期中综合复习二·基础巩固讲义（第1～3章） ·2026--2027学年湘教版八年级数学上册

期中综合复习二·基础巩固讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解因式分解的概念，能判断一个变形是否为因式分解 · 掌握提公因式法、公式法分解因式，能进行简单的因式分解运算 · 理解分式的基本性质，会约分、通分并进行简单分式运算 · 会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根检验 · 掌握二次根式的概念、性质与简单运算，会化最简二次根式 · 理解负整数指数幂与科学记数法，能进行基本幂运算 🍗 知识梳理 ✅️ 1.因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆变形 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，公因式取系数的最大公因数与相同字母最低次幂 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 判断因式分解：看结果是否为整式的积的形式且与原式恒等 概念辨析例题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．x2+2x=x(x+2)　B．(x+1)(x-1)=x2-1　C．x2-2x+1=x(x-2)+1　D．3x+6=x(3)+6 答案：A 解析：因式分解是把多项式化为整式乘积的形式。A把x2+2x化为x(x+2)，是整式的积，属于因式分解；B是整式乘法；C结果含有加法，不是乘积形式；D不是整式恒等变形。故选A。 ✅️ 2.分式 分式：形如（B中含字母且B≠0）的式子；分式有意义看分母，值为0看分子为0且分母不为0 基本性质：=（C≠0），据此约分与通分 约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式；通分：化为同分母 分式运算：同分母相加减分母不变，异分母先通分；乘除先分解因式再约分 概念辨析例题：把分式的分子、分母都扩大3倍，分式的值（　　）A．扩大3倍　B．缩小3倍　C．不变　D．扩大9倍 答案：C 解析：由分式的基本性质，分子分母同乘以同一个不为零的数（3），分式的值不变。故选C。 ✅️ 3.二次根式 二次根式：形如（a≥0）的式子，被开方数为非负数 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 性质：=|a|；=；= 同类二次根式：最简后被开方数相同，可合并（系数相加减） 概念辨析例题：下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）A．　B．　C．　D． 答案：A 解析：=2，与是同类二次根式；、=3、=都不是的同类二次根式。故选A。 ✅️ 4.幂运算与科学记数法 零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a-n=（a≠0） 同底数幂：am·an=am+n；am÷an=am-n（a≠0） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=an·bn 科学记数法：绝对值小于1的数写成a×10-n（1≤a<10），还原时小数点左移n位 概念辨析例题：计算：(-2)-2的结果是（　　）A．-4　B．4　C．　D．- 答案：C 解析：(-2)-2==。负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数。故选C。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式→整式积 与整式乘法互逆 分式有意义 分母≠0 值为0须分子0分母≠0 最简二次根式 被开方数不含分母/开得尽方 化简后再判断同类 负整数指数幂 a-n=1/an 底数a≠0 科学记数法 a×10-n（1≤a<10） 还原注意小数位 📩 核心考点 【考点1】因式分解（第1-12题） · 判断因式分解：结果必须是整式的积的形式 · 先提公因式，再考虑平方差、完全平方公式 · 分解后检查每个因式能否继续分解 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解的有 （   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式中，多项式的因式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段检测）对于任何整数，多项式都能（    ） A．被9整除 B．被a整除 C．被整除 D．被整除 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 7．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解：_______． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 11．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值． 【考点2】分式运算（第13-22题） · 分式有意义看分母，值为0看分子与分母 · 约分通分依据分式基本性质 · 同分母加减直接算，异分母先通分 13．（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）如果把分式中的都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小到原来的倍 C．扩大到原来的2倍 D．无法确定 14．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 16．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·河南周口·二模）化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 18．（25-26九年级上·广东茂名·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（21-22八年级下·四川资阳·阶段检测）下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 22．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）计算：__________． 【考点3】分式方程（第23-31题） · 去分母化为整式方程 · 解后必须检验（代入最简公分母） · 无解问题注意增根 23．（23-24八年级·全国·随堂练习）将分式方程去分母后，得（　　） A． B． C． D． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 25．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 26．（21-22八年级下·江苏宿迁·阶段检测）若关于x的方程无解，则m的值为______． 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则________． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 29．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 30．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式……， ……， ……． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值． 31．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 考点4：幂运算与科学记数法 32．（2025·湖北武汉·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·江西九江·期中）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有，将0.00000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为_________． 35．（25-26八年级下·重庆万州·期末）2026年，中国科学院武汉病毒研究所王延轶团队在国际权威期刊《PNAS》上发文：基孔肯雅病毒颗粒的直径约为0.00000007米（70纳米），病毒通过激活宿主细胞的SMARCA4蛋白，上调膜蛋白TMEM47进而诱导细胞质膜重塑，形成直径约50-70纳米的球状复制结构，为病毒RNA复制提供了关键场所．用科学记数法将数据0.00000007表示为________． 36．（23-24八年级上·全国·课后作业）若，则的值为________． 37．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算：______． 38．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为________平方毫米． 39．（2025·河北保定·一模）________． 40．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：_________ 41．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）按照央行发布的2024年金融统计数据，去年全国住户人民币存款增加了约14万亿元．一台点钞机的速度大约为每小时张，按每天点钞7小时计算，如果让点钞机点一遍14万亿面值为100元的人民币，一台点钞机大约要点______天． 42．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．氢原子基态电子绕着原子核运动一周所需时间约150阿秒，将150阿秒用科学记数法表示为________秒． 43．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算的结果是______． 考点5：二次根式 44．（24-25八年级下·福建福州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是________． 47．（23-24八年级上·全国·单元测试）若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为________． 48．（25-26八年级下·重庆·期中）若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______． 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图所示的是海海爸爸的书法作品．已知宽为，长是宽的3倍，则该作品的周长为_______． 50．（23-24八年级上·福建福州·期末）据研究，高空地物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．从高空地物到落地的时间为____________s．（结果保留根号） 51．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，则等于_____． 52．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 基础巩固阶段重在概念辨析，因式分解与整式乘法的互逆关系要分清 · 分式的约分通分多练，注意分母不为零的前提 · 分式方程解完后务必检验，防止增根 · 二次根式化简要化到最简，合并时看清是否同类 · 幂运算注意符号与指数法则，科学记数法还原小数要数清位数 【作业1】（2025·山东·二模）分式化简后的结果为___________． 【作业2】（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）计算：_______． 【作业3】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值是______． 【作业4】（25-26七年级下·浙江台州·期末）化简：________． 【作业5】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，若为正整数，则表示 的值的点落在第_________段．（填序号） 【作业6】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，则的值为__________． 【作业7】（26-27八年级上·北京·课后作业）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【作业8】（26-27八年级上·北京·课堂例题）化简：． 【作业9】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【作业10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)． 【作业11】（26-27八年级上·北京·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【作业12】（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业13】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若实数，满足，求的值． 【作业14】（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）先化简，再求值：，再从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【作业15】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【作业16】（24-25八年级下·山西晋城·期末）为了改善居住环境，政府对老旧街区进行改造，在某道路改造过程中，需要铺设3000米排水管道，为了在雨季来临前完成任务，工程指挥部合理调配人员，加强了工程一线的人力，使得每天完成的工作量比原计划增加了，结果提前4天完成任务．问原计划每天完成多少米？ 【作业17】（23-24八年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业18】（25-26八年级上·全国·期末）年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合复习二·基础巩固讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解因式分解的概念，能判断一个变形是否为因式分解 · 掌握提公因式法、公式法分解因式，能进行简单的因式分解运算 · 理解分式的基本性质，会约分、通分并进行简单分式运算 · 会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根检验 · 掌握二次根式的概念、性质与简单运算，会化最简二次根式 · 理解负整数指数幂与科学记数法，能进行基本幂运算 🍗 知识梳理 ✅️ 1.因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆变形 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，公因式取系数的最大公因数与相同字母最低次幂 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 判断因式分解：看结果是否为整式的积的形式且与原式恒等 概念辨析例题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．x2+2x=x(x+2)　B．(x+1)(x-1)=x2-1　C．x2-2x+1=x(x-2)+1　D．3x+6=x(3)+6 答案：A 解析：因式分解是把多项式化为整式乘积的形式。A把x2+2x化为x(x+2)，是整式的积，属于因式分解；B是整式乘法；C结果含有加法，不是乘积形式；D不是整式恒等变形。故选A。 ✅️ 2.分式 分式：形如（B中含字母且B≠0）的式子；分式有意义看分母，值为0看分子为0且分母不为0 基本性质：=（C≠0），据此约分与通分 约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式；通分：化为同分母 分式运算：同分母相加减分母不变，异分母先通分；乘除先分解因式再约分 概念辨析例题：把分式的分子、分母都扩大3倍，分式的值（　　）A．扩大3倍　B．缩小3倍　C．不变　D．扩大9倍 答案：C 解析：由分式的基本性质，分子分母同乘以同一个不为零的数（3），分式的值不变。故选C。 ✅️ 3.二次根式 二次根式：形如（a≥0）的式子，被开方数为非负数 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 性质：=|a|；=；= 同类二次根式：最简后被开方数相同，可合并（系数相加减） 概念辨析例题：下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）A．　B．　C．　D． 答案：A 解析：=2，与是同类二次根式；、=3、=都不是的同类二次根式。故选A。 ✅️ 4.幂运算与科学记数法 零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a-n=（a≠0） 同底数幂：am·an=am+n；am÷an=am-n（a≠0） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=an·bn 科学记数法：绝对值小于1的数写成a×10-n（1≤a<10），还原时小数点左移n位 概念辨析例题：计算：(-2)-2的结果是（　　）A．-4　B．4　C．　D．- 答案：C 解析：(-2)-2==。负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数。故选C。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式→整式积 与整式乘法互逆 分式有意义 分母≠0 值为0须分子0分母≠0 最简二次根式 被开方数不含分母/开得尽方 化简后再判断同类 负整数指数幂 a-n=1/an 底数a≠0 科学记数法 a×10-n（1≤a<10） 还原注意小数位 📩 核心考点 【考点1】因式分解（第1-12题） · 判断因式分解：结果必须是整式的积的形式 · 先提公因式，再考虑平方差、完全平方公式 · 分解后检查每个因式能否继续分解 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解的有 （   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是运用完全平方公式进行因式分解的能力，根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 【详解】解：（1） 中，乘积项不是，不能运用完全平方公式； （2） ，符合题意； （3） ，乘积项不是，不符合能用完全平方公式； （4），符合题意； 所以（2）（4） 能用完全平方公式分解，共2个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （4），符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式中，多项式的因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】将原多项式分解因式即可得解．本题主要考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】∵， ∴多项式的因式是或， 故选：C． 4．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段检测）对于任何整数，多项式都能（    ） A．被9整除 B．被a整除 C．被整除 D．被整除 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式分解，即可做出判断，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解：原式， 则对于任何整数a，多项式都能被整除． 故选：C． 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【详解】解：A选项中，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，A错误； B选项中，变形是整式乘法运算，是从整式乘积得到多项式，不是因式分解，B错误； C选项中，将多项式变形为整式的平方，属于整式乘积的形式，符合因式分解的定义，C正确； D选项中，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，D错误． 6．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 7．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解：_______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算，平方差公式： （1）分母不变，分子相减，再用平方差公式对分子进行因式分解，约分化简； （2）分母不变，分子相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【详解】（1）解：； （2）解：． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，确定各式的公因式是解题关键． （1）提公因式，即可完成因式分解； （2）提公因式，即可完成因式分解； （3）提公因式，即可完成因式分解； （4）提公因式，即可完成因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解和整体代入的思想，掌握先因式分解简化式子，再利用已知条件求中间量，最后整体代入求值是解题的关键． （1）先提取公因式，再对括号内的式子化简并因式分解，最后代入数值计算； （2）先提取公因式，再利用已知条件求出的值，整体代入化简后的式子计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式 （2）解：， ． ， ，解得． 当，时， ． 【考点2】分式运算（第13-22题） · 分式有意义看分母，值为0看分子与分母 · 约分通分依据分式基本性质 · 同分母加减直接算，异分母先通分 13．（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）如果把分式中的都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小到原来的倍 C．扩大到原来的2倍 D．无法确定 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的都扩大为原来的2倍，再求出比值，然后与之前分式的值对比即可解答． 【详解】解：分式中的都扩大为原来的2倍，得到的新分式为：，即分式的值为原来的倍． 故选B． 14．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了解分式化简求值，解决本题的关键是根据等式的性质把进行变形，得到：，再把等式的两边同时除以即可得到结果． 【详解】解： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 等式两边同时除以可得：． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 16．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分 【分析】此题主要考查约分的性质．熟练掌握，即可解题． 根据分式约分的规则，逐一验证各选项的正确性．约分需分子分母同时除以公因式，且不改变原式的值． 【详解】选项A： 分子分母均为负数，相除结果应为正数．正确结果应为，故A错误． 选项B： 分子与分母相同，当时，分式值为1，而非0，故B错误． 选项C： 分母分解因式得，分子为，约去公因式后结果为（前提且），故C正确． 选项D： 根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数，等式成立，但此操作为分式变形而非约分（约分需约去公因式），故D不符合题意． 综上，正确答案为：C． 17．（2025·河南周口·二模）化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式加减法，熟练掌握同分母分式加减法法则是解题的关键． 根据同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 18．（25-26九年级上·广东茂名·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，同分母分式相加，分母不变，分子相加． 根据同分母分式加法法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 19．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性． 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个． 故选：B． 20．（21-22八年级下·四川资阳·阶段检测）下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分、判断分式变形是否正确 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 21．（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 22．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【考点3】分式方程（第23-31题） · 去分母化为整式方程 · 解后必须检验（代入最简公分母） · 无解问题注意增根 23．（23-24八年级·全国·随堂练习）将分式方程去分母后，得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是找到分式方程分母的最简公分母，解题过程注意不要漏乘． 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，方程左右两边分别乘最简公分母即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为D． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 25．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 26．（21-22八年级下·江苏宿迁·阶段检测）若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解可知方程存在增根，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将原方程变形，得， 去分母，得， 整理得， 原分式方程无解， 原方程的增根为， 把代入，得，解得． 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则________． 【答案】/ 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式值为零的条件，由分式值为零的条件，得分子为零且分母不为零，即且，解得，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 得分子，即，解得或， 分母， 所以， 因此， 当时， ， 故答案为：． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】解分式方程的基本步骤：先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． （2）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． （3）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． 【点睛】注意解分式方程时，最后要对方程的解进行检验． 29．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 30．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式……， ……， ……． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)， 正确的化简过程如下： 原式， ， ， ； (2)2． 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、异分母分式加减法 【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）令，然后解分式方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：原式的计算结果为， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 题目中被墨水遮住的的值为． 31．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【答案】(1)原计划每小时播种8万平方米 (2)甲播种机至少要播种20小时 【知识点】分式方程的工程问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可; （2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设原计划每小时播种x万平方米， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：原计划每小时播种8万平方米． （2）解：设甲播种机播种a小时， 则乙播种机播种小时， 根据题意得 解得 答：甲播种机至少要播种20小时． 考点4：幂运算与科学记数法 32．（2025·湖北武汉·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 33．（23-24七年级下·江西九江·期中）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有，将0.00000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 34．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为_________． 【答案】0 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值． 【详解】解： ， 故答案为：0． 35．（25-26八年级下·重庆万州·期末）2026年，中国科学院武汉病毒研究所王延轶团队在国际权威期刊《PNAS》上发文：基孔肯雅病毒颗粒的直径约为0.00000007米（70纳米），病毒通过激活宿主细胞的SMARCA4蛋白，上调膜蛋白TMEM47进而诱导细胞质膜重塑，形成直径约50-70纳米的球状复制结构，为病毒RNA复制提供了关键场所．用科学记数法将数据0.00000007表示为________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于的数用科学记数法表示的形式为，其中，为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：对于数字，第一个不为零的数字为，前面共有个， ． 36．（23-24八年级上·全国·课后作业）若，则的值为________． 【答案】10 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相除以及同底数幂相乘的法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此即可作答． 【详解】解：依题意，． 故答案为：10． 37．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】根据负整数指数幂的运算法则直接计算即可. 【详解】解：. 38．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为________平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 39．（2025·河北保定·一模）________． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 40．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：_________ 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂的运算规则，即一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数．熟练掌握负指数幂的运算规则是解题的关键． 根据负指数幂的运算规则即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 41．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）按照央行发布的2024年金融统计数据，去年全国住户人民币存款增加了约14万亿元．一台点钞机的速度大约为每小时张，按每天点钞7小时计算，如果让点钞机点一遍14万亿面值为100元的人民币，一台点钞机大约要点______天． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键．先算出14万亿元人民币的张数，再根据同底数幂的除法法则以及科学记数法即可解答． 【详解】解：14万亿元， 即14万亿面值为100元的人民币为张， （天）． 故答案为：． 42．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．氢原子基态电子绕着原子核运动一周所需时间约150阿秒，将150阿秒用科学记数法表示为________秒． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【详解】解：由题意得，阿秒秒， 则阿秒． 43．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算的结果是______． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则． 利用负整数指数幂的运算和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点5：二次根式 44．（24-25八年级下·福建福州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数是整数或整式；根据最简二次根式的判定条件逐项分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：A、满足最简二次根式的判定条件，符合题意； B、，不满足最简二次根式的判定条件，不符合题意； C、，不满足最简二次根式的判定条件，不符合题意； D、，不满足最简二次根式的判定条件，不符合题意； 故选：A． 45．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义“被开方数中不含有开方不尽的因数或因式”化简判断即可． 【详解】解：因为，，， 所以、、都不是最简二次根式， 只有是最简二次根式， 故选：A． 46．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是________． 【答案】或 【知识点】求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 47．（23-24八年级上·全国·单元测试）若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为________． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】此题考查了二次根式除法运算，利用三角形面积公式列式，再用二次根式的除法计算即可． 【详解】解：由题意可得高线长为：， 故答案为： 48．（25-26八年级下·重庆·期中）若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______． 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分析】化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，据此进行分析列式计算，即可作答． 【详解】解：∵最简二次根式能与合并为一项， ∴与是同类二次根式，可得， 解得． 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图所示的是海海爸爸的书法作品．已知宽为，长是宽的3倍，则该作品的周长为_______． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了长方形的周长公式，根据题意求出长方形的长，再利用周长公式计算即可，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：已知宽为，长是宽的3倍， 则长为， 长方形的周长为， 故答案为： ． 50．（23-24八年级上·福建福州·期末）据研究，高空地物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．从高空地物到落地的时间为____________s．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式化简的应用能力，关键是能准确地将二次根式化简为最简二次根式． 将，代入公式进行求解． 【详解】解：当时， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，则等于_____． 【答案】 【知识点】同类二次根式、二次根式有意义的条件、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，然后利用二次根式的性质化简原式为，合并同类二次根式得到，最后利用等式的性质即可得出的值． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，同类二次根式，等式的性质等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 52．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的除法 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 基础巩固阶段重在概念辨析，因式分解与整式乘法的互逆关系要分清 · 分式的约分通分多练，注意分母不为零的前提 · 分式方程解完后务必检验，防止增根 · 二次根式化简要化到最简，合并时看清是否同类 · 幂运算注意符号与指数法则，科学记数法还原小数要数清位数 【作业1】（2025·山东·二模）分式化简后的结果为___________． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的化简，原式先约分，再进行同分母的减法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业2】（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）计算：_______． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业3】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的应用，代数式求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．将代数式变形为，再将代入求值即可． 【详解】， 将代入得， ． 故答案为：． 【作业4】（25-26七年级下·浙江台州·期末）化简：________． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】按照分式除法法则进行运算即可． 【详解】解：． 【作业5】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，若为正整数，则表示 的值的点落在第_________段．（填序号） 【答案】② 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后进行约分化简，再根据同分母分式加减法进行计算，并结合为正整数，确定结果的取值范围． 【详解】解：原式 ； ∵是正整数， ∴， ∴． 故答案为：②． 【作业6】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，则的值为__________． 【答案】或 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质． 根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 【作业7】（26-27八年级上·北京·课后作业）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3)； 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业8】（26-27八年级上·北京·课堂例题）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 【作业9】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， 原式． 【作业10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根式的性质，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算，进行计算即可； （2）根据二次根式的除法和二次根式的性质进行化简，然后即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【作业11】（26-27八年级上·北京·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法、分式除法 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先进行根式的除法，然后再化为最简． （2）先进行根式的除法，然后再化为最简． （3）先进行根式的除法，然后再将所得根式化为最简． （4）先进行根式的除法，然后再将所得根式化为最简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【作业12】（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、零指数幂 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【作业13】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若实数，满足，求的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】此题主要考查了分式的化简与计算，同时注意整体代入的方法．对代数式整理，代入计算即可得到答案． 【详解】解：由知， ∴原式 ． 【作业14】（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）先化简，再求值：，再从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式的值为 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值；对于分式化简，需要运用分式的运算法则，如除法变乘法(除以一个分式等于乘以它的倒数)，通分等；化简后再根据分式有意义的条件选择合适的：值代入求值． 【详解】解： 要使分式有意义， 分母不能为，即， ∴； 从中选择代入， ∴， 故：当时，原式的值为． 【作业15】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)2 【知识点】含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【作业16】（24-25八年级下·山西晋城·期末）为了改善居住环境，政府对老旧街区进行改造，在某道路改造过程中，需要铺设3000米排水管道，为了在雨季来临前完成任务，工程指挥部合理调配人员，加强了工程一线的人力，使得每天完成的工作量比原计划增加了，结果提前4天完成任务．问原计划每天完成多少米？ 【答案】125米 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． 设原计划每天完成米，现每天完成，再根据结果提前4天完成任务，建立方程求解即可． 【详解】设原计划每天完成米， 则原计划完成任务共需天， 现每天完成的工作量比原计划增加了， 则每天完成，完成任务共需天， 又因为结果提前4天完成任务， 所以， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 答：原计划每天完成125米． 【作业17】（23-24八年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法及合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算同底数幂的乘法运算，然后合并同类项计算即可； （2）先计算同底数幂的乘法及积的乘方运算，同底数幂的除法运算，然后合并同类项计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业18】（25-26八年级上·全国·期末）年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低 【知识点】分式方程的其它实际问题、解分式方程（化为一元一次）、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）由“燃油车每千米行驶费用比新能源车多元”可得，解方程即可求出的值，进而可求出燃油车和新能源车的每千米行驶费用； （2）设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低，由题意得，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以（元），（元）， 所以燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元． （2）解：设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意，得． 解得． 所以每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $