2026-2027学年人教版八年级上册数学期中复习压轴题专练

八年级期中复习压轴题专练（人教版） 1．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：； 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (2)则当t为何值时，是直角三角形？ 3．（25-26八年级上·山西大同·期中）综合与探究 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在中，，点，分别是边，上的动点，且，探究的最小值． 【问题分析】通过构造全等三角形，将所求的两条线段转化到同一个三角形中，进而解决问题． 【问题解决】过点作，且，连接．完成下列问题： （1）求证：． （2）连接 ，则线段 的长即为的最小值． 【方法应用】 （3）如图2，在等边三角形中，于点，点，分别是线段，上的动点，且，当的值最小时，请直接写出的度数． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师让同学们在添加图形元素的过程中，探究所构成图形的性质．如图1，在中，，，是边上的高． 图形理解： （1）勤学小组发现图1中，所有角的度数都可求出． 请你直接写出相关结论：__________°，__________°，__________°； 初步探究： （2）在图1的基础上，善思小组添加了如下条件：过点作于点，交于点，得到图2，其余条件不变．请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由； 深入探究： （3）博学小组在图2的基础上连接，得到图3，直接写出的度数． 5．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题初探 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，为的中点，于点，交于点，连接．若，求证：． 如图②，小刚根据题中条件给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚的思路，补充下列证明过程． 证明：如图②，延长至点，使，连接． 为的中点，． 在和中，，__________，， ．． __________．． ，由作图知， ．__________． ． 类比分析 （2）李老师发现小刚同学不仅运用倍长中线法构造全等三角形，还用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图①进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图③，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若，求证：． 6．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交于点与相交于点，连接． 猜想证明：（1）判断与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）若的周长为7，且，求的长． （3）若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 7．（山西省太原市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 8．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 【问题呈现】如图1，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． 【问题解决】请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【问题探究】如图2，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【探究延伸】如图3，在等腰中，，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，连接，．若，，则______． 9．（25-26八年级上·山西大同·期中）综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 10．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 11．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 12．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 13．（24-25八年级上·山西忻州·期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 14．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在中，以， 为边分别作等边和等边，连接和． (1)如图1，写出和之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若与相交于点M，求证：． (3)如图3，取，的中点Q，P，连接，，，得到，试猜想的形状，并证明你的猜想． 15．（24-25八年级上·山西大同·期中）已知等腰直角三角形，其中，．在上方作射线交于点D，使，E为射线上的一个动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，过点C作，且，连接与射线交于点G．求证：． (3)在图2的基础上，连接．点E在射线上运动的过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 16．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 17．（24-25八年级上·山西大同·期中）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 18．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【问题情境】 三角尺是我们生活中常用的工具，一副三角尺由如图1所示两块三角尺构成，内角分别为，，和，，．八年级数学兴趣小组开展了关于三角尺的项目化学习活动．下面是他们的探究过程，请你仔细阅读，共同解决相关问题! 【初步探究】 （1）将两个三角尺如图2（左图）重叠摆放，点D为含角的三角尺斜边的中点，小组同学将其绘制成如图2（右图）所示的图形．若含角的三角尺的直角边长为，那么两个三角尺重叠部分的面积等于 ； 【深入探究】 （2）该小组同学继续探究，将两个三角尺如图3（左图）重叠摆放，若点D仍为含角的三角尺斜边的中点，其直角边的长还等于，图3（右图）是此时的示意图，请计算两个三角尺重叠部分的面积； 【拓展延伸】 （3）如图4，是等腰直角三角形，D是斜边的中点．是直角三角形，，边恰好经过点A，连接．若，请直接写出线段之间的数量关系： ． 19．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 问题情境：如图1，将三角尺的顶点放在的平分线上，其它两边、分别与、所在的直线交于点、，，，已知，． “兴趣小组”提出的问题是：探究线段、、的数量关系． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 如图1，，， 是的平分线，， ， ， （依据）， 同理，． 反思交流： （1）上述证明过程中的依据是_________________； 数学思考： （2）如图2，当与不垂直时（点D、E不与重合），请写出线段、、的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，当点在的延长线上时；如图4，当点在的延长线上时，请你在图3或图4中任意选择一种，直接写出线段、、的数量关系，无需证明． 20．（24-25八年级上·山西忻州·期中）问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．[初步把握]；[深入研究]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可； [深入研究]根据证明，再由全等的性质得到； [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明：， ， ， 在和中， ， ； [深入研究] 证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中，， ， ；， ， ； [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ，， ， ， ． 2．(1)； (2)当或时，是直角三角形． 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：能，∵为等边三角形， 根据题意得，， ， ． 时，为等边三角形， ， 解得； （2）解：根据题意得，， ， 当时， ， ， ， 即， 解得； 当时，同理 即，解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 3． （1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）；； （3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等边三角形的性质． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度； （3）过点C作，且，连接交于点，证明（），得到，进而得到，即的最小值为的长，此时A，N，E三点在同一条直线上，推出，等边对等角进行求解即可． 【详解】问题解决：（1）略 （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作，且，连接交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（）， ∴， ∴，即的最小值为的长， 此时A，N，E三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴当的值最小时，的度数为． 4．（1）；45； （2），理由如下： 由（1）得， 又 是边上的高， ， ，是边上的中线， ，， 与相交于点 在和中 （3） 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线与高，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，即可解答． （2）先推导出， ，得到 ，证明，推导出，则，即可解答； （3）延长至点M使，证明，得到，，，继而证明，得到，，则，即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 故答案为：；45； （2）略 （3）延长至点M使，如图 ∵是边上的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5． （1）；；；；；； （2）证法一：如图，延长至点，使，连接． ∵为的中点， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由作图知， ∴． 证法二：如图，延长FD至点G，使，连接． ∵D为的中点， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由作图知， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线法，是解题的关键： （1）根据小刚的思路，补充证明过程即可； （2）证法一：延长至点，使，连接．结合已知条件，根据“”判定，从而得到．又，所以．因为，根据等腰三角形“三线合一”的性质，得，进而得到． 证法二：延长至点，使，连接．结合已知条件，根据“SAS”判定，得，．再根据“”判定，得，进而得到． 【详解】（1）略 （2）略 6． （1），理由：的垂直平分线交于点， ． （2）5； （3）③若时，；若时， 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为7，即可求解； （3）根据，，可得，再由三角形内角和定理可得，进而分类讨论求解即可求解． 【详解】解：（1）略 （2），是的边，的垂直平分线， ． ， ． ， ， ． （3）若时，；若时，． ， ， ． ， ． 当时，如图1， 则． 若时，如图2， 则 ． 综上，若时，；若时，． 7． （1），理由如下： 由轴对称的性质可得， ∵直线，即， ∴； （2），理由如下： 同理可证明， ∴，， 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）如图所示，当点D在线段上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在线段的延长上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，再由可得； （2）同理可证明，则，；过点A作于H，证明，得到；由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长上两种情况， 通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8． [问题解决]解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ [问题探究]解： ．理由如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； [探究延伸]3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的对应边相等． [问题解决] 先证，进而可依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]先判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]设，则，先证，再根据线段的垂直平分线得，进而可依据“”判定和全等，从而得，，然后再根据可求出的长． 【详解】解：[问题解决]略 [问题探究]略 [探究延伸]设，则， ， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 9．（1）①（或互补） ②，（或互相垂直且相等） （2）成立．证明如下： ， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． 又， ． （3）8 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解①②； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有是等边三角形，由（2）得，，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为①（或互补）；②，（或互相垂直且相等）； （2）略 （3），， ． 是等边三角形． ． 由（2）得，， ． ． 10．（1）； （2）①，理由： ∵，把沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②72 【分析】该题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据折叠可得，证明，即可得． （2）①根据，把沿折叠，得到，得出，结合，得出，证明，即可得． ②根据，的面积为12，得出，根据翻折可得，根据，得出，即可得四边形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠可得， 又，， ∴， ∴． （2）①略 ②∵，的面积为12， ∴， 根据翻折可得， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 11．（1）， 证明：由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3）． 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 12．（1）；（2）7；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握构造三角形全等的方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据可判定，得，在中，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到，再根据，即可求解； （2）延长，交的延长线于点G，根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质求解即可； （3）延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接．根据全等三角形的判定得出，，，再利用其性质即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长，交的延长线于点G． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ， ， ， ． （3）如图2，延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接． ∵D是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ． 在和中， ∴， ， ， ，即． ∵， ， 是等边三角形， ∴， ∴． 13．(1) (2) ，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (3)3， 如图3所示： 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：略； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 14．(1) 解： ，理由见解析； ∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 是等边三角形． 理由如下： ∵， ∴，， ∵，的中点为Q，P． ∴，． ∵， ∴． ∵． ∴， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质可证明，再证明，即可的答结论； （2）由全等三角形的性质可得．可得，再利用三角形的内角和定理可得结论； （3）证明，可得， ，再证明，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，线段中点的含义，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 15．(1)1 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． (3)或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，再根据30度的直角三角形即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （3）分情况讨论，当时；当时，点D与点E重合；当时；三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，． （2） 略 （3）解：①当时，如图， 又∵， ∴， ∴， ∵由（1）可知， ∴， 又∵，且， ∴， ∴； ②当时，如图，此时两点重合， ； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形基本性质，全等三角形证明及及性质，三角形内角和定理，平行线的证明及性质等，是三角形的综合题，能够进行分类讨论是解题关键． 16．(1) 证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； (2) 解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）略 （2）略 17．（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解； （2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答； （3）同（1）的求解思路． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A． 理由如下：如图， ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一个外角， ∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A， 即∠BOC=∠A； （2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）， =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）， =180°-（180°+∠A）， =90°-∠A； 故答案为∠BOC=90°-∠A． （3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D）， 在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 故答案为∠BOC=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键． 18．（1）16；（2）；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用等腰直角三角形的性质可得，，点三点共线，可得，根据三角形的面积计算公式即可求解； （2）如图所示，连接，可证，得到，由重叠部分的面积为，即可求解； （3）如图所示，连接，设交于点，交于点，可得，，由（2）的证明可得，，则有，所以有即，证明，得到，由，即可求解． 【详解】解：（1）点D为含角的三角尺斜边的中点，含角的三角尺的直角边长为， ∴， ∴，， ∵，点三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵点D仍为含角的三角尺斜边的中点，直角边的长还等于， ∴，， ∴， 由上述证明可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为， ∴， ∴； （3）如图所示，连接，设交于点，交于点， ∵是等腰直角三角形，D是斜边的中点 ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的证明可得，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （2），理由如下： 如图2，过点作于，于， 是的平分线，， ， ， ， 是的平分线，，， ，， ， 又， ， ， ； （3）选择图3，当点D在MO的延长线上时， 【分析】（1）由直角三角形的性质可求解； （2）由直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）方法同（2）． 【详解】解：（1）依据为直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半， 故答案为：直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半； （2）略 （3）如图3，过点作于，于， 是的平分线，， ， ， ， 是的平分线，，， ，， ， 又， ， ， ； 如图4，过点作于，于， 同理可得：． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键． 20．（1）；（2）3； （3）与是偏等积三角形， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点，交的延长线于点，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点为中点时，与面积相等，但此时与不全等，所以，与是偏等积三角形，则，于是得到答案； （2）先由与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，则，而是正整数，则； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点，交的延长线于点，可证明，得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形． 【详解】解：（1）如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当，与面积相等， ，， ， ，，， 与不全等， 此时与是偏等积三角形， 故答案为：． （2）如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3． （3） 略 【点睛】此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中复习压轴题专练（人教版） 1．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：； 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (2)则当t为何值时，是直角三角形？ 3．（25-26八年级上·山西大同·期中）综合与探究 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在中，，点，分别是边，上的动点，且，探究的最小值． 【问题分析】通过构造全等三角形，将所求的两条线段转化到同一个三角形中，进而解决问题． 【问题解决】过点作，且，连接．完成下列问题： （1）求证：． （2）连接 ，则线段 的长即为的最小值． 【方法应用】 （3）如图2，在等边三角形中，于点，点，分别是线段，上的动点，且，当的值最小时，请直接写出的度数． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师让同学们在添加图形元素的过程中，探究所构成图形的性质．如图1，在中，，，是边上的高． 图形理解： （1）勤学小组发现图1中，所有角的度数都可求出． 请你直接写出相关结论：__________°，__________°，__________°； 初步探究： （2）在图1的基础上，善思小组添加了如下条件：过点作于点，交于点，得到图2，其余条件不变．请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由； 深入探究： （3）博学小组在图2的基础上连接，得到图3，直接写出的度数． 5．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题初探 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，为的中点，于点，交于点，连接．若，求证：． 如图②，小刚根据题中条件给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚的思路，补充下列证明过程． 证明：如图②，延长至点，使，连接． 为的中点，． 在和中，，__________，， ．． __________．． ，由作图知， ．__________． ． 类比分析 （2）李老师发现小刚同学不仅运用倍长中线法构造全等三角形，还用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图①进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图③，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若，求证：． 6．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交于点与相交于点，连接． 猜想证明：（1）判断与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）若的周长为7，且，求的长． （3）若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 7．（山西省太原市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 8．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 【问题呈现】如图1，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． 【问题解决】请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【问题探究】如图2，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【探究延伸】如图3，在等腰中，，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，连接，．若，，则______． 9．（25-26八年级上·山西大同·期中）综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 10．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 11．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 12．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 13．（24-25八年级上·山西忻州·期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 14．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在中，以， 为边分别作等边和等边，连接和． (1)如图1，写出和之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若与相交于点M，求证：． (3)如图3，取，的中点Q，P，连接，，，得到，试猜想的形状，并证明你的猜想． 15．（24-25八年级上·山西大同·期中）已知等腰直角三角形，其中，．在上方作射线交于点D，使，E为射线上的一个动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，过点C作，且，连接与射线交于点G．求证：． (3)在图2的基础上，连接．点E在射线上运动的过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数． 16．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 17．（24-25八年级上·山西大同·期中）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 18．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【问题情境】 三角尺是我们生活中常用的工具，一副三角尺由如图1所示两块三角尺构成，内角分别为，，和，，．八年级数学兴趣小组开展了关于三角尺的项目化学习活动．下面是他们的探究过程，请你仔细阅读，共同解决相关问题! 【初步探究】 （1）将两个三角尺如图2（左图）重叠摆放，点D为含角的三角尺斜边的中点，小组同学将其绘制成如图2（右图）所示的图形．若含角的三角尺的直角边长为，那么两个三角尺重叠部分的面积等于 ； 【深入探究】 （2）该小组同学继续探究，将两个三角尺如图3（左图）重叠摆放，若点D仍为含角的三角尺斜边的中点，其直角边的长还等于，图3（右图）是此时的示意图，请计算两个三角尺重叠部分的面积； 【拓展延伸】 （3）如图4，是等腰直角三角形，D是斜边的中点．是直角三角形，，边恰好经过点A，连接．若，请直接写出线段之间的数量关系： ． 19．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 问题情境：如图1，将三角尺的顶点放在的平分线上，其它两边、分别与、所在的直线交于点、，，，已知，． “兴趣小组”提出的问题是：探究线段、、的数量关系． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 如图1，，， 是的平分线，， ， ， （依据）， 同理，． 反思交流： （1）上述证明过程中的依据是_________________； 数学思考： （2）如图2，当与不垂直时（点D、E不与重合），请写出线段、、的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，当点在的延长线上时；如图4，当点在的延长线上时，请你在图3或图4中任意选择一种，直接写出线段、、的数量关系，无需证明． 20．（24-25八年级上·山西忻州·期中）问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $