第1章·因式分解·期中复习·培优讲义 ·2026--2027学年湘教版八年级数学上册
|
2份
|
58页
|
54人阅读
|
0人下载
精品
内容正文：
第1章·因式分解·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解因式分解的概念，能准确判断一个变形是否为因式分解
· 掌握提公因式法，能正确确定公因式并完成分解
· 掌握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法
· 掌握十字相乘法、分组分解法等综合分解方法
· 能运用因式分解进行代数式求值、几何图形与实际问题求解
· 理解因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练进行双向变形
🍗 知识梳理
✅️ 1.因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆变形
判断要点：结果必须是整式的乘积形式，且与原多项式恒等
因式分解必须分解到不能再分解为止
因式分解的应用：简化计算、代数式求值、判断三角形形状等
概念辨析例题：下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4 C．x2-9=(x+3)(x-3) D．x2+2x+1=x(x+2)+1
答案：C
解析：因式分解是把多项式化为整式乘积形式。A是整式乘法；B、D结果含加法不是乘积形式；C把x2-9化为(x+3)(x-3)的积，属于因式分解。故选C。
✅️ 2.提公因式法
公因式：各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
首项系数为负时，提负公因式注意变号
提公因式后检查括号内各项是否还能继续分解
概念辨析例题：分解因式：-3a2b+6ab2-3ab。
答案：-3ab(a-2b+1)
解析：各项公因式为-3ab，提公因式得-3ab(a-2b+1)。注意：提负公因式后括号内各项要变号。
✅️ 3.公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，适用于两项、异号、平方形式的式子
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，适用于三项、首尾平方加（减）两倍积
运用公式前先把式子整理为公式的标准形式，如4x2=(2x)2
公式法常与提公因式法结合使用，先提公因式再套公式
概念辨析例题：分解因式：4x2-12xy+9y2。
答案：(2x-3y)2
解析：4x2=(2x)2，9y2=(3y)2，中间项12xy=2×(2x)×(3y)，符合完全平方公式，所以4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2。
✅️ 4.十字相乘法与分组分解法
十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，用于二次三项式
分组分解法：把多项式分组后分别提公因式或套公式，再整体提公因式
分组原则：分组后每组能分解，组间能继续分解
综合应用：灵活选用方法，分解到底
概念辨析例题：分解因式：x2-5x+6。
答案：(x-2)(x-3)
解析：找两个数使乘积为6、和为-5，即-2和-3，所以x2-5x+6=(x-2)(x-3)。
✅️ 5.因式分解的应用
代数式求值：先因式分解再整体代入
简便计算：利用平方差、完全平方公式简化数字运算
几何问题：利用因式分解判断三角形形状、解决面积问题
方程与不等式：利用因式分解把高次问题降次
概念辨析例题：已知a-b=3，ab=2，求a2b-ab2的值。
答案：6
解析：a2b-ab2=ab(a-b)，把ab=2、a-b=3整体代入，得2×3=6。先因式分解再整体代入是常用方法。
🧀 知识总结表
方法
适用形式
注意事项
提公因式法
各项有公因式
提负公因式要变号
平方差公式
a2-b2两项异号
写成(a)2-(b)2形式
完全平方公式
a2±2ab+b2三项
中间项是两倍积
十字相乘法
x2+(p+q)x+pq
两数和、积要匹配
分组分解法
四项及以上
分组后能继续分解
📩 核心考点
【考点1】因式分解的概念与判断（第1-6题）
· 判断标准：结果是整式的乘积形式
· 与整式乘法区分：乘法是展开，分解是因式化积
· 注意排除含加减运算的假分解
1．（25-26八年级上·广西钦州·阶段检测）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的判断．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意；
B、等式右边，等式左右两边不相等，等式不成立，故不符合题意；
C、等式右边不是整式积的形式，故不符合题意；
D、，属于因式分解，符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级下·山东聊城·阶段检测）已知，，，则的值等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用
【分析】本题考查了整式的乘法与因式分解，利用整式的乘法可得，，两式相减可得，结合，得出，则，然后把整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段检测）若多项式可分解为，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可．
【详解】解：
，
把多项式分解因式，得，
，
故选：B．
4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意；
、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意；
、该式从左边到右边是因式分解，符合题意；
、该式左边不能因式分解，不合题意；
故选：．
5．（24-25八年级上·新疆巴州·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________．
【答案】
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案．
【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，
∴当时，的值也为0，
∴当时，的值也为0，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题．
我们可通过运算得到和．
【探索归纳】
如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
（1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________．
【尝试运用】
利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．
（2）若，则________．
【拓展延伸】
（3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值．
（4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值．
【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29．
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果；
（2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果；
（3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果；
（4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果．
【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为，
由图乙可得，长方形的面积为，
故得到的等式是；
（2）
，
∵，
∴；
（3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，
∴设另一个因式为，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴另一个因式为，的值为；
（4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，
∴设这两个一次式为和，
∴，
∴，，，
∵、、、均为整数，
∴当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29．
【考点2】提公因式法（第7-11题）
· 确定公因式：系数最大公因数×相同字母最低次幂
· 首项为负先提负号
· 提后检查括号内是否还能分解
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如图．长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为，，周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ）
A．6 B．10 C．3 D．8
【答案】A
【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和长方形的周长与面积公式，掌握提取公因式将代数式转化为已知条件的形式，结合周长公式求出，进而求出面积是解题的关键．
先根据长方形周长公式求出的值，再对已知等式提取公因式，代入的值求出，即鸡舍的面积．
【详解】解：∵鸡舍的周长为10，
∴，
解得：．
∵，
∴．
故鸡舍的面积为．
故选；A．
8．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________．
【答案】2
【知识点】利用平方根解方程、提公因式法分解因式
【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为_____．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值．
【详解】解：原式 =
=
=
代入 ，，得 ，
故答案为： -60．
【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值．
10．（25-26七年级下·山东青岛·期中）用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、提公因式法分解因式
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
根据题意，得，
阴影部分的面积为
．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次．
(2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______．
(3)请用以上方法分解因式：（为正整数）．
【答案】(1)提公因式 2
(2)2024
(3)
【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用
【分析】（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数；
（2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果；
（3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数．
【详解】（1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次，
故答案为：提公因式，．
（2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为，结果的次数为，
故分解因式，需要提公因式次，结果为，
故答案为：，；
（3）解：原式
…
．
【点睛】本题考查了因式分解的方法-提取公因式法．关键是通过连续提公因式，得出提公因式的次数与结果的次数的关系．
【考点3】公式法·平方差（第12-19题）
· 识别两项异号平方形式
· 写成(a)2-(b)2再套公式
· 连续套用平方差公式直到分解到底
12．（20-21七年级下·江苏徐州·期中）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数字类规律探索、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键．
先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可．
【详解】解：原式
．
13．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果，那么的值是（ ）
A．28 B．5 C． D．10
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式
【分析】本题考查平方差公式，先利用平方差公式因式分解，然后整体代入求出计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选D．
14．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（ ）
A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除
【答案】B
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断．
【详解】解：
，
无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数，
故．
该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除．
故选：B．
15．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
【答案】B
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论．
【详解】解：
，
∴能被65和63整除，
∴这两个整数是63和65．
16．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个
【答案】2
【知识点】平方差公式分解因式、加减消元法
【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴是正整数，
∵，
∴或或或，
解得（舍去）或或或（舍去），
∴这样的正整数对有和，共2个，
故答案为：2．
17．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于_____________．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用、因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．
【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）
同理，（为整数）．
由，得
，
，
故，，
所以，．
因此，，．，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．
18．（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了公式法因式分解，
该多项式是平方差形式，根据公式分解即可．
【详解】解：原式
．
19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值为______．
【答案】4
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练应用平方差公式是解题关键．
将已知关系式利用平方差公式分解因式，进而求出即可．
【详解】解：，且，
．
故答案为：4．
【考点4】公式法·完全平方（第20-26题）
· 识别三项：首尾平方+两倍积
· 验证中间项为±2ab
· 注意(a-b)2与(a+b)2的符号差异
20．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∵，
∴，
即：，
当时，；
当时，，
综上：或．
故选 ：B．
21．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求；
故选：A．
22．（25-26八年级上·四川凉山·阶段检测）已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
23．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．
【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为．
故选：A．
24．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知满足，，，则的值为______．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：．
25．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式：______．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
26．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则___．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可．
【详解】解：∵，
∴可得：，
整理可得：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点5】综合法与分组分解（第27-35题）
· 优先提公因式，再套公式
· 分组分解时试探分组方案
· 十字相乘与公式法结合使用
27．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查因式分解的正误判断，需运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式逐一验证各选项．
【详解】解：A、，分解错误．
B、=，与左边不相等，分解错误．
C、=，与左边不相等，分解错误．
D、==，符合提公因式法和平方差公式，分解正确．
故选：D．
28．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
下列回答错误的是（ ）
A．*代表 B．✅️代表
C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法
【答案】D
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答．
【详解】解：
其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法，
所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意；
✅️代表，故选项B说法正确，不符合题意；
在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
29．（24-25七年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
故选：A．
30．（25-26八年级上·全国·期末）将下列多项式因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，分别判断得出答案．
【详解】解： A、，正确，故此选项符合题意；
B、，错误，故此选项不符合题意；
C、，错误，故此选项不符合题意；
D、，错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
31．（2025·北京·模拟预测）多项式可分解为______．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、分组分解法
【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【详解】解析：原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用．
32．（22-23八年级上·浙江舟山·开学考试）有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____．
【答案】或781
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】根据密码的构成规则，由第一位因式码和第二位因式码构成的数为，可得，或，
，再将所求第三位因式码利用完全平方公式变形，代入求值即可．
【详解】解：
，
∵第一位因式码和第二位因式码构成的数是，
∴，或，
当，时，原式，
当，时，原式，
综上所述，的值为28或781．
33．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式：
(1)_____；
(2)________；
(3)_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法的应用是解题的关键．
（1）先去括号，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）先利用完全平方公式化简整理后，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
34．（25-26八年级上·湖南·阶段检测）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
．
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键．
（1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
35．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解：
【答案】(1)C
(2)
(3)；
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止；
（3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可；
②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可．
【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解，
故答案为：C；
（2），
该因式分解的最后结果为：，
故答案为：；
（3）①设，
；
②设，
．
【考点6】因式分解的应用（第36-45题）
· 代数式求值先分解再整体代入
· 利用因式分解判断三角形形状
· 数字简算用公式法降维
36．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，简化给定表达式为，分析其整除性质．
【详解】解：原式
对于任意整数n，总能被4整除，
故选：B．
37．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，，是等腰三角形的三边，且满足．则等腰三角形的周长为（ ）．
A．12 B．12或15 C．9或12 D．15
【答案】D
【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形及其三边关系的应用．根据题目给出的已知条件采用适当的方法进行因式分解，并根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键．根据已知条件，运用完全平方公式转化为一个多项式的平方和等于的等式，进而求出，的值．根据等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系分两种情况讨论，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵等腰三角形的两边长分别为，，
∴当是腰时，则三边长为、、，
∵，不满足三角形三边关系，
∴不能构成三角形；
当是腰时，则三边长为、、，
∵，满足三角形三边关系，
∴能构成三角形，
∴的周长为；
故选：．
38．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________．
【答案】15
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解的应用．设这两个连续奇数为和，则 ，因此可判断两个连续奇数的平方差能被8整除，据此求解即可．
【详解】解：设这两个连续奇数为和，则
．
因此两个连续奇数的平方差能被8整除．
正整数为8的正约数：1，2，4，8．
这些约数的和为．
故答案为：15．
39．（24-25九年级下·山东日照·阶段检测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是______．
【答案】35
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…依次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：，均为正整数，
，，，，…，
，，，，…，
，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
第12个智慧优数是，
故答案为：．
40．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）若x是自然数，和都是完全平方数，那么___________．
【答案】1836 或108
【知识点】因式分解的应用、加减消元法
【分析】本题考查了平方差公式因式分解的应用，先设，（其中a、b是自然数），则，由于是自然数，可得或，求出a、b，进而即可求出x的值．
【详解】解：设，（其中a、b是自然数），
则，
∴，
由，
∴当时，解得：；
当时，解得：；
∴或，
∴1836 或108，
故答案为：1836 或108．
41．（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可．
【详解】解：，，
．
42．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由．
【答案】能，
拼图如答图所示．
【知识点】因式分解的应用
【分析】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解．
【详解】解：能，
所有纸片的面积和为，
因式分解为．
拼成的长方形的长为、宽为．
43．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知长方形的周长是320厘米，两条邻边分别为x厘米，y厘米，并且，求长方形的面积．
【答案】4800平方厘米
【知识点】因式分解的应用
【分析】根据长方形的周长，因式分解，边长的性质，解答即可．
本题考查了因式分解，边长的性质，长方形的性质，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【详解】解：∵长方形的周长是320厘米，两条邻边分别是x厘米，y厘米，
∴则（厘米）．
∵，
∴，
∵，，
∴．
，
∴，
解得，
则，即长方形的面积为4800平方厘米．
44．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
．
(1)求被墨水污染的一次式．
(2)若被墨水污染的一次式的值不小于2，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】因式分解的应用、列一元一次不等式
【分析】（1）根据题意得出被墨水污染的一次式为，再求出即可．
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：被墨水污染的一次式为
．
（2）解：根据题意得，解得，
故的取值范围是．
【点睛】本题考查了整式的加减，因式分解，解一元一次不等式等知识点，解决本题的关键是正确运用知识点进行化简和计算．
45．（24-25八年级下·广东深圳·期中）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
（1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解．
（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．
【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（3），，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 因式分解与整式乘法互为逆变形，理解两者的关系有助于判断正误
· 提公因式是首选方法，提后必须检查能否继续分解
· 公式法要牢记平方差与完全平方的标准形式，识别特征
· 十字相乘与分组分解多加练习，积累分解经验
· 运用因式分解解题时，先变形再代入，注意整体思想
【作业1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，则的取值为（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用、三角形三边关系的应用
【分析】将原式因式分解，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断各因子的正负，从而得出表达式的符号．
本题考查了因式分解，三角形三边关系定理，有理数的乘法，熟练掌握因式分解，三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：
，
∵是的三边长，
∴ ，，，，
∴，
∴，
故，
故选：C．
【作业2】（2025·福建福州·一模）若，则的值为_______.
【答案】1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故答案为：1．
【作业3】（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）若，则______．
【答案】
【知识点】因式分解的应用、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查因式分解的应用，先提取公因式，再运用平法差公式因式分解即可得到答案．
【详解】解：
∵，
∴，
故答案为：．
【作业4】（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”．
(1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由．
(2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和．
【答案】(1)
是“登高数”，
理由：设，
解得：，
，
是 “登高数”；
(2)
解：“登高数”能被整除，
理由：，
，
，
是正整数，
能被整除，
能被整除，
“登高数”都能被整除；
(3)．
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”．
（1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；
（3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2），可知“登高数”能被整除，
，
不超过的所有“登高数”有，，，，，，
，
，
，
，
．
【作业5】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）设a，b都是正整数，且满足，
(1)若a是质数，b是奇数，求的值；
(2)若a是偶数，b是奇数，求的值，
【答案】(1)21
(2)21或27
【知识点】求一个数的算术平方根、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，求一个数的算术平方根：
（1）根据题意可得也是奇数，则是偶数，再由a是质数，得到，进而得到，则，据此求解即可；
（2）设（m、n都为正整数），则可推出，再由得到，再讨论n的值，进而确定m的值即可．
【详解】（1）解：∵b是奇数，
∴也是奇数，
∵，
∴是偶数，
又∵a是质数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设（m、n都为正整数），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，，
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，或（舍去），符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
综上所述，或，
∴或，
∴或．
【作业6】（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【类比】（1）分解因式：；
【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值；
（3）若，为实数且满足，，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）8；
（3）6
【知识点】分组分解法、因式分解的应用
【分析】本题考查了分组分解法因式分解，能够读懂题意是解题的关键．
（1）根据题干信息，利用分组分解法解答即可；
（2）先将通过变形得到，然后得到，进而求出的值即可；
（3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值．
【详解】解：（1）解：
．
（2）解：
，
∵,,
∴,
∴,
∴,
解得，
故．
（3）解：由，得，
∴
，
∵，
∴，当且仅当时成立，
∴S的最小值为6．
【作业7】（24-25七年级上·上海·阶段检测）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值．
【答案】3
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用、三元一次方程组的应用、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定的综合性；把方程组中第一个方程分别减去第二个、第三个方程，利用完全平方公式变形得：，左边利用十字相乘法分解因式即可求得的值．关键是由方程组得到．
【详解】解：，
得：，
即，
∴，
分解因式得：，
∴或，
∴或；
∵三角形三边长为a、b、c，
∴，
∴不符合题意，
∴．
【作业8】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：．
【答案】
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【作业9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．
(1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号）
(2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数．
①求证：“双奇差数”都能被8整除．
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证．
(3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值．
【答案】(1)②
(2)
①证明：，
因为k为正整数，所以能被8整除，
因此：“双奇差数”都能被8整除．
②设四个连续奇数为、、、，
，
，
，
，，
所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．
(3)7
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键．
（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解；
（2）①利用完全平方公式计算整理原式即可得解；
②设四个连续奇数为、、、，作差即可得解；
（3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可．
【详解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；
③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：①略；
②略；
（3）解：因为m、n为正整数，且，
，
因为是“双奇差数”，
所以，其中k为正整数，所以，
因为，即，所以当最小时，有最小值，
所以当最小时，有最小值，
当时，，不是完全平方数；
当时，，不是完全平方数；
当时，，由得，，
∴的最小值为7．
【作业10】（25-26八年级上·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】（1）（2）根据例题的方法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
【作业11】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】（1）将原式重新分组，通过配方法凑成两个完全平方式的差，再利用平方差公式进行分解；
（2）先将式子分组，把用完全平方公式分解，再与剩余部分提取公因式．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了分组分解法、平方差公式和完全平方公式的因式分解，解题关键是合理分组，先分解可分解的部分，再提取公因式完成整体分解．
【作业12】（25-26八年级下·全国·课后作业）今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？（选自《九章算术》）
题目大意：有一块圆环形田（如图），内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少（取3）？
《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理．
【答案】圆环形田的面积是535
《九章算术》中算法的道理：设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，
∴圆环形面积，且，
∴
，
即圆环形田的面积等于两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积．
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】代入周长表示半径：由得，由得．写出圆环面积公式：，代入半径表达式：，化简并因式分解：利用平方差公式，得，代入周长公式：，化简得，即可证明．再代入题中所给数据即可求出圆环形田的面积．
【详解】解：《九章算术》中算法的证明，略．
∵内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，取3，
即，
∴，
即圆环形田的面积是535．
【作业13】（22-23八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】（1）用两种方法表示图 1 中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图 2中正方体的体积即可得解．
（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．
【详解】解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图 2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（3），，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
【作业14】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状．阅读下列解题过程：
解：，
， 第一步
， 第二步
为直角三角形． 第三步
(1)上述解题过程，从第__________步开始出现错误．
(2)写出正确的解题过程．
【答案】(1)二
(2)
，
，
，
，
∴或，
或，
当时，该三角形是直角三角形，
当，即时，该三角形是等腰三角形，
是直角三角形或等腰三角形．
【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】（1）观察解题步骤中从第一步到第二步的变形，判断是否忽略了除数可能为的情况，从而确定错误步骤；
（2）先将等式移项，通过因式分解得到两个因式的乘积为的形式，再分情况讨论每个因式为时三角形边的关系，进而判断三角形形状．
【详解】（1）解：上述解题过程，从第二步开始出现错误，因为第一步到第二步时，直接两边除以，但未考虑的情况．
（2）略
【点睛】本题考查了因式分解的应用与三角形形状的判断，掌握因式分解后需分情况讨论，避免忽略边相等的可能是解题的关键．
【作业15】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．
(1)上述因式分解的方法是______，共应用了______次．
(2)分解因式：（n为正整数）．
【答案】(1)提公因式法 2
(2)
【知识点】多项式乘法中的规律性问题、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（1）根据已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案；
（2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案．
【详解】（1）解：提公因式法 ， 2
（2）解：原式
…
．
【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，读懂题意得出分解因式的规律是解答此题的关键．
1
1
学科网（北京）股份有限公司
$
第1章·因式分解·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解因式分解的概念，能准确判断一个变形是否为因式分解
· 掌握提公因式法，能正确确定公因式并完成分解
· 掌握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法
· 掌握十字相乘法、分组分解法等综合分解方法
· 能运用因式分解进行代数式求值、几何图形与实际问题求解
· 理解因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练进行双向变形
🍗 知识梳理
✅️ 1.因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆变形
判断要点：结果必须是整式的乘积形式，且与原多项式恒等
因式分解必须分解到不能再分解为止
因式分解的应用：简化计算、代数式求值、判断三角形形状等
概念辨析例题：下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4 C．x2-9=(x+3)(x-3) D．x2+2x+1=x(x+2)+1
答案：C
解析：因式分解是把多项式化为整式乘积形式。A是整式乘法；B、D结果含加法不是乘积形式；C把x2-9化为(x+3)(x-3)的积，属于因式分解。故选C。
✅️ 2.提公因式法
公因式：各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
首项系数为负时，提负公因式注意变号
提公因式后检查括号内各项是否还能继续分解
概念辨析例题：分解因式：-3a2b+6ab2-3ab。
答案：-3ab(a-2b+1)
解析：各项公因式为-3ab，提公因式得-3ab(a-2b+1)。注意：提负公因式后括号内各项要变号。
✅️ 3.公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，适用于两项、异号、平方形式的式子
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，适用于三项、首尾平方加（减）两倍积
运用公式前先把式子整理为公式的标准形式，如4x2=(2x)2
公式法常与提公因式法结合使用，先提公因式再套公式
概念辨析例题：分解因式：4x2-12xy+9y2。
答案：(2x-3y)2
解析：4x2=(2x)2，9y2=(3y)2，中间项12xy=2×(2x)×(3y)，符合完全平方公式，所以4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2。
✅️ 4.十字相乘法与分组分解法
十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，用于二次三项式
分组分解法：把多项式分组后分别提公因式或套公式，再整体提公因式
分组原则：分组后每组能分解，组间能继续分解
综合应用：灵活选用方法，分解到底
概念辨析例题：分解因式：x2-5x+6。
答案：(x-2)(x-3)
解析：找两个数使乘积为6、和为-5，即-2和-3，所以x2-5x+6=(x-2)(x-3)。
✅️ 5.因式分解的应用
代数式求值：先因式分解再整体代入
简便计算：利用平方差、完全平方公式简化数字运算
几何问题：利用因式分解判断三角形形状、解决面积问题
方程与不等式：利用因式分解把高次问题降次
概念辨析例题：已知a-b=3，ab=2，求a2b-ab2的值。
答案：6
解析：a2b-ab2=ab(a-b)，把ab=2、a-b=3整体代入，得2×3=6。先因式分解再整体代入是常用方法。
🧀 知识总结表
方法
适用形式
注意事项
提公因式法
各项有公因式
提负公因式要变号
平方差公式
a2-b2两项异号
写成(a)2-(b)2形式
完全平方公式
a2±2ab+b2三项
中间项是两倍积
十字相乘法
x2+(p+q)x+pq
两数和、积要匹配
分组分解法
四项及以上
分组后能继续分解
📩 核心考点
【考点1】因式分解的概念与判断（第1-6题）
· 判断标准：结果是整式的乘积形式
· 与整式乘法区分：乘法是展开，分解是因式化积
· 注意排除含加减运算的假分解
1．（25-26八年级上·广西钦州·阶段检测）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·山东聊城·阶段检测）已知，，，则的值等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段检测）若多项式可分解为，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·新疆巴州·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________．
6．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题．
我们可通过运算得到和．
【探索归纳】
如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
（1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________．
【尝试运用】
利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．
（2）若，则________．
【拓展延伸】
（3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值．
（4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值．
【考点2】提公因式法（第7-11题）
· 确定公因式：系数最大公因数×相同字母最低次幂
· 首项为负先提负号
· 提后检查括号内是否还能分解
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如图．长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为，，周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ）
A．6 B．10 C．3 D．8
8．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________．
9．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为_____．
10．（25-26七年级下·山东青岛·期中）用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次．
(2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______．
(3)请用以上方法分解因式：（为正整数）．
【考点3】公式法·平方差（第12-19题）
· 识别两项异号平方形式
· 写成(a)2-(b)2再套公式
· 连续套用平方差公式直到分解到底
12．（20-21七年级下·江苏徐州·期中）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果，那么的值是（ ）
A．28 B．5 C． D．10
14．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（ ）
A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除
15．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
16．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个
17．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于_____________．
18．（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________．
19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值为______．
【考点4】公式法·完全平方（第20-26题）
· 识别三项：首尾平方+两倍积
· 验证中间项为±2ab
· 注意(a-b)2与(a+b)2的符号差异
20．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．5 D．4
21．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
22．（25-26八年级上·四川凉山·阶段检测）已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
23．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知满足，，，则的值为______．
25．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式：______．
26．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则___．
【考点5】综合法与分组分解（第27-35题）
· 优先提公因式，再套公式
· 分组分解时试探分组方案
· 十字相乘与公式法结合使用
27．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
下列回答错误的是（ ）
A．*代表 B．✅️代表
C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法
29．（24-25七年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．（25-26八年级上·全国·期末）将下列多项式因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025·北京·模拟预测）多项式可分解为______．
32．（22-23八年级上·浙江舟山·开学考试）有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____．
33．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式：
(1)_____；
(2)________；
(3)_____．
34．（25-26八年级上·湖南·阶段检测）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
．
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
35．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解：
【考点6】因式分解的应用（第36-45题）
· 代数式求值先分解再整体代入
· 利用因式分解判断三角形形状
· 数字简算用公式法降维
36．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
37．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，，是等腰三角形的三边，且满足．则等腰三角形的周长为（ ）．
A．12 B．12或15 C．9或12 D．15
38．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________．
39．（24-25九年级下·山东日照·阶段检测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是______．
40．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）若x是自然数，和都是完全平方数，那么___________．
41．（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________．
42．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由．
43．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知长方形的周长是320厘米，两条邻边分别为x厘米，y厘米，并且，求长方形的面积．
44．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
．
(1)求被墨水污染的一次式．
(2)若被墨水污染的一次式的值不小于2，求的取值范围．
45．（24-25八年级下·广东深圳·期中）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 因式分解与整式乘法互为逆变形，理解两者的关系有助于判断正误
· 提公因式是首选方法，提后必须检查能否继续分解
· 公式法要牢记平方差与完全平方的标准形式，识别特征
· 十字相乘与分组分解多加练习，积累分解经验
· 运用因式分解解题时，先变形再代入，注意整体思想
【作业1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，则的取值为（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数
【作业2】（2025·福建福州·一模）若，则的值为_______.
【作业3】（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）若，则______．
【作业4】（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”．
(1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由．
(2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和．
【作业5】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）设a，b都是正整数，且满足，
(1)若a是质数，b是奇数，求的值；
(2)若a是偶数，b是奇数，求的值，
【作业6】（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【类比】（1）分解因式：；
【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值；
（3）若，为实数且满足，，求的最小值．
【作业7】（24-25七年级上·上海·阶段检测）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值．
【作业8】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：．
【作业9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．
(1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号）
(2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数．
①求证：“双奇差数”都能被8整除．
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证．
(3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值．
【作业10】（25-26八年级上·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式：
(1)．
(2)．
【作业11】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式：
(1)．
(2)．
【作业12】（25-26八年级下·全国·课后作业）今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？（选自《九章算术》）
题目大意：有一块圆环形田（如图），内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少（取3）？
《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理．
【作业13】（22-23八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
【作业14】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状．阅读下列解题过程：
解：，
， 第一步
， 第二步
为直角三角形． 第三步
(1)上述解题过程，从第__________步开始出现错误．
(2)写出正确的解题过程．
【作业15】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．
(1)上述因式分解的方法是______，共应用了______次．
(2)分解因式：（n为正整数）．
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
