3.1 第1课时 二次根式的概念及性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及两条性质，通过复习平方根和算术平方根，结合算术平方根表示、第一宇宙速度计算等问题导入，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用“思考”“做一做”等互动设计，以第一宇宙速度等实例培养数学眼光，通过对比表格辨析性质发展推理意识，典例与练一练结合提升应用能力。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效开展教学。

3.1 二次根式的概念及性质 第3章 二次根式 第1课时 二次根式的概念及性质 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1.了解二次根式的定义； 2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件； （重点） 3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点） 学习目标 问题1 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根. 问题2 什么叫作算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内,非负实数才有算数平方根. 复习导入 (1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? 思考 二次根式的概念及有意义的条件 1 2，3，5 的算术平方根分别为 探究新知 (2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v² = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示). 因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 v＝. (3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ 与 都是形如 的式子. 我们知道：每一个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根， 因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 知识要点 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数(或式)非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 7 例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由 x - 1≥0，得 x≥1. 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， 所以 x＞1. 典例精析 解：因为被开方数需大于或等于零， 所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以 x - 1≠0，所以 x≠1. 所以 x≥-3 且 x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 归纳 (2)多个二次根式相加：如 有意义的条件： (1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0； (3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 1.下列各式： . 其中一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； (2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是___________. x≥1 x≥0 且 x≠2 练一练 3.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 所以 a = 3. 所以 b = 4. 当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10； 当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． 若 ，则根据被开方数大于等于 0，可得 a = 0. 归纳 对于非负实数a，由于 是 a 的一个平方根，因此 ＝a (a≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. （a≥0）的性质 2 例2 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： (ab)2 = a2b2 典例精析 4. 计算： 解： 练一练 的性质 2 做一做 填空： (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ ； (4) ＝ . 由于 a 的平方等于 a²，因此 a 是 a² 的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0). 2 1.2 2 1.2 由于 －a 的平方等于 a²，因此 －a 是 a² 的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0). a (a≥0)， a (a＜0). 综上可得： 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 例3 计算： 解： ，而3.14＜π，要注意 a 的正负性. 注意 例4 计算： (1) ； (2) . 解：(1) ＝|3－π|＝π－3. (2) ＝||＝. 5.计算： 解: 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 练一练 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任何实数 a | a | 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0， 所以原式= | a | - | b | + | a - b | = - a - b - (a - b) = -2a. a b 2.式子 有意义的条件是 （ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 3.若 是整数，则自然数 n 的值有 （ ） A. 7个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个 D 课堂练习 解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x＋3≥0 和分母 x＋1≠0， 解得 x≥－3 且 x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零. 5. 计算： 答案：3. 答案： . 6. 计算： 答案：7. 答案：3. 答案：0.01. 7.若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值. 解：根据题意得 所以 x = 1. 因为 y＜ ， 所以 y＜ 所以 . 二次根式 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 → 性质 应用 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $