6.1 平面向量的概念&6.2 平面向量的运算&第6章 平面向量及其应用 习题课(1)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 基础过关) 1.（多选)下列说法正确的是 A.若a=0,则|a=0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任意向量平行 D.零向量的方向是任意的 2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起，点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是( A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 3.下列命题中正确的有 ) A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量B.共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.若|a>|bl,则a>b 4.设O是△ABC的外心，则AO,B0,C0是 ( 三 A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 5.若BA=CD,则四边形ABCD的形状为 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 6.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是 动 剂 A.AB-DC B.ABI=DC C.ABDC D.AB<DC 7.(多选)如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是 ( A.与AB相等的向量只有1个（不含AB) B.模与AB的模相等的向量有9个（不含A) 长 C.BD的模恰为DA的模的√3倍 D.C第与DA不共线 三 8.若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对 于B地的位移的大小是 km,方向是 9.在四边形ABCD中，若AB-D心且A1=|AD1,则四边形的形状为 10.下列说法中正确的是 (填序号) ①若a∥b,则a=b;②若|a=|bl,则a=b;③若a=b,则a与b共线；④若a≠b,则a一定不与b共线. 11.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)模与OA的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA共线的向量有几个？ 12.如图所示，在四边形ABCD中，AB=DC,N,M分别是AD,BC上的点，且CN=MA,求证： DN-MB. 。能力提升〕 1.(多选)下列能使a∥b成立的是 A.a=b B.al=b C.a与b方向相反 D.|a=0或|b|=0 2.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°， |A引=2，则|AC等于 30° A.1 B.√2 C.√3 D.2 0 3.如图所示，四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则下列说法不一定成立的 是 () H A.ABI=EF B.A官与Fi共线 C.BD与EH共线 D.CD-FG D 4.把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O,则这些 向量的终点构成的图形的面积等于 5.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在如图 所示的向量中，与AO共线的向量为 ;与AO的模相等 E 的向量为 6.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点 A,B.点C为小正方形的顶点，且|AC=√5. (1)画出所有的向量AC; (2)求|BC的最大值与最小值 1 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 。基础过关) D 1.如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF等于 A.0 B.B酡 C.A方 D.C市 2.AB+M+B0+BC+OM等于 ( A.BC B.AB c.AC D.AM 3.正方形ABCD的边长为1，则|A官+AD1为 A.1 B.2 C.3 D.2√2 4.若向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行√3km”,则向量a十b表示 A.向东北方向航行2km B.向北偏东30°方向航行2km C.向北偏东60°方向航行2km D.向东北方向航行(1十√3)km 5.若在△ABC中，AB=a,BC=b,且|a=|b1=1,|a+b=√2，则△ABC的形状是 A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 6.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则 A OA+BC+AB+DO等于 ( A.CD B.D心 C.DA D.DO 7.(多选)在□ABCD中，设AB=a,AD=b,AC=c,BD=d,则下列等式中成立的是 () A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.a+bl=cl 8.已知Ai=a,B心=b,Ci=c,D庀=d,A它=e,则a十b十c十d= 9.如图所示，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则： (1)AB+A方+CD= (2)AC+BA+DA= 10.在边长为1的等边三角形ABC中，|AB+BC= ,AB+ACI= 11.如图所示，在△ABC中，O为重心，D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，化简下列各式： (1)BC+CE+EA; (2)OE+AB+EA: (3)AB+FE+DC. 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航 线到达对岸，求船行进的方向. 。能力提升) 1.（多选)下列说法错误的有 ( A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a十b的方向必与a或b的方向相同 B.若向量a∥b,且|a>|b1>0,则向量a十b的方向与向量a的方向相同 C.若AB+BC+CA=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a,b均为非零向量，则|a十b|=|a+|b 来 2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+P官=PC,则下列结论中正确的是 A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 辨 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 3.已知点G是△ABC的重心，则GA+GB+GC= 4.如图所示，已知△ABC是直角三角形，且∠A=90°，则下列结论中正确的是 ,(填序号) ①1AB+AC1=|BC1;②|AB+CA|=|BC1;③1AB12+|AC1=|BC12. B 5.设|a=2,e为单位向量，则|a+e的最大值为 6.如图所示，已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点，求证：AD+BE+C=0. 6.2.2向量的减法运算 基础过关) 1.如图所示，在口ABCD中，A=a,A市-b,则用a,b表示向量AC和BD分别是 D ( A.a+b和a-b B.a+b和b一a C.a-b和b-a D.b-a和b+a 2.下列各式中，恒成立的是 A.AB-BA B.a-a-0 C.AB-AC-BC D.A-C第+CA=0 3.如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC,BD的交点，则A)+O市-A等 D 于 ( ) 0 签 A.AB B.BD C.AD D.AC 4.在边长为1的正三角形ABC中，A官-BC1的值为 ( )4 二三三 A.1 B.2 c号 D.3 地 5.已知在四边形ABCD中，DB-DA=AC一AD,则四边形ABCD一定是 h 剂 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 6.如图所示，在四边形ABCD中，设A=a,A市=b,BC=c,则DC等于 ) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 7.(多选)下列结果恒为零向量的是 三 A.AB-(BC+CA) B.A克-AC+BD-CD C.OA-o市+A方 D.NO+OP+MN-MP 8.下列四个等式，其中正确的是 (填序号). ①a-b=b-a;②-(-a)=a;③AB+BC+CA=0;④a+(-a)=0. 剂 9.若a,b为相反向量，且|a=1,1bl=1,则|a十b川= ,a-b|= 10.在矩形ABCD中，|AB|=2,|BC|=4,则|C克+CA一D心|= ,|C第+CA+ DCI= 11.如图所示，O为△ABC内一点，OA=a,O=b,O心=c. (1)求作b+c-a; (2)求作a一b-c. 12.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,先用向量a,b表示向量AC和D克，并回答：当 a,b满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ D B ■能力提升) 1.若|A1=5,AC1=8,则BC的取值范围是 () A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 2.已知O是平面上一点，OA=a,O=b,O心=c,O币=d,且四边形ABCD为平行四边形，则() A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 3.已知oA=a,Oi=b,若1OA=12,1OB1=5,且∠AOB=90°，则|a-b= 4.如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a,O庐=b,O心=c,则 D OD- 5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC|=4,|A官+AC1= 0 |AB-AC1,则|AM= 6.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c. (1)求a+b+cl; (2)求|a-b+cl. 6.2.3向量的数乘运算 。基础过关) 1.下列说法中正确的是 A.Aa与a的方向不是相同就是相反 B.若a,b共线，则b=a C.若|b|=2a,则b=士2a D.若b=士2a,则|b|=2a 2.(多选)下列各式计算正确的有 A.(-7)6a=-42a B.7(a+b)-8b=7a+15b C.a-2b+a+2b=2a D.4(2a+b)=8a+4b 3.设e1,e2是两个不共线的向量，若向量m=一e1十e2(k∈R)与向量n=e2一2e1共线，则 A.k=0 B.k=1 C.k=2 D长=司 4.如图所示，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB=a,AC=b,则AM等于 ( h A.立a-bn B.-(a-b) C.(a+b) D.-(a+b) 5.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是 ①a=-3e,b=2e:②a=e,-6,b=9e-e1:③a=e,-e4,b=e十e+e, 2 2 A.① B.①② C.②③ D.①②③ 6.已知m,n是实数，a,b是向量，则下列说法中正确的是 ①m(a一b)=ma一mb;②(m一n)a=a-a;③若ma=mb,则a=b;④若ma=a,则m=n. A.②④ B.①② C.①③ D.③④ 7.已知向量a,b满足|a=3,|b|=5,且a=b,则实数入的值是 8.化简：(a+2b)-合(5a-2)+a= 9设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD-AB,BE=号BC若AB=a,AC=b,则DE= .(用a,b表示) 10.设e1与e2是两个不共线向量，AB=3e1+2e2,C克=ke1十e2,CD=3e1一2ke2,若A,B,D三点共线， 则k= 11.计算： (1)6(3a-2b)+9(-2a+b); (2)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.设a,b是两个不共线的非零向量，若向量2ka十b与8a十kb的方向相反，求k的值. ■能力提升) 1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则E第+FC等于 A.BC 8多访 C.A方 D.ZBC 2.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若CD-C+AC馆，则入等于 ( A司 B c D是 部 3.已知在四边形ABCD中，AB=a十2b,BC=一4a一b,CD=一5a一3b,则四边形ABCD为( ) 换 A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 4.如果实数p和非零向量a与b满足pa十(p十1)b=0,那么向量a和b .(填“共线”或“不 够 共线”) 5.已知在△ABC中，点M满足MA+MB+MC=0,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则 m= 6.设a,b,c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a十b与c共线，且b十c与a共线，则b与a十c 是否共线？请证明你的结论 6.2.4向量的数量积 第1课时数量积的概念 基础过关】 1.若向量|a=3,|b川=4，a,b的夹角为135°，则a·b等于 A.-32 B.-6√2 C.6√2 D.2 2.在四边形ABCD中，AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N,方向与水平面成60°角 则当小车向前运动10m时，力F做的功为 ( ) 60° A.100J B.50J C.50√3J D.200J 4.已知向量|b=3,a在b上的投影向量为 b,则a·b的值为 2 A.3 B号 C.2 5.(多选)已知向量a,b和实数入，则下列选项中正确的是 始 A.若a与b是两个单位向量，则a=b B.a·bl=|a|b 动 C.(a+b)=xa+b D.|a·bl≤al|b 6.在等腰直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=√2，则BA·BC的值等于 A.-2 B.2 C.-2√2 D.2√2 长 7.已知a=2,b=3,且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影 向量为 8.已知在□ABCD中，∠DAB=60°，则AD与CD的夹角为 9.已知a=3,|b=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影向量为 0.已知向量a,b均为单位向量，a·b三之，则a与b的夹角为 三 11.已知a=5,b1=4. (1)若a与b的夹角0=120°. ①求a·b; ②求a在b上的投影向量， (2)若a∥b,求a·b. 12.已知向量a,b的夹角为30°，且|a=√3，|b|=2,求向量p=a十b与q=a一b的夹角0的余弦值. 。能力提升) 1.(多选)下列说法正确的是 () A向量a在向量6上的投影向量可表示为9局 B若a·b<0,则a与b的夹角0的范围是（受] C.若△ABC是等边三角形，则AB,BC的夹角为60° D.若a·b=0,则a⊥b 2.已知平面上三点A,B,C满足|A1=3,|BC=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值 等于 () A.-7 B.7 C.25 D.-25 3.定义：|a×b|=|al|b|sin0,其中0为向量a与b的夹角，若|a=2,|b=5,a·b=-6,则|a×bl 等于 () A.8 B.-8 C.8或-8 D.6 4.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB·AC=8,则△ABC的形状是 ， A克· BC- 5.已知非零向量a,b,c满足a十b十c=0,向量a,b的夹角为120°，且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角 为 6.如图所示，扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上，且OC=BD,OA=1, ∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用OA,O表示向量M心； (2)求M心·MD的取值范围. 5 数学 6.2.4向量的数量积 第2课时数量积的运算及应用 ,基础过关) 1.已知单位向量a,b,则(2a+b)·(2a一b)的值为 A.3 B.√5 C.3 D.5 2.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=一3e1+4e2,则a·b等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知平面向量a,b满足a·(a十b)=3且a=2,|b=1,则向量a与b的夹角为 A.晋 B. c D. 4.已知a,b方向相同，且|a=2,|b=4,则|2a十3b川等于 A.16 B.256 C.8 D.64 5.设向量a,b满足|a+b|=√10，|a一b=√6，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.5 6.若向量a与b的夹角为60°，|b=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a等于 A.2 B.4 C.6 D.12 7.若向量a的方向是正南，向量b的方向是北偏东60°，且|a|=|b|=1,则（一3a)·（a十 b)= 8.已知a⊥b,1a=2,|b|=3,且3a+2b与λa一b垂直，则λ= 9.已知向量OA⊥AB,1OA=3,则OA·Oi= 10.已知向量a,b满足|a=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a一b的夹角为 11.已知向量a,b的夹角为60°，且|a=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b. (1)求c·d; (2)求|c+2d. 6无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.已知单位向量e与e,的夹角为a,且cosa=号，向量a=3e-2e:与b=3e一e:的夹角为B,求B的余 弦值。 。能力提升〕 1.（多选)已知正三角形ABC的边长为2，设AB=2a,BC=b,则下列结论正确的是 ) A.|a+b=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 2.已知向量a,b的夹角为45°，且a=4,(2a十b)·(2a-3b)=12,则b在a上的投影向量为( 梁 A.a B.2b C.√2a D.2√2b 3.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(O克-OC)·(O克+OC-2OA)=0,则△ABC的形状为 e ( 4 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 4.已知非零向量a,b,满足aLb,且a十2b与a-2b的夹角为120，则6 a 5.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a一b)=0,则|bl的取值范围是 6.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a-b)⊥c; (2)若|ka十b+c|>1(k∈R),求k的取值范围. 习题课(1) 基础过关) 1.在平行四边形ABCD中，A官+CA+BD等于 A.AB B.BD C.BC d.CD 2.已知A,B,D三点共线，且对任意一点C,有CD=号CA+入C克，则入等于 A号 B号 c-日 D.一3 3.（多选)已知a,b为两个单位向量，则下列说法不正确的是 A.a=b B.若a∥b,则a=b C.a=b或a=-b D.若a=b,b=c,则a=c 4.已知AB=-2a+2b,BC=3a-3b,C市=a-b,则直线AD与BC的位置关系是 三三三 A.平行 B.重合 C.相交 D.垂直 5.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F,设AB=a,AD=b,则向量B等 地 h 1 B.- 1 剂 A.3a+3 c.- a+6 na-号b 布 6.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2A=AB+AC,且|OA|=|A1,则向量CA在向量CB方 向上的投影向量的模长为 ( 长 A c.- D 7.设向量AB=a,AC=b,a与b不共线，且a-b=3,a十b=1,则△ABC的形状是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 8.已知O是线段AB外一点，C,D是线段AB的三等分点，如果OA=3e,O谚=3e2,那么 O市= 剂 三 9.设非零向量a,b,c满足|a=|bl=|c,a十b=c,则a与b的夹角0为 10.如图所示，在△ABC中，若AB=AC=3,c0s∠BAC=2,D心=2BD,则AD· BC= 11.已知a=1,|bl=√2 (1)若a∥b,求a·b; (2)若a,b的夹角为60°，求|a+bl: (3)若a一b与a垂直，求a与b的夹角， 12.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，∠B=30°，AB=2√3，BC=2,点E在线段CD 上，若A它=AD+λAB,求实数λ的取值范围. D E 30° 。能力提升〕 1.已知a,b是非零向量，且满足(a一2b)⊥a,(b一2a)⊥b,则a与b的夹角是 A.若 B.5 c D.晋 2.如图所示，O为线段AoA2o1外一点，若A,,A1,A2,A3,…,A2o1中任意相邻两点间A201 的距离相等，OA=a,OAoi=b,则用a,b表示OA。十OA+OA2十…十OA01,其 结果为 A3A2A ( A.100(a+b) B.101(a+b) C.201(a+b) D.202(a+b) 3.已知|a=2b≠0，且关于x的方程x2+|ax十a·b=0有实根，则向量a与b的夹角的取值范围 是 () A[0,] B[] c[劉 D[语] 4.已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则A0·BC= 5.已知|a=4,|b=3,(2a一3b)·(2a十b)=61,则向量a在向量a+b上的投影向量的模 为 6.在Rt△ABC中，斜边BC=a,PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向 量P夜与BC的夹角为Q.当0取何值时，B驴·C夜有最大值，并求此最大值.参芳答案 第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 【基础过关】 1.ACD【解析：零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向 量都平行，所以ACD正确，B错误.故选ACD.] 2.A[解析：符合圆的定义，即平面内，到定点的距离等于定长 的动点的轨迹是圆.故选A.】 3.C【[解析：温度没有方向，所以不是向量，故A错；由共线向 量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错： 向量不可以比较大小，故D错；若a,b中有一个为零向量，则a 与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对.故 选C.】 4.B【解析：因为O是△ABC的外心，所以1AO1=|Bd1= 1Cò1.故选B.】 5.A【解析：因为BA=CD,且ABCD为四边形，所以BA=CD 且BA∥CD,所以四边形ABCD为平行四边形.故选A.】 6.B[解析：AB与|DC表示等腰梯形两腰的长度，故相等 故选B.】 7.ABC【解析：由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC, 而模与AB的模相等的向量有DA,D心，AC,C克，AD,CD,CA, BC,BA,因此选项A,B正确.在Rt△AOD中，因为∠ADO= 30,所以1D-1D,故D成-31D1,因此选项C正 确.由于C-D才，因此C第与D才是共线的，故选项D不正确.故 选ABC.] 8.5√2西北方向 9.菱形【解析：A市=D心，∴AB=DC,AB∥DC,四边形ABCD 是平行四边形，AB1=AD1,.四边形ABCD是菱形.】 10.③【解析：①中，当a∥b时，不能得到a=b,①不正确； ②中，向量的模相等，但a与b的方向不确定，②不正确；③中， 若a=b,则a与b方向相同，则a与b共线，③正确；④中，a≠b, a可能与b共线，④不正确.】 11.解：(1)与OA的模相等的线段是六条边和六条半径（如OB), 而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. (2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF,所以与OA长 度相等、方向相反的向量有AO,O市，F范，B武，共4个. (3)由(2)知BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线 上，所以与OA共线的向量有BC,C克，E市，FE,A0,Od,Dd,AD, D才，共9个. 12.证明：A克=DC,.AB=DC且AB∥DC,∴四边形ABCD 是平行四边形，∴C克=DA,又C=MA,∴CN=MA,CN∥ MA,∴.四边形CNAM是平行四边形，∴C方=NA,.CM= NA,CM∥NA.'CB=DA,CM=NA,∴.MB=DN.又DN∥ MB,.DN与M范的模相等且方向相同，.D六=MB. 【能力提升】 1.ACD[解析：因为a=|b,所以a与b的模相等，方向可以 任意，所以得不到a∥b.故选ACD.】 2.A[解析：如图所示，连接AC,由 C 1OC1=1Oi1,得∠ABC=∠OCB=30°， 又∠ACB=90,则1AC1=号1A市1= 309 0 B 合×2=1.放选A】 3.C[解析：由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一 定正确.】 4.3π【解析：依题意，这些向量的终点构成的图形是以O点为 圆心，半径为2的圆，挖去一个半径为1的圆所围成的圆环，其 面积为4x-元=3π.】 5.Bi,d,Did,Dd,B0,B,C市，Ai,Di 6.解：(1)画出所有的向量AC,如图所示 (2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C,时，|BC取得最 小值，为√+2=√5；②当点C位于点C或C时，BC1取得最大 值，为√4+5=√红.所以B武的最大值为√红，最小值为5. 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 【基础过关】 1.D【解析：B方+C市+E市-D龙+CD+E=C龙+E= 故选D.】 2.C【解析：AB+Mi+Bd+B武+O成=(Ai+Bd)+(Mi+ BC)+OM=A0+M心+OM=(AO+OM)+M心=Ai+M心= AC.故选C.】 3.B[解析：在正方形ABCD中，AB=1,易知AC=√2，所以 |AB+AD1=|AC1=AC=√2.故选B.】 4.B[解析：如图所示，易知tana= 北 以a=30°.故a十b的方向是北偏东30°.又 |a+b=2km.故选B.】 0 5.D[解析：由于1A=|a=1,1BC1= Ya+b |bl=1,1AC1=|a+b|=√2，所以△ABC a 东 为等腰直角三角形.故选D.】 1南 6.B【解析：Oi+BC+AB+Dò=Dd+Oi+AB+BC= D才+AB+BC-DB+BC-D心.故选B.】 7.ABD[解析：由向量加法的平行四边形法则，知a十b=c成 立，故|a十b1=c也成立；由向量加法的三角形法则，知a十d= b成立，b+d=a不成立.故选ABD.】 8.e[解析：a+b+c+d-Ai+B武+Cd+Di-Ai=e.1 9.(1)AD[解析：AB+AD+CD=AC+CD=AD.】 (2)0【解析：AC+BA+DA-BA+AC+DA-BC+DA=0.1 10.1√3[解析：易知AB+BC1=|AC1=1,以AB,AC为邻 边作平行四边形ABDC,则1AB+AC1=|AD|=21AB1X sa60=2x1×号-.】 11.解：(1)BC+CE+EA=BE+Ei=BA. 2.D[解析：选项D中，AB一CE+CA=AB+BC+CA=AC+ (2)0E+AB+EA=(OE+EA)+AB=0A+AB=OB. CA=0.注意选项B中等号右端是实数0，而非零向量，所以错 (3)AB+FE+DC-AB+BD+DC-AD+DC-AC. 误.故选D.] 12.解：作出图形，如图所示.设船速与岸 3.B【解析：由向量的加法、减法法则即得.故选B.】 的方向成a角，由图可知'水十v船=实际， V实际 4.D[解析：如图所示，作菱形ABCD,则D 结合已知条件，得四边形ABCD为平行 IAB-BC=1AB-AD1=1Di1=√5.故 四边形，在Rt△ACD中，IC市1= 选D.】 IABI=Iv1=10 (m/min),ADI= 5.A【解析：由Di-Di=AC-AD,可 Iv20(m/min).cosa- AV水B 得AB=D心，所以四边形ABCD一定是平 IADI 行四边形.故选A.】 8-名。=60，从面船行进的方向与水流方向成120角。 6.A[解析：D心=Di+Ai+BC=a-b+c.故选A.1 7.BCD[解析：A项，AB-(BC+CA)=AB-BA=AB+AB ∴.船沿与水流方向成120°角的方向行进 2AB;B项，AB-AC+BD-Cd=Ci+BC=0:C项，OA 〖能力提升】 Oj+AD=DA+AD=0:D项，N0+O币+Md-M巾=Np+ 1.ACD[解析：A错，若a十b=0,则a+b的方向是任意的；B 正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的 P市=0.故选BCD.】 8.②③[解析：由相反向量的性质可知，①错误；②正确；③符 方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的 和的方向与a的方向相同；C错，当A,B,C三点共线时，也满足 合向量的加法法则，也正确；④中应是零向量，而不是数字0， AB+BC+CA=0;D错，a十b≤|a+|bl.故选ACD.】 ④错误.】 2.D【解析：PA+PB=P心，根据向量 9.02[解析：若a,b为相反向量，则a+b=0,所以|a+b|= B 0,又a=-b,所以|a=|-b=1,因为a与-b共线，所以|a- 加法的平行四边形法则，如图所示，则点 b|=2.】 P在△ABC外.故选D.] 3.0[解析：如图所示，连接AG并延长P 10.4V58[解析：在矩形ABCD中，因为C范+C才-D心- 交BC于点E,则点E为BC的中点，延长AE C克+CA+C市=C才+CA,所以|C范+Ci-DC1=21CA1= 到点D,使GE=ED,则G范+G式=Gi,Gi+ 45.因为CB+C+D式=CB+CA+AB=C+C,所以 GA=0,.GA+Gi+G式=0.】 1C克+CA+DC=21c1=8.】 4.①②③[解析：①正确.以AB,AC为邻边 11.解：(1)如图所示，以O范，O心为邻边作□OBDC,连接OD, 作口ABDC,如图所示.又因为∠A=90°，所B号 E. AD,则oi=Oi+O心-b+c,所以b+c-a=O亦-OA=AD. 以□ABDC为矩形，所以AD=BC,所以 D |AB+AC|=|AD|=1BC1.②正确. |AB+CA=1C范1=1BC1.③正确.由勾 股定理知A2+1AC2=|BC2.】 5.3【解析：在平面内任取一点O,作 OA=a,AB=e,a+e=OA+AB=OB,B D D 因为e为单位向量，所以点B在以点A为 圆心的单位圆上（如图所示），由图可知，当 (2)由(1)知，Oi=b+c,则a-b-c=OA-O市=DA. 点B在点B1时，O,A,B三点共线，IOi|即为|a十e|的最大值， 12.解：方法一由向量的平行四边形法则，得AC=a十b,D范= AB-AD=a-b. 最大值是3.] 方法二由三角形法则，得AC=AB+BC=AB+AD=a十b, DB=DA+AB=-AD+AB=-b十a=a-b.当a,b满足|a十 b=|a一b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形 ABCD为矩形；当a,b满足|a=|b时，平行四边形的两条邻边 的长度相等，四边形ABCD为菱形；当a,b满足|a十b|=|a一b 0 且|a=|b川时，四边形ABCD为正方形.（答案不唯一） 6.证明：由题意知AD=AC+CD,BE=BC+C克，C求=C范+ 【能力提升】 B求.由平面几何知识可知，E-C市，B驴-FA,所以AD+B驼+ 1.C[解析：IBC1=|AC-A1且1IAC1-1AB1I≤AC CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)=(AC+CD+CE+ AB1≤IAC+|AB1,.3≤|AC-AB1≤13，∴.3≤|BC1≤13. B)+(BC+C第)=(AC+CE+C市+B)+0=AE+CD+ 故选C.】 B=A龙+EF+FA=0. 2.B[解析：易知O范-Oi=AB,O心-O市=D心，而在平行四边 形ABCD中有Ai=DC,所以Oi-OA=OC-Od,即b-a=c 6.2.2向量的减法运算 d,也即a一b+c一d=0.故选B.】 【基础过关】 3.13[獬析：1OA1=12,1O1=5,∠AOB=90°，∴1OA12+ 1.B[解析：由向量的加法、减法法则，得AC=AB+AD=a十 1OB12=|AB12,∴.1AB=13.OA=a,Oi=b,∴a-b=OA- b,Bd=AD-AB=b-a.故选B.】 oi=BA,|a-b1=|BA1=13.】 75 4.a十c-b【解析：由已知得AD=B武，则O市=OA+AD OA+BC=OA+O心-Oi=a+c-b.】 5.2[解析：以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由 向量加减法的几何意义可知，A市=A范+AC,C克=A范-AC, 1AB+AC=|AB-AC,∴.|AD1=1C,又BC1=4,M是 线段BC的中点…1A脑=之1A市=号1B心=2.】 6.解：(1)由已知得a十b=AB+BC=AC,:AC=c,∴.延长AC 到E,使|CE|=|AC1,如图所示，则a+b+c=AE,且AE1= 2√2..la+b+cl=2√2 D b E (2)作B=AC,连接CF,则D范+B=D市，而D范=AB-AD= AB-BC=a-b,∴Ia-b+cl=1D克+B1=|D1且1D|= 2.∴.la-b+cl=2. 6.2.3向量的数乘运算 【基础过关】 1.D[解析：A选项中，当入=0时，a=0,方向任意，故A错 误；B选项中，当a=0时，b可以是任意向量与a共线，此时不存 在唯一实数入，使b=λa,故B错误；C选项中，向量的模长相等， 但方向可以不共线，故C错误.故选D.】 2.ACD[解析：ACD正确，B错，7(a+b)一8b=7a+7b-8b 7a-b.故选ACD.】 3.D【解析：：向量m与向量n共线，设m=n(入∈R), k=入， ∴-e十e2=e2-2e1,:e1与e2不共线，.《 -1=-2x, λ=2 1 故选D.] = 4.C【解析：因为M是BC的中点，所以A府=号(a+b).故选C】 5.B【解折：①中，a=-号b,所以a∥b:②中，b=4支e-e1= 2 29=-7a,所以a/b:③中，b3e3e=（e+e),若 2 2 e与e共线，则a与b共线，若e与e2不共线，则a与b不共线. 故选B.】 6.B[解析：由向量数乘的运算律知①②正确；③中当m=0 时，ma=mb,但a不一定等于b,故错误；④中当a=0时等式成 立，但m不一定等于n,故错误.故选B.] 7.土号【解析：由a=汕，得a=6=ab1.a=3, 1b1=5,A=号，即入=土号】 (-吾+)a+(2+号)b=-3a+名b.1 76无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 9.-合a+号6【解析：成=D市+成-号速+号成 号恋+号(B+恋=-合恋+号AC-名4+号.】 10.-号【解析：因为AB,D三点共线，放存在一个实数X,使 得AB=λBd,又AB-3e,+2e2,C克=ke1十e2,Cd=3e1-2ke2, 所以Bd=Cd-C克=3e1-2ke2-(ke1十e2)=(3-k)e1- (2k+1)e2,所以3e+2e2=λ(3-k)e1一λ(2k+1)·e2,所以 3=3解得k=-是.1 2=-λ(2k+1), 11.解：(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. (2)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+ (8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b. 12.解：由题意可知，存在实数入使2ka十b=λ(8a十kb),即2ka十 .1 1 。-a中队每 λ=2'或 入=-立'：2ka+b (k=2 k=-2, 与8a十b的方向相反，∴入<0，∴k=2不符合题意，舍去，∴k= -2. 【能力提升】 1.C【解析：如图所示，E+F心=E心+ Ci+Fi+BC=心+Fi=2(心+ AB)=号×2A市=A动.故选C.】 2.B【解析：：A,B,D三点共线，B ∴号十X=1,解得X=号故选民】 3.A【解析：如图所示.：AD=AB+ BC+Ci=(a+2b)+(-4a-b)+ (-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b), .AD=2BC..AD与BC共线，且1AD1= A 2B就1.又：这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC,且 AD=2BC.∴.四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形. 故选A.] 4.共线[解析：由题意知实数p≠0，则pa十(p十1)b=0可化 为a=一 十b,由向量共线定理可知a,b共线.】 5.3[解析：方法一：MA+M范+M心=0，∴点M是△ABC 的重心..AB+AC=3AM,∴m=3. 方法二在△ABC中，AB=M市-MA,AC=M心-MA,若 AB+AC-mAM成立，则(Mi-MA)+(M心-MA)=mAM成 立，整理得，Mi+M心+(m-2)·M=0,由已知可得，m-2= 1,即m=3.】 6.解：b与a十c共线.证明如下：a十b与c共线，∴.存在唯一 实数入，使得a十b=c①.：b十c与a共线，∴.存在唯一实数， 使得b十c=ua②.由①-②得，a-c=dc一ua..(1十u)a= (1+λ)c.又a与c不共线，.1十=0,1十λ=0，∴.4=-1，入 -1,∴.a十b=一c,即a十b十c=0.∴.a十c=-b.故b与a十c共线. 6.2.4向量的数量积 第1课时数量积的概念 【基础过关】 1.B【解析：a·b=a1b1cos135=3×4×(-号)=-6厄. 故选B.】 2.C【解析：由Ai·BC=0,知AB⊥BC.由BC=AD,知BC= 即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=子，因为0<∠BAC< AD,所以四边形ABCD是矩形.故选C.】 180°，所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 3.B【解析：由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的 此时AB.BC=|AB11 BCl cos120°=-8.1 功W=F·s=10×10cos60°=50()，故选B.】 5.90°【解析：由题意可画出图形，如图所示，在B 4B【解析：设a与b的夹角为0，：1al·c0s0合=号0， △OAB中，因为∠OAB=60°，1b=2|al,所以 ∠ABO=30°，OA⊥OB,即向量a与c的夹角 为90°.1 b 11 3 lal·cos0a=2la·cos0=a…b=albl e0s0=3×号-号故选B1 6,解：D由已知可得OC-子Oi,四边形OAMB 60 是菱形，则O应=Oi+Oi,所以M心=O元-0a A 5.ACD[解析：选项B中，|a·b|=la·|blcos0l,其中0为 a与b的夹角，故B错误.故选ACD.】 0M=0i-0i+0迹)=-0i-0成， 6.B【解析：BA·BC=|BAI BC|cos∠ABC=2X√2X (2)易知∠DMC=60°，且|M心1=|M心1，那么只需求MC的最 cos45°=2.故选B.] 大值与最小值即可.当MC1OA时，MC最小，此时MC-,则 7.e[解析：设a与b的夹角为0，a在b上的投影向量为|a cos0e=2x(2)e=e.】 心·M=号x号×cas60=是.当Mc与M0重合时，Mc 8.120°[解析：如图所示，AD与CD的夹 D 最大，此时MC=1,则心.市=c0s60=之.所以心·动 角∠ABC=120°.] 9岩3【解析：设a与6的夹角为0，：a… 的取值范围为[号，号] B -1a1lb1es9=12,又1bl=5la·osg=号合-台即 6.2.4向量的数量积 第2课时数量积的运算及应用 a在b上的投影向量为紧6.】 【基础过关】 10.至【解析：设a与b的夹角为0，由题意知a=b1=1,则 1.C[解析：由题意得(2a+b)·(2a-b)=4a2一b=4-1=3. w=合i治-号汉：0<0=】 故选C.】 2.B【解析：因为le=|e2=1,e1·e2=0,所以a·b=(3e十 11.解：(1)①a·b=|al|b|cos0=5×4×cos120°=-10. 2e2)·(-3e+4e2)=-9lel2+8le2|2+6e1·e2=-9×12+ @a在b上的投影向量为al·c0s0合=5×（宁）×÷- 8×12+6×0=-1.故选B.】 3.C[解析：设向量a与b的夹角为0.因为a·(a十b)=a2+ ab=4十2c0s0=3,所以c0s0=-号又因为0∈[0,1，所以 (2)a∥b,∴.a与b的夹角0=0°或180°.当0=0时，a·b=|a· 1bcos0°=20.当0=180°时，a·b=a|bc0s180°=-20. 0-经放选C.】 12.解：由题意知，p·q=(a十b)·(a-b)=a2-b2=-1,lpl= 4.A[解析：方法一|2a十3b|2=4a2+9b+12a·b=16+ √(a+b)-√13，|g|-√(a-b)7-1,∴.cos0 144+96=256,.|2a+3b1=16.方法二由题意知2a=b, p·9 Ipl·Igl ①3 .12a+3b1=|4b1=4|b1=16.故选A.】 13 5.A【解析：|a+b12=(a十b)2=a2+2a·b十b=10,① 【能力提升】 |a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,②由①-②得4a· 1.AB【解析：对于选项A,根据投影向量的定义，知A正确；对 b=4,.a·b=1.故选A.】 于选项B,:a·b=|a|b|cos0<0,则cos0<0,又0≤0≤π， 6.C【解析：因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a2- ∴0e(受，x],故B正确：对于选项C,若△ABC是等边三角形， |a·1 blcos60°-6lb12=|a2-21a-96=-72,所以|a|2- 2a-24=0.解得|a=6或a=-4(舍去).故选C.] 则A范，BC的夹角为120°，故C错误；对于选项D,a·b=0→a⊥b 或a=0或b=0,故D错误.故选AB.】 7.-号【解析：设a与b的夹角为0，则0=120，所以(-3a)· 2.D[解析：由题意知∠ABC=90°，所以原式=0+4X (a+b)=-3|a2-3a·b=-3-3×1×1×cos120°=-3+ 5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cosC-15cosA= -20×号-15×号=-16-9=-25.故选D.1 5 8.号【解析：(3a+2b)·(a-b)=3a2+(2x-3)a·b- 3A【解桥：0s0=合前=号=-亭：0∈[0，]， 2b=3a2-2B=12以-18=0∴A=号.】 sin0=手.aXb1=2X5×号=8.故选A.】 9.9[解析：OALAB,∴OA.AB=Oi·(Oi-Oi)=Oi· 4.等边三角形一8[解析：AB·AC=|AB11 ACI cos∠BAC, oi-0A2=0A.oi-9=0,即oA·Oi=9.1 10.石【解析：la-b=√(a-b)=√a+-2a·b=√3，设 向量a与a-b的夹角为0，则cos0=a(a-=2-1=5, lal la-bl 2X32' 又0[0，]，所以0=吾.】 11.解：(1)c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2-2b+3a·b=2× 4-2X1+3×2X1×合=9. (2)|c+2d2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b=16×4+9X 1+24×2×1×2=97,lc+2d=V97. 12.解：因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cosa十4=9，所以 |a|=3,因为b2=(3e1-e2)2=9-2X3×1 X cos a+1=8,所以 lbl=2√2，又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e-9e1·e2+ 20=9-9×1×1×号+2=8，所以c0sB=日合 a·b 82√2 3×2√23 【能力提升】 1.CD[解析：分析知|a=1,1b|=2,a与b的夹角是120°，故 B结论错误：：(a+b)2=|a2+2a·b+|b12=3,∴|a+b= √5，故A结论错误；：(4a+b)·b=4a·b+b=4×1×2× c0s120°+4=0，.(4a十b)⊥b,故C结论正确；a·b=1×2X cos120°=一1，故D结论正确.故选CD.】 2.A【解析：(2a+b）·(2a-3b)=a2+2a·b-36- 1a+1ab1cos45°-3b12=16+2b1-3b12=12,解得 1a1=E或Ia1=一号E(舍去).放b在a上的投影向量为b1 cas5日-2×号×g-a故选A】 3.A[解析：因为(Oi-O心)·(Oi+O心-2Oi)=0,即C第· (Ai+AC)=0,又因为AB-AC=C克，所以(Ai-AC)·(AB+ AC)=0,即|A1=AC,所以△ABC是等腰三角形.故选A.】 429【解析：a1b.a…b=0,又(a+2b)a-2b)=a 4b,la+2b|=√a2+4a·b+4b=√a2+4b,|a-2b|= √a2-4a·b+4b=√a2+4b,∴.a2-4b=√a2+4b· V公于a120,化简得受0-26-0合-291 5.[0,1][解析：.b·(a-b)=a·b-|b|2=|a||b|cos0 1b12=0,∴.1b|=|acos0=cos0(0为a与b的夹角)，0∈ [0,x],∴.0≤1b≤1.】 6.(1)证明：因为a=|b|=|c=1,且a,b,c之间的夹角均为 120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|accos120°-|b|c· cos120°=0，所以(a-b)⊥c. (2)解：因为|ka十b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,即2a2十b2+ c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因为a·b=a·c=b·c= c0s120°=-子，所以-26>0，解得k<0或>2.所以实数 的取值范围为（一∞，0）U(2,十∞). 习题课(1) 【基础过关】 1.D[解析：AB+CA+Bd=(AB+BD)+CA=AD+A= C才+AD=C市.故选D.】 2.C【解析：A,B,D三点共线，号十入=1，A=-子故 选C.】 3.ABC[解析：a与b的方向不一定相同，故A中说法不一定 正确；若a∥b,则a与b方向可能相反，故B中说法不一定正确； a与b的模相等，但方向不确定，故C中说法不一定正确；易知D 正确，故选ABC.] 4.B【解析：因为不市=号C,所以恋/C,又市与C有公 共点B,所以A,B,C三点共线，因为BC=3C市，且B武与C市有公 共点C,所以B,C,D三点共线，所以A,B,C,D四点共线，所以 直线AD与BC重合.故选B.] 5.C【解析：如图所示，因为点E为 D CD的中点，CD∥AB,所以器 瓷=2，所以成=号庞=号×A B 合(B成+B动=号(2b-a)=-合a+号6放选C】 1 6.D[解析：2A0=AB+AC,.Ad- Ai+Aò-AC=0,得Bò+C0=0,即 O克+O心=0，则BC为圆O的直径，如图B 所示，：|AO1=|AB,∴△OAB为等边 0 三角形，则OA=OB=AB=1,AC=√3， BC=2,.CA与CB夹角是30°，∴.向量CA在CB方向上的投影向 量模长为1C1cos30°=号.故选D.】 7.B【解析：由|a-b1=3,得(a-b)2=9,即a+b2-2a·b= 9,①由|a+b=1,得(a+b)2=1,即a2+b+2a·b=1,② ②-①得4a·b=-8,解得a·b=一2<0，∴.∠CAB为钝角 ∴△ABC为钝角三角形.故选B.】 8.e+2e:【解析：0d=Oi+AD=Oi+号A访=Oi+ 号o成-0i)=号oi+号成=0+2e.】 9.120°[解析：由a=|b=|c且a十b=c,得|a十b=|bl, 平方，得|a2+1b12+2a·b=1b2→2a·b=-|a2→2la· 1b1·cos0=-la2→cos0=-2→0=120.1 10.一号【解析：根据条件，得A市=AB+d=AB+子BC A+号(At-A)=号AB+号AC,所以A市·BC=(号AB+ 号AC)·(心-AB)=号AB.A心-子A在+子A衣=号× 33×合-号×9+号×9=-.1 11.解：设向量a与b的夹角为0. (1)当a,b同向，即0=0°时，a·b=√2；当a,b反向，即0=180° 时，a·b=一√2 6.3平面向量基本定理及坐标表示 (2)|a+b12=1a12+2a·b+|b12=3+√2，故 6.3.1平面向量基本定理 |a+b=√3+√2. 1基础过关】 a·b @由(a-b)·a=0,得g=a·b,cos0=ab号，又0°≤ 1.ABC[解析：选项A中，两个向量为相反向量，即e1一e2= 一(e-e),则e一e2,e-e1为共线向量；选项B中，2e1一e= 0≤180°，故0=45° 12.解：由题图分析知DC=AB-BCeos30°=√3.：AE=AD+ 2(e-e:),也为共线向量：选项C中，6e-4e:=-2(2e,- AA克，：A范-A市=AA克，即D市=AA克，A= DE 31),为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，知只有选 IAB .又0≤ 项D中的两向量可作为基底.故选ABC.】 1D<原，=2,0<A<号，综上，实数入的取值范围 2.A【解析：OC=AC=(BC-BA)=(BC+D心) 是[0] (5e,+3e).故选A.1 【能力提升】 3.A【解析：B错，这样的a只能与e1,e2在同一平面内，不能是 1.B【解析：由题意可得(a-2b)·a=0,即a2=2a·b,(b- 空间任意向量；C错，在平面a内任意向量都可表示为入1e1十 2a)·b=0,即b=2a·b,所以a2=b2,|a|=|bl.设a,b的夹角 A2e2的形式，故A1e1十λ2e2一定在平面a内；D错，这样的1,2是 唯一的，而不是无数对.故选A.】 1 为0，则cos080=2aP2·因为0e0,,所以a与 4.D【解析：由题意得DN=D迹=之(A花-A市)=令(A衣- b的夹角为号.故选B.】 B)=g(b-a).故选D.】 2.B【解析：设AA21的中点为A,则A也是A1A2o,…, 5.A【解析：由题意可得励=A市-A范=子AC-A市，A市 A10A1o1的中点，可得OA+OA01-2OA-a十b,同理可得， OA+OAo0=OA+OAg9=…=OA+OAi=a+b,故 A市+肺=+子动=恋+号（号A衣-A$)=专市+ OA。+OA+OA+…+OA0i=101X2Oi=101(a+b).故 号A衣据此可知=子=号，之=是故选A.】 选B.】 6.A【解析：由P才=xAi,得O-Od-A(Oi-Oi),即0市 3.B[解析：设向量a与b的夹角为0，由题意得△=|a|2一 4|al1b1cos0>0,:1a|=21b|≠0，.△=41b12-81b12· 1+0i-以0i.又20巾=x0耐+y0i,所以=2+，消 y=-2, c0s>0,cos0长号，又0<K,号<0长x,故选B】 去λ得x+y=2.】 4号【解析：a0.成=0.（心-A)= 7.【解析：如图所示，D成-Di+成= Aò·AC-Aò·A范，如图所示，过点O作 号A市+号成-合A市+号(A心-- OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F.根据数量 -日市+子A心，又：恋与AC不共线，B 积的定义，得A0·AC-A0.AB=3|AE1-A 21A=3×号-2=号.1 =-=号十=-+号=】 8.(一∞，4)U(4,+∞)[解析：若能作为平面内的一个基底， 5.10压【解析：(2a-3b)·(2a十b)=4a2-36-4a·b- 13 则a与b不共线.a=6+2a,b=20十0，所以号≠合，得 4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=一6，.|a+b|2=a2+ 入≠4.] b+2a·b=16+9-12=13,∴.|a+b|=√/13，设a与a+b的 夹角为0，a…(a+b)=a2+a·b=10,cos0=（a+h 9.合a+君b【解析：C=+花=耐+音A砧=Mi+ lalla+bl 4×厅2后，则a在a+b上的投影向量的模为alcos0 10 5 号m-m)=号mi+号M迹=ga+名6.】 5 nj 10.号一号【解析：由条件可知十=2， λ一μ=3， 6.解：B.C=(Bi+A的)·(Ci+AQ)=(Bi-号P) 11.解：方法一 设AC,BD交于点O,则有A0=OC=号AC- (Ci+号)=i.Ci+2(i-·-4· a,Bd-Od-号Bd-号.所以A迹-A0+Oi-A0-Bd- 0+BC.p0-a2=号|BC·1 cos0-a2=a2(cos0-1), 故当0=0°，即P和B武方向相同时，B驴.C夜有最大值0. 2a-2b,BC-B0+0心=2a+2b, 77