对于选项D,x=1一i的共轭复数为=1+i,错误.故 选ABC.】 12.AB[解析：对于A选项，若a=0,b=1,则z=i,故由虚数 单位i的暴运算的周期性可得署：=计甲+十…十？一 i计(-1-i+1+i)+…+(-1-i+1+i)=i,故A正确；对于 选项B若a=-合6-9，则=-合-9则2=-合+ =,所以t=,放B正确：对于法项C,当=-3时， R,但≠，故C错误；对于选项D,当0=受时，x=i,复数之 在复平面上对应的点为(0,1)，此时在y轴非负半轴上，故D 错误.故选AB.] 三、13.贵+房：【解析：+经=名+8- (3+4i)(3-4i) 3计+6"去-需+元】 32+42 25 14.直角[解析：根据复数加法、减法的几何意义知，以OA, OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形 为矩形，故△AOB为直角三角形.] 15.1反懈斩：易知品i生i所以=()十 ”1一2i (2+i 2019 1-√2i =(一i)2020+i2019=i十i的=1一i,乏=1十i,则元 的虚部是1，z=√2.】 16.2一√5i[解析：因为之在复平面内对应的点位于第四象 限，所以a>0,由|z=3知，√4a2十(-√5)=3，解得a= 土1，故a=1,所以x=2-√5i.】 四、17.解：(1)因为|3+4i川=5，所以x=1+3i-5=-4+3i, 所以乏=一4一3i. e1+4+D-4牛=i 2乏 18.解：因为x是实数，所以x2十x一6，x2-2x一15也是实数， (2)lz-1|=1(2-a)+(a+5)il=√(2-a)2+(a+5)= x2+x-6<0, 〔-3<x<2, (1)由题意可得 即 解得一3< √2a+6a+25,因为a∈R,且2a+6a+29≥号，所以1：-1 x2-2x-15<0,-3<x<5, x<2,即当-3<x<2时，点Z在第三象限. V匠++西≥2号，所以：一1的取值范图为[兰，+女)小 2 (2)x=(x2十x-6)+(x2-2x-15)i对应点Z(x2+x-6, x2-2x-15),由题意可得x2+x-6-(x2-2x-15)-3=0, 第八章学习检测 整理可得3x十6=0，解得x=-2,即当x=-2时，点Z在直 线x-y-3=0上 一、1.C[解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直 19.解：(1)=-5+5i,4=-5+5i=-5+5i 线与平面平行、直线与平面相交.因为直线l与平面α不平行， 1 -2+i (-5+5iD(-2-=3-i. 所以l与a相交或lCa.故选C.】 (-2+i)(-2-i) 2.B【解析：圆台下底半径为R=4,上底半径为r=1,母线长 (2)x3=(3-2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]=i[(m2-2m-3)+ 为=3√2，则圆台的高为h=√一(R一r)=3,所以圆台的 (m一1)i门=一(m一1)+(m2一2m-3)i,,x3在复平面内所对 体积V=子x(+R+Rr)h=21,故选B.】 [-(m-1)>0, 应的点在第四象限， 解得一1<m<1,故 3.A[解析：由斜二测画法的原则可得BC=B'C'=2,AO= m2-2m-3<0, 实数m的取值范围是(-1,1). 2A0=2×号=5，由图易得A01BC,∴Sam=合×2× a2+b=1, 20.解：(1)设=a十bi(a,b∈R),由题意得 解得 √3=√3.故选A.】 2a=1. 4.C[解析：如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，根据底面积 。=合6士“复数：在复平面内对应的点在第四象限， 为6，可得BC=√6.连接BD交AC于点O,连接PO,则PO为 正四棱锥P-ABCD的高，根据体积公式可得PO=1.因为PO 6=海=- ⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又BD⊥AC,PO∩AC=O,所 (2--1+5m-32+)=产2+ 5m2(1+2i) -(1+ 以BD⊥平面PAC.连接EO,则∠BEO为直线BE与平面 PAC所成的角.在Rt△POA中，因为PO=1,OA=√3，所以 5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意， m2-m-6=0,解得m=3或-2.又：2m2-5m-3≠0，m≠ PA=2,OE=号PA=1.在R△BOE中，因为B0=尽，所以 3..m=-2 tan∠BEO= BO OE =√3，即∠BEO=60°.故直线BE与平面 21.解：(1)设之=x+yi(x,y∈R,y≠0)，代 PAC所成的角为60°.故选C.】 入|2z+15|=√3z+10,得|2x+2yi+15|=√31x-yi+10|, ∴√(2x+15)2+(2y)7=√5X√(x+10)2+(-y)7,整理得 x2+y2=75,故|z=√x2+y=5√3. (2)+=+=（+年）+ a 5.D[解析：在正方体ABCD-A1B,C1D中，异面直线AC (名-学y)“后+是为实数，心这-0.“y ay 与AD所成的角为45°；直线DC与直线AB平行；异面直线 0,1 x千y=0,a2=r+y=75,放a=士53. AC1与DC所成的角的大小为∠C1AB的大小，连接BC1,其正 22.解：(1)化简得z-(1+ai)(1+i)+2+4i=(3-a)+(a+5)i, 切值为哈=厄≠1，所以异面直线AG与DC所成的角不是 所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3一a,a+5),因为该点 45°；连接A1D,DC1,因为A1D∥BC,所以异面直线A1C1与 在直线x-y=0上，所以3-a-(a十5)=0，解得a=-1. BC所成的角就是直线A1C与直线AD所成的角.而