精品解析：山东日照市五莲县某校2026-2027学年九年级上学期第一次学习成果展示数学试题

上学期第一次学习成果展示 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列等式是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为．根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可． 【详解】解：A. （为常数），若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B. 可整理得，不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整数方程，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将该方程化为一般式，即可解答． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为，即． 故选D． 【点睛】考查了二次函数函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 4. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 5. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． 6. 已知方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个根 B. 只有一个根 C. 有两个根 D. 有两个根 【答案】C 【解析】 【分析】先求出该方程根的判别式，再用求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 解得∶， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 7. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选：． 8. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（ ）米． A. 米 B. 3米 C. 米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5， 设抛物线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴支柱的高度为米． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． 9. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 【答案】D 【解析】 【分析】由直线不经过第一象限可得，分时和时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：直线不经过第一象限， ， 当时， ， 关于的方程的实数根的个数为2个， 当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个， 综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一元二次方程根的个数与判别式的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得 把代入得，代入得 ∴ 解得； 把代入得，代入得 ∴，解得， 综上，c的取值范围为：． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：1． 13. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， 设的另一根为x， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 14. 一元二次方程配方后得，则__________，__________． 【答案】 ①. 4 ②. 5 【解析】 【分析】根据完全平方公式展开，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程配方后得， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4；5． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是利用完全平方公式展开，比较系数，本题属于基础题型． 15. 已知二次函数，当________时，取得最大值________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的开口方向与顶点坐标性质，确定取最大值时的自变量值与最大值． 【详解】解：∵函数解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为函数的最高点， ∵该函数为顶点式，对应顶点坐标为， ∴当时，取得最大值． 16. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象的位置关系即可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方 故当时，有 故答案为： 【点睛】本题考查函数图象与不等式的关系．根据函数图象的位置求解是“数形结合”思想的体现． 17. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①， ②， ③， ④（m为任意实数），其中正确的结论有___________．（请把正确结论的序号填在横线上） 【答案】②④ 【解析】 【分析】由抛物线开口向上，交y的负半轴即可判断①：由抛物线与x轴的交点可判断②；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③；由时y取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，交y的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为， ∴，故③错误； ∵时函数取最小值， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 18. 二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（b，t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键．根据二次函数的对称轴为直线，可知，由关于的一元二次方程：（为实数）在的范围内有解，得到在范围内，函数与有交点，从而得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，即二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； 关于的一元二次方程：（为实数）在的范围内有解， 在范围内，函数与有交点，如图所示： ， 故答案为：． 三、解答题（共7个题，66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 整理得，， ∴， 则或， 解得，， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法并灵活选择是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程有实根． （1）求实数k的取值范围； （2）方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】（1） （2）k的值为 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有实根时，由此可解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实根， ， ； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，符合题意． 故所求k的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，，，掌握上述知识点是解题的关键． 21. 已知二次函数，的图象如图所示． （1）求y的取值范围； （2）若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先配方，求出二次函数的最小值，然后计算时的值即可确定的范围； （2）根据的最小值和当、时，的值即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：配方得：， 当时，， 当时，的取值范围为：； 【小问2详解】 二次函数的顶点坐标为， 当时，， 即直线与该函数图象只有一个交点， 当时，， 当时，， 当时，直线与该函数图象只有一个交点， 的范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用二次函数的顶点式正确确定顶点坐标是解题的关键． 22. 某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为元，当这款电子产品按每个元出售时，一天可售出个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降低元，其日销售量可增加个．设该电子产品每个降价元，网店一天可通过该电子产品获利润元． （1）求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． （2）当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）这款电子产品销售单价为元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）利润是降价的函数，根据总利润每个电子产品的利润销售量，即可求得答案． （2）电子产品每个降价应大于等于，每个电子产品的利润应大于等于，可得，求解可得的取值范围；二次函数的开口向下，对称轴为，据此即可求得答案． 【小问1详解】 根据题意可知，利润是降价的函数，根据总利润每个电子产品的利润销售量，得 ． 化简，得 ． 【小问2详解】 根据题意可知，电子产品每个降价应大于等于，每个电子产品的利润应大于等于，可得 ． 解得 ． 二次函数的开口向下，对称轴为， 所以，当时，二次函数可以取得最大值． 当时，这款电子产品的销售单价为：(元)． 将代入，得 ． 所以，这款电子产品销售单价为元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 23. 要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，矩形场地面积S最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出，即可表示出S与x之间的函数关系式，再根据墙长16米，即可确定自变量x的取值范围； （2）由，得出当时，S随着x的增大而减小，所以当时，矩形场地面积S最大，最大面积是． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆的总长为40米， ∴， ∵墙长16米， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，S随着x的增大而减小， ∴当时，矩形场地面积S最大，，最大面积是平方米． 24. 【阅读材料】 若，求，的值． 解：， ∴， ∴． （1）【解决问题】已知，求的值； （2）【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答； （2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答． 【小问1详解】 ， 将拆分成和，可得 ， 根据完全平方公式得： ， ∴，， ∴， 【小问2详解】 ∵， 根据完全平方公式得： ， ， ∴，， ∴，， ∵是中最长的边， ∴， 即的取值范围． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键． 25. 定义：若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“反称点”．例如：点，都是“反称点”． （1）判断点是否为“反称点”，并说明理由； （2）若二次函数的图象上存在唯一一个“反称点”，求的值； （3）若二次函数的图象上存在两个不同的“反称点”，，且，，求该二次函数的解析式（用含a的式子表示）． 【答案】（1）解：点是“反称点”，理由如下： ∵“反称点”的横坐标与纵坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为，与互为相反数， ∴点是“反称点”． （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“反称点”的定义，验证点的横纵坐标是否互为相反数即可判断． （2）利用“反称点”满足的关系，联立二次函数解析式，转化为一元二次方程有两个相等实根的问题，通过判别式求解． （3）联立与二次函数解析式，结合根与系数的关系，用含的式子表示和，进而得到二次函数解析式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：“反称点”满足， ∴将代入，得 ， 二次函数图象上存在唯一一个“反称点”， 该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 【小问3详解】 解：“反称点”满足， 将代入，得 ， 二次函数图象上存在两个不同的“反称点”，， ，是该方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得 ，， ，， ，， 解得，， 将，代入，得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上学期第一次学习成果展示 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列等式是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个根 B. 只有一个根 C. 有两个根 D. 有两个根 7. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（ ）米． A. 米 B. 3米 C. 米 D. 4米 9. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程的解为________． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为______． 13. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________． 14. 一元二次方程配方后得，则__________，__________． 15. 已知二次函数，当________时，取得最大值________． 16. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是______． 17. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①， ②， ③， ④（m为任意实数），其中正确的结论有___________．（请把正确结论的序号填在横线上） 18. 二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（b，t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是_________． 三、解答题（共7个题，66分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x的一元二次方程有实根． （1）求实数k的取值范围； （2）方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 21. 已知二次函数，的图象如图所示． （1）求y的取值范围； （2）若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围． 22. 某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为元，当这款电子产品按每个元出售时，一天可售出个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降低元，其日销售量可增加个．设该电子产品每个降价元，网店一天可通过该电子产品获利润元． （1）求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． （2）当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？ 23. 要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 24. 【阅读材料】 若，求，的值． 解：， ∴， ∴． （1）【解决问题】已知，求的值； （2）【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围． 25. 定义：若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“反称点”．例如：点，都是“反称点”． （1）判断点是否为“反称点”，并说明理由； （2）若二次函数的图象上存在唯一一个“反称点”，求的值； （3）若二次函数的图象上存在两个不同的“反称点”，，且，，求该二次函数的解析式（用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $